例谈中考数学中的探索性问题

例谈中考数学中的探索性问题

本文通过对近年来中考数学试卷中的探索性问题的初探，阐述了探索性、开放性的试题是培养学生创新精神和实践能力豹重点，让学生通过分析，从中发现规律，归纳结论，对学生收集和处理信息能力、创造性思维能力要求都很高，突出了对学生探索、归纳、推理能力的考查。

培养创新精神和实践能力是当前推进素质教育的重点，探索性、开放性的试题是考查这种能力的一种题型，这类题目是开放型的，充满生机，涉及知识面宽，综合性强，要求学生有扎实的基础知识和熟练的基本技能。近年来，各省市中考数学命题都十分注重这类试题的设计，其数量和质量都逐年增加。现将这类试题略加分类和评析。

1探索算式规律问题

例1、(2009年长春市)用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为——(用含n的代数式表示)。

分析：这类题仅要求写出结果，并不要求写出推理过程。解这类题是以深刻地观察、分析、归结其图案变化规律为基础的。由已知的三个图案发现：正三角形的个数总是偶数个，而且逐渐多2个，于是得出第n个图案中正三角形的个数为2n+2．

例2：(2009年济南市)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)若规定以下三种变换：

①f(a，b)=(-a，b)，如f(1，3)=(-1，3)

②g(a，b)=(b，a)，如g(1，3)=(3，1)

③h(a，b)=(-a，-b)，如h(1，3)=(-1，-3)

按照以上变换有：f(g(2，-3))=f(-3，2)=(3，2)

那么f(h(5，-3))等于

A．(-5，-3)B．(5，3)C．(5，-3)D．(-5，3)

分析：这类题考查学生的观察、分析能力，不同的字母表示不同的坐标，学生必须严格按照字母的变化规律逐层分析，才能够得到正确答案。

f(h(5，-3))必须明确先变换h(5，-3)=(-5，3)

再变换f(-5，3)=(5，3)则选B

2探索条件(或结论)的问题

例3：(2010年昆明市)如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF

(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使△ABC≌△EFD 你添加的条件是．

(2)添加了条件后，证明△ABC≌△EFD．

分析：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设一求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求。

证明：略(答案不唯一，学生可以从边、角多方面去分析)。例4：(2009年上海市)已知线段AC与BD相交于点O，连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF。

(1)添力口条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE

求证：AB=DC

(2)分别将“∠A=∠D”记为①,“∠OEF=∠OFE”记为②，“AB=DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2，命题1是命题，命题2是命题(选择“真”或“假”填入空格)。

(1)证明：∵E为OB的中点，F为OC的中点，

∴OB=2OEOC=2OF

∵∠OEF=∠OFE∴OE=OF∴OB=OC

在△AOB与△DOC中∠A=∠D,∠AOB=∠DOC,OB=OC

∴△AOB≌△DOC

∴AB=DC

(2)真假

评：本题是探索性问题中颇具新意的一例，本题需在分类构造命题的基础上，

对命题的真假性给出判断，以一种新方式突出了对考生推理、思维能力的考查，题目新颖，问题开放，贴近基础。

3探索变化图形中的不变规律问题

5：(2010年昆明市)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC∠DCB=90°，E 是AD的中点，点P是BC边上的动点，(不与点B重合)，EP与BD相交于点O。

(1)当P在BC边上运动时，求证：△BOP∽DOE

(2)设(1)中的相似比为K，若AD∶BC=2∶3．

请探究：当K为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形?

①当K=1时，是；

②当K=2时，是；

③当K=3时，是；

并证明K=2时的结论。

分析：本题要求学生在点P的位置变动中，悟出内在规律。从简单的情形入手，通过分析，从中发现规律，归纳结论，然后推到一般情况，这是认识事物的一般规律，对学生收集和处理信息能力，创造性思维能力要求都很高，突出了对学生探索、归纳、推理能力的、考查。

解：略。

4判断“存在性”和“可能性”的问题

例6：(2007年昆明市)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

(1)求点B的坐标；

(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如果点P是(2)中抛物线上的动点，且在x轴的下方,那么,△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由。

解:(1)、（2）略

点B的坐标(1,3),抛物线解析式y=33x2+233x(3)抛物线的对称轴上存在点C,使△BOC的周长最小

∵y=33x2+233x=33(x+1)2-33x

∴抛物线的对称轴为x=-1

∵点C在对称轴x=-1上,△BOC的周长=OB+BC+COOB=2要使△BOC的周长最小,必须使BC+CO最小

∵点O与点A关于直线x=-1对称,∴CO=CA

△BOC的周长=OB+BC+CO+OB+BC+CA

∴当A、C、B三点共线时,即点C为直线与抛物线对称轴的交点时,BC+CA 最小,此时△BOC的周长最小。

设直线AB的解析式为y=kx+b

则有K+b=3

-2K+b=0解得K=33

b=233

∴直线AB的解析式为y=33x+233

当x=-1时,y=33

∴点C的坐标(-1,33)

(4)设点P的坐标(x,y)(-2

抛物线的解析式y=33x2+233x①

S△PAB=S梯形AFEB-S△AFP-S△BEP

=12(AF+BE)·FE-12AF·FP-12PE·BE

=12（-y+3-y)×(1+2)-12(-y)(x+2)

-12(1-x)(3-y)