固体物理练习(2011)附答案

一、简要回答以下问题：(每小题6分，共30分)1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。

解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。

非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。

准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。

另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。

2.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。

解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与7r 成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O ，F ，N 等）相结合形成的。

该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol 。

3. 什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为)(q w j 的声子平均数为11)()/()(-=T k q w j B j eq n对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。

4. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。

考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。

其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。

如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。

5. 金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。

根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

6、简立方基本特征：晶胞常数为a ，包括一个原子，半径为r ，点阵内最近原子距离为a ，配位数为6。

故r a 2=，则致密度为：334/30.526r a ππ== 7、面心立方基本特征：晶胞常数为a ，包括四个原子，半径为r ，点阵内最近原子距离为a 22，配位数为12。

故r a 222=，则致密度为：334(4/3)0.74r a π⨯==8、体心立方基本特征：晶胞常数为a ，包括两个原子，半径为r ，点阵内最近原子距离为a23，配位数为8。

故r a 223=，则致密度为：332(4/3)0.68r a π⨯==密排六方基本特征：晶胞常数为a ，包括六个原子，半径为r ，点阵内最近原子距离为a=2r ，配位数为12。

()2223322⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a c r ，则2/138⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛a c ，则致密度为：74.06223334623==⨯⨯ππca r9、米勒指数）六角晶系中见P343(h, k, l, m)表示，它们代表一个晶面在六角形半面基矢321,,a a a轴上的截距为l a k a h a 321,,；在六度轴上的截距为m c ，试写出654321522313131,,'0A A A A A A A B A B B A A A A 和的面指数。

)1211(,1,21,1,10:31面指数为的截距为解-'A A)1000(1,,,)0011(,,1,1)0211(,21,1,165432155221331面指数为的截距为面指数为的截距为面指数为的截距为∞∞∞∞∞-∞-A A A A A A A B B A B B A A10、倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？解：倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间（波矢K 空间），在晶体的X 射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。

设一种晶体的正格基矢为1a 、2a 、3a ，根据倒格子基矢的定义：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫Ω⨯=Ω⨯=Ω⨯=][2][2][2213132321a a b a a b a a b πππ式中Ω是晶格原胞的体积，即][321a a a ⨯⋅=Ω，由此可以唯一地确定相应的倒格子空间。

同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。

所以一种晶体的正格矢和相应的倒格矢有一一对应的关系。

9、二、试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

(20分)解：我们知体心立方格子的基矢为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=+-=++-=)(2)(2)(2321k j i a k j i a k j i a a a a （3分）根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=Ω⨯=+=Ω⨯=+=Ω⨯=)(2][2)(2][2)(2][2213132321j i a a b k i a a b k j a a b a a aππππππ (5分) 由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。

同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

（2分）三、已知由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为（10）2122)(2)(--=ωωπωρmN。

式中m ω是格波的最高频率。

求证它的振动模总数恰好等于N 。

解：由题意可知该晶格的振动模总数为()mN d ωρωω=⎰ (3分)12222()mmN d ωωωωπ--=⎰（2分）N N Nmm=-==)02(2arcsin20ππωωπω （5分）四、利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为（20分）（1）简单立方6π；（2）体心立方83π；（3）面心立方62π（4）六角密积62π；（5）金刚石163π。

解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：6)2(3413413333πππα=⋅=⋅=R R a R （4分）（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数3/4R a =，则体心立方的致密度为：83)3/4(3423423333πππα=⋅=⋅=R R a R （4分）（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 22=，则面心立方的致密度为：62)22(3423443333πππα=⋅=⋅=R R a R （4分）（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，R a c )3/64()3/62(==，则六角密积的致密度为：62)3/64(4)2(363464363462323πππα=⋅⋅=⋅⋅=RR R c a R （4分）（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a )3/8(=，则金刚石的致密度为：163)3/8(34834833333πππα=⋅=⋅=RR a R （4分）五、计算题1、用钯靶αK X 射线投射到NaCl 晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9°，已知NaCl 晶胞中Na ＋与Cl －的距离为2.82×10-10m ，晶体密度为2.16g/cm 3。

求：（1） X 射线的波长；阿伏加德罗常数。

（20分）解：（1）由题意可知NaCl 晶胞的晶胞参数10101064.51082.22--⨯=⨯⨯=a m ，又应为NaCl 晶胞为面心立方结构，根据面心立方结构的消光规律可知，其一级反射所对应的晶面族的面指数为（111），而又易求得此晶面族的面间距为10102221111026.331064.5111--⨯=⨯=++=a d m （5分）又根据布拉格定律可知：91011110702.69.5sin 1026.32sin 2--⨯=⨯⨯== θλd m （5分）（2）由题意有以下式子成立NaCl A M a N =⋅ρ43（5分）∴ 23310364458.5 6.03810(5.6410) 2.1610NaCl A M N a ρ-⨯===⨯⨯⨯⨯ （5分）2、一维晶格，晶格由两种离子组成，间距为R0，计算晶格的Madelung 常数α。

解：任取某一离子为原点，根据∑≠±=Nj ja 11α（+代表与参考离子异号，-代表与参考离子同号）则：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-= 41312112α∵()+-+-=+4321ln 432x x x x x ，当x=1时，+-+-=41312112ln ，故2ln 2=α3、写出量子谐振子系统自由能，证明在经典极限，自由能为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈∑KThw KT U F qq o ln证：经典极限 ,0时→ 由教本P143ωγγδγh h e KT V U F KT h q q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=∑-)/1ln(21)(KT w eq KTw q -=∴-1/∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∴00ln KTw u F q4、一晶体原胞基矢大小m a 10104-⨯=，m b 10106-⨯=，m c 10108-⨯=，基矢间夹角90=α， 90=β， 120=γ。

试求：（1） 倒格子基矢的大小； （2） 正、倒格子原胞的体积；（3） 正格子(210)晶面族的面间距。

解：(1) 由题意可知，该晶体的原胞基矢为：ai =1a)2321(2j i a +-=bk a c =3由此可知：][2321321a a a a a b ⨯⋅⨯=π=abc bc 23)2123(2j i +π=)31(2j i +a π][2321132a a a a a b ⨯⋅⨯=π=abc ac 232j π=j 322⋅b π][2321213a a a a a b ⨯⋅⨯=π=abc ab23232kπ=k ⋅c π2 所以1b ＝22)31(12+⋅a π＝110108138.134-⨯=m a π 2b ＝2)32(2⋅b π＝110102092.134-⨯=m b π 3b ＝212⋅c π＝110107854.02-⨯=m cπ (2) 正格子原胞的体积为：][321a a a ⨯⋅=Ω＝)]()2321([)(k j i i c b a ⨯+-⋅＝328106628.123m abc -⨯=倒格子原胞的体积为：][321b b b ⨯⋅=Ω*＝)](2)32(2[)31(2k j j i c b a πππ⨯⋅+＝3303104918.1316-⨯=m abc π (3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：h h d K π2==3210122b b b ++π=j i )3434(42ba a ππππ++ =m ba a 1022104412.1)3131()1(142-⨯=++⋅ππ5、矢量a ，b ，c 构成简单正交系。