§3.3空间矢量的概念讲解

§3.3 空间矢量的概念
上节导出的A,B,C坐标系统中异步电动机的基本方程式，在一般情况下是很难求解的，用它来分析异步电动机变频调速系统的动态特性也是十分困难的。

通常采用各种坐标变换来改造放程式，使异步电动机动态特性的分析和基本方程的求解变得比较容易进行。

由于三相异步电动机在结构上的对称性（三相绕组对称，气隙均匀），再加上气隙磁场在空间按正弦规律分布的假定，因之能够采用空间矢量来表示电动机的实际变量，从而使三相异步电动机的动态数学模型得到简化。

一、空间矢量的定义
对三相系统而言，所谓空间矢量是这样定义的：在垂直与电动机轴的一个平面上，取三相绕组的轴线（互差1200电角度），把三相系
统中的三个时间变量)(
),
(t
x
t
x
B
A 及)(t
x
C
看成是三个矢量的模，这三个
矢量分别位于三相绕组的轴线上；当时间变量为正时，矢量的方向与各自的轴线的方向一致，反之则取相反的方向，然后把三个矢量相加并取合成矢量的k倍（k为任取的比例常数），所得合成矢量即为三个时间变量的空间矢量。

为了表示空间矢量，在垂直与电机轴的平面上去定子A相绕组为实轴，引前900为虚轴，构成一个复平面，如图1所示。

今取A轴为参考轴，A轴上长度为1的矢量A100
1j e
=
∠
=为A轴的单位矢量。

B 轴和C轴的单位矢量分别为
a=e 0
120j =21-+2
3j
e 0
240j =21-
2
3
j
-
B j
a 1200
(+1)
0120j e = 02402
2j e =
图一 空间复平面及单位矢量 这三个轴上的单位矢量之间有如下关系 012=++a a
由此，如取定子A 轴为参考轴，那么三相时间变量 )(),(t x t x B A 及)(t x C 的空间矢量可表示为
x A =k [x A (t )+a x B (t ) +2a x C (t )] ------（1）
空间矢量用小写字母并在上方加一横杠表示，右上角的字母表示空间矢量的参考轴。

（单位矢量001∠所在坐标轴，称为“1”轴）。

例 求异步电动机定子磁势的空间矢量f A 1。

设定子三相电流的瞬时值分别为A i , C B i i ,每相绕组的有效匝数为
p
k w N w 1
112π=
各相绕组磁势的瞬时值为
,1A A i N f = ,1B B i N f = C C i N f 1=
按空间矢量定义，取定子A 轴为参考轴，可得定子磁势的空间矢量为
f
A
1
)()(2121C B A C B A i a ai i k N f a af f k ++=++=1N =A
i 1------
（2）
式中 A
1)(2C B A i a ai i k ++=是以A 轴为参考轴的定子电流空间矢量。

在图2中示出了空间矢量 f A 1 , A
i 1。

为便于了解磁势空间矢量的物理意义，设定子电流为三相稳态平衡正弦电流
⎪⎭⎪
⎬⎫-+=-+=+=)240cos()120cos()
cos(010********θθθt w I i t w I i t w I i m C m B m A ------（3） 式中 m I —— 电流的副值
1w ——电流角频率
10θ——除相角
C B A A f a af f k f 21(++=)
a 2f c
(+1)
A
C
图二 空间矢量f A 1及A
i 1 根据欧拉公式
)cos(101θ+t w ][2
1)()(10
1
10
1
θθ+-++=t w j t w j e e
)120cos(0101-+θt w ][21
)()(2101101θθ+-++=t w j t w j ae e a
)240cos(0101-+θt w ][2
1
)(2)(101101θθ+-++=t w j t w j e a ae
利用上式，将式(3)代入式(2)中得
f
A 1
t w F e e F e I N k
t jw j t w j m 111)(1110101)(2
3∠===+ θθ 式中10
10
])23[(111θθj m
j e I N k e F F == 是复常数。

上式说明，当三相电流为稳态平衡正弦电流时定子磁势空间矢量的幅值是常数，其值为单向磁势幅值的2
3
k 倍，该空间矢量对定子A 轴的空间相角为101θ+t w ，对A 轴的角速度为112f w π=。

因稳态下1,w I m 都是常数，所以空间矢量f A 1 端点的轨迹是一个圆，即f A 1是圆旋转磁势。

如果在动态过程中电流的幅值和角频率都随时间而变化时，f A 1的幅值和旋转角速度也随时间变化，这时f A 1端点轨迹就偏离圆形了。

可见磁势空间矢量是有确切的物理意义的。

实际上若不计此时的空间谱波，并去系数K=1，那么在稳态下f A 1即表示在空间按正弦分布的三相绕组合成磁势波。

从式（2）看出，定子电流空间矢量A
i 1与定子磁势空间矢量f A 1仅差一有效匝数 ，因此可以把A
i 1理解为一个在空间按正弦分布的旋转磁势波，它的幅值为旋转磁势波幅值的1N l 倍，而空间相位则表示旋转磁势波幅值的位置。

按空间矢量的定义还可以写出定转子磁链和电压的空间矢量。

二 极坐标变换
按空间矢量定义式（1）写出的空间矢量是以定子A 轴为参考的，实际上作为参考轴的“１”轴可以任意选取，如图3所示，可以选定子A 轴。

转子a 轴或任意的x 轴为“１”轴。

由于参考轴选择的不同，同一空间矢量x 表现的形式也就不同。

例如在图3中的一个空间矢量
x ,根据图中给出的轴距角a A θθ,及x θ以及各轴之间的夹角ax Ax θθ,，Aa
θ如果选定子A 轴为参考轴，x 的角距为A θ；如取转子a 轴为参考，角距就变成a θ了，即角距减小了Aa a A θθθ=-。

因此只要把以转子a 轴为参考的空间矢量x 的角距增加Aa θ，就得到了以定子A 轴为参考的空间矢量x,用数学公式表示就是
A a j A
A
e θ=
上式就是把以a 轴为参考的空间矢量变换到以A 轴为参考的极坐标变换公式。

仿此还可以得到以下的极坐标变换公式：
A a j A
a
e x x θ-= A x j A
x
e x x θ-=
)(A a A x ax j a
j A
x
e x e x x θθθ---==
在列写异步电动机空间矢量基本方程式时，由于选取的参考轴不同，基本方程式的形式也不相同。

为了能写出一个一般化的异步电动机空间矢量基本方程式和等值电路，可以先取定子A 轴为参考，列写定子空间矢量方程式；取转子a 轴为参考列写出转子空间矢量方程式，这样做比较容易。

然后把得到的方程式利用极坐标变换公式变换到以任意轴x 为参考轴的坐标系统中，得到一般化空间矢量方程式。

在应用时可以根据需要选取参考轴。

例如可选A 轴，a 轴或以同步角速度旋转的同步轴为参考等等，通过相应的极坐标变换即可得到不同坐标系的基本方程式。

三 空间矢量的逆变换
据空间矢量定义，对三相定子而言，以定子A 轴为参考的空间矢量为
x A =k [x A (t)+a x B (t) +a 2x C (t)]
如果以引前定子A 轴θ电角度的x 轴为参考，则根据极坐标变换公式有
A x
j A x
e
x x θ
-=1
=k[
x
A
(t)+a
x
B
(t)
+a 2x C (t)]A x
j e θ-------（4）
如已知三相瞬时值C B A x x x ,,（它们可以是电流，磁链或电压）并选定Ax θ和k 的值，按上式可唯一的求出空间矢量。

可见求空间矢量是一种变量的变换，它把三相系统的三个瞬时值变换为空间复平面中的一个矢量。

即用一个复变量（在复平面内复数可用矢量表示）同时表示三个时间变量。

通过这种变换可以使异步电动机动态数学模型中的变量减少了２／３，因而使动态数学模型得到简化。

但是根据空间矢量方程式求得的解是复变量，还需要进行相反的变换，即把空间矢量变换为实际的变量。

这种变换就是空间矢量的反变换。

当已知空间矢量及Ax x
x θ,1，k 时，按式（4）是不能唯一地确定三个时间变量的，这是因为一个方程式中有三个未知量，其解有无穷多个。

为了进行变换再补充两个关系式，即定义x 的共轭值
*
1
x x
=
k
[
x
A
(t)+a
x
B
(t)
+a 2x C (t)]A x
j e θ------（5） 并定义一个“零轴分量”
)(00C B A s x x x k k x ++=------(6)
其中k 为任意选择的系数，例如当选32=k 时，取210=k ，则310=k k 。

把式（4）(5)及（6）和在一起写矩阵形式，可得
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s x x x x x 0*11=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---00
22k k k ae e a e e a ae e A x A x
A x A x A x A x j j j j j j θθθθθθ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡C B A x x x =z C [
]C B
A x x x T ------(7)
式中c 称为空间矢量的正变换矩阵。

空间矢量的反变换矩阵为
k C C Z F 311=
=-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---02020111k e a ae k ae e a k e
e A x
A x A x A x
A x
A x j j j j j j θθθθθθ 因而
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡C B A x x x 1
-=Z C ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s x x x x x 0*11 可以证明，如果取31=k ，10=k 则此时有
1-Z
C T
z C *=-----(8) 式中T z C *是复数矩阵z C 的共轭转置矩阵。

满足上式关系时k 及0k 的取值就是唯一的了。

式 （8）称为“功率不变约束”，即若满足（8）的条件，则变换前用瞬时值C B A x x x ,,表示的功率（或转矩）公式与变换后用空间矢量表示的功率（或转矩）的公式具有相同的形式。

以上是以定子变量为例说明空间矢量的变换。

对三相转子，空间矢量变换矩阵与式（7）中的变换矩阵z C 具有相同的形式，只是矩阵中含有指数函数各元素中的Ax θ应换成=ax θAx θ0θ-。

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