2020年中考数学复习专题5 规律探索型问题
2020年中考数学必考考点专题规律型问题含解析
专题30规律型问题专题知识回顾1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．5.解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．专题典型题考法及解析【例题1】（2019•四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a＝5，a是a的差倒数，a是a的差倒数，a是a的差倒数…，1 2 1 3 2 4 3依此类推，a的值是（）2019A．5B．﹣C．D．【答案】D．【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a相同的数即可得解．2019∵a＝5，1a＝2a＝3＝＝＝﹣，＝，a＝＝＝5，4…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a＝a＝2019 3【例题2】（2019•湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1.（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384【例题3】（2019•四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为直角边作1 1△R t OA A，并使∠A OA＝60°，再以OA为直角边作△R t OA A，并使∠A OA＝60°，再以OA为直角边作 12 1 2 2 23 2 3 3n△R t OA A，并使∠A OA＝60°…按此规律进行下去，则点A的坐标为． 34 3 4 2019【答案】（﹣22017，22017）．【解析】通过解直角三角形，依次求A，A，A，A，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．1 2 3 4由题意得，A的坐标为（1，0），1A的坐标为（1，），2A的坐标为（﹣2，2），3A的坐标为（﹣8，0），4A的坐标为（﹣8，﹣8），5A的坐标为（16，﹣16），6A的坐标为（64，0），7…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2∵2019÷6＝336…3，n﹣2，∴点A2019的方位与点A的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，23纵坐标为22017【例题4】（2019湖南益阳）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2③7﹣2＝（＝（﹣﹣）2，）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【答案】13﹣2＝（﹣）2．【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（﹣）2（n≥1的整数）．写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．【例题5】（2019•甘肃庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【答案】13a+21b．【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b【例题6】（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点A、A、A…A在x轴上，B、B、B…B1 2 3 n 1 2 3 n 在直线y＝x上，若A（1，0），且△A△B A、△A△B A…△A B A 都是等边三角形，从左到右的小三角形1 1 12 2 23 n n n+1（阴影部分）的面积分别记为S、S、S…S．则S可表示为（）1 2 3 n nA．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【答案】D．【解析】直线y＝x与x轴的成角∠B OA＝30°，可得∠OB A＝30°，…，∠OB A＝30°，∠OB A＝90°，…，1 12 2 n n 1 2∠OB A＝90°；根据等腰三角形的性质可知A B＝1，B A＝OA＝2，B A＝4，…，B A＝2 n n+1 1 1 2 2 2 3 3 n n n﹣1；根据勾股定理可得B B＝，B B＝2，…，B B＝2n 12 23 n n+1，再由面积公式即可求解；解：∵△A△B A、△A△B A…△A△B A 都是等边三角形，1 12 2 23 n n n+1∴A B∥A B∥A B∥…∥A B，B A∥B A∥B A∥…∥B A，△A△B A、△A△B A…△A△B A 都是等边三角形，1 12 23 3 n n 1 2 2 3 34 n n+1 1 1 2 2 2 3 n n n+1∵直线y＝x与x轴的成角∠B OA＝30°，∠OA B＝120°，1 1 1 1∴∠OB A＝30°，1 1∴OA＝A B，1 1 1∵A（1，0），1∴A B＝1，1 1同理∠OB A＝30°，…，∠OB A＝30°，2 2 n n∴B A＝OA＝2，B A＝4，…，B A＝22 2 23 3 n n n﹣1，易得∠OB A＝90°，…，∠OB A ＝90°，1 2 n n+1∴B B＝，B B＝2，…，B B＝2n，n n+11 2 2 3∴S＝×1×＝，S＝×2×2＝2，…，S＝×2n﹣1×21 2 nn＝。
2020年中考数学 中考试题精选 探索规律(含解答)-
探索规律型问题【解题指导】探索数、式、符号的变化规律；探究几何问题的结论——探索图形规律. 1、(2004浙江省嘉善县)用边长为1cm 的小正方形搭如下的塔状图形，则第n 次所搭图形的周长是 ___________cm （用含n 的代数式表示）．2、（2004年泰州市）观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n 个图中小黑点的个数为y ．图⑴ 填表：⑵ 当n ＝8时，y ＝__________.⑶ 根据上表中的数据，把n 作为横坐标，把y 作为纵坐标，在左图的平面直角坐标系中描出相应的各点（n,y ），其中1≤n ≤5.⑷ 请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？如果在某一函数的图象上，现在你能够写出该函数的解析式吗？【探索与交流】1、（金华市）观察一列数：3，8，13，18，23，28……依此规律，在此数列中比2000大的最小整数是_______________. 2、（舟山市）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 _____ . 3、一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，____,_____,____这串数是由小明按····· · · · · ·· · ······· · ·· · · · · · · · · · ·· ·· · · · · · ·· · · ·第1次 第2次 第3次 第4次 ······照一定规则写下来的,他第一次写下“0，1”,第二次按着写“2，3”,第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么这串数的最后三个数应该是下面的_____________A ．31，32，64;B ．31，62，63;C ．31，32，33;D ．31，45，46 4、（2004江苏省徐州市）下面的图形是由边长为l 的正方形按照某种规律排列而组成的．(1)观察图形，填写 下表：图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 图形的周长18(2)推测第n 个图形中，正方形的个数为________，周长为_______(都用含n 的代数式表示)．(3)这些图形中，任意一个图形的周长与它所含正方形个数之间的函数关系式为______________________________.5、观察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4……请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来 .6、一个由数字1和0组成的2005位的数码，其排列规律是101101110101101110101101110……，其中“0”的个数为____________. 7、（扬州）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是13212021210123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么将二进制数2)1111(转换成十进制形式是数_______ .A 、8B 、15C 、20D 、308、观察下列算式：，221=， 422=，823=，1624=，3225=，6426=12827= ，25628=通过观察，用你所发现的规律写出98的末位数字是 .9、研究下列算式：1=12; 1+3=4=22; 1+3+5=9=32; 1+3+5+7=16=42; 1+3+5+7+9=25=52;…用代数式表示此规律（n 为正整数）1+3+5+7+……+（2n-1）=______________________.用文字语言表述是：____________________________________.10、观察下面几个算式，你发现了什么规律： 1+2+1=4; 1+2+3+2+1=9;1+2+3+4+3+2+1=16; 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25;……利用上面的规律，你能不能迅速算出1+2+3+……+99+100+99+……+3+2+1=_____11、（山西省）联欢会上，小红按照4个红气球、3个黄气球、2个绿气球的顺序把气球串起来装饰会场，第56个气球的颜色是 .12、（大连市）借助计算器可以求得2222222243,4433,444333,44443333++++……，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想2220032003444+333=L L个个_______________；13、将一边长为16厘米的正方形纸片，剪成四个大小一样的小正方形，然后将其中的一个再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环下去，剪6次一共剪出多少个小正方形？所剪得正方形个数S和所剪次数n有什么关系？用数学表达式表示为．14、（山东省）下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：……经观察发现：图（2）比图（1）多2个“树枝”，图（3）比（2）多5个“树枝”，图（4）比（3）多10个“树枝”，照此规律，图（7）比（6）多出 _ 个“树枝”.15、（资阳市）如图，已知四边形ABCD是梯形（标注的数字为边长），按图中所示的规律，用2003个这样的梯形镶嵌而成的四边形的周长是___________.1211DCBA图5……16、（2004年十堰市）有一等腰直角三角形纸片,以它的对称轴为折痕,将三角形对折,得到的三角形还是等腰直角三角形(如图).依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次,所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（）A.21B.41C.81D.16117、（南昌市）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：（1）第四个图案中有白色地砖_________块；（2）第n个图案中有白色地砖___________块.18、（宁夏）一组线段AB和CD把正方……第10题图第三个第二个第一个A C AD CADBADC形分成形状相同、面积相等的四部分.现给出四种分法，如图所示.请你从中找出线段AB、CD的位置及关系存在的规律.符合这种规律的线段共有多少组？（不再添加辅助线和其它字母）19、（吉林）如图所示，用用样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示）；(2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数关系式（不要求写自变量n的取值范围）；……20、（黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0,可得结论h1+h2+h3＝h”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．n=1答案1、4n；2（1）21；（2）57；（3）略；（4）y=n2-n+1；1、2003；2、47；3、B；4、（1）13、28；18、38；（2）5n+3，10n+8；（3）C=2n+2；5、n2+n=n（n+1）；6、668；7、B；8、8；9、n2；10、1002；11、红；12、55…5（2003个）；13、19个；14、80个；15、6011；16、B；17、（1）18；（2）4n+2；18、AB ⊥CD，AB、CD交于正方形的中心；无数组；19、（1）n+3，n+2；（2）y=n2+5n+6；20、图（2）成立；图（3）不成立；过点P作BC的平行线，转化为图（1）；图（3）中结论：h1+h2-h3＝h。
2020年中考数学压轴题题型专练：规律探索题(含答案)
2020中考数学压轴题题型专练：规律探索题类型一数式规律1. 将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10；23，14，4，32，25；…若2的位置记为(1，2)，23的位置记为(2，1)，则38这个数的位置记为________．(4，4)【解析】∴当10n －2＝38时，n ＝4，∴38这个数的位置记为(4，4)． 2. 按一定规律排列的一列数：－12，1，－1， ，－911，1113，－1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．1 【解析】将原来的一列数变形为－12，33，－55， ，－911，1113，－1317，…，观察这列数可得奇数项为负数，偶数项为正数，分子是依次从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.3. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．－12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝ 22＋12，－103＝－32＋13，174＝ 42＋14，－265＝ －52＋15，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.4. 已知a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－a 1，a 3＝ 11－a 2，…，a n ＋1＝ 11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2018＝ ________(用含t 的代数式表示)． 1－t 【解析】根据题意得：a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－t t －1＝ 1－t ，a 3＝ 11－1＋t ＝ 1t ，a 4＝ 11－1t＝ t t －1， (2018)3＝ 672……2，∴a 2018的值为1－t . 5. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，…，这列数是由小明按照一定规律写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么30后三个连续数应该是________．31，62，63 【解析】通过观察可知，下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的2倍，在同一组数中的前后两个数相差1，由此可得30后三个连续数为31，62，63.类型二 图形累加规律1. 如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案中有5个菱形纸片，第2个图案中有9个菱形纸片，第3个图案中有13个菱形纸片，按此规律，第10个图案中有________个菱形纸片．第1题图41【解析】观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1＋1个菱形纸片，第2个图案有9＝4×2＋1个菱形纸片，第3个图案中有13＝4×3＋1个菱形纸片，…，第n个图形中有4n＋1个菱形纸片，故第10个图案中有4×10＋1＝41个菱形纸片．2. 如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第2题图n2＋n【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的正方形的个数为n(n＋1)＝n2＋n.3. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为________．第3题图85【解析】可以分两部分观察，上半部分小圆圈个数为：1＋2＋3＋…＋n ＋n＋1，下半部分小圆圈个数为n2，所以第⑦个图形小圆圈个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋72＝85.4. 如图是用棋子摆成的“T”字图案：从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．则摆成第n个图案需要________枚棋子．第4题图3n＋2【解析】观察图案可知，图案分成两部分，横向的横子数量依次为3，5，7，…，纵向的棋子数量依次为2，3，4，…，∴第n个图案棋子数量为2n＋1＋(n＋1)＝3n＋2.5. 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上(包括两个顶点)都摆有n(n≥3)盆花，每个图案中花盆总数为S，按照图中的规律可以推断S与n(n≥3)的关系是________．第5题图n2－n【解析】n＝3时，S＝6＝3×2，n＝4时，S＝12＝4×3，n＝5时，S ＝20＝5×4，…，依此类推，当边数为n时，S＝n(n－1)＝n2－n.类型三图形成倍递变规律1. 如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝33x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为()A. (32)2015 B. (32)2016C. (32)2017 D. (32)2018第1题图B【解析】由y＝33x，得直线l的倾斜角为30°，∵点A0坐标为(2，0)，∴OA0＝2，∴OA1＝32OA0＝3，OA2＝32OA1＝32，OA3＝32OA2＝334，OA4＝32OA3＝98，…，∴OA n＝(32)n OA0＝2×(32)n.∴OA2016＝2×(32)2016，A2016A2017＝12×2×(32)2016＝(32)2016.2. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．第2题图8，2n-1【解析】∵函数y＝x与x轴正半轴的夹角为45°，∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A(8，4)，∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n－1.3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2，…，如此操作下去，得到菱形I2016，则I2016的面积是________．第3题图(12)4033ab 【解析】由题意得，菱形I 1的面积为：12AG ·AE ＝12×12a ×12b ＝(12)3ab ，菱形I 2的面积为：12FQ ·FN ＝12×(12×12a )×(12×12b )＝(12)5ab ；…；菱形I n 的面积为：(12)2n ＋1ab .∴当n ＝2016时，菱形I 2016的面积为(12)4033ab .4. 如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以O 10为圆心，O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径长是________．第4题图29 【解析】如解图，作O 1C 、O 2D 、O 3E 分别⊥OB ，∵∠AOB ＝30°，∴OO 1＝2CO 1，OO 2＝ 2DO 2，OO 3＝2EO 3，∵O 1O 2＝DO 2，O 2O 3＝ EO 3，O 1C ＝1，∴O 2D ＝2，O 3E ＝4，∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On 的半径为2n －1CO 1，∵⊙O 1的半径为1，∴⊙O 10的半径长＝ 29.第4题解图类型四图形周期变化规律1. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)第1题图B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2018个梅花图案中，共有________个“”图案．第2题图505【解析】∵2018÷4＝504……2，∴有505个．3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．第3题图(0，21009)【解析】点B的位置依次落在第一象限、y正半轴、第二象限、x负半轴、第三象限、y负半轴、第四象限、x正半轴…，每8次一循环.2018÷8＝252……2，所以B2018落在y轴正半轴，故B2018的横坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，所以OB2018＝(2)2018＝21009，所以B2018的坐标为(0，21009)．4. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．第4题图(5，3)，(134633＋896)π 【解析】如解图，翻滚3次后点B 的对应点是B 3，作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝ 5，B 3E ＝ 3，B 3(5，3)，观察图象可知翻滚3次为一个循环，一个循环点M 的运动路径为MM 1︵、M 1M 2︵、M 2M 3︵，120 ·π ·3180＋120 ·π ·1180＋120 ·π ·1180＝23＋43π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672×23＋43π＋23π3＝ (134633＋896)π.第4题解图。
2020年中考数学二轮复习课件：专题五 规律探索题
S2
16
1234567
解析:∵S1=1������, ∴S2=-S1-1=-1������-1=-1+������ ������. ∴S3=���1���2=-1+������ ������, ∴S4=-S3-1=1+������ ������-1=-1+1 ������. ∴S5=���1���4=-1-a, ∴S6=-S5-1=a. ∴S7=���1���6 = 1������=S1,
������1������ ������2������1
2=43,
∴������△������2������3������1
=
3 4
������△������1
������2
������
.
19
1234567
解题知识解读
题型分类突破
素养训练提高
同理可得������△������3 ������4 ������2
2
解题知识解读
题型分类突破
素养训练提高
题型概述 方法指导
解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、
细致的观察、分析、比较,从中发现其变化的规律,并猜想出一般 性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用.
1.解决这类问题的关键是发现和把握规律.题目中呈现规律一般 有三种主要途径:
(1)式与数的特征观察. (2)图形的结构观察. (3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况. 2.规律探究的基本原则: (1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积 找积的规律. (2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找3个,发现规律,再 验证运用规律.
5
类型一
2020年中考人教版九年级数学专题复习 《规律探索》课件%28共15张PPT%29
方法一： 2=1×2 6=2×3 12 =3×4
n=
n=
n=
1
2
3
方法二： 2=1+1 6=4+2 12=9+3
n=
4
20=16+4
n2+n
黑瓷砖： 3×4-2=10 4×5-6=14 5×6-12=48 (n+2)(n+3)-n(n+1) =4n+6
课堂小结，凝练归纳
1. 规律题的分类： ➢ 数式规律 ➢ 图形变化规律 ➢ 点的坐标规律
2.规律题的分类： ➢ 数式规律 ➢ 图形变化规律 ➢ 点的坐标规律
知识梳理，融会贯通
1.奇偶数、平方数、等差数列等. 观察下列各数，并写出第n个数的公式：
①1,2,3,4,5,…， n ; ②2,3,4,5,…， n+1 ; 自然数n,n+1…
④1,3,5,7,9…， 2n-1 ; ⑤3,5,7,9…， 2n+1 ;
数式规律3：“整除法”.特点是n次是一个循环，利用总个数除以n，再找余数确定 最后一个数.
典例解析，能力提升
➢ 图形变化规律
例6 如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究在第5个图中，
黑瓷砖有 26 块，白瓷砖有 30 块. 第n个图中，黑瓷砖有 4n 6 块，白瓷砖有 n(n 1) 块.
典例解析，能力提升
➢ 图形变化规律
例4 （1）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组
成，…，根据这些规律，则第2020个图案中是由 6061 个基础图形组成． 3×2020+1
中考数学专题复习— 探索规律问题 完整版 后附真题剖析
解:(1)观察图 1 可知:中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形, 所以每增加一块正方形地砖,等腰直角三角形地砖就增加 2 块.故答案 为 2. (2)观察图形 2 可知:中间一个正方形的左上、左边、左下共有 3 个等 腰直角三角形,它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形,右边还有 1 个等腰直角三角形,即 6=3+2×1+1=4+2×1;图 3 和图 1 中间正方形右 上和右下都对应了两个等腰直角三角形,均有与图 2 一样的规律,图 3:8=3+2×2+1=4+2×2;归纳得:4+2n(即 2n+4); ∴若一条这样的人行道一共有 n(n 为正整数)块正方形地砖,则等腰直
中考数学专题复习
许多事物都存在着一定的规律性，只 要我们善于观察、勤于思考，就可以发现 它们，并利用它们来丰富我们的生活。
●解题思路
一、数字规律
例1
请你按照如下的数字规律,分别
写出第n个数字：（n为正整数）
① ②③ ④ ⑤
n
（1）2,4,6,8,10, … , _2_n__;
（2）1,3,5,7,9, … , 2n-1
一、选择题
1.平面上不重合的两点确定一条直线,不同三点最多可确定 3 条直线,
若平面上不同的 n 个点最多可确定 21 条直线,则 n 的值为 ( C )
A.5
B.6 C.7 D.8
2.(2021 山东临沂)实验证实,放射性物质在放出射线后,质量将减少,
减少的速度开始较快,后来较慢,实际上,物质所剩的质量与时间成某
•即时演练•
1.(2020 天水)观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已
2020中考数学专题复习规律探索性专题
规律探索型专题 山西 武玉梅规律探索型问题是近年来中考的热点之一，重点考查学生的观察分析能力和归纳概括能力，常以选择题或填空题的形式出现.此类题一般是先给出一列数或一列图形的前几项，让学生通过观察分析，猜想验证，找到其中隐含的规律，然后运用所发现的规律解决问题，体现了由特殊到一般的思想方法. 一、探究数（数组或数表）的排列规律例1（2018·天水）按一定的规律排列的一组数：12，16，112，120…1a ，190，1b…（其中a ，b 为整数），则a+b 的值为（ ）A .182B .172C .242D .200分析：要求a+b 的值，只需求得a ，b 的值即可.观察得该数组中的分子均为1，因此要解决问题，需找出各分母之间的隐含规律.解：观察该数组，得12=112⨯，16=123⨯，112=134⨯，120=145⨯…1a ，190=1910⨯，1b，… ∴1a =189⨯，1b =11011⨯. ∴a =72，b =110. ∴a +b =182. 故选A.例2（2018·淄博） 将从1开始的自然数按以下规律排列.例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是______________.解析：由已知数的排列规律，知第1行第1列的数是12，第2行第1列的数是22，…，第3行第1列的数是32，因此第45行第1列的数是452=2025，第8列的数是245-7=2018.点评：本题考查连续自然数的排列规律，发现第1列中的数与所在行的行数的关系是解题的关键. 例3 （2018·桂林）将从1开始的连续自然数按下表规律排列：规定位于第m 行、第n 列的自然数记为（m ，n ），如：自然数8记为（2，1），自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2），…，按此规律，自然数2018记为 .解析：根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列，偶数行的数字从左往右是由大到小排列.∴2018÷4=504......2，504+1=505， ∴2018在第505行.……………∴第505行的数字从左往右是由小到大排列，∴自然数2018记为（505，2）.跟踪训练：1.（2018·梧州）按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，则这列数中的第100个数为（）A.9999B.10 000C.10 001D.10 0022.（2018·绵阳）将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29……按照以上排列的规律，第25行第20个数是（）A.639B.637C.635D.6333.（2018·雅安）有一列数：12，1，54，75，..，依照此规律，则第n个数为_______.4.（2018·枣庄）将从1开始的连续自然数按如下规律排列：则2018在第行.二、探究式（算式）的排列规律例4（2018·张家界）观察下列算式: 21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…，则2+22+23+24+25+…+22018的末位数字是( )A. 8B. 6C. 4D.0解析：观察给出的算式发现：2n的末位数字分别是2，4，8，6，每4个算式为一个循环.∴2018÷4=504…...2，∴22018的末位数字与22的末位数字相同，都是4.∴2+4+8+6=20，末位数字是0，∴21+22+23+24+25+…+22018的末位数字是2+4=6.故选B.跟踪训练：5.（2018·黔西南）根据下列各式的规律，在横线处填空：1111122+-=， 111134212+-=， 111156330+-=， 111178456+-=， ……1120172018+-_________=120172018⨯. 6.（2018·娄底）设a 1，a 2，a 3，…是一列正整数，其中a 1表示第一个数，a 2表示第二个数，以此类推，a n 表示第n 个数（n 是正整数）.已知a 1=1，4a n =（a n+1-1）2-（a n -1）2，则a 2018= .7.（2018·成都）已知a ＞0，S 1=1a ，S 2=-S 1-1，S 3=21S ，S 4=-S 3-1，S 5=41S ，…（即当n 为大于1的奇数时，S n =11n S -；当n 为大于1的偶数时，S n =-S n-1-1），按此规律S 2018= （用含a 的代数式表示）.三、探究图形的排列规律 例5（2018·重庆）图1中的图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（ ） A.11 B.13 C.15 D.17图1 解析：观察图形知：第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5=3+2张黑色正方形纸片， 第③个图中有7=3+2×2张黑色正方形纸片， …...故第⑥个图中有3+2×5=13张黑色正方形纸片，故选B ． 例6（2018·绥化）将一些圆按照如图2所示的方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆，…，按此规律排列下去，则前50行共有 个圆.图2解析：∴第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆，… ∴第n 行有2n 个圆.∴前50行共有圆2+4+6+ (100)21002+⨯（）50=2550（个）.跟踪训练： 8.（2018·遵义）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为_____个.第8题图 9.（2018·随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10） 和“正方形数”（如1，4，9，16），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m ，最大的“正方形数”为n ，则m+n 的值为 （ ）A.33B. 301C.386D.571第9题图四、探究坐标与图形的变化规律例7（2018·衢州）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a 个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a ，θ）变换.如图3，等边∴ABC 的边长为1，点A 在第一象限，点B 与原点O 重合，点C 在x 轴的正半轴上，∴A 1B 1C 1就是∴ABC 经γ（1，180°）变换后所得的图形.若∴ABC 经γ（1，180°）变换后得到∴A 1B 1C 1，∴A 1B 1C 1经γ（2，180°）变换后得到∴A 2B 2C 2，∴A 2B 2C 2经γ（3，180°）变换后得到∴A 3B 3C 3，...，以此类推，∴A n-1B n-1C n-1经γ（n ，180°）变换后得到∴A n B n C n，第5层第4层第3层第2层第1层则点A 1的坐标为 ，点A 2018的坐标为 .图3解析：由图形的γ（a ，θ）变换的定义可知，图形的γ（n ，180°）变换就是先进行向右平移n 个单位，再关于原点作中心对称变换.∴ABC 经γ（1，180°）变换后得到∴A 1B 1C 1，点A 1 的坐标为（-32，）； ∴A 1B 1C 1经γ（2，180°）变换后得到∴A 2B 2C 2，点A 2的坐标为（-12）；∴A 2B 2C 2经γ（3，180°）变换后得到∴A 3B 3C 3，点A 3的坐标为（-52，）； ∴A 3B 3C 3经γ（4，180°）变换后得到∴A 4B 4C 4，点A 4的坐标为（-32）；∴A 4B 4C 4经γ（5，180°）变换后得到∴A 5B 5C 5，点A 5的坐标为（-72，）； ∴A 5B 5C 5经γ（6，180°）变换后得到∴A 6B 6C 6，点A 6的坐标为（-52）；……观察可发现规律，点A n 的纵坐标为（-1）n23. 当n 为奇数时，点A n 的横坐标为-22n ； 当n 为偶数时，点A n 的横坐标为-21-n . 2018是偶数，故点A 2018的坐标为（-20172）.点评：本题是规律探究题，又是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的γ（a ，θ）变换的定义，发现连续变换后点的横纵坐标各自存在不同的规律，需要分别来研究.跟踪训练：10.（2018·广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O 出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1 m ，其行走路线如图所示.第1次移动到A 1，第2次移动到A 2，…，第n 次移动到A n ，则∴OA 2A 2018的面积是（ ）A.504 m 2B.10092m 2C.10112m 2D.1009 m 2第10题图11.（2018·威海）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，2），以点O 为圆心、OA 1长为半径画弧，交直线y=21x 于点B 1，过点B 1作B 1A 2∴y 轴，交直线y=2x 于点A 2，以点O 为圆心、OA 2长为半径画弧，交直线y=21x 于点B 2；过点B 2作B 2A 3∴y 轴，交直线y=2x 于点A 3，以点O 为圆心、OA 3长为半径画弧，交直线y=21x 于点B 3；过B 3点作B 3A 4∴y 轴，交直线y=2x 于点A 4，以点O 为圆心、OA 4长为半径画弧，交直线y=21x 于点B 4；…；按照此规律进行下去，点B 2018的坐标为_________.第11题图 答案：1.A2.A3.211n n -+ 4.45 5.110096.40357.-1aa + 8.40359.C 10.A 11.（22018，22017）。
2020年中考数学专题复习五：规律探索 课件(共20张PPT)
图10
类型 4 函数图形规律
广东真题 3.(2018 广东)如
图 11，已知等边三角形 OA1B1，
顶点 A1 在双曲线 y＝ x3(x＞0)上,
点 B1 的坐标为 (2,0)．过 B1 作
图11
B1A2∥OA1 交双曲线于点 A2，过 A2 作 A2B2∥A1B1 交 x
轴于点 B2，得到第二个等边三角形 B1A2B2；过 B2 作
训练 1.(2019百色)观察一列数：－3,0,3,6,9, 12，…，按此规律，这一列数的第21个数是
___5_7__.
2．一组按规律排列的式子：a2，a34，a56，a78, …， a4 040
则第2 020个式子是___4__0_3_9___.
3．如图1，各三角形中的三个数之间均有相同 的规律，根据此规律，当图中m＝90时，正整 数n的值为__9___.
图6
类型 3 几何变化规律
训练 8.如图7，先画一个边长为1的正方形， 以其对角线为边画第二个正方形，再以第二个 正方形的对角线为边画第三个正方形，…，如 此反复下去，那么第2 019个正方形的对角线 长为_(__2_)2_0_19__.
图7
9．如图 8，在△ABP1 中，BP1⊥AP1，AP1＝2， ∠A＝30°，且 P1Q1⊥AB，P2Q1⊥AP1，…，PnQn⊥AB，
广东真题 2.(2019广东)如图2所示的图形是一 个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图 所示，小明按图3所示方法玩拼图游戏，两两 相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样 的图形(图2)拼出来的图形的总长度是 ____a_＋_8_b____.(结果用含a，b的代数式表示)
图2
图3
训练 5.(2019天水)如图4，观察下列图中所示 的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依 照此规律，第2 019个图形中共有___6_0_5_8 ____ 个〇.
(全国120套)2020年中考数学试卷分类汇编 规律探索题
（全国120套）2020年中考数学试卷分类汇编规律探索题1、〔绵阳市2019年〕把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：〔1〕，〔3，5，7〕，〔9，11，13，15，17〕，〔19，21，23，25，27，29，31〕，…，现用等式A M=〔i，j〕表示正奇数M是第i组第j个数〔从左往右数〕，如A7=〔2，3〕，那么A2019=〔 C 〕A、〔45，77〕B、〔45，39〕C、〔32，46〕D、〔32，23〕［解析］第1组的第一个数为1，第2组的第一个数为3，第3组的第一个数为9，第4组的第一个数为19，第5组的第一个数为33……将每组的第一个数组成数列：1，3，9，19，33……分别计作a1,a2,a3,a4,a5……a n， a n表示第n组的第一个数，a1 =1a2 = a1+2a3 = a2+2+4×1a4 = a3+2+4×2a5 = a4+2+4×3……a n = a n-1+2+4×(n-2)将上面各等式左右分别相加得：a n=1+2(n-1)+4(n-2+1)(n-2)/2=2n2-4n+3 (上面各等式左右分别相加时，抵消了相同部分a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …… + a n-1)，当n=45时，a n = 3873 > 2019 ,2019不在第45组当n=32时，a n = 1923 < 2019 ,(2019-1923)÷2+1=46, A2019=(32,46).如果是非选择题：那么2n2-4n+3≤2019，2n2-4n-2018≤0，假如2019是某组的第一个数，那么2n2-4n-2018=0，解得n=1+ 1006 ,31<1006 <32,32<n<33, 2019在第32组，但不是第32组的第一个数，a32=1923, (2019-1923)÷2+1=46.(注意区别a n和A n)2、〔2019济宁〕如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，那么平行四边形AO4C5B的面积为〔〕A、 cm2B、 cm2C、cm2D、cm2考点：矩形的性质；平行四边形的性质．专题：规律型．分析：根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．解答：解：设矩形ABCD的面积为S=20cm2，∵O为矩形ABCD的对角线的交点，∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的，∴平行四边形AOC1B的面积=S，∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，∴平行四边形AO1C2B的面积=×S=，…，依此类推，平行四边形AO4C5B的面积===cm2．应选B、点评：此题考查了矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分的性质，得到下一个图形的面积是上一个图形的面积的是解题的关键．3、(2019年武汉)两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么六条直线最多有〔〕A、21个交点B、18个交点C、15个交点D、10个交点答案：C解析：两条直线的最多交点数为：12×1×2＝1，三条直线的最多交点数为：12×2×3＝3，四条直线的最多交点数为：12×3×4＝6， 所以，六条直线的最多交点数为：12×5×6＝15，4、〔2019•资阳〕从所给出的四个选项中，选出适当的一个填入问号所在位置，使之呈现相同的特征〔 〕正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，假设要得到2019个正方形，那么需要操作的次数是〔 〕解答以下问题：3+32+33+34…+32019的末位数字是〔〕A、0B、1C、3D、7考点：尾数特征．分析：根据数字规律得出3+32+33+34…+32019的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3进而得出末尾数字．解答：解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…∴末尾数，每4个一循环，∵2019÷4=503…1，∴3+32+33+34…+32019的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3的末尾数为3，应选：C、点评：此题主要考查了数字变化规律，根据得出数字变化规律是解题关键．7、〔2019•德州〕如图，动点P从〔0，3〕出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2019次碰到矩形的边时，点P的坐标为〔〕图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需〔〕根火柴．11、〔2019•孝感〕如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，那么第6个五边形数是51 ．线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，假设将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2019个点在射线OC 上．3﹣2=18+7﹣6﹣5=415+14+13﹣12﹣11﹣10=924+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16…轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……如此进行下去，直至得C13．假设P〔37，m〕在第13段抛物线C13上，那么m =_________．答案：2解析：C1：y＝－x(x－3)〔0≤x≤3〕C2：y＝〔x－3〕(x－6)〔3≤x≤6〕C3：y＝－〔x－6〕(x－9)〔6≤x≤9〕C4：y＝〔x－9〕(x－12)〔9≤x≤12〕┉C13：y＝－〔x－36〕(x－39)〔36≤x≤39〕，当x＝37时，y＝2，所以，m＝2。
2019-2020年中考数学规律探索型(几何类) 问题解决浅见
⑴ 1+8=?1+8+16=?⑵ ⑶ 1+8+16+24=?……2019-2020年中考数学规律探索型（几何类） 问题解决浅见中考数学规律探索型问题的解决体现了新课程下数学中考命题的新尝试，是近几年来中考的热点、重点和难点，需要敏锐的观察力、严密的逻辑推理能力和一定的计算能力。
为培养这方面的能力，本人以几何图形的问题为例，从哪些方面来观察思考，观察发现规律，并利用规律从特殊到一般和从一般到特殊的办法来解决几何类规律探索型问题。
一、 规律明显 数数看看定有发现例1、如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n 幅图中共有 个。
解析：方法 ：一数。
在数字中发现。
在开始的几幅图中把所要的问题分别数字记载，如1、3、5、7 、… ，发现奇数规律排列，猜想最终结果为2n-1 ；二看。
发现图形规律和结果数字规律。
直接由图序排列发现大小菱形逐次各自多1，得出所要的结果是：1、1+2、1+2+2、1+2+2+2、… ，再发现是1加上若干个2 组成，2的多少与序列号少1，于是得1+2（n-1）即2n-1 。
例2、观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+……+8n （n 是正整数）的结果为 （ ）。
解析：是图形规律与数字规律结合的问题，与上述比较多了个数字条件规律，探究数字规律结果。
方法：在开始的几幅图中发现图形及图形所对应的算式之间的关系，即：图形中小正方形的个数是图形所对应的算式的数值结果；然后可直接由图形的规律发现结果或在数字形式（原式或变形式或运算结果）发现结果。
如在图形的规律发现结果为3、5、7、…、的平方；在原式数字形式发现结果为1加上若干个含8的倍数的项的和，于是变形为1+8（1+2+3+ … + n ）;在运算结果数字规律9、25、47、81 …中发现为3、5、7、… 、的平方。
归纳方法：这类给定的图形或数字规律及寻找的数字规律容易发现，通过一看二数三变的方法即可解决问题。
2020年中考数学选择填空压轴题汇编规律探索含解析
2020年中考数学选择填空压轴题汇编：规律探索1.（2020甘肃天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【解答】解：∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故选：A．2．（2020贵州铜仁）观察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝m（2m﹣1）（结果用含m的代数式表示）．【解答】解：∵220＝m，∴220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．3．（2020黑龙江鹤岗）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标2×32020﹣1，32020．【解答】解：∵点B坐标为（1，1），∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2（17，9），同理可得B4（53，27），B5（161，81），…由上可知，Bn（2×3n﹣1，3n），∴当n＝2020时，Bn（2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．4.（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．【解答】解：∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为2，∴第2个等腰直角三角形的面积4＝22，∵A4（10，4），∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，∴第3个等腰直角三角形的面积8＝23，…则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．5．（2020黑龙江绥化）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是119 ．【解答】解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，……∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．故答案为：119．6.（2020•湖北鄂州）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…B n在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．（2，0）B．（0，）C．（0，）D．（0，2）【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，∵A1（1，1），∴OB1＝2，设A2（m，2+m），则有m（2+m）＝1，解得m1，∴OB2＝2，设A3（a，2n），则有n＝a（2a）＝1，解得a，∴OB3＝2，同法可得，OB4＝2，∴OB n＝2，∴B n（0，2）．故选：D．7．（2020湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C （1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C 的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为（﹣1，8）．【解答】解：由题意得，作出如下图形：N点坐标为（﹣1，0），N点关于A点对称的N1点的坐标为（﹣3，0），N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），N2点关于C点对称的N3点的坐标为（﹣3，8），N3点关于A点对称的N4点的坐标为（﹣1，8），N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，﹣4），N5点关于C点对称的N6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6＝336……4，即循环了336次后余下4，故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，8）．8．（2020湖北仙桃）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2020的横坐标为21010．【解答】解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上，∴P1（1，1），∵P1P2∥x轴，∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，∵P2在直线y x上，∴1x，∴x＝﹣2，∴P2（﹣2，1），即P2的横坐标为﹣2＝﹣21，同理，P3的横坐标为﹣2＝﹣21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝﹣23，P7＝﹣23，P8＝24…，∴P4n＝2，∴P2020的横坐标为221010，故答案为：21010．9.（2020湖南常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．10.（2020湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是（0，﹣22019）．【解答】解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OP n＝2n﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．11.（2020湖南怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2，0）．【解答】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），把B1（t，t）代入y得t•t，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D m，则B2的坐标表示为（2+m，m），把B2（2+m，m）代入y得（2+m）m，解得m1或m1（舍去），∴A1D，A1A2，OA2，∴A2（，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2n，n），把B3（2n，n）代入y得（2n）•n，∴A2E，A2A3，OA3，∴A3（，0），综上可得：A n（，0），故答案为：．12.（2020湖南湘西州）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是A1N＝A n M，∠NOA n．【解答】解：∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也有类似的结论是A1N＝A n M，∠NOA n．故答案为：A1N＝A n M，∠NOA n．13．（2020山东德州）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148 B．152 C．174 D．202【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．14．（2020山东菏泽）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝5050（个），其中写有“心”字的正方体有100个，∴抽到带“心”字正方体的概率是，故选：D．15．（2020山东威海）如图①，某广场地面是用A，B，C三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作（1，1），第二块（B型）地砖记作（2，1）…若（m，n）位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条件是m、n 同为奇数或m、n同为偶数．【解答】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数．故答案为m、n同为奇数或m、n同为偶数．16．（2020山东潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是4039π．【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，AD n﹣1＝AA n＝4（n﹣1）+1，BA n＝BB n＝4（n﹣1）+2，故的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，的弧长．故答案为：4039π．17．（2020四川达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是（﹣1，1）；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为S k，则S1＝，S1+S2+S3+…+S100的值为．【解答】解：∵直线11：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；∵直线12：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．∵直线11：y＝kx+k+1与x轴的交点为（，0），直线12：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（，0），∴S K||×1，∴S1；∴S1+S2+S3+…+S100[][（1）+（）+…+（）]（1）．故答案为（﹣1，1）；；．18．（2020四川遂宁）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若．（n为正整数），则n的值为4039 ．【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，∴a n＝n（n+1），∵，∴，∴2×（1），∴2×（1），1，解得n＝4039，经检验：n＝4039是分式方程的解，故答案为：4039．19．（2020四川自贡）如图，直线y x+b与y轴交于点A，与双曲线y在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4，前25个等边三角形的周长之和为60 ．【解答】解：设直线y x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y x+b，∴当y＝0时，x b，即点D的坐标为（b，0），当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝﹣b，OD b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO，∴∠ADO＝60°．∵直线y x+b与双曲线y在第三象限交于B、C两点，∴x+b，整理得，x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2k，即EB•FC k，∵cos60°，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC k＝16，解得：k＝4．由题意可以假设D1（m，m），∴m2•4，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，n），∵（4+n）•n＝4，解得n＝22，∴E1E2＝44，即第二个三角形的周长为1212，设D3（4a，a），由题意（4a）•a＝4，解得a＝22，即第三个三角形的周长为1212，…，晨鸟教育∴第四个三角形的周长为1212，∴前25个等边三角形的周长之和12+1212+1212121212121260，故答案为4，60．Earlybird。
中考数学总复习(辽宁专用)拉分题训练课件规律探索问题
6*.(2020·内江)如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，0)，直线l：y＝
3 3
x＋
3 3
与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，
交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l
于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，……，以此类推，则点A2020的纵坐标 22020－1
3 2
，
0)，B(0，2)，则点B2020的坐标是( D ) A．(6052，0) B．(6054，2)
C．(6058，0) D．(6060，2)
1．(2020·阜新10题3分)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正
六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBiCiDiEi，则
6．(2020·齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿 x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角 三角形．第一次滚动后点A1(0，2)变换到点A2(6，0)，得到等腰直角三角形 ②；第二次滚动后点A2变换到点A3(6，0)，得到等腰直角三角形③；第三次 滚动后点A3变换到点A4(10，4 2 )，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后 点A4变换到点A5(10＋12 2 ，0)，得到等腰直角三角形⑤；依此规律，…， 则第2020个等腰直角三角形的面积是__2_2_0_20__．
8．(2020·铜仁)观察下列等式： 2＋22＝23－2； 2＋22＋23＝24－2； 2＋22＋23＋24＝25－2； 2＋22＋23＋24＋25＝26－2； … 已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239， 240 ， 若 220 ＝ m ， 则 220 ＋ 221 ＋ 222 ＋ 223 ＋ 224 ＋ … ＋ 238 ＋ 239 ＋ 240 ＝ ___m_(_2_m__－__1_) _____(结果用含m的代数式表示).
通用版2020年中考数学二轮复习专题：规律探索问题
， A2 1,0 ，
33
同理可得 A3 ,
，
22
A4 2,0 ，
A5 5 ,
3
，
22
A6 3,0 ，
73
A7 ,
，
22
由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每
2019 ÷ 6=336 …，３
A2019
2019 ， 3 22
6 个点依次为： 3 ,0, 3 ,0, 10 【解析】根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个． 第 2 幅图中有 2×２﹣ 1＝ 3 个． 第 3 幅图中有 2×３﹣ 1＝ 5 个． 第 4 幅图中有 2×４﹣ 1＝ 7 个．
…． 可以发现，每个图形都比前一个图形多
2 个．
故第 n 幅图中共有（ 2n﹣ 1）个． 当图中有 2019 个菱形时，
（ 1）写出第 6 个等式：
；
（ 2）写出你猜想的第 n 个等式：
( 用含 n 的等式表示 )，并证明 .
1．【答案】 B
【解析】 1, 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4 ， … ，可写为：
1 12 123 1 234 , , , , , , , , , ，…，
12 1 3 2 1 4 3 2 1
2n﹣ 1＝ 2019 n＝ 1010， 故答案为 1010
【点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规 律．
4．【答案】 3
【解析】 2019 4 504 3 ， 故第 2019 个图案中的指针指向与第 3 个图案相同， 故答案为： 3
【点睛】
本题考查了图形的变化类，学生通过特例分析从而归纳总结出规律是解决问题的关键．
2020年中考数学考点分类讲解-规律探索性问题(含解析)
读完以上材料，请你计算下列各题： (1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）； (2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________． 分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法 进行简化计算，从而得到公式1 2 2 3 3 4 n (n 1)
三．考点精讲 考点一：数与式变化规律
通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一 般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各 部分的特征，改写成要求的规律的形式。
1,3 5 , 7 , 9 L 例1. 有一组数： 2 5 10 17 26 ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n（n
A．29
B．30 C．31
D．32
分析：有图个可以Biblioteka 出以后每行的点数增加2，前n行点数和也就是前n个偶数的和。
解答：解：设前n行的点数和为s．
(2n 2)n 则s=2+4+6+…+2n= 2 =n（n+1）．
若s=930，则n（n+1）=930． ∴（n+31）（n﹣30）=0． ∴n=﹣31或30．故选B．
2020年中考数学考点分类讲解
规律探索性问题
第一部分 讲解部分
一．专题诠释
规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现 题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文 字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息 的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年中考数学复习精选练习
专题5规律探索型问题
一、选择题
1．a是不为1的有理数，我们把
1
1－a
称为a的
差倒数，如2的差倒数为
1
1－2
＝－1，－1的差倒数
1
1－（－1）＝
1
2，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3
是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，a2019的值是( D )
A．5 B．－1
4C．
4
3D．
4
5
2．(2019·台湾)公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有40个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？( A )
A．84 B．86 C．160 D．162
3．(2019·武汉)观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律
排列的一组数：250，251，252，…，299，2100.若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是( C )
A．2a2－2a B．2a2－2a－2
C．2a2－a D．2a2＋a
4．(2019·河南)如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为( D )
A．(10，3) B．(－3，10)
C．(10，－3) D．(3，－10)
5．(2019·张家界)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是( A)
A．(
2
2，－
2
2) B．(1，0)
C．(－
2
2，－
2
2) D．(0，－1)
6．(2019·菏泽)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是( C )
A．(1010，0) B．(1010，1)
C．(1009，0) D．(1009，1)
二、填空题
7．观察一列数：－3，0，3，6，9，12……按此规律，这一列数的第21个数是__57__．
8．已知一列数a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a ＋5b……按照这个规律写下去，第9个数是__13a＋21b__．
9．(2019·攀枝花)正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝kx＋b(k＞0)和x 轴上．已知点A1(0，1)，点B1(1，0)，则C5的坐标是
__(47，16)__．
10．(2019·连云港)如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向(图中箭头方向)标注各等分点的序号0，1，2，3，4，5，6，7，8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始，按顺时针方向)，如点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B 的坐标可表示为(4，1，3)，按此方法，则点C的坐标可表示为__(2，4，2)__．
三、解答题
11．(2019·自贡)阅读下列材料：小明为了计算1＋2＋22＋…＋22017＋22018的值，采用以下方法：设S＝1＋2＋22＋…＋22017＋22018①
则2S＝2＋22＋…＋22018＋22019②
②－①得2S－S＝S＝22019－1
∴S＝1＋2＋22＋…＋22017＋22018＝22019－1
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1)1＋2＋22＋…＋29＝________；
(2)3＋32＋…＋310＝________；
(3)求1＋a＋a2＋…＋a n的和(a＞0，n是正整数，请写出计算过程).
解：(1)设S＝1＋2＋22＋ (29)
则2S＝2＋22＋ (210)
②－①得2S－S＝S＝210－1∴S＝1＋2＋22＋…＋29＝210－1；
(2)设S＝3＋32＋33＋34＋…＋310①，则3S＝32＋33＋34＋35＋…＋311②，②－①得2S＝311－3，所
以S＝311－3
2，即3＋32＋33＋34＋ (310)
311－3
2；
(3)设S＝1＋a＋a2＋a3＋a4＋…＋a n①，则aS＝a ＋a2＋a3＋a4＋…＋a n＋a n＋1②，②－①得：(a－1)S＝a n＋1－1，a＝1时，不能直接除以a－1，此时原式等于n＋1；a不等于1时，a－1才能做分母，所以S＝
a n＋1－1 a－1，即1＋a＋a2＋a3＋a4＋…＋a n＝
a n＋1－1
a－1
.
12．(2019·北京)小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(i＋1)天背诵第二遍，第(i＋3)天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
(1)填入x3补全上表；
(2)若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为________；
(3)7天后，小云背诵的诗词最多为________首．
解：(1)
(2)∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴x 1≥4，x 3≥4，x 4≥4，∴x 1＋x 3≥8①，∵x 1＋x 3＋x 4≤14②，把①代入②得，x 4≤6，∴4≤x 4≤6，∴x 4的所有可能取值为4，5，6；
(3)∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x 1＋x 2≤14①， x 2＋x 3≤14②，x 1＋x 3＋x 4≤14③，x 2＋x 4≤14④，
① ＋②＋④－③得，3x 2≤28，∴x 2≤283
， ∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4≤283 ＋14＝703
， ∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4≤2313
， ∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首．。