高三数学训练题(三)平面向量、立体几何(2)

广州市高三数学训练题

(三) 平面向量、立体几何（2）

（时间：100分钟 满分100分）

（由广州市中学数学教研会高三中心组编写，本卷命题人:杨 斗 修改：吴永中） 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，

题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 得分 答案

（1b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--== （A ）0° （B ）45°

（C ）90°

（D ）180°

（2）在空间四边形ABCD 中，AB=BC ，AD=DC ，则对角线AC 与BD 所成角的大小是 （A ）90︒ （B ）60︒ （C ）45︒

（D ）30︒

（3）将函数12

++=

x x y 的图象按向量()1,1a =-平移后所得图象的函数解析式为 （A ）252++=x x y （B ）x

y 1

= （C ）21+=x y （D ）x x y 12+=

（4）已知(1,0,2)a λλ=+，(6,21,2)b μ=-，若//a b ，则λ与μ的值分别为

（A ）－5，－2 （B ）5，2

（C ）21,51--

（D ）2

1

,

51 （5）若向量a 、b 的坐标满足(2,1,2)a b +=--，(4,3,2)a b -=--，则a ·b 等于

（A ）5- （B ）5 （C ）7

（D ）1-

（6）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别

是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM （A ）是AC 和MN 的公垂线 （B ）垂直于AC ，但不垂直于MN

（C ）垂直于MN ，但不垂直于AC

（D ）与AC 、MN 都不垂直

（7）地球表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经30°）的球面距离为（地球

半径为R ） （A ）R

（B ）

42R π （C ）3

R

π （D ）

2

R

π

（8）如图，在一根长11cm ，外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺

旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为 （A ）61cm （B ）157cm （C ）1021cm

（D ）3710cm

（9）在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM

与CN 所成角的余弦值是

（ ）

（A ）5

2-

（B ）

5

2 （C ）

5

3 （D ）

10

10 （10）平面内有1230OP OP OP ++=且122331OP OP OP OP OP OP ==，则113PPP

∆一定是 （A ）钝角三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰三角形

（D ）等边三角形

（11）在棱长为2的正方体AC 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离

是

（A ）

3

2

（B ）

3

4

（C ）

332 （D ）3

2

2 （12）设PA ，PB ，PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线PC 与平面APB

所成角的余弦值是 （A ）

2

1

（B ）

2

3 （C ）

3

3 （D ）

3

6 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） （13）C B A P 、、、是球O 面上的四个点，PC PB PA 、、两两垂直，且1===PC PB PA ，则

球的体积为__________．

（14）设{|(2,2)2(cos ,sin )}M a a θθ==+，{|(2,0)(2,2)}N a a λ==+，则M N ⋂= （15）已知：a b a ,2||,2||=

=与b 的夹角为45°，要使a b -λ与a 垂直，则λ= ．

（16）向量的命题：①若非零向量),(y x a =，向量),(x y b -=，则b a ⊥；①四边形ABCD 是菱形

的充要条件是DC AB =且AD AB =；①若点G 是ABC ∆的重心，则0=++CG GB GA ①

ABC ∆中,AB 和CA 的夹角为A -︒180,其中正确的命题序号是 __________．

三、解答题（本大题共4小题，共40分）（17）（本小题满分8分）

平行四边形ABCD中，已知：

1

3

DE DC

=,

1

4

DF DB

=, 求证：A、E、F三点共线。

（18）（本小题满分10分）

已知△ABC的顶点坐标为A（1，0），B

为4，在边AC上求一点Q，使线段PQ

（19）（本小题满分10分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 为BC 、CD 、1CC 、

11C D 中点．

（①）求证：1A G ⊥平面1EFC ； （①）求证：BH //平面1EFC 。

（20）（本小题满分12分）

已知ABCD 为直角梯形，AD //BC ,90BAD ∠=, 1AD AB ==, 2BC =, PA ⊥平面

ABCD ，

（Ⅰ）若异面直线PC 与BD 所成的角为θ

，且cos θ=，求||PA ; （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设E 为PC 的中点，能否在BC 上找到一点F ，使EF CD ⊥? （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角B PC D --的大小.

H

G

C D A C

A

B