工程力学第5节 物体的重心

n
A
式中A——是整个面积体的面积。
例4-11 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心 的位置。 解 取 Oxy 坐标系如图 所示，角钢截面可分为两个 矩形。两矩形的形心位置C1 和C2分别处于矩形对角线的 交点，坐标分别为：
x1 15mm
y1 150mm
225 30 x2 (30 )mm 2 x2 127.5mm y2 15mm
解 将偏心块挖空的圆孔 视为“负面积”，于是偏心 块的面积可以视为由半径为 R的大半圆、半径为 r1 的小 半圆和半径为 r2 的小圆（负 面积）共三部分组成。 取坐标系 Oxy，其中 Oy 轴为对称轴。根据对称 性，偏心块的形心 C 必在对称轴 Oy 上，所以有：
xC 0mm
半径为 R 的大半圆
匀质物体的重心，只决定于物体的几何形状，而 与物体的重度无关，因此又称为形心。 一个形体的形心，不一定在该形体上。一个物体 的重心，同样也不一定在该物体上。
Байду номын сангаас
匀质、等厚度的薄板、簿壳结构的重心计算公式
xdA A xC ; A
ydA A yC ; A
zdA A zC A
对于匀质线段（如等截面匀质细长曲杆、细金属 丝等）结构的重心计算公式
1 2 A1 R 7200 2 4 R 160 y1 mm 3
查表4-1
r1 小半圆
r2 小半圆
n
2 1 A2 r1 612.5 2 4r1 46.67 y2 mm 3 2 A3 r2 225
y3 0
yC
Ai yi
xC
Gi xi
i 1 n
n
Gi
i 1
; yC
Gi yi
i 1 n
n
Gi
i 1
; zC
Gi zi
i 1 n
n
Gi
i 1
xC yC zC
lim Gi xi
n i 1 n
n
G lim Gi yi
n i 1 n
gxdV V V gdV gydV V V gdV gzdV V V gdV
一、物体的重心
物体的重力就是地 球对它的吸引力。若把 物体视为由许多质点组 成，由于地球比所研究 的物体大得多，作用在 这些质点上的重力形成 的力系可以认为是一个 铅垂的平行力系。这个 空间平行力系的中心称 为物体的重心。
将物体分割成许多微单 元，每一微单元的重力方向 均指向地心，近似地看成一 平行力系，大小分别为G1﹑ G2﹑﹑Gn，作用点分别为 C1 ( x1 , y1 , z1 )﹑C2 ( x2 , y2 , z2 ) ﹑ …﹑Cn ( xn , yn , zn ) 。物体重 心C的坐标的近似公式为
L ydL L yC L zdL L zC L
xdL L xC
二、确定物体重心的几种方法
1、对称法 对于具有对称轴、对称面或对称中心的匀质物 体，可以利用其对称性确定重心位置。可以证明这 种物体的重心必在对称轴、对称面或对称中心上。 例：圆球体或球面的重心在球心，圆柱体的重 心在轴线中点，圆周的重心在圆心，等腰三角形的 重心在垂直于底边的中线上。 2、积分法 对于具有某种规律的规则形体，可以根据重心 计算公式，利用积分方法求出形体的重心。表2-1
M A (Fi ) 0
i 1
n
FBl Gxc 0
FB xC l G
• 悬挂法：对于形状复杂 的薄平板求形心时可以 采用悬挂法。
AD 与 BE 的交点即 为薄平板的形心 C。
• 称重法：形状复杂或体积庞大的物体，可以采用 称重法求重心。 例：内燃机的连杆，其重心必在对称中心线AB上。 将连杆的小端 A 放在水平面上，大端 B 放在台秤 上，使中心线 AB 处于水平位置。已知连杆重量为G， 小头支承点距重力G 的作用线的距离为 xC，由力矩平 衡方程得：
i 1

A 7200 160 612.5 ( 46.67) (225 ) 0
47 .1mm
7200 612.5 (225 )
5、试验法 对于某些形状复杂的机械零部件，在工程实际 中常采用试验方法来测定其重心。试验法往往比计 算法直接、简便，并具有足够的准确性。常用的试 验方法有如下两种：
Ai yi
A
4、负面积法
形体组合法的推广
如果在规则形体上切去一部分，例如钻孔或开槽 等。当求这类形体的形心时，首先认为原形体是完整 的形体，然后把切去的部分视为负面积，运用公式求 出形心。 例2-12 已知振动器上用 的偏心块为等厚度的匀质形 体，如图所示。其上有半径 为 r2 的圆孔。偏心块的几何 尺寸R=120mm，r1=35mm， r2=15mm。试求偏心块形心 的位置。
重心的一般公式
G lim Gi zi
n i 1
G
式中 为物体的密度， g 为重力加速度， g 为单位体积所受的重力，dV 是微单元的体积。
对于匀质的物体来说， g 常数，其重心公式
重心公式 注意
xdV V xdV V xC V V dV ydV V ydV V yC V V dV zdV V zdV V zC V V dV
A A1 A2
30 300 (225 30) 30 14850 mm
2
由组合形体的形心计算公式
xC yC
Ai xi
i 1 n
n
A
i 0
900015 5850127.5 59.3mm 14850 9000150 585015 96.8mm 14850
3、组合法
工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一 些简单形体组成的，而简单形体重心位置根据对称 性或查表很容易确定。因而可将组合形体分割为n 个简单几何形体，然后应用下式求出组合形体的重 心位置：
xC
Ai xi
i 1
n
A
;
yC
Ai yi
i 1
n
A
; zC
Ai zi
i 1