数值计算课后答案2

习 题 二 解 答

1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]的根，精确到10-3，即误差不超过31

102

-⨯。

分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。

解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。 由

34311

*1022222

n n n n n n b a b a x x -----≤

===<⨯ 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。

x *≈x 11=3.632。 指出：

（1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。 （2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。 如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：

（3）用九韶算法计算f(x n )比较简单。

1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。 解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+-

当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有122

23

,x x =-=。

因为214902150327(),()y y -=-<=-<，所以方程在区间2

23(,)-上无根；

因为21490327()y -=-<，而函数在2

3

(,)-∞-上单调增，函数值不可能变号，所以

方程在该区间上无根；

因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，

而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。 所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。

2．证明1sin 0x x --=在[0,1]有一个根，使用二分法求误差不大于41

102

-⨯的

根，需要迭代多少次？

分析：证明方程在指定区间有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。

解：令()1sin f x x x =--，

因为(0)10sin 010,(1)11sin1sin10f f =--=>=--=-<， 则(0)(1)0f f <，

由零点定理，函数f(x)在[0,1]区间有一个根。 由

41011

*1022222

n n n n n n b a b a x x -----≤

===<⨯ 有2n-1＞10000，又为210＝1024，213＝8192<10000，214＝16384>10000 所以n ＝15，即需要二分15次。 指出：

要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。 3．试用迭代公式102

20,1210

k k k x x x x +==++，求方程32

210200x x x ++-=的根，要求精确到510-。

分析：精确到510-即误差不超过51

102

-⨯

解：令32()21020f x x x x =++-

指出：

精确到510-可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到510-位，最后两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到610-，当

511

102

k k x x -

+-<⨯终止计算。

本题采用第一种方法。

4．将一元非线性方程20cos x x e -=写成收敛的迭代公式，并求其在005.x =附近的根，要求精确到210-。

解：20cos x x e -=改写为222110cos cos cos x x x

x x

x e e e =⇒

=

⇒-=，则 21cos x

x

x x e

=+

-，设 21cos ()x

x

g x x e

=+- 有 22224111)

sin cos (sin cos )

()()x

x

x x x

x xe xe x x g x e e e

π

+

--+

'=+=-=-

在005.x =处，因为

05

054051096151..)

(.).g e

π

+

'=-

=<

所以迭代法121cos ()k

k

k k x x g x x e

+=+-在005.x =的邻域收敛。 列表迭代如下：

此时0692069000614.cos ..e -=。

5．为求方程3210x x --=在015.x =附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：

12213

2

231211

2

11

11121111

31

1(),;

(),();(),.()k k

k k

k k x x x x x x x x x x x x +++=+=+=+=+==--迭代公式迭代公式迭代公式 试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。

解：（1）因为211x x =+，所以迭代函数为21

1()g x x

=+，则

23212()()()g x x x x --'''===-，3322

152151153375(.)...g -'=-⨯==<满足局部

收敛性条件，所以迭代公式121

1k k

x x +=+

具有局部收敛性。 （2）因为1

23

1()x x =+,所以迭代函数为123

1()()g x x =+,则

1212233

2

23

12212133

31()()()()

x g x x x x x x --'=+=+=

+,

223

21515045613115.(.).(.)

g ⨯'=

=<+满足局部收敛性条件,所以迭代公式

12311()k k

x x +=+具有收敛性。

（3）因为12

11()

x x =

-，所以迭代函数为12

11()()

g x x =

-，则

1312211

1122

()()()g x x x ---'=--=--，