数学二级结论高考的应用

不动点通法数列通项放缩问题

国一各种数列压轴题通杀

不动点的求法：比如X(n+1)=f(Xn)

令f(Xn)=Xn 解出Xn=a或者a,b两解

那么a,b就为Xn不动点

不动点意义是什么呢？就是Xn的极限即Xn

高考里你只需要取大根就好，小根忽视

比如10年国一22(2) 看解法你可以选08 07 的国一照套用

核心思想：有关数列通项的相关问题，先化简Xn-a(a为不动点)会得到很多Xn的性质

题目再现：a1=1 a(n+1)=c-1/an

求使不等式an

解an=c-1/an 令an=x 得x=(c+sqrt(c^-4))/2

显然就是证x<3嘛，但是不能直接书写，看以下书写通法

a(n+1)-x=c-1/an-x 化简（注意化简技巧，目标是得到a(n+1)-1=k(an-1) ,注意化简的时候要用到cx-x^2=1）

an+1 - x = (can-1-xan)/an

即an+1 - x = (can-cx+x^2-xan)/an

即an+1 - x = [c(an-x)-x(an-x)]/an=(c-x)/an*(an-x)

(c-x)/an 是一个正数根据【同号性】（极其重要）an+1 - x和an - x同号

a1-x=1-x

因为an+1>an a2=c-1/a1=c-1

c-1>1 所以c>2

所以a1-x=1-x<0

回头看这个：

即an+1 - x = [c(an-x)-x(an-x)]/an=(c-x)/an*(an-x)

(c-x)/an 是一个正数根据【同号性】（极其重要）an+1 - x和an - x同号

a1-x<0所以a2-x<0....an+1-x<0

即an+1

即题目变成an

解x<3得到答案

C:y^2=2px

过x轴上(a,0)点与C相交，存在

x1x2=a^2

无数小题用此结论减免思维强度

椭圆过F作直线交C于AB，设AF=r1 BF=r2

目测谁比较长如r1比较长则r1=ep/1-ecos日

日为过F的直线的倾斜角

p为焦准距

双曲线

单支和椭圆一样

交于两支时r=ep/ecos日+- 1 比较长的那个取负短的那个取正

抛物线

r=p/1 -+ cos日

（抛物线e=1）

以上三者的焦点弦R=r1+r2长为

R=|2ep/1-e^2cos^2日|

这个公式和焦半径公式相辅相成轮换使用解几小题任意秒

另附焦半径公式中双曲线的速记口诀

左加右减套绝对值，同边开负，异边开正

举例解释

比如在双曲线右支到右焦点的距离r=|a-ex0| （左加右减套绝对值）

由于是同边（右支右边）所以绝对值开负号r=ex0-a

技巧

09山东22题告诉我们……

过原点的两条线段r1 r2相互垂直时，A点可设为A(r1cos日,r1sin日) B(-r2sin日,r2cos日) ——因为AO BO垂直这些关系可以用倾斜角表示

S(2n-1)=(2n-1)an

这种强大的公式不懂你就亏了

四面体体积公式

V=1/6

a，b是两条对楞的长，h是对棱的异面距离，日是对棱的夹角

这个公式异常重要，比如10年国一12题，用这题套公式秒杀

有关立体几何中的开放式问题（极值，交点个数，还有北京卷那个与xyz哪个有关的）近年来的热点这类题基本出在正方体或者长方体中

用退化的空间解析几何处理这类题可以秒杀，这个要画图有需要的童鞋回一下我就画图

还有这个

在O-xyz 坐标系中某条过O的直线和x y z分别成 a b c 度角

有

cos^2 a + cos^ b + cos^2 c =1

这个有什么用呢？

已知两个角求第三个角用于有些图形恶心的立几大题中建立坐标系

双曲线焦点到渐近线的距离=b

过双曲线两顶点作垂直于x轴的直线和渐近线交与四点形成一个矩形

则斜边为c 另一条直角边为b

我们来看看圆锥面

是一个三角形旋转一周所得

意味着该圆锥母线和底面所成的角恒为定值

所以【研究线面成定角问题可以用圆锥面分析】

立体几何中解析几何中凡涉及线段中点问题的绝大多数和三角形中位线有关

遇到排列组合难题尤其是三个限制条件的一定要用容斥原理

举个例子：

P要满足A,B,C，求P的方法数

画个韦恩图

U是全集画个大框框在上面画3个圈非A 非B 非C （要看看他们是否有交集，一般是有的）

看到图你知道该怎么算了吧

P=U-(A+B+C)+A交B+A交C+B交C-A交B交C

两个条件的我就懒得打字啦

有关离心率问题很多命题点在这里

椭圆离心率e^2=1-(b/a)^2

双曲线：e^2=1+(b/a)^2

看到了吧都和一个参数t=(b/a) 有关

双曲线渐近线方程可设为b^2x^2-a^2y^2=0

看到了么这可是二次方程形式哟可以避免讨论一些东西

比如有两焦点可以舍而不求的联立使用韦达定理2

画一个双曲线，比如P在右支上连接PF1 PF2

1.若PO=F1O=F2O 则

2.PO

3.PO>OF1 则，，，，为锐角

导函数为二次函数时注意原函数有极值的条件是在定义域内△>0

【这是一个你死也要记住的不等式链】

sqrt[(a^2+b^2)/2]>=(a+b)/2>=sqrt(ab)>=2/(1/a+1/b)

注意2/(1/a+1/b) 也就是2ab/a+b

这个不等式链在配凑性消元正负对消上有很大用途

但是均值不等式一定是单向放缩的一般求双最值问题一定要涉及到求导

平面中任意共起点的两条向量所组成的三角形面积为

设向量OA=(a,b)

向量OB=(c,d)

a b

( )

c d

即ad-bc

证明可用S=1/2absin日证

平行四边形ABCD 中

1.若|AB|=|AD| <=> (向量AB+向量AD)(向量AB-向量AD)=0

2.若AB⊥AD <=> |向量AB+向量AD|=|向量AB-向量AD|

用向量构筑不等关系

若题目求ac+bd 这类的最大值可以构筑

向量m=(a,c)