chapter 2 人身保险的数理基础

例1：某人将3000元存入银行，复利的年利率为5%， 3年后的复利累积值是多少？
A（t）=3000×（1+5%）3=3472.875
例2：某人计划在5年后获得10000元，期望投资收益率 为10%，则此人现在应投资多少？
A-1（t）=10000/（1+10%）5=6209.21
2.2
利息理论
• 2.2.3 年金的计算 • —1、年金支付期等于利息结算期的确定年金
期末付年金： 现值A（n）=（1-Vn）/i 终值S （n）=（（1+i）n-1）/i V=1/（1+i）
例3：某保险公司计划每年年末提取20000元存入银行， 作为第五年末的一笔基金，若年利率为8%， 5年后积累的基金为多少？这笔基金的现值是多少？ 期初付年金： 现值A（n）=（1-Vn）/d d=i/（1+i） n 终值S （n）=（（ 1+i） -1）/d 例4：某人连续10年年初向银行存款2000元， 若按复利8.8%计息，求此人在第10年末可从 银行提取的资金金额。求此笔资金的现值是多少？
2.3
• 2.3.2
• 请将下表填写完整
生命表和生命函数
生命函数—平均余命
2.3
• 2.3.3
生命表和生命函数
生命表类型
• 国民生命表和经验生命表
• 国民生命表：根据全体国民或者特定地区人 口的死亡统计数据编制的生命表，主要来源 于人口普查的统计资料。如婴儿死亡率、平 均寿命、60岁以上人口的平均余命等。
2.2
• 2.2.1 •
利息理论
利息概述与度量 ----利息的计算方式
单利： A （t）=1+i× t
复利： A （t）=1 ×（1+i）t
2.2
• 2.2.1 •
利息理论融产品年利率为 6%，一年计息一次， 则实际利率与名义利 率都为6%。
实际利率:计算利息的期间长度与 基本时间单位一致，则资本在该 单位时间内获取利息的能力就是 实际利率，也称有效利率。
生命表和生命函数
生命表—结构
• lx：0岁者活到x岁的生存人数 • dx：0岁者在x岁与x+1岁之间死亡的人数 • px：x岁的人在年内生存的概率 • qx： x岁的人在年内死亡的概率 • 平均余命
2.3
• 2.3.2
生命表和生命函数
生命函数
• tpx：x岁者至少活到x+t岁的概率 • tqx：x岁者在x+t岁之前死亡的概率 • tdx：x岁的人在t年内死亡的人数 • lx： x岁的人在x岁和x+1岁之间所活的总年 数
4
(1 3%) 6

2.2
利息理论
• 2.2.3 年金的计算 • —2、年金支付期大于利息结算期的确定年金
例6：某保险公司计划每年年初提取1000元存入银行， 若年利率为6%，该笔资金每半年结息一次， 问3年后积累的基金为多少？这笔基金的现值是多少？
FV Sn 1000 (1 6% )2(3 0) 1000 (1 6% )2(3 1) 1000 (1 6% )2(3 2) 2 2 2 2 1000 (1 3%)6 1000 (1 3%)4 1000 （1 3%） (1 3%)6 1 2 1000 （ 1 3% ） (1 3%)2 1
PV Sn
1000 (1 3%) 2 1 3% 1 (1 3%) 6 1000 (1 3%)2 1

1000 1000 1000 2 1 2 2 (1 6% ) (1 6% ) (1 6% )2 3 2 2 2
• 选择生命表、最终生命表和总计生命表
• 总计生命表：根据被保险人在整个保险期限 内的死亡率数据编制的生命表。
2.3
• 2.3.3
生命表和生命函数
生命表类型
• 寿险生命表和年金生命表 • 保险公司在其实际业务中往往会根据投保人签订的 保险合同中寿险类型的不同而采取不同的保险费。 因为经验表明，购买年金保单者的死亡率是要低于 购买寿险保单者的死亡率。因为购买者在购买保单 时是以自身的死亡率与平均死亡率作比较而定的， 高则会考虑购买以死亡为给付条件的寿险保单，低 则会考虑购买年金保单。显然，如果用同一张生命 表去计算寿险保费和年金保费，不是对被保险人不 利就是对保险人不利。因此，精算师一般都基于这 一理由而分别编制了寿险生命表和年金生命表，这 样有利于业务的稳定。
d=（1-d(m)/m）m,一年期的实际贴现率与名义贴现率 的转化公式
2.2
• 2.2.2
利息理论
利率、贴现率以及现金流的现值与终值计算
已知利息率，求终值A（t） 已知利息率，求现值A-1（t） 已知贴现率，求终值A（t） 已知贴现率，求现值A-1（t）
2.2
• 2.2.2
利息理论
利率、贴现率以及现金流的现值与终值计算
2.2
期末付年金：
(1 i )nk 1 k FV AV (1 i )k 1 k
利息理论
• 2.2.3 年金的计算 • —2、年金支付期大于利息结算期的确定年金
PV AV
1 (1 i ) nk
k
(1 i )k 1
k
期初付年金：
FV AV
(1 i )nk 1
2.3
• 2.3.1
生命表和生命函数
生命表—生存模型
• T（x）:x岁人的余命，即x岁的人未来存活的时间 • Fx（t）:x岁人的余命，即x岁的人在t年内死亡的概 率 • Sx（t）:x岁人的余命，即x岁的人至少活到x+t的 概率
Sx(t)=1-Fx(t)=S0(x+t)/S (x)
0
2.3
• 2.3.1
名义利率:计算利息的期间长度与 某金融产品年利率为 基本时间单位不一致，则原来规 6%，半年计息一次， 定的以基本时间单位为基础的利 则名义利率为6%，实 率资本为名义利率，在该单位时 利率为 间内获取利息的能力就是实际利 （1+6%/2）2-1 率，也称有效利率。 1+i=（1+i(m)/m）m,一年期的实际利率i与名义利率i(m) 的转化公式
期初付年金： 某人每年年末将1000元存入银行，年利率为8%， 连续存5年，每个季度结息一次，请问该笔资金 的终值和现值分别为多少？
2.3
• 2.3.1 • 2.3.2 • 2.3.3 • 2.3.4
生命表和生命函数
生命表 生命函数 生命表的类型 生命表的编制
2.3
生命表和生命函数
• 2.3.1 生命表—概念 • 生命表又称死亡表，对一定时期 某一国家或某一地区的特定人群 自出生直至全部死亡这段时间内 的生存和死亡情况的记录，刻画 了整数年龄的人在整数年内生存 或死亡的情况
2.2
利息理论
• 2.2.3 年金的计算 • —2、年金支付期大于利息结算期的确定年金
例5：某保险公司计划每年年末提取1000元存入银行， 若年利率为6%，该笔资金每半年结息一次， 问3年后积累的基金为多少？这笔基金的现值是多少？
FV Sn 1000 (1 6% )2(3 1) 1000 (1 6% )2(3 2) 1000 (1 6% )2(3 3) 2 2 2 1000 (1 3%)4 1000 (1 3%)2 1000 (1 3%)6 1 1000 (1 3%)2 1
2.1
• 2.1.1
人身保险精算概论
人身保险精算的概念
根据投保人的经 济收入、家庭状 况、生活水平和 缴费能力确定
保险金额 保险险种 保险期限 保险金给付方式 保险费缴纳方式
保险精算的 数理原理
保险费
保险责任准备金
2.1
• 2.1.2
人身保险精算概论
寿险精算的起源
1693年，英国数学家爱德华哈雷编制了 世界世界上第一个完整的死亡表（生命表）
PV Sn 1000 1000 1000 2 1 2 2 (1 6% ) (1 6% ) 2 2
2 1000 1 (1 3%)

1
3%
4

6 1 (1 3%) 2 1000 (1 3%) 2 (1 3%) 1
• 国民生命表和经验生命表
• 经验生命表：是多家人寿保险公司对被保险 人以往的死亡数据所编制的生命表。
2.3
• 2.3.3
生命表和生命函数
生命表类型
• 选择生命表、最终生命表和总计生命表
• 选择生命表：经过选择的被保险人的死亡表。
• 选择生命表、最终生命表和总计生命表
• 最终生命表：剔除了被保险人投保后5-15年 的经验数据，即是根据被保险人最终的死亡 率编制生命表，也即是按照承保选择的影响 消失后的死亡率来编制生命表
2.3
• 2.3.2
生命表和生命函数
生命函数—平均余命
• 简约平均余命ex：表示x岁的人可能生存的整年 数，若果x岁的人数为lx，那么第一年末生存人 数为lx+1，换言之就是lx个人共活了lx+1，以 此类推，至lx人全部死亡时他们共活了l（x+1） + l（x+2）+…，所以平均每个人存活的整数年 龄为 完全平均余命：表示x岁的人可能生存的平均 时间，包括不满1年的月份数。 完全平均余命与简约平均余命之间的关系： 完全平均余命=简约平均余命+1/2
中心极限定理与寿险精算
2.2
利息理论
• 2.2.1 利息概述与度量 • 2.2.2 利率、贴现率以及现金流 的现值与终值计算 • 2.2.3 年金的计算
2.2
• 2.2.1 •
利息理论