凸集和凸函数和凸规划-完整ppt课件
合集下载
1-2凸集与凸函数
值.
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段
总是位于曲线弧的上方．
2020/3/1
12
2020/3/1
13
凸函数的性质
(1)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 k 0 ,则 kf x 也
是 D 上的凸函数.
(2)设 f1 x , f2 x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 , 0 , 则 f1 x f2 x 也是 D 上的凸函数.
则称 f x 为凸集 D 上的凸函数。
定义1.5 严格凸函数
注:将上述定义中的不等式反向,可以得到凹函数的定义。
例: 设 f x x 12 ,试证明 f x 在 , 上是严格凸
函数.
2020/3/1
9
证明: 设 x, y R ,且 x y, 0,1 ,都有
a2
不等式要取等号，必须 y z a ,
且 y, z y z , 容易证明 y z x ,
根据定义可知 x 为极点．
2020/3/1
8
三、凸函数
定义 1.4: 设函数 f x 定义在凸集 D Rn 上,若对任意的
x, y D, 0,1,都有:
f x 1 y f x 1 f y,
元函数 t 在0,1 上为凸函数. (2) 设 x, y D, x y , 若 t 在 0,1 上 为 严 格 凸 函 数 , 则 f x 在 D 上为严格凸函数.
2020/3/1
16
该定理的几何意义是：凸函数上任意两点 之间的部分是一段向下凸的弧.
2020/3/1
L
x2 xn
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段
总是位于曲线弧的上方．
2020/3/1
12
2020/3/1
13
凸函数的性质
(1)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 k 0 ,则 kf x 也
是 D 上的凸函数.
(2)设 f1 x , f2 x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 , 0 , 则 f1 x f2 x 也是 D 上的凸函数.
则称 f x 为凸集 D 上的凸函数。
定义1.5 严格凸函数
注:将上述定义中的不等式反向,可以得到凹函数的定义。
例: 设 f x x 12 ,试证明 f x 在 , 上是严格凸
函数.
2020/3/1
9
证明: 设 x, y R ,且 x y, 0,1 ,都有
a2
不等式要取等号，必须 y z a ,
且 y, z y z , 容易证明 y z x ,
根据定义可知 x 为极点．
2020/3/1
8
三、凸函数
定义 1.4: 设函数 f x 定义在凸集 D Rn 上,若对任意的
x, y D, 0,1,都有:
f x 1 y f x 1 f y,
元函数 t 在0,1 上为凸函数. (2) 设 x, y D, x y , 若 t 在 0,1 上 为 严 格 凸 函 数 , 则 f x 在 D 上为严格凸函数.
2020/3/1
16
该定理的几何意义是：凸函数上任意两点 之间的部分是一段向下凸的弧.
2020/3/1
L
x2 xn
凸集与凸函数ppt课件
多面体(polyhedral set)是有限闭半空间的交. (可表为 Axb ). x1
x5
x
x2
x4
y
x3
14
2. 凸集与凸函数
命题2.3若集合S ¡ n为凸集，则它的闭包S也是凸集。 Df 2.10设有集合C ¡ n,若对每一点x C,当取 任何非负数时，都有x C,称C为锥,又若C为凸 集，则称C为凸锥.
24
2. 凸集与凸函数
（2）pT (y x) pT (y x x x) pT (y x) pT (x x) = (y x)(x x)
推论2.1设C为¡ n中的非空闭凸锥集，y C,则 存在p( 0)S,使得pTy 0 pTx
| | 1 1,因否则导出y S,矛盾。
21
2. 凸集与凸函数
Th2.6.设S ¡ n的非空闭凸集，y S,则点x S为极小化问题 (2.4)的最优解当且仅当( y - x)T (x x) 0
设S为闭凸集，y S,H {x | pTx }为超平面。 H分离点y 若pTy ,则pTx ，x S. 令pTy ，则y与S分离可表为
6
2. 凸集与凸函数
命题2.1 下述断言相互等价. (1) ¡ n中的向量组{x0 , x1 ,..., xm}仿射无关;
(2)¡ n中的向量组{x1 x 0 ,..., xm x 0 }线性无关;
(3)¡ n1中的向量组{(x0 ,1),(x1 ,1),...(xm,1)}线性无关.
设仿射集M aff {x0, x1,...xm},L是平行于M的子空间,则
7
2. 凸集与凸函数
仿射无关向量组{x0, x1,..., xm}称为仿射集M的一个 重心坐标系. Df 2.6 设S ¡ n是非空集合, x S, N (x)表示x的 - 邻域。 若N (x) I affS S,则x称为S的一个相对内点.S的相对 内点的全体称为它的相对内部,记为riS
x5
x
x2
x4
y
x3
14
2. 凸集与凸函数
命题2.3若集合S ¡ n为凸集，则它的闭包S也是凸集。 Df 2.10设有集合C ¡ n,若对每一点x C,当取 任何非负数时，都有x C,称C为锥,又若C为凸 集，则称C为凸锥.
24
2. 凸集与凸函数
（2）pT (y x) pT (y x x x) pT (y x) pT (x x) = (y x)(x x)
推论2.1设C为¡ n中的非空闭凸锥集，y C,则 存在p( 0)S,使得pTy 0 pTx
| | 1 1,因否则导出y S,矛盾。
21
2. 凸集与凸函数
Th2.6.设S ¡ n的非空闭凸集，y S,则点x S为极小化问题 (2.4)的最优解当且仅当( y - x)T (x x) 0
设S为闭凸集，y S,H {x | pTx }为超平面。 H分离点y 若pTy ,则pTx ，x S. 令pTy ，则y与S分离可表为
6
2. 凸集与凸函数
命题2.1 下述断言相互等价. (1) ¡ n中的向量组{x0 , x1 ,..., xm}仿射无关;
(2)¡ n中的向量组{x1 x 0 ,..., xm x 0 }线性无关;
(3)¡ n1中的向量组{(x0 ,1),(x1 ,1),...(xm,1)}线性无关.
设仿射集M aff {x0, x1,...xm},L是平行于M的子空间,则
7
2. 凸集与凸函数
仿射无关向量组{x0, x1,..., xm}称为仿射集M的一个 重心坐标系. Df 2.6 设S ¡ n是非空集合, x S, N (x)表示x的 - 邻域。 若N (x) I affS S,则x称为S的一个相对内点.S的相对 内点的全体称为它的相对内部,记为riS
第3讲凸集凸函数凸规划
证法：在Young不等式中令
(b)凹函数
P41 2.37
凸函数
例：设
试证明
上是严格凸函数．
证明: 设
且
在 都有：
因此,
在
上是严格凸函数．
凸函数
例：试证线性函数是 上的凸函数．
证明: 设
则
故,
是凸函数．
类似可以证明
也是凹函数.
性质
定理1 设
凸函数
是凸集
上的凸函数充要条件
不等式应用: 设
詹生(Jensen)不等式 ，证明:
P41 2.36
性质
定理2
凸函数
正线性组合
凸函关于数 的水平集.
定理3
设 是凸集
上的凸函数，则对任意
，水平集
是凸集．
注：定理3 的逆命题不成立.
凸函数
下面的图形给出了凸函数
的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理
定理1: 设 是定义在凸集
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2) αf( x1 ) +(1- α) f( x2) f(αx1+(1-α)x2 )
f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
(2) 若 是凸集
上的严格凸函数，
且凸规划问题
局部极小点x*存在，
则x*是唯一的全局极小点．
定理 凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。 证明：设x*是凸规划的一个局部解，则存在δ>0,使 如果x*不是整体最优解，则 又因为f是凸函数，所以
(b)凹函数
P41 2.37
凸函数
例：设
试证明
上是严格凸函数．
证明: 设
且
在 都有：
因此,
在
上是严格凸函数．
凸函数
例：试证线性函数是 上的凸函数．
证明: 设
则
故,
是凸函数．
类似可以证明
也是凹函数.
性质
定理1 设
凸函数
是凸集
上的凸函数充要条件
不等式应用: 设
詹生(Jensen)不等式 ，证明:
P41 2.36
性质
定理2
凸函数
正线性组合
凸函关于数 的水平集.
定理3
设 是凸集
上的凸函数，则对任意
，水平集
是凸集．
注：定理3 的逆命题不成立.
凸函数
下面的图形给出了凸函数
的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理
定理1: 设 是定义在凸集
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2) αf( x1 ) +(1- α) f( x2) f(αx1+(1-α)x2 )
f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
(2) 若 是凸集
上的严格凸函数，
且凸规划问题
局部极小点x*存在，
则x*是唯一的全局极小点．
定理 凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。 证明：设x*是凸规划的一个局部解，则存在δ>0,使 如果x*不是整体最优解，则 又因为f是凸函数，所以
线性规划 凸集凸函数
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 " x(1)，x(2)∈D，"a
∈[0,1]恒有 ax (1) +(1- a ) x(2) ∈D 则称D为凸集。ax (1)+ (1- a ) x(2)称为 x(1)和 x(2)的凸组合。
精品PPT
例
精品PPT
{ } 定义为
(i) 超平面 H = x PT x = b 为凸集。
凸规划是非线性规划中的一种(yī zhǒnɡ)重要特殊情形，它具 有很好的性质。
定理4：（1)凸规划的任意局部极小点就是整体极小点，且极小 点集合是凸集。
(2)如果凸规划的目标函数是严格凸函数，又存在(cúnzài) 极小点，则它的极小点还是唯一的。
精品PPT
性质2 设D是R n中一个凸集，f 是定义在D上的一个凸函数， 则f 在D 的内部连续。
精品PPT
性质3 设D是Rn 中一个非空凸集，f 是定义在D上的一个凸函数，
则水平集
Da = {x x D, f (x) a}
是凸集。
f (x)
a
x
性质(xìngzhì)4： f(x)是凸集D上的凹函数的充要条件是-f(x) 是D 上的凸函数。
k
i =1
i=1
则称X为X(1)，X(2)，…，X(k)的凸组合。
定义3 极点（顶点）：设D是凸集, 若D中的点x 不能成为D中 任何(rènhé)线段上的内点，则称x为凸集D的极点。 设D为凸集，X∈D,若X不能用X(1)∈D,X(2)∈D两点的
一个凸组合表示为X=αX(1)+ (1-α)X(2),其中0<α<1 ， 则称X为D的一个极点。
精品PPT
凸函数的判断
设(p函àn数dufà(nx))存在一阶偏导数，x∈R n，向量
∈[0,1]恒有 ax (1) +(1- a ) x(2) ∈D 则称D为凸集。ax (1)+ (1- a ) x(2)称为 x(1)和 x(2)的凸组合。
精品PPT
例
精品PPT
{ } 定义为
(i) 超平面 H = x PT x = b 为凸集。
凸规划是非线性规划中的一种(yī zhǒnɡ)重要特殊情形，它具 有很好的性质。
定理4：（1)凸规划的任意局部极小点就是整体极小点，且极小 点集合是凸集。
(2)如果凸规划的目标函数是严格凸函数，又存在(cúnzài) 极小点，则它的极小点还是唯一的。
精品PPT
性质2 设D是R n中一个凸集，f 是定义在D上的一个凸函数， 则f 在D 的内部连续。
精品PPT
性质3 设D是Rn 中一个非空凸集，f 是定义在D上的一个凸函数，
则水平集
Da = {x x D, f (x) a}
是凸集。
f (x)
a
x
性质(xìngzhì)4： f(x)是凸集D上的凹函数的充要条件是-f(x) 是D 上的凸函数。
k
i =1
i=1
则称X为X(1)，X(2)，…，X(k)的凸组合。
定义3 极点（顶点）：设D是凸集, 若D中的点x 不能成为D中 任何(rènhé)线段上的内点，则称x为凸集D的极点。 设D为凸集，X∈D,若X不能用X(1)∈D,X(2)∈D两点的
一个凸组合表示为X=αX(1)+ (1-α)X(2),其中0<α<1 ， 则称X为D的一个极点。
精品PPT
凸函数的判断
设(p函àn数dufà(nx))存在一阶偏导数，x∈R n，向量
第二章凸性(Convexity)
凸集-----性质
推论： 设 Di , i 1,2,, k 是凸集， 则 i Di 也是凸集， 其中 i 是实数．
i 1 k
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集 未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
f x 1 y f x 1 f y 都有：
则称函数 f x 为 D 上的凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数 设 D R n 是非空凸集， f x : S R, 若对任意的 x, y D ( x y), 及任意的 0,1 则称函数 f x 为 D
一个可微函数 是凸函数当且 仅当函数图形 上任一点处的 切平面位于曲 面的下方.
凸函数
凸函数的判别定理---二阶条件
定理5:
2 x1 2 f G x 2 f x x x 2 1 2 f x n x1
设在开凸集 D R 内 f x 二阶可微,则 f x 是 D 内的凸函数的充要条件为: 对任意 x D, f x 的Hesse矩阵 G x 半正定, 其中： 2 f 2 f 2 f
称为函数f在集合S上关于数 定理3 设 f x 是凸集 S R n 上的凸函数，则对任意 R ，水平集 S f , 是凸集． 注：定理3 的逆命题不成立.
的水平集.
凸函数
y 2 xy 的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
4 2 4 f x , y x 3 x y 下面的图形给出了凸函数
1-2凸集与凸函数
(2) 设 D R n 为 凸集 f ( x ) 为 D 上 的 严格 凸函数 且 凸 规划 凸集, 严格凸函数 凸函数,且 全局极小点 极小点存在 全局极小点 唯一的 极小点是 问题 min f ( x ) 的全局极小点存在,则全局极小点是唯一的.
x∈D
2010-8-21
21
(2) 设 x , y ∈ D, x ≠ y , 若 ( t ) 在 [ 0,1] 上 为 严 格 凸 函 数 , 则
f ( x ) 在 D 上为严格凸函数. 严格凸函数
2010-8-21
16
该定理的几何意义是： 该定理的几何意义是：凸函数上任意两点 间的部分是一段向下凸的弧. 之间的部分是一段向下凸的弧
则称 f ( x ) 为凸集 D 上的凸函数 。 上的凸函数 凸函数。
定义1.5 严格凸函数 定义
定义中 不等式反向 可以得到 函数的定义。 反向,可以得到凹 注:将上述定义中的不等式反向 可以得到凹函数的定义。 将上述定义
严格凸 例 : 设 f ( x ) = ( x 1) ,试 证明 f ( x ) 在 ( ∞ , +∞ ) 上 是 严格 凸 试
§1.2 凸集与凸函数
2010-8-21
1
一、凸集
定义1.1 定义1.1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x , y ∈ D, 及实数 λ ( 0 ≤ λ ≤ 1) , 都有： 都有：
λx + (1 λ) y ∈ D
凸集． 则称集合 D 为凸集． 注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 Rn 常见的凸集：空集， 常见的凸集 超平面： 超平面： = {x ∈Rn a1x1 + a2 x2 +L+ an xn = b} H
为凸集, 上的凸函数,则称规划 定义 1.6: 设 D R n 为凸集 f ( x ) 为 D 上的凸函数 则称规划 为凸规划问题. 问题 min f ( x ) 为凸规划问题
x∈D
2010-8-21
21
(2) 设 x , y ∈ D, x ≠ y , 若 ( t ) 在 [ 0,1] 上 为 严 格 凸 函 数 , 则
f ( x ) 在 D 上为严格凸函数. 严格凸函数
2010-8-21
16
该定理的几何意义是： 该定理的几何意义是：凸函数上任意两点 间的部分是一段向下凸的弧. 之间的部分是一段向下凸的弧
则称 f ( x ) 为凸集 D 上的凸函数 。 上的凸函数 凸函数。
定义1.5 严格凸函数 定义
定义中 不等式反向 可以得到 函数的定义。 反向,可以得到凹 注:将上述定义中的不等式反向 可以得到凹函数的定义。 将上述定义
严格凸 例 : 设 f ( x ) = ( x 1) ,试 证明 f ( x ) 在 ( ∞ , +∞ ) 上 是 严格 凸 试
§1.2 凸集与凸函数
2010-8-21
1
一、凸集
定义1.1 定义1.1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x , y ∈ D, 及实数 λ ( 0 ≤ λ ≤ 1) , 都有： 都有：
λx + (1 λ) y ∈ D
凸集． 则称集合 D 为凸集． 注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 Rn 常见的凸集：空集， 常见的凸集 超平面： 超平面： = {x ∈Rn a1x1 + a2 x2 +L+ an xn = b} H
为凸集, 上的凸函数,则称规划 定义 1.6: 设 D R n 为凸集 f ( x ) 为 D 上的凸函数 则称规划 为凸规划问题. 问题 min f ( x ) 为凸规划问题
第二节 凸函数和凸规划
2
正定， f 为凸函数。
2 0 0 2 0 半正定， g 1 ( x ) 是凸函数。其他约束条件均为线性。故改（MP）为凸规 0 0 0
而 2 g1 ( x ) 0 划。
故
f ( x ( x x )) f ( x )
1 2 1 1
f (x ) f (x )
2 1
（4.2.3）
由多元函数 Taylor 展开式可知：
f ( x ( x x )) f ( x ) f ( x ) ( x x ) ( ( x x ) )
第二节 凸函数和凸规划
• 凸函数及其性质 • 凸规划及其性质
凸函数和凸规划
1. 凸函数及其性质
定义 4.2.1 有
f ( x
1
设S
2
R
n
是非空凸集，
1
f :S R
，如果对任意的
1 2
( 0 ,1 )
(1 ) x ) f ( x ) (1 ) f ( x ) ， x , x
(MP)
约束集
如果(MP)的约束集X是凸集，目标函数f是X上的 凸函数，则(MP)叫做非线性凸规划，或简称为凸 规划。
凸规划性质
• 凸规划的性质
定理 4.2.5 对于非线性规划(MP)，若 g i ( x ), i
j 1 ,..., q
1 ,..., p
皆为 R n 上的凸函数， h j ( x ),
2 f (x) 2 x1 2 f (x) x 2 x1 f (x) . . 2 f (x) x nx1
2
f (x)
x1 x 2
正定， f 为凸函数。
2 0 0 2 0 半正定， g 1 ( x ) 是凸函数。其他约束条件均为线性。故改（MP）为凸规 0 0 0
而 2 g1 ( x ) 0 划。
故
f ( x ( x x )) f ( x )
1 2 1 1
f (x ) f (x )
2 1
（4.2.3）
由多元函数 Taylor 展开式可知：
f ( x ( x x )) f ( x ) f ( x ) ( x x ) ( ( x x ) )
第二节 凸函数和凸规划
• 凸函数及其性质 • 凸规划及其性质
凸函数和凸规划
1. 凸函数及其性质
定义 4.2.1 有
f ( x
1
设S
2
R
n
是非空凸集，
1
f :S R
，如果对任意的
1 2
( 0 ,1 )
(1 ) x ) f ( x ) (1 ) f ( x ) ， x , x
(MP)
约束集
如果(MP)的约束集X是凸集，目标函数f是X上的 凸函数，则(MP)叫做非线性凸规划，或简称为凸 规划。
凸规划性质
• 凸规划的性质
定理 4.2.5 对于非线性规划(MP)，若 g i ( x ), i
j 1 ,..., q
1 ,..., p
皆为 R n 上的凸函数， h j ( x ),
2 f (x) 2 x1 2 f (x) x 2 x1 f (x) . . 2 f (x) x nx1
2
f (x)
x1 x 2
凸集凸函数凸规划
凸集-----性质
k
推论：设Di , i 1,2,, k是凸集，则 i Di i 1 也是凸集，其中i 是实数．
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集
未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例：D1 x,0T x R 表示 x 轴上的点． D2 0, yT y R 表示 y 轴上的点．
x 1 y D,
则称集合 D 为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：H x Rn a1 x1 a2 x2 an xn b ,
H
半空间：
x Rn a1x1 a2 x2
= x Rn aT x b
则 D1 D2 表示两个轴的所有点，它不是凸集；
而 D1 D2 R2 凸集．
凸集-----凸包(Convex Hull)
定义 设 S Rn , S 中任意有限个点的所有凸 组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
m
m
H(S) i xi xi S, i 0, i 1,2...,m, i 1, m N
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数
设 D Rn 是非空凸集， f x: S R,
若对任意的 x, y D (x y),及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y
则称函数 f x 为 D 上的严格凸函数．
i 1
i 1
凸组合 (Convex Comb, xi Rn , i 1,2,...m且 i 1.
2凸分析
2. 凸集与凸函数
Df 2.5 非空凸集中的点 x 称为极点 极点,若 x=λx1+(1-λ)x2 , 极点 λ∈(0,1) , x1 ,x2 S, 则 x=x1=x2.换言之,x不能表示成S中两个不 同点的凸组合. x1 x S x5 x x4 x
2
y
x3
由上可知,任何有界凸集中任一点都可表成极点的凸组合.
2. 凸集与凸函数
Def 2.6. 设非空凸集S⊂Rn, Rn中向量d≠0 称为S的一个回收方 一个回收方 一个 向(方向 若对每一 x∈S, R(x.d)={x+λd| λ≥0 }⊂S.S的所有方向 方向), 方向 构成的尖锥称为S的回收锥,记为0+S 不同的方向,若对任意λ>0, 方向d1和d2 称为S的两个不同的方向 不同的方向 都有 d1≠λd2；方向d称为S的极方向extreme direction ,若 d=λd1+(1-λ)d2, λ∈(0,1),d1 ,d2 是S的两个方向,则有 d=d1=d2. 换言之d不能表成它的两个不同方向的凸锥组合 d x0 x0 d d
y
x3
2. 凸集与凸函数
命题2.2若集合S ⊆
Df 2.4设有集合C ⊂ 集，则称C为凸锥.
n
为凸集，则它的闭包S 也是凸集。
n
, 若对每一点x ∈ C ,当λ取
任何非负数时，都有λx ∈ C , 称C为锥, 又若C为凸
例2. ，向量集α(1), α(2),..., α(k)的所有非负线性组合 3 构成的集合 {∑ λ i α(i) λ i ≥ 0,i = 1,2,..., k}为凸锥。
2. 凸集与凸函数
• 2. 2 凸集分离定理
Df 2.7，设S1和S2是
第1讲线性规划基本概念.ppt
凸集：设集合 X Rn ，如果 X 中任意两点的凸组合 仍然属于X ，则称 X 为凸集.
定义 1 集合 D Rn称为凸的，如果对于任意 x, y D ,有
x (1 ) y D 0 1
则称 D 是Rn中的凸集（convex set）.
结论： （1） 空集和全空间Rn是凸集. （2） 设a Rn,a 0, R，则超平面（hyper plane）
X
x
Rn
g（i x） h（j x）
0 0
i 1,, p j 1,,q
若X是凸集, f 是D上的凸函数,称(MP)为非线性 凸规划,简称凸规划.
凸规划性质：
定理
线性函数
对于非线性规划(MP),
min f（x）
s.t. g（i x） 0
h（j x） 0
第1讲 基本概念 Basic conceptions
一．最优化问题简介
二．凸集和凸函数
三．非线性规划方法概述
一．最优化问题简介.
定义：在一切可能的方案中选择一个最好的方案，以 达到最优目标.
（凡是准求最优目标的数学问题都属于最优化问题， Optimization Problems,OP）.
三要素： （1）目标； （2）方案； （3）限制条件.
指标集.
解：
c1(x)
2 2
2 ( 2 )2 0, 2
c2 (x) 1 (
2 )2 ( 2
2 )2 0, 2
c3(x)
2 0. 2
A {1,2}. x
x2
c2 (x) 0
c3(x) 0
x
O
c1(x) 0
凸集和凸函数和凸规划-课件
凸集---定义
01
线性组合 (linear Combination)
单击此处添加小标题
02
仿射组合 (Affine Combination)
单击此处添加小标题
03
凸组合 (Convex Combination)
单击此处添加小标题
04
凸锥组合 (Convex Cone Combination)
单击此处添加小标题
第3讲 凸集、凸函数、凸规划
凸集 (Convex Set) 凸函数 (Convex Function) 凸规划 (Convex Programming) 凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用.
则有：
即点
属于超球,
所以超球为凸集．
凸集----举例
(1)
任意多个凸集的交集为凸集．
(2)
设
是凸集，
是一实数，
则下面的
集合是凸集：
凸集-----性质
(3)
推论：
设
是凸集，
则
也是凸集，
其中
是实数．
(4)
S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.P23,定理2.9
凸集-----性质
注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸 函数的依据.
凸函数
定理4-----
01
几何
02
解释
03
一个可微函数
04
是凸函数当且
05
仅当函数图形
06
上任一点处的
07
切平面位于曲
08
面的下方.
演示文稿凸集与凸函数
可证, S的仿射包
k
kLeabharlann affS { i xi | i 1,i R, xi S,i 1,.., k, k }
i1
i1
2. 凸集与凸函数
Df2.1 Rn中任一集合S的维数定义为它的仿射包 affS的维数,即包含S的仿射集的最小维数. Df 2.5 由m 1个向量组成的向量组x0 , x1 ,...xm 称为是仿射无关的,是指集合{x0 , x1 ,...xm}的维 数为m,即仿射包aff {x 0 , x1 ,...xm}维数是m. 一般,有限点集的仿射包aff {x0 , x1 ,...xm} L x0, L aff {0, x1 x 0 ,...xm x 0 } 是包含{x1 x0 ,...xm x 0 }的最小子空间. L的维数是m x1 x 0 ,...xm x 0线性无关.
m
有1x1 ... mxm S,其中 i 1, i1
i 0 R,i 1,.., m.
2. 凸集与凸函数
运用定义不难验证如下命题：
命题2.2 设S1和S2为En中两个凸集,是实数,则 1,S1 {x x S1}为凸集。 2，S1 S2为凸集 3，S1 S2 ={x(1)+x(2) x(1)S1 ,x(2)S2 }为凸集 4，S1 S2 ={x(1)-x(2) x(1) S1 ,x(2) S2 }为凸集
2. 凸集与凸函数
•可验证,仿射集的交集仍是仿射集
若记 AT (a1, a2 ,..., am ),b (b1,b2,...,bm )T
Hi {x | aiT x bi}.i 1, 2,..., m, 则
M
H m
i1 i
Df2.3 给定Rn中集合S,包含S的所有仿射集的交集,
§4.2 凸函数和凸规划
§4.2 凸函数和凸规划1、凸函数及其性质定义 4.2.1 设n R S ⊂是非空凸集，R S f α:，如果对任意的)1,0(∈α有)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+，S x x ∈∀21, 则称f 是 S 上的凸函数，或 f 在 S 上是凸的。
如果对于任意的)1,0(∈α有)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+<-+，21x x ≠ 则称f 是S 上的严格凸函数，或f 在S 上是严格凸的。
若 f -是S 上的（严格）凸函数，则称f 是S 上的（严格）凹函数，或f 在S 上是（严格）凹的。
例 4.2.1 线性函数既是凸函数，又是凹函数定理 4.2.1 设n R S ⊂是非空凸集。
（1）若R R f n α:是S 上的凸函数，0≥α，则f α是S 上的凸函数；（2）若R R f f n α:,21都是S 上的凸函数，则21f f +是S 上的凸函数。
定理 4.2.2 设n R S ⊂是非空凸集，R R f n α:是凸函数，R c ∈，则集合}{c x f S x c f H S ≤∈=)(),(是凸集。
（称集合),(c f H S 为函数 f 在集合 S 上关于数 c 的水平集）证：任取),,(,21c f H x x S ∈ 则有S x S x ∈∈21,以及c x f c x f ≤≤)(,)(21因为S 是凸集，所以对于任意的)1,0(∈α有S x x ∈-+21)1(αα又因为f 是S 上的凸函数，因此有c c c x f x f x x f =-+≤-+≤-+)1()()1()())1((2121αααααα所以 ),()1(21c f H x x S ∈-+αα。
因此 ),(c f H S 是凸集。
定理 4.2.3 设n R S ⊂是非空开凸集，R S f α:可微，则（1）f 是S 上的凸函数的充要条件是)()()()(12121x f x f x x x f T -≤-∇， S x x ∈∀21, 其中T n x x f x x f x f ))(,....,)(()(1111∂∂∂∂=∇是函数f 在点1x 处的一阶导数或梯度。
凸集与凸函数.ppt
0,1表示连接 x1, f x1 , x2, f x2 的线段.
f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2 处的函数
值.
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段
总是位于曲线弧的上方．
2020/10/6
12
2020/10/6
13
凸函数的性质
(1)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 k 0 ,则 kf x 也
2020/10/6
3
凸集的性质
（１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集
为凸集． （２） 设 D 是凸集， 是一实数， 则下面的
集合是凸集：D y y x , x D
（３）设 D1 , D2 是凸集，则 D1 , D2 的和集
D1 D2 y y x z, x D1, z D2 是凸集;
§1.2 凸集与凸函数
2020/10/6
1
一、凸集
定义1.1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x , y D , 及实数 0 1, 都有：
x 1 y D
则称集合 D 为凸集．
注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 Rn
超平面：H x Rn a1x1 a2x2 an xn b
是 D 上的凸函数.
(2)设 f1 x , f2 x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 , 0 , 则 f1 x f2 x 也是 D 上的凸函数.
(3)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数, 是实数,则水平集
S f , x x D, f x 是凸集.
(1) f x 是凸集 D 上的凸函数的充要条件是对x, y D ,一
元函数 t 在0,1 上为凸函数. (2) 设 x, y D, x y , 若 t 在 0,1 上 为 严 格 凸 函 数 , 则 f x 在 D 上为严格凸函数.
f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2 处的函数
值.
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段
总是位于曲线弧的上方．
2020/10/6
12
2020/10/6
13
凸函数的性质
(1)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 k 0 ,则 kf x 也
2020/10/6
3
凸集的性质
（１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集
为凸集． （２） 设 D 是凸集， 是一实数， 则下面的
集合是凸集：D y y x , x D
（３）设 D1 , D2 是凸集，则 D1 , D2 的和集
D1 D2 y y x z, x D1, z D2 是凸集;
§1.2 凸集与凸函数
2020/10/6
1
一、凸集
定义1.1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x , y D , 及实数 0 1, 都有：
x 1 y D
则称集合 D 为凸集．
注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 Rn
超平面：H x Rn a1x1 a2x2 an xn b
是 D 上的凸函数.
(2)设 f1 x , f2 x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 , 0 , 则 f1 x f2 x 也是 D 上的凸函数.
(3)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数, 是实数,则水平集
S f , x x D, f x 是凸集.
(1) f x 是凸集 D 上的凸函数的充要条件是对x, y D ,一
元函数 t 在0,1 上为凸函数. (2) 设 x, y D, x y , 若 t 在 0,1 上 为 严 格 凸 函 数 , 则 f x 在 D 上为严格凸函数.
运筹学及其应用7.3 凸函数和凸规划
X
)
=
∂2 g1 ∂x12
∂2 g1 ∂x2∂x1
∂2 g1 ∂x1∂x2
∂2 g1 ∂x22
=
0 00 0 Fra bibliotek,凹(凸)函数.
H
g
2
(
X
)
=
∂2g2 ∂x12
∂2g2 ∂x2∂x1
∂2g2 ∂x1∂x2
∂2g2 ∂x22
7.3 凸函数与凸规划
凸集概念： 设D是n维线性空间En的一个点集，若D中的
任意两点x(1),x(2)的连线上的一切点x仍在D中， 则称D为凸集。 即：若D中的任意两点x(1),x(2) ∈D，任意0<α<1 使得 x= α x(1)+(1- α)x(2) ∈ D,则称D为凸集
1
一、凸函数的定义
设R为凸集,∀X (1), X (2) ∈ R及α ∈ (0, 1) • 若f (αX (1) + (1−α ) X (2) ) ≤ αf ( X (1) ) + (1−α ) f ( X (2) )
因为 f ( X ) 是凸函数，由凸函数判别一阶条件知， f ( X ) ≥ f ( X *) + ∇f (X *)T ( X − X *) = f ( X *) 即 X * 是全局极小点。
12
解无约束问题的算法： Ø求f(X)的驻点X*，若是凸函数，得到最优 解。否则，转下一步。 Ø在驻点X*处，计算H(x)。 Ø根据H(x)来判断该驻点X*是否是极值点。
H
f
(
X
)
=
∂x12 ∂2 f
02工程优化 第2章基础知识HESSE矩阵凸集凸函数课件
其
证明：f在 x0可微，则根据可微定义，
f x0 p f x0 lT p o p f x0 f x0 T p o p
利f 用 x0方 向li导m 数f lpi定mx00义ffp并xx10将,f上pfxx式0x20p中f,l的ixm,0ftpx换lxnfT0p成xT0tT0e=e,有f o：(x30t)
f x0
f
x0
即
li,m则ff(xx)0
从 tex0出 f发 x在0
x0附近沿p方向是下降的。
<0
0,则tf(0x) 从 x0出t发在 x0附近沿p方向是上升的。
p
多元函数梯度的性质
若
f x0
p
0,
则f(x)
从
x0出发在
x0 附近沿p方向是下降的。
若
f x0
p
0,则f(x) 从 x0出发在 x0附近沿p方向是上升的。
p
t 0
t
t 0
t
f
x0
T
e.
容易看到：当 f
x0 T
p 0 时 ，有
f x0
p
f
x0 T
e 0, 由前
面证明即知 p 为下降方向。
多元函数梯度的性质
推论：若f x0 T p 0，则 p 是函数 f (x) 在 x0处的下降方向。 若f x0 T p 0，则 p 是函数 f(x) 在 x0处的上升方向。
lim f x1,..., xi xi ,...xn f x1,..., xi ,..., xn (1)
xi 0
xi
存在, 则称此极限为函数 z f (x) 在点 x 对第i个分量 xi
的偏导数，记为 f (x)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
X αx1+(1-α)x2 X2
.
23
f(X) f(X1)
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
.
24
f(X) 任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
证法：在Young不等式中令
n
n
n
xkyk
n
xkpp
n
ykqq
k1
k1kq
ykq
.
P41 2.37
26
凸函数
例：设fxx12,试证明 f x在,
上是严格凸函数．
证明: 设 x, yR, 且xy, 0 ,1 都有：
.
1
凸集---定义
线性组合 (linear Combination)
m ix i,其i 中 R ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ...
i 1
仿射组合 (Affine Combination)
m
m
ix i,其 i R 中 ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ,.且 . i 1 .
(a)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸; 集 (b)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸. 集
.
7
凸集-----性质
k
推论：设D i,i1,2,,k是凸集，则 i D i i1 也是凸集，其中 i 是实数．
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.P23,定理2.9
.
8
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集
未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例：D 1x ,0 Tx R 表示 x轴上的点． D 20 ,y Ty R 表示 y轴上的点．
则 D1 D2 表示两个轴的所有点，它不是凸集；
而 D1D2 R2凸集．
.
9
凸集-----凸包(Convex Hull)
i 1
i 1
凸组合 (Convex Combination)
m
m
ix i,其 i R 中 ,x i R n ,i 1 ,2 ,. m 且 .. i 1 .
i 1
i 1
凸锥组合 (Convex Cone Combination)
m
ix i,其i 中 R ,x i R n,i1 ,2 ,.m ...
设 D Rn 是非空凸集， f x:DR,
若对任意的 x,yD,及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y 则称函数 f x 为 D 上的凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到
凹函数的定义．
.
19
凸函数
严格凸函数
设 D Rn 是非空凸集， f x:DR,
定义 设 S SR中n, 任意有限个点的所有凸组合 所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
m
m
H (S ) ix ix i S ,i 0 ,i 1 ,2 ..m ,., i 1 ,m N
i 1
i 1
定理2.1.4 H(S)是Rn 中所有包含S 的凸集的交集.
H(S)是包含S 的最小凸集.
证明：设 x, y 为超球中的任意两点，01,
则有： x1y
x 1 y
r 1 r r ,
即点x1y属于超球, 所以超球为凸集．
.
6
凸集-----性质
(1) 任意多个凸集的交集为凸集．
(2) 设 D是凸集， 是一实数， 则下面的
集合是凸集： D y y x ,x D
(3) 设D1和D2是Rn上的凸集，则
.
10
凸集-----凸锥 (Convex Cone)
定义 锥、凸锥
设S Rn, x0 S， 如 果 对 一x切 S
及 0,有x0 xS, 则 称S是
以x0为 顶 点 的.锥 如 果S又 是 凸 集 ， 则 称S为 凸 锥.
.
11
凸函数
凸函数(Convex Function) ----定义2.4
第3讲 凸集、凸函数、凸规划
凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸
性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化 的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用.
• 凸集 (Convex Set)
• 凸函数 (Convex Function) • 凸规划 (Convex Programming)
01表示连接 x 1 ,f x 1 ,x 2 ,f x 2 的线段．
fx 1 1 x 2 表示在点 x 1 1 x 2处的
函数值．
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点
的线段总是位于曲线弧的上方．
.
21
f(X) f(X1) X1
f(X2)
X X2
.
22
f(X) f(X1) X1
f(X2) f(αx1+(1-α)x2 )
x 1 y D ,
则称集合 D为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：H x R n a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b ,
半空间： HxRna1x1a2x2Lanxnb
=xRnaTx. b
5
凸集----举例
例： 证明超球 x r 为凸集．
i 1
.
2
凸集---定义
例 二维情况下，两点x1, x2的
(a)线性组合为全平面； (b)仿射组合为过这两点的直线； (c)凸组合为连接这两点的线段； (b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥.
.
3
凸集---定义
凸集---定义
定义1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x,yD, 及实数01,都有：
若对任意的 x,yD(xy),及任意的 0,1
都有：fx 1 y f x 1 f y
则称函数 f x 为 D 上的严格凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以 得到严格凹函数的定义．
.
20
凸函数
几何性质
对一元函数 f x,在几何上 f x 1 1 f x 2
f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
例4.2.1
.
25
该定义的一个应用——证明不等式
例：f(证t)明lnxt凹 1p(yaq1 )凸xp 函Yoqyu数,ng不其 等中 式x ,y (x0 by,)凹p ,xpq 函p 数0 yq,q 1 p q 1 1 .
1
1
推广：Hölder不等式