高中数学人教A选择性必修一第一章 再练一课(范围：§1.1～§1.4)

3 A. 2
10 B. 10
3 C.5
√2
D.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐 标系， 则 D(0,0,0)，A(1,0,0)，M1，12，1，C(0,1,0)，N1，1，21， 则A→M＝0，21，1，C→N＝1，0，12， 因为A→M·C→N＝12，|A→M|＝ 25，|C→N|＝ 25， 所以 cos〈A→M，C→N〉＝25.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2)BC1∥平面CA1D.
证明 取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)， 所以E→D＝(0,1,1)， 又—BC→1 ＝(0，－2，－2)， 所以E→D＝－21—BC→1 ， 又ED和BC1不共线，所以ED∥BC1， 又DE⊂平面CA1D，BC1⊄ 平面CA1D， 故BC1∥平面CA1D.
角为
√A.60°
B.120°
C.30°
D.90°
解析
因为 cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝
2 2×2
2＝12，
所以〈m，n〉＝60°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，那 么直线AM与CN所成角的余弦值为
解析 因为 SA⊥底面 ABC，所以 SA⊥AC，SA⊥AB，所以A→S·A→B＝0 ， 又 AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以∠BAC＝45°，AC＝2 2. 因此A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos 45°＝2×2 2× 22＝4. 所以S→C·A→B＝(A→C－A→S)·A→B＝A→C·A→B－A→S·A→B＝4， 又 SA＝2 2 ，所以 SC＝ SA2＋AC2＝4， 因此 cos〈S→C，A→B〉＝|SS→→CC|·|AA→→BB|＝4×4 2＝21， 所以SC与AB所成角的大小为60° .
解析 如图建立空间直角坐标系， 令CE＝m，DF＝n， ∴B1(1,1,0)，E(m，1,1)，A(1,0,1)，F(0,0,1－n)，B(1,1,1)， ∴B→1E＝(m－1,0,1)，A→F＝(－1,0，－n)，A→B＝(0,1,0)， ∵B1E⊥平面 ABF，∴BB→→11EE⊥⊥AA→→FB， ， ∴－ 0＝m0，－1－n＝0， 即m＋n＝1，∴CE＋DF＝1.
由a为平面ABC的法向量知
a·A→B ＝0， a·A→C ＝0，
即 x－＋x－y＝y0－，2z＝0，
令x＝－1，则y＝1，∴y2＝1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为
5 A. 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9.如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC ＝BB1.
求证：(1)BC1⊥AB1；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
证明 如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)， C1(0,0,0)，D(1,1,2). 由于—BC→1 ＝(0，－2，－2)，—AB→1 ＝(－2,2，－2)， 因此—BC→1 ·—AB→1 ＝0－4＋4＝0， 因此—BC→1 ⊥—AB→1 ， 故BC1⊥AB1.
√3 5
B. 5
55 C. 5
11 D. 5
解析 因为a－b＝(－1－t，1－2t，0)，
所以|a－b|＝ 1＋t2＋1－2t2＝ 5t2－2t＋2，
由配方法可求得最小值为3
5
5 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.已知两平面的法向量分别为 m＝(0， 2，0)，n＝( 2， 2，2)，则两平面的夹
解析 以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图 所示的空间直角坐标系， 则 E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，E→B＝(1,0，－1)，E→C＝(1,1，－1). 设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)， 则有xx－＋zy＝－0z＝，0，
可取n＝(1,0,1). 又平面 EAD 的法向量为A→B＝(1,0,0)， 所以 cos〈n，A→B〉＝ 21×1＝ 22， 故平面ADE与平面BCE的夹角为45°.
D→B·n＝6y＝0， 则M→B·n＝43x＋3y－83z＝0， 解得y＝0，令x＝2，则z＝1，所以n＝(2,0,1).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
因为 cos〈P→A，n〉＝|PP→→AA|·|nn|＝4
4 2×
＝ 5
1100，
所以直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值为 1100.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2)求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解 如图，取AD的中点O，连接OE，则OE⊥AD. 因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD， 所以OE⊥平面ABCD. 取AB的中点F，连接OF，则OF∥BD. 因为BD⊥AD，所以OF⊥AD. 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则 D(－ 2，0,0)，C(－2 2， 2，0)，E(0,0， 2)， D→C＝(－ 2， 2，0)，D→E＝( 2，0， 2). 设平面CDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且AM＝12 MC1，N为 21
BB1的中点，则MN的长为___6__a_. 解析 以 A 为坐标原点，分别以A→B，A→D，A→A1为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立 空间直角坐标系(图略)， 则 M3a，a3，3a，Na，0，a2，所以M→N＝23a，－a3，a6， 所以|M→N|＝ 49＋19＋316a2＝ 261a.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7. 如 图 ， 在 三 棱 锥 S － ABC 中 ， SA⊥ 底 面 ABC ， AB⊥BC ， AB ＝ BC ＝ 2 ， SA ＝2 2，则SC与AB所成角的大小为___6_0_°___.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积是_6__5_. 解析 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－27，得 sin〈a，b〉＝375， 由公式 S＝|a||b|sin〈a，b〉可得结果为 6 5.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解 依题意可得 P21，12，21， 设点Q(0,1，z)(0≤z≤1)，则
|P→Q|＝ 122＋21－12＋21－z2＝ z－212＋21，
所以当 z＝12时，|PQ|min＝ 22，
此时Q，Q恰为CD的中点.
所以|PQ|的最小值为
第一章 空间向量与立体几何
基础巩固
1.已知A(1,5, －2)，B(2,4,1)，C(x，3，y＋2)，且A，B，C三点共线，则实数x，
y的值分别为
A.3，－3
√C.3,2
B.6，－1 D.－2,1
解析 A→B＝(1，－1,3)，A→C＝(x－1，－2，y＋4). ∵A，B，C 三点共线，∴x－1 1＝－ －21＝y＋3 4，∴x＝3，y＝2.
2 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
综合运用
11.在正方体ABCD －A1B1C1D1中，平面A1BD与平面BDC1夹角的余弦值等于 1
___3__.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 设正方体棱长为 1，以D→A，D→C，D→D1为单位正交基底建立如图所示的空 间直角坐标系 Dxyz. 求出平面A1BD与平面C1BD的法向量分别为 n1＝(1，－1，－1)，n2＝(－1,1，－1). ∴平面A1BD与平面BDC1夹角的余弦值 |cos〈n1，n2〉|＝||nn11|·|nn22||＝13.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线 为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在 正方体的棱CD上.当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ| 的最小值.
10 时，直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值是____1_0___.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 以 O 为坐标原点，O→A，O→B，O→P的方向分别为 x 轴，
y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则P→A＝(4,0，－4)，D→B＝(0,6,0)，A→B＝(－4,3,0). 当 λ＝21时，得 M－43，0，83，所以M→B＝43，3，－83. 设平面DBM的法向量为n＝(x，y，z)，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
14.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果 B1E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为__1___.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
12.直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝ 9，则点P 5
到斜边AB的距离是__3__.
解析 以C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如
图所示的空间直角坐标系.
则 A(4,0,0)，B(0,3,0)，P0，0，59， 所以A→B＝(－4,3,0)，A→P＝－4，0，95.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
16.如图，在四棱锥E－ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD， DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB＝4，BC＝CD＝EA＝ ED＝2. (1)证明：BD⊥平面AED；
证明 因为 BC⊥CD，BC＝CD＝2，所以 BD＝2 2. 又因为 EA⊥ED，EA＝ED＝2，所以 AD＝2 2. 又因为AB＝4，由勾股定理知BD⊥AD. 又因为平面EAD⊥平面ABCD， 平面EAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥平面AED.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(x，y，z)，且a
为平面ABC的法向量，则y2等于
A.2
B.0
√C.1
DHale Waihona Puke Baidu3
解析 A→B＝(1,1,0)，A→C＝(－1，－1，－2)，
所以点 P 到 AB 的距离为
|A→P|2－|A→P→·A→B|2＝3. |AB|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
13.如图，已知四棱锥 P－ABCD 的底面是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，OA ＝4，OB＝3，OP＝4，OP⊥底面 ABCD.设点 M 满足P→M＝λM→C(λ>0)，当 λ＝12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
拓广探究
15.如图，过边长为1的正方体ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，
则平面ADE与平面BCE夹角的大小是
A.120°
√B.45°
C.135°
D.60°
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16