第一章 预备知识

设 p, q 为一对共轭指标， xk , yk (k = 1, 2, , n) ∈ R ，则有
⎛ n ⎞ | xk yk |≤ ⎜ ∑ | xk | p ⎟ ∑ k =1 ⎝ k =1 ⎠
n 1/ p
⎛ n q⎞ ⎜ ∑ | yk | ⎟ ⎝ k =1 ⎠
1/ q
证明：若 ∑ | xk | p = 0 或 ∑ | yk | p = 0 ， 结论显然成立。所以可设 ∑ | xk | p ≠ 0 ，
基本列： 设 {xn }∞ n =1 为一个实数列，若对于任意的 ε > 0 ， 存在 N ε ∈ N 使得当
m, n > Nε 时， | xm − xn |< ε ，则称 {xn }∞ n =1 为一个基本列或 Cauchy 列。
Cauchy 原理：R 中任何基本列在 R 中都有极限。 也就是说，Cauchy 原理告诉我们，要判断一个数列是否收敛，只要考察它是否 为 Cauchy 序列， 与极限具体是什么没有关系。 Cauchy 原理实际上是实数域完备性 的根本体现，常作为一个公理。对照地我们可知，有理数集合不完备。
所以 (a, b) 不可数。 二、 实数域的完备性 极限理论是微积分的基础，而实数极限的一个最基本问题就是极限的存在的问 题， 即对一个数列， 如何判定它是否有极限。 为了在更广泛的领域内讨论极限问题， 我们有必要再认识一下实数的完备性。 实数域的完备性体现以下两个等价的命题上。
1. Cauchy 原理/准则
1 基数
E ⊂ R ，将 E 中元素的“个数”或“数目”称为 E 的基数或势, 记为 | E | 。当两
个集合存在一一（既单又满）映射时，我们称它们有相同的基数。按照基数，可将 实数集合分为有限集合与无限集合。例如， {x ∈ R : x 2 n +1 + x 2 − 1 = 0} , ∅ 为有限集，
应用泛函分析
应用泛函分析
内容： 空间理论 z 赋范空间与度量空间 z 内积空间 空间的性质，空间的结构，应用 算子理论 z 线性算子一般理论 z 线性泛函 z Hilbert 空间的紧算子理论 小波分析 z 时频分析 z 多分辨分析与小波 z 小波快速算法 z 小波变换的应用 向量微分与变分法 z 向量微分 z 变分法 教材： 《应用泛函分析》 ， 范达，高教出版社 参考： 其他应用泛函分析教材 《现代信号理论》汪学刚等，电子工业 《最优化原理与方法》 薛嘉庆，冶金工业出版社 《变分法》 吴迪光，高教出版社 《应用泛函分析》吴翊，屈田兴，国防科技大学
m (E ) = inf{ ∑ | I n |, {I n } n∈Λ 为E 的开区间覆盖}
n∈Λ
称 m (E ) 为 E 的 Lebesgue 测度。 这种定义测度的方式实际上是一种外测度， 它从外逼近集合的度量，类似地还可通过内部逼近的方式定义集合的度量，引出内 测度。但对 Borel 集来说，它的内外测度一致。
证明：1), 2) 是明显的。
3) 设
En = {rn1 , rn 2 ,
}
, n = 1, 2,3
是
一列可数集。按如图方式将它们的元素 排列成一个数列（这里我们默认不同集
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合的元素不同，如果相同排列时删除后面的元素） 。这样，可知 ∪ En 的元素排成一
n =1
∞
∞ ⎧m ⎫ 个序列，从而它是可数的。特别地，由 Q = ∪ ⎨ | m ∈ Z ⎬ 可知，有理数集 Q 是可 ⎭ n =1 ⎩ n
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即可得到结论。 四 Minkowski 不等式 设 p > 1 ， xk , yk ∈ R, (k = 1, 2, , n) ，则
⎛ n p ⎞ ⎜ ∑ | xk + yk | ⎟ ⎝ k =1 ⎠
1/ p
⎛ n ⎞ ≤ ⎜ ∑ | xk | p ⎟ ⎝ k =1 ⎠
1/ p
⎛ n ⎞ + ⎜ ∑ | yk | p ⎟ ⎝ k =1 ⎠
1/ p
+
1/ q
⎛ n p⎞ ⎜ ∑ | yk | ⎟ ⎝ k =1 ⎠
可得
⎛ n ( p −1) q ⎞ ⎜ ∑ | xk + yk | ⎟ ⎝ k =1 ⎠
1/ p 1/ p 1/ q ⎡⎛ n ⎤⎛ n ⎛ n p⎞ p⎞ p⎞ | xk + yk | ≤ ⎢⎜ ∑ | xk | ⎟ + ⎜ ∑ | yk | ⎟ ⎥ ⎜ ∑ | xk + yk | ⎟ ， ∑ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ ⎦ ⎠ ⎢⎝ k =1 ⎥ ⎝ k =1 ⎣ n p
引理：设 p, q 为一对共轭指标， a, b > 1 ，则有
ab ≤ 1 p 1 q a + b p q
证明：令 y = x p −1 ，则 x = y q −1 ，由可知 ab ≤ ∫ x p −1dx + ∫ y q −1dy =
0 0 a b
1 p 1 q a + b p q
三 Holder 不等式
| xk | p p (∑ | xk | )
p k =1 n
+
| yk |q q (∑ | yk | )
q k =1 n
， 从而
∑a b
k =1
n
k k
≤
∑ | xk | p
p(∑ | xk | )
p k =1 k =1 n
n
+
∑| y
k =1 n k =1
n
k
|q =1 ，
q
q ( ∑ | yk | )
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第一章 预备知识
§1 几个重要不等式
一 三角不等式 对于任意常数 a, b ∈ R ，
| a + b |≤| a | + | b | ， | a − b |≥|| a | − | b ||
二 Holder 引理
共轭指标：设 p > 1, q > 1 ，若
1 1 + = 1 ，则称 p 与 q 为一对共轭指标。 p q
集 Q，使得一些关于实数的问题化为有理数极限问题。
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§3 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分概要
1902 年，法国数学家 Lebesgue 在研究微积分时发现，传统的 Riemann 积分的 缺点可由积分定义的改变而克服，引出了一种新型的积分，人们命名为 Lebesgue 积分，它极大地改变 Riemann 积分对函数的限制，并具有良好的性质，成为现代 数学的基础。
Lebesgue 测度的另一种定义：
设 E 为 R 的一个可测子集， µ1 , µ2 ,
⎛ ⎞ (1) ∫ | x(t ) y (t ) | dt ≤ ⎜ ∫ | x(t ) | p dt ⎟ I ⎝I ⎠
1/ p
⎛ ⎞ q ⎜ ∫ | y (t ) | dt ⎟ ⎝I ⎠
1/ q
这里 x(t ) y (t ) 在 I 上也绝对可积， p, q 为一对共轭指标。
⎛ ⎞ (2) ⎜ ∫ | x(t ) ± y (t ) | p dt ⎟ ⎝I ⎠
⎛ n ⎞ 所以 ⎜ ∑ | xk + yk | p ⎟ ⎝ k =1 ⎠
1/ p
⎛ n ⎞ ≤ ⎜ ∑ | xk | p ⎟ ⎝ k =1 ⎠
1/ p
⎛ n ⎞ + ⎜ ∑ | yk | p ⎟ ⎝ k =1 ⎠
1/ p
。
五 积分形式的 Holder 不等式与 Minkowski 不等式 设 I = [a, b], [a, +∞),(−∞, b] 或 (−∞, ∞) ， x(t ), y (t ) 在 I 上可积和绝对可积，则
E 为 R 的一个子集，若对于任意的 ε > 0 ，存在 E 的一个开区间覆盖 {I n }n∈Λ 使得
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n∈Λ
∑| I
n
|<ε
则称 E 是一个测度零集，对 I = (a, b) ， | I | 为区间 I 的长度 b − a 。
4.Borel 可测集 将 Borel 集、测度零集经过集合运算形成的集合称为 Borel 可测集。 注：Borel 可测集包含了常见所有集合。所有的 Borel 可测集合所称的类记为 B 。 5. Lebesgue 测度 对E ∈B , 令
1/ p
⎛ ⎞ ≤ ⎜ ∫ | x(t ) | p dt ⎟ ⎝I ⎠
1/ p
⎛ ⎞ + ⎜ ∫ | y (t ) | p dt ⎟ ⎝I ⎠
1/ p
证明： 与离散情形类似。
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§2 数集及其性质
数集的基数、可数性、可数性集质，完备性 一、 可数集与不可数集 分别记 R 、Q、 Z、N、 N + 为实数集、有理数集、整数集、自然数集和正整数 集。
k =1 k =1 k =1
n
n
n
⎛ n p⎞ | y | ≠ 0 。令， a x / = ∑ k k ⎜ ∑ | xk | ⎟ k k =1 ⎝ k =1 ⎠
n p
1/ p
⎛ n ⎞ bk = yk / ⎜ ∑ | yk |q ⎟ ，由上述引理有 ⎝ k =1 ⎠
1/ q
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ak bk ≤
Borel 集合：由开集和闭集经过有限或可数次的交、并、差、余等运算所成的集合， 称为一个 Borel 集。 2.开覆盖 {I n }n∈Λ 是由 R 的开 设 E 为 R 一个子集， 区间 构成的集， 若 E ⊆ ∪ In ， 则称 {I n }n∈Λ ． ．．
n∈Λ
为 E 的一个开区间覆盖。 3.测度零集
(a, b) (b < a ) ，Q，R，Z 为无限集合。
可数集：设 E ⊂ R ，若 E 的所有元素可排成一个序列，即 E = {a1 , a2 , , an , } ，则 称 E 为一个可数集 。 等价地说 ， E ⊂ R ， E 是可数的 ⇔ 存在一个 1 — 1 映射
φ : N → E 。也就是说，与自然数集等基数的集合是可数的。在使用归纳思想的命题
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否有上（下）确界？ 确界原理：实数域中任何非空有上（下）界的集合必（在 R 中）有上（下）确 界。 三、 有理数在实数集中的稠密性 命题：任何一个实数都是有理数序列的极限。 由命题可知 Q 在 R 中是稠密的，即，对于任何一个实数 a 及 r >0 ，
(a − r , a + r ) ∩ Q ≠ ∅ 。这个性质称为 Q 在 R 稠密性。不可数的实数集的可数稠密子
数的。
5. 假设区间 (a, b) ，a < b ，是可数的，令 (a, b) = {r1 , r2 ,
则
, rn ,
} 。任取一个正数 ε ，
∪ (r
n =1
∞
n
−
ε
2
n +1
, rn +
∞
ε
2n +1
) ⊇ ( a, b)
但由上述包含关系可知[测度论]， ∑
n =1
ε
2n
= ε ≥ b − a 。由 ε 的任意性， b − a = 0 ，矛盾。
一、
直线上的 Lebsgue 测度
Lebesgue 测度是线段长度，平面图形面积，立体图形的体积等的概念延伸，是 集合“大小”的一种度量。 1. Borel 集合
开集： R 中的集合 E 若满足， 对任意的 x ∈ E ， 存在一个数 r > 0 使得 ( x − r , x + r ) ⊂ E ， 则 E 称为 R 的一个开集。开集中的点均是它的内点。由有理数的可数稠密性可知， R 的任何一个开集能表示成至多可数个开区间的并。 闭集：R 的集合 E 使得 E c = R − E 为开集，则称 E 为一个闭集。 注： E ⊂ R 是闭集 ⇔ E 中的数列的极限属于 E。
2. 确界原理
对于非空集合 E ⊂ R , 若使对任意的 x ∈ E ，有 x ≤ α ，则称 α 为 E 的一个上界。 若 λ 为 E 的一个的最小上界，则称 λ 为 E 的上确界，记为 sup E . 同样可以定义一个 集合的下确界， 集合 E 的下确界记为 inf E 。 那么 R 的一个有上(下)界的非空集合是
1/ p
证明：取 q 为 p 的共轭指标，
∑| x
k =1
n
k
+ yk | ≤ ∑ | xk | | xk + yk |
p k =1
n
p −1
+ ∑ | yk | | xk + yk | p −1
k =1 1/ q
n
⎛ n ⎞ ≤ ⎜ ∑ | xk | p ⎟ ⎝ k =1 ⎠
1/ p
⎛ n ( p −1) q ⎞ ⎜ ∑ | xk + yk | ⎟ ⎝ k =1 ⎠
中常用到集合的可数性。 当不存在 E 与 N 之间的 1－1 映射存在时，称 E 是不可数的。 例如，Z，2Z， Z ，N 等都是可数的， (a, b) (a < b) 与 R 是不可数的。
+
2 可数集的性质 1) 可数集合的无限子集合是可数的。 2) 有限或可数个可数集合的并是可数的。 3) 可数集合与有限集合的并是可数的。 4) 有理数集合 Q 是可数的 5) 任何区间是不可数的。