全国各地中考模拟试卷数学分类：二次函数综合题汇编附详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：

2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．

【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．

（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2

=-

或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】

【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．

（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．

（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．

【详解】

解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，

∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．

∴A （，0）、B （3，0）．

（2）存在．理由如下：

∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），

把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=

+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22

--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23

327p 4216--+

（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716

． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），

∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．

∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：

当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，

解得：12m 2=-,22m 2

=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，

解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．

综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．

2．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A 点的直线y=﹣12

x ﹣1交于点C ． （1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=

211184x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣

12

）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】 分析：（1）由待定系数法求解即可；

（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；

（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．

详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得

042101641a b a b --⎧⎨+-⎩

＝＝ 解得1814a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩

＝＝ ∴抛物线解析式为：y=18x 2−14

x−1 ∴抛物线对称轴为直线x=-1

41228

b a -

=-⨯＝1 （2）存在 使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小

∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．

设过点C′、O 直线解析式为：y=kx

∴k=-

12

∴y=-12x 则P 点坐标为（1，-12

） （3）当△AOC ∽△MNC 时，

如图，延长MN 交y 轴于点D ，过点N 作NE ⊥y 轴于点E

∵∠ACO=∠NCD ，∠AOC=∠CND=90°

∴∠CDN=∠CAO

由相似，∠CAO=∠CMN

∴∠CDN=∠CMN

∵MN ⊥AC

∴M 、D 关于AN 对称，则N 为DM 中点

设点N 坐标为（a ，-

12a-1） 由△EDN ∽△OAC

∴ED=2a

∴点D 坐标为（0，-

52a−1） ∵N 为DM 中点

∴点M 坐标为（2a ，

32a−1） 把M 代入y=

18x 2−14

x−1，解得 a=4

则N 点坐标为（4，-3）

当△AOC ∽△CNM 时，∠CAO=∠NCM

∴CM ∥AB 则点C 关于直线x=1的对称点C′即为点N

由（2）N （2，-1）

∴N 点坐标为（4，-3）或（2，-1）

点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线483y x =-

+与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，抛物线24y ax ax c =-+经过点A 和点B ，与x 轴的另一个交点为C ，动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向O 点运动，同时动点E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速