凸集和凸函数和凸规划-完整ppt课件

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凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集
未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例：D 1x ,0 Tx R 表示 x轴上的点． D 20 ,y Ty R 表示 y轴上的点．
则 D1 D2 表示两个轴的所有点，它不是凸集；
而 D1D2 R2凸集．
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凸集-----凸包(Convex Hull)
01表示连接 x 1 ,f x 1 ,x 2 ,f x 2 的线段．
fx 1 1 x 2 表示在点 x 1 1 x 2处的
函数值．
所Baidu Nhomakorabea一元凸函数表示连接函数图形上任意两点
的线段总是位于曲线弧的上方．
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f(X) f(X1) X1
f(X2)
X X2
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f(X) f(X1) X1
f(X2) f(αx1+(1-α)x2 )
第3讲 凸集、凸函数、凸规划
凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸
性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化 的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用.
• 凸集 (Convex Set)
• 凸函数 (Convex Function) • 凸规划 (Convex Programming)
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凸集---定义
线性组合 (linear Combination)
m ix i,其i 中 R ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ...
i 1
仿射组合 (Affine Combination)
m
m
ix i,其 i R 中 ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ,.且 . i 1 .
若对任意的 x,yD(xy),及任意的 0,1
都有：fx 1 y f x 1 f y
则称函数 f x 为 D 上的严格凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以 得到严格凹函数的定义．
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凸函数
几何性质
对一元函数 f x,在几何上 f x 1 1 f x 2
证法：在Young不等式中令
n
n
n
xkyk
n
xkpp
n
ykqq
k1
k1 k1
x : xkp
xkp y : ykq
ykq
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P41 2.37
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凸函数
例：设fxx12,试证明 f x在,
上是严格凸函数．
证明: 设 x, yR, 且xy, 0 ,1 都有：
f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
例4.2.1
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该定义的一个应用——证明不等式
例：f(证t)明lnxt凹 1p(yaq1 )凸xp 函Yoqyu数,ng不其 等中 式x ,y (x0 by,)凹p ,xpq 函p 数0 yq,q 1 p q 1 1 .
1
1
推广：Hölder不等式
(a)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸; 集 (b)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸. 集
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凸集-----性质
k
推论：设D i,i1,2,,k是凸集，则 i D i i1 也是凸集，其中 i 是实数．
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.P23,定理2.9
x 1 y D ,
则称集合 D为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：H x R n a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b ,
半空间： HxRna1x1a2x2Lanxnb
=xRnaTx. b
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凸集----举例
例： 证明超球 x r 为凸集．
i 1
i 1
凸组合 (Convex Combination)
m
m
ix i,其 i R 中 ,x i R n ,i 1 ,2 ,. m 且 .. i 1 .
i 1
i 1
凸锥组合 (Convex Cone Combination)
m
ix i,其i 中 R ,x i R n,i1 ,2 ,.m ...
设 D Rn 是非空凸集， f x:DR,
若对任意的 x,yD,及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y 则称函数 f x 为 D 上的凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到
凹函数的定义．
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凸函数
严格凸函数
设 D Rn 是非空凸集， f x:DR,
i 1
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凸集---定义
例 二维情况下，两点x1, x2的
(a)线性组合为全平面； (b)仿射组合为过这两点的直线； (c)凸组合为连接这两点的线段； (b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥.
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凸集---定义
凸集---定义
定义1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x,yD, 及实数01,都有：
证明：设 x, y 为超球中的任意两点，01,
则有： x1y
x 1 y
r 1 r r ,
即点x1y属于超球, 所以超球为凸集．
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凸集-----性质
(1) 任意多个凸集的交集为凸集．
(2) 设 D是凸集， 是一实数， 则下面的
集合是凸集： D y y x ,x D
(3) 设D1和D2是Rn上的凸集，则
定义 设 S SR中n, 任意有限个点的所有凸组合 所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
m
m
H (S ) ix ix i S ,i 0 ,i 1 ,2 ..m ,., i 1 ,m N
i 1
i 1
定理2.1.4 H(S)是Rn 中所有包含S 的凸集的交集.
H(S)是包含S 的最小凸集.
X αx1+(1-α)x2 X2
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f(X) f(X1)
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
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f(X) 任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
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凸集-----凸锥 (Convex Cone)
定义 锥、凸锥
设S Rn, x0 S， 如 果 对 一x切 S
及 0,有x0 xS, 则 称S是
以x0为 顶 点 的.锥 如 果S又 是 凸 集 ， 则 称S为 凸 锥.
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凸函数
凸函数(Convex Function) ----定义2.4