2014中考总复习第19讲等腰三角形

②作直线 P Q 交 A B 于点 D , 交 B C 于点 E , 连接 A E . 若 C E = 4, 则 AE= 【答案】 8 .
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8. (2012·荆门) 如图, △A B C 是等边三角形, P 是∠A B C 的平分线 B D 上一点, PE ⊥A B 于点 E , 线段 B P 的垂直平分线交 B C 于点 F , 垂足为点 Q . 若 B F = 2, 则 PE 的长为( A. 2 C. 3 【答案】 C ) B.2 3 D. 3
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知识考点 0 2 等边三角形的性质与判定 等边三角形是特殊的等腰三角形, 因此它不仅具有等腰三角形的一切性质, 而 且还具有一般等腰三角形不具备的特殊性质即: 等边三角形的三边中线、 三边上 的高以及三个内角平分线的交点重合, 且此点到等边三角形的三个顶点的距离 相等、到三边的距离相等、到顶点的距离是到对边中点的距离的 2 倍. 等边三角形的判定方法常用定义进行判定.
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3. 等腰三角形的一个外角是 100°, 其顶角的度数是
.
【解析】 若顶角的外角是 100°, 则顶角是 80°. 若底角的外角是 100°, 则底 角是 80°, 顶角是 20°. 【答案】 80°或 20° 4. (2013·赤峰)在等腰三角形中, 马彪同学做了如下研究: 已知一个角是 60°, 则 另两个角是唯一确定的( 60°, 60°) , 已知一个角是 90°, 则另两个角也是唯一确 定的( 45°, 45°) , 已知一个角是 120°, 则另两个角也是唯一确定的( 30°, 30°) . 由此马彪同学得出结论: 在等腰三角形中, 已知一个角的度数, 则另两个角的度数 也是唯一确定的. 马彪同学的结论是 【答案】 错误 的. ( 填“正确”或“错误”)
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【思路点拨】 (1)已知正三角形边长求面积, 需求出高 A D 长. (2)求得∠C F D 的值是关键, 由已知易得△C F D 中另外两角的大小. 【自主解答】 ( 1) 在正△A B C 中, A D = 4×
1 1 ∴S = 2 B C ×A D = 2 ×4× 2 3 = 4 3 .
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例 为
等腰三角形一腰上的高与腰长之比为 1∶2, 则等腰三角形的顶角 .
【思路点拨】 等腰三角形的顶角可能是锐角也可能是钝角. 【自主解答】 如图: 在等腰△A B C 中, C D 为腰 A B 上的高, C D ∶A B = 1∶ 2, 由于 A C = A B , ∴C D ∶A C = 1∶2. 在直角三角形 A D C 中, ∠D A C = 30°, 则有∠B A C = 30°或 150°.
例 3 (2012·梅列、三元、沙县质检)如图, 已知 A B = A C , ∠A = 36°, A B 的垂直平 分线交 A C 于点 D , 交 A B 于点 M , 有下面 4 个结论: ①B D 平分∠A B C ; ②△B C D 的周长= A B + B C ; ③△A D M ≌△B D M ; ④△B D M ≌△B D C . ( 1) 判断其中正确的结论是哪几个? ( 2) 从你认为是正确的结论中选一个加以证明.
性质 4. 等边三角形的三个内角都 于 .
➡特别提示: 等边三角形是等腰三角形的特例.
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四、线段的垂直平分线 1. 定义: 经过线段 的垂直平分线; 2. 如图, 若点 P 在线段 A B 的垂直平分线 M N 上, 那么 ; 并且 于这条线段的直线, 叫做这条线段
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分类讨论思想
对于等腰三角形中的边、角的有关计算与证明, 往往运用到数学的分类讨论 思想. 涉及到等腰三角形的边时, 首先看某边是腰还是底, 并且在求出了三边的长 之后, 还要验证是否满足两腰之和大于底边. 等腰三角形的顶角可以为锐角、 直角或钝角, 而其底角只能为锐角, 在没有指 明等腰三角形的顶角还是底角时, 应注意分类讨论, 以免漏解.
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1. (2011·莆田中考)如果等腰三角形两边长是 6 cm 和 3 cm , 那么它的周长是 ( ) B. 12 cm D. 15 cm
A. 9 cm C . 15 cm 或 12 cm 【答案】 D
2. (2013·龙岩中考)如图, 在平面直角坐标系 xO y 中, A( 0, 2) , B( 0, 6) , 动点 C 在直线 y= x 上. 若以 A 、 B、 C 三点为顶点的三角形是等腰三角形, 则点 C 的个数是( A. 2个 C. 4个 【答案】 B B. 3个 D. 5个 )
4. 在△A B C 中, 如果∠C = 90°, ∠B = 45°, 那么△A B C 是 形.
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三、等腰三角形、等边三角形的性质 性质 1. 等腰三角形的两个底角 性质 2. 等腰三角形的“三线合一”, 即: 相互重合; 性质 3. 等腰三角形是 高) 所在的直线就是它的 ; , 并且每一个角都等 图形, 底边上的中线( 顶角平分线、底边上的 ( 简写成“ ”) ;
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(时间: 60 分钟 分数: 100 分) 一、选择题( 每小题 6 分, 共 30 分)
∵△B D M 是直角三角形, 而△B D C 不是直角三角形 ∴④错误. ∴①②③正确.
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7. (2013·三明中考)如图, 在△A B C 中, ∠C = 90°, ∠C A B = 60°, 按以下步骤作 图:
1 ①分别以 A , B 为圆心, 以大于 2 A B 的长为半径作弧, 两弧相交于点 P 和 Q .
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第十九讲
等腰三角形
课标要求 了解: 等腰三角形的有关概念; 等边三角形的概念; 线段垂直平分线及其性 质. 掌握: 等腰三角形的性质; 一个三角形是等腰三角形的条件; 等边三角形的性 质及判定.
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高频考点 1. 等腰三角形的性质和判定. 2. 等边三角形的性质和判定. 3. 线段的垂直平分线的应用. 考向分析 结合近几年中考试题分析, 等腰三角形的内容考查主要有以下特点: 1. 命题方式为对等腰三角形的性质、 判定及三角形全等、 线段垂直平分线 进行综合考查, 题型以解答题为主. 2. 命题的热点为等边三角形的性质和综合运用.
【答案】 30°或 150°
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在△A B C 中, AB= AC , A B 的垂直平分线与 A C 所在的直线相交所得到锐角为 50°, 则∠B 等于 度.
【解析】 如图( 1) , ∵D E 是 A B 的垂直平分线, 又∵∠A E D = 50°, ∴∠A = 40°, ∵A B = A C , ∴∠B = 70°; 如图( 2) , ∵D E 是 A B 的垂直平分线, ∠E = 50°, ∴∠E A D = 40°, ∠B A C = 180°- ∠ E A D = 140°. ∵A B = A C , ∴∠B = 20°. 【答案】 70 或 20
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【自主解答】 由 A B = A C , ∠A = 36°知∠A B C = ∠C = 72° ∵M N 是 A B 的中垂线, ∴A D = B D . ∴∠A B D = ∠A = 36°. ∴∠D B C = 36°. ∴①正确.
由 AD = BD , A B = A C 知, △B C D 的周长= B C + C D + B D = A C + B C = A B + B C , ∴②正确. ③正确( 略)
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例 1 (2011·龙岩质检)如图, A D 是△A B C 的平分线, D E 、D F 分别垂直 A B 、A C 于 E 、F , 连接 E F , 求证: △A E F 是等腰三角形.
【自主解答】 证明: A D 是△A B C 的平分线, ∴∠B A D = ∠C A D , 又∵D E , D F 分别垂直 A B 、A C 于 E 、F ∴∠D E A = ∠D F A = 90°. 又∵A D = A D , ∴ΔA D E ≌△A D F . ∴A E = A F , 即△A E F 是等腰三角形.
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一、等腰三角形、等边三角形的概念 1. 等腰三角形: 有两条边 2. 等边三角形: 三条边都 的三角形叫做等边三角形. 的三角形, 叫做等腰三角形;
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二、等腰三角形、等边三角形的判定 1. 在△A B C 中, 如果∠B = ∠C , 那么△A B C 是 AC = ; 2. 在△A B C 中, 如果∠A = ∠B = ∠C , 那么△A B C 是 3. 有一个角是 60°的等腰三角形是 三角形; 三角 三角形; 三角形, 且
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例 2 如图, 在边长为 4 的正三角形 A B C 中, A D ⊥B C 于点 D , 以 A D 为一 边向右作
正三角形 A D E . ( 1) 求△A B C 的面积 S ; ( 2) 判断 A C 、D E 的位置关系, 并给出证明.
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知识考点 01 等腰三角形的性质与判定
等腰三角形是一种特殊的三角形, 因此它除了具有一般三角形的性质以外还 有以下特殊的性质: 等腰三角形的两条边相等; 等腰三角形的“三线合一”. 等腰三角形的判定:定义和“等角对等边”.
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5. (2012·巴彦淖尔、赤峰)如图, A D 是△A B C 的中线, ∠A D C = 60°, B C = 6, 把△A B C 沿直线 A D 折叠, 点 C 落在 C ' 处, 连接 B C ' , 那么 B C ' 的长为 【答案】 3 .
6. (2011·宁德中考)如图, △A B C 中, ∠A C B = 90°, ∠ A = 30°, 将△A B C 绕 C 点按逆时针方向旋转α角( 0°< α < 90°) 得到△D E C , 设 C D 交 AB 于 F, 连接 A D , 当旋转角α 度数为 【答案】 , △A D F 是等腰三角形. 40°或 20°
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知识考点 0 3 线段的垂直平分线的性质及应用
线段的垂直平分线其实就是线段的对称轴, 因此经常用以证明线段、角相等 和作为构造等腰三角形、等腰梯形等几何图案的依据, 并常用作设计等距离的实 际问题的辅助线.
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真题演练 、D E 的位置关系: A C ⊥D E . 在△C D F 中, ∵∠C D E = 90°- ∠A D E = 30°, ∴∠C F D = 180°- ∠C - ∠C D E = 180°- 60°- 30°= 90°, ∴A C ⊥D E .
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3. 如图, 若
, 那么点 P 在线段 AB 的垂直平分线 M N 上.
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【答案】一、1. 相等 2. 相等 二、1. 等腰 A B 2. 等边 3. 等边 4. 等腰直角
三、1. 相等 等边对等角 2. 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边 上的高 3. 轴对称 对称轴 4. 相等 60° 四、1. 中点 垂直 2. P A = P B 3. P A = P B