人教课标版高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》复习参考学案
2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程章末综合提升(教学用书)教案新人教A版选修2-1
作业布置：
1. 完成课后练习题，加深对圆锥曲线基本概念、方程及其应用的理解。
2. 分析实际问题，运用圆锥曲线知识解决问题，提高数学应用能力。
3. 研究圆锥曲线在自然界和生活中的应用，拓展知识面。
4. 学习圆锥曲线在其他学科领域的应用，如物理学、工程学等。
作业反馈：
1. 对学生的作业进行及时批改，指出存在的问题，如对圆锥曲线基本概念的误解、方程求解方法的错误等。
详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解圆锥曲线的多样性或复杂性。
引导学生思考这些案例在几何学中的应用以及对实际问题的启示。
4. 学生小组讨论（10分钟）
目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与圆锥曲线相关的主题进行深入讨论。
小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。
目标：让学生了解圆锥曲线的基本概念、组成部分和原理。
过程：
讲解圆锥曲线的定义，包括其主要组成元素或结构。
详细介绍圆锥曲线的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。
3. 圆锥曲线案例分析（20分钟）
目标：通过具体案例，让学生深入了解圆锥曲线的特性和重要性。
过程：
选择几个典型的圆锥曲线案例进行分析。
答案：卫星不会掉落到地球上是因为椭圆轨道的性质。在椭圆轨道上，卫星到地球的距离是不断变化的，当卫星接近地球时，它具有足够的速度沿着椭圆轨道继续运行，而不会掉落。
4. 题型四：圆锥曲线的方程求解
题目：给定一个抛物线的方程 y^2 = 4ax，请找出它的顶点和焦点。
答案：抛物线的顶点位于原点(0,0)，焦点位于x轴上，坐标为(a,0)。
2. 在线教学平台：利用在线教学平台，提供丰富的学习资源和练习题库，方便学生自主学习和巩固知识，同时可以进行实时互动和交流，提高学习效果。
【新人教版】2019-2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程阶段复习课学案 新人教A版选修2-1
第二课 圆锥曲线与方程[核心速填]1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质2.(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0(a >0，b >0)，即y ＝±b a x ；双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y 2a 2－x 2b 2＝0(a >0，b >0)，即y ＝±abx .(2)如果双曲线的渐近线为x a ±y b ＝0时，它的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．3．抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F 的弦长|AB |的一个重要结论． (1)y 2＝2px (p >0)中，|AB |＝x 1＋x 2＋p . (2)y 2＝－2px (p >0)中，|AB |＝－x 1－x 2＋p . (3)x 2＝2py (p >0)中，|AB |＝y 1＋y 2＋p . (4)x 2＝－2py (p >0)中，|AB |＝－y 1－y 2＋p .[体系构建][题型探究](1) ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．以上都不对(2)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________.【导学号：46342119】[解] (1)把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆上，如图所示，则△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，∴a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，∴c ＝22，∴b 2＝a 2－c 2＝8， ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.[答案] (1)C (2)x216＋y28＝11．点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2,3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标．[解] 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小，且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4，所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3.(1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于2，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1 (2)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3，因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.[答案] (1)D (2)x 2－y 23＝12．(1)以x 轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8x D ．x 2＝8y 或x 2＝－8yC [由题意知2p ＝8，故选C ．](2)焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( ) A ．x 24＋y 23＝1B ．x 24＋y 2＝1C ．y 24＋x 23＝1D ．x 2＋y 24＝1A [依题意，得a ＝2，a ＋c ＝3，故c ＝1，b ＝22－12＝3，故所求椭圆的标准方程是x 24＋y 23＝1.](1)如图21所示，F 1，F 2是椭圆C 1：4＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图21A ． 2B ． 3C ．32D ．62(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________．[思路探究] (1)由椭圆可求出|AF 1|＋|AF 2|，由矩形求出|AF 1|2＋|AF 2|2，再求出|AF 2|－|AF 1|即可求出双曲线方程中的a ，进而求得双曲线的离心率．(2)根据离心率的关系列出关于a ，b 的方程，求出ba，再求渐近线方程． [解] (1)由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4， |F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22， 因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. (2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a .因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14，所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x ，即x ±2y ＝0. [答案] (1)D (2)x ±2y ＝0(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法. (3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.[跟踪训练]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ，A ，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若△ABO 的面积是3c 2，则这一椭圆的离心率是( )【导学号：46342120】A ．12B ．32C ．22D ．33A [12ab ＝3c 2，即a 2(a 2－c 2)＝12c 4，所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0，所以a 2＝4c 2，a ＝2c ，故e ＝c a ＝12.]已知椭圆a 2＋b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为2，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．[思路探究] (1)利用定义解题．(2)利用勾股定理和弦长公式来解．[解] (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5， 由d <1得|m |<52. (*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4(m 2－3)]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得4－m25－4m2＝1， 解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，直线l ：x ＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，求a 的取值范围.【导学号：46342121】[解] (1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ， 由A (2,0)，得a ＝2，∴c ＝2，b ＝2， ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0，若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解．设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (0)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4， 故a 的取值范围是233≤a ≤2.。
新课标人教B版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程教案
第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。
人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案复习课(二)圆锥曲线与方程
复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查，标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容．[考点精要]椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准 方程x 2a 2＋y 2b 2＝1或 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或 y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px 或 y 2＝－2px 或 x 2＝2py 或 x 2＝－2py (p >0)关系 式a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1(2)已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为ca ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1．[答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1[类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．[题组训练]1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1B ．x 228－y 221＝1C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝ba x 过点(2，3)， 可得3＝ba×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254． 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．[考点精要]椭圆、双曲线、抛物线的几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形 封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点 四个 两个 一个 离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程x ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． [解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ．又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． (2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，∴b a ＝22． 故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ， 即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．[题组训练]1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22， 故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，F B 1＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b 2a ，又AD ⊥F 1B ，所以AD ·F B 1＝－2c 2＋3b 42a 2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a 2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33． 答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p24b2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③ 由①③得p 2＝4b 2．④ 将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a2＝2，即ba ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0． 答案：x ±y ＝0直线与圆锥曲线的位置关系高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．[考点精要]直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2，其中k是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1． (2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2， 解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0， 解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离． (2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．[题组训练]1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k得ky 2－4y ＋4k ＝0． 当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3． 因此a 2＝6，b 2＝3． 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463． 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0． 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3．因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．。
最新人教A版选修2-1高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5~16椭圆与双曲线的对偶性质复习小结教学设计
课题：椭圆与双曲线的对偶性质--（实验班）椭 圆课时：16 课型：复习课1. 椭圆在点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点(除长轴端点)12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴且不过原点的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案新人教A版选修2_1
2.1 曲线与方程1．曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？[提示](1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．(2)充要条件是f(x0，y0)＝0.2．求曲线方程的步骤1．下列结论正确的个数为 ( )(1)过点A(3，0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；(2)到x轴距离为3的直线方程为y＝－3；(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；(4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1，0)，C(－1，0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝0.A．1 B．2C．3 D．4A [(1)满足曲线方程的定义，∴结论正确．(2)到x 轴距离为3的直线方程还有一个y ＝3，∴结论错误．(3)∵到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1，∴结论错误．(4)∵中线AD 是一条线段，而不是直线，∴中线AD 的方程为x ＝0(－3≤y ≤0)，∴结论错误．]2．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2，1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上B [将点M 的坐标代入直线l 和曲线C 的方程知点M 在直线l 上，也在曲线C 上．] 3．方程x 2＋xy ＝x 的曲线是( ) A ．一个点 B ．一个点和一条直线 C ．一条直线D ．两条直线D [方程可化为x (x ＋y －1)＝0，∴x ＝0或x ＋y －1＝0.因此方程的曲线是两条直线．] 4．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (－1，2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝3，则点P 的轨迹方程为________．x －2y ＋3＝0 [由题意OP →＝(x ，y )，OA →＝(－1，2)，则OP →·OA →＝－x ＋2y .由OP →·OA →＝3，得－x ＋2y ＝3，即x －2y ＋3＝0.]题中正确的是 ( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①过点A (2，0)平行于y 轴的直线与方程|x |＝2之间的关系； ②到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系； ③第二、四象限角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系．(1)B [根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A 、C 、D 错．](2)解：①过点A (2，0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解，但以方程|x |＝2的解为坐标的点不一定都在过点A (2，0)且平行于y 轴的直线上．因此|x |＝2不是过点A (2，0)平行于y 轴的直线的方程．②到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.③第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0，反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．1．(1)已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上 C ．不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 C [根据曲线的方程的定义知，选C.] (2)已知方程x 2＋(y －1)2＝10.①判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；②若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值．[解] ①因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．②因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10.解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.1．求曲线方程为什么要首先“建立适当的坐标系”？如何建系？[提示] 只有建立了平面直角坐标系，才能用坐标表示点，才能把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹．建立坐标系时，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．2．在求出曲线方程后，为什么要说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上？ [提示] 根据条件求出的方程，只满足“曲线上的点的坐标都是方程的解”，而没说明“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，故应说明．【例2】 在Rt △ABC 中，斜边长是定长2a (a ＞0)，求直角顶点C 的轨迹方程． 思路探究：以线段AB 的中点为原点，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，法一(直接法)：利用|AC |2＋|BC |2＝|AB |2求解． 法二(定义法)：顶点C 在以AB 为直径的圆上．[解] 法一(直接法)：取AB 边所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点， 过O 与AB 垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系， 则A (－a ，0)，B (a ，0)，设动点C 为(x ，y )． 由于|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以(（x ＋a ）2＋y 2)2＋(（x －a ）2＋y 2)2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＝a 2. 由于当x ＝±a 时，点C 与A 或B 重合，故x ≠±a . 所以所求的点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )． 法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一．因为AC ⊥BC ，则顶点C 的轨迹是以AB 为直径的圆(除去A ，B 两点)，因此顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．1．直接法求曲线方程直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M |p (M )}直接翻译成x ，y 的形式F (x ，y )＝0，然后进行等价变换，化简为f (x ，y )＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．2．定义法求曲线方程如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征．m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程．[解] 设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)，则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ →＝OM →＋ON →，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0，2y 0)， 则x 0＝x ，y 0＝y2.又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4，即x 2＋y 24＝4.所以，动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1.代入法求轨迹方程的步骤(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系；(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点； (3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程．2．已知△ABC ，A (－2，0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．[解] 设△ABC 的重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋0＋x 13，y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2. 代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1. ∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．3．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x ，y )，而不要设成(x 1，y 1)或(x ′，y ′)等．4．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f (x ，y )＝0化成x ，y 的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．5．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．1．若点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．－1或0D ．0或1 D [由题意知m －m 2＝0，解得m ＝0或m ＝1，故选D.] 2．在直角坐标系中，方程|x |·y ＝1的曲线是( )C [当x ＞0时，方程为xy ＝1， ∴y ＞0，故在第一象限有一支图象； 当x ＜0时，方程为－xy ＝1， ∴y ＞0，故在第二象限有一支图象．]3．已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (－3，0)，B (3，0)，顶点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．一条直线去掉一点 C ．一个点D ．两个点B [由题意知|AC |＝|BC |，则顶点C 的轨迹是线段AB 的垂直平分线(除去线段AB 的中点)，故选B.]4．动点M 与距离为2a 的两个定点A ，B 的连线的斜率之积等于－12，求动点M 的轨迹方程．[解] 如图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－a ，0)，B (a ，0)．设M (x ，y )为轨迹上任意一点，则k MA ＝yx ＋a，k MB ＝yx －a(x ≠±a )．∵k MA ·k MB ＝－12，∴y x ＋a ·yx －a ＝－12，化简得：x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a )．∴点M 的轨迹方程为x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a )．。
高中数学 第二章 圆锥曲线复习(一)复习导学案 理新人教A版选修2-1
高二数学学案(理科）
课题：第二章复习 圆锥曲线复习（一）
一．学习目标：
1、构建圆锥曲线知识网；
2、会用圆锥曲线的定义解题；
3. 会求圆锥曲线的标准方程，并研究其几何性质。
二、重点，难点：
1.理解圆锥曲线的定义；
2.求圆锥曲线的标准方程，及几何性质的应用。
三、知识网：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎧⎩⎨⎧→⎩⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨
⎧→→相交弦问题位置关系直线与圆锥曲线几何性质
定义
抛物线双曲线椭圆求曲线方程曲线与方程曲线与方程圆锥曲线
四、导思探究：
1.在理解椭圆，双曲线，抛物线定义时，应注意的问题有哪些？
2.求圆锥曲线的标准方程有几种方法?
3.说明三种圆锥曲线几何性质的联系与区别
五、导练展示：
1.21,F F 是椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的两焦点，P 是椭圆上任一点，从
任一焦点引21PF F ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为
A 圆
B 椭圆
C 双曲线
D 抛物线
2.已知椭圆C ：12222=+b
y a x （0>>b a ）的离心率为23
，双曲线122=-y x
的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面
积为16，求椭圆的方程。
3.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A,B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 A ()2,0 B ()
2,1 C ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1,22 D (
)
+∞,2
六、达标检测：
81P B 组 1题
七、反思小结：。
高中数学 第二章《圆锥曲线与方程》2.1圆锥曲线学案 新人教版选修2-1
第2章圆锥曲线与方程2．1 圆锥曲线二、预习指导1．预习目标(1)认识用平面截圆锥面得到的各种曲线；(2)掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义；(3)会根据不同的已知条件，利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹．2．预习提纲(1)查找有关轨迹的概念，回答下列问题：①平面内到线段两端点距离相等的点的轨迹是____________；②平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________；③空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________．(2)阅读教材选修4－1的71页到78页，教材选修2－1的25页到27页写下列空格：①一个平面截一个圆锥面，改变平面的位置，可得到如下图形____________，____________，____________，____________，____________；②平面内到两个定点F1，F2的距离_____等于常数(__________)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的__________；③平面内到两个定点F1，F2的距离____________等于常数(______________)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；④平面内到一个定点F和一条定直线l(________________)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的_________．(3)阅读课本例1，动手实践借助细绳画椭圆，结合课本27页习题2．1第3题，动手实践借助拉链画双曲线，并说明理由，以此加深对椭圆、双曲线定义的认识．3．典型例题例1 动点P(x，y)与两个定点A(－2，0)、B(2，0)构成的三角形周长为10．(1)试证：动点P在一个椭圆上运动；(2)写出这个椭圆的焦点坐标．分析：找动点P满足的条件，利用圆锥曲线的定义．解：(1)由题意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4．由椭圆的定义得：动点P在以A(－2，0)、B(2，0)为焦点的椭圆上运动．(2)由(1)得：这个椭圆的两个焦点坐标为A(－2，0)、B(2，0)．点评：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义中，条件都有特定的限制，如在具体问题中不加以判断，会造成错解．如本题中PA+PB=6>4是十分必要的．在椭圆的定义中，PF1+PF2等于常数，常数大于F1F2的判断是必不可少的．若常数等于F 1F 2，则轨迹是线段F 1F 2；若常数小于F 1F 2，则不表示任何图形．在双曲线的定义中，注意两个限制：一是常数小于F 1F 2，二是差的绝对值，两者缺一不可．若PF 1－PF 2是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 2为焦点的一支；若PF 2－PF 1是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 1为焦点的一支；若|PF 1－PF 2|是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是两条射线；若PF 1－PF 2是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 2为端点与F 1F 2同向的射线；若PF 2－PF 1是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 1为端点与F 1F 2反向的射线． 在抛物线的定义中，当点F 在直线l 上时，则点P 的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线．例2 已知圆()221:31C x y ++=和圆()222:39C x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，试问动圆圆心M 在怎样的曲线上运动?分析：两圆外切，则圆心距等于半径之和．解： 设动圆的半径为R ，则由动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得：1213MC R MC R =+⎧⎨=+⎩ 消去R 得：MC 2－MC 1=2，故可知动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数2．由双曲线的定义得：动圆圆心M 在双曲线的一支(左边的一支)上运动．点评：本题由于动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数，而不是差的绝对值为常数，因此其轨迹只能是双曲线的一支．这一点在应用过程中要特别注意．4．自我检测(1)已知点A (1，0)、B (－1，0)，动点P 满足：PA +PB =4，则动点P 的轨迹是__ ．(2)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=2，则动点M 的轨迹是 ____ ，其两个焦点分别为 ．(3)已知定点A (1，0)和定直线l ：x = －3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ，其焦点为 ，准线为 ．(4)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=4，则动点M 的轨迹是 _．(5)在△ABC 中，B (0，－3)，C (0，3)，且AB ，BC ，AC 成等差数列，试证：点A 在以B 、C 为焦点的椭圆上运动．三、课后巩固练习A 组1．用合适的选项填写下列轨迹 ( 要求只填写序号 )①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤双曲线的一支；⑥抛物线；⑦线段(1)动点P 到两定点F 1(－4，0)、F 2(4，0)的距离和是8，则动点P 的轨迹为_______； (2)已知椭圆的焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ =PF 2，那么动点Q 的轨迹是_________；(3)动点P 到直线x +4=0的距离减去它到M (2，0)的距离之差等于2，则动点P 的轨迹是___________；(4)经过定圆外一定点，并且与定圆外切的动圆圆心的轨迹是__________．2．已知O (0，0)、A0)为平面内两个定点，动点P 满足：PO +PA =2，求动点P 的轨迹．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ，a ，c 成等差数列，b ≥c ．已知顶点B 、C 的坐标为B (－1，0)，C (－1，0)．试证：点A 在以B 、C 为焦点的左半椭圆上运动．4．在△ABC 中，A 为动点，(,0)(,0)(0)22a a B C a ->、为定点，且满足：1s i n s i n s i n 2C B A -=，试问动点A 在怎样的曲线上运动?B 组5．圆O 1与圆O 2的半径分别为1和2，O 1O 2=4，动圆与圆O 1内切而与圆O 2外切，则动圆圆心的轨迹是_____________________．6．已知定点A (－3，3)和定直线l ：x =－3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ．7．已知圆的方程为22100x y +=，点A 的坐标为(－6，0)，M 是圆O 上的任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，试证明：点P 在以A 、O 为焦点的椭圆上运动．C 组8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，记椭圆的另一个焦点为F ，证明：点F 在以A(0，7)、B(0，－7)为焦点的双曲线的一支上运动．9．已知两个同心圆，其半径分别为R ，r (R >r )，AB 为小圆的一条定直径，求证：以大圆切线为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 在以A 、B 为焦点的椭圆上．10．若一个动点P (x ，y )到定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)距离之和为定值m (m ≥0)，试讨论点P 的轨迹．题号我们身边的圆锥曲线圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现．在笛卡尔直角坐标系中，这些曲线的方程是二次方程，所以圆锥曲线又叫做二次曲线．对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高．在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线．例如，我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆．这个事实是由开普勒第一定律确定的，之所以沿着椭圆轨道运动，是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度．事实证明，假如这个速度过大了，运动就会沿着抛物线或双曲线轨道运行．相对于一个静止的物体，并按照万有引力定律受它吸引的物体运动，不可能有任何其他的轨道．因此，二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的．又如，如果让抛物线绕其轴旋转，就得到一个叫做旋转抛物面的曲面．在抛物面的轴上，有一个具有美妙性质的焦点，任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后，在指向上都平行于抛物面的轴．而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状，并且把灯泡放在焦点上，那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束．这显然是一个很大的优点，因为正是这样一束光线在空间中，甚至于在离光源距离相当大的情况下，很少扩散．当然，实际上我们得不到理想的平行光束，因为灯泡不是一个点，但对于实用的目的来说，只要接近于这样的光束就够了．天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的．它的作用刚好和探照灯的作用相反：探照灯的反射镜把光线反射到空间，天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上．只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了，这样，我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息，这比肉眼观察所能提供的信息要多得多．那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴．如果使双曲线绕这条轴旋转，那么，形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处．单叶双曲面是直纹曲面．上面有两组母直线族，各组内母线彼此不相交，而与另一组母线永远相交．正是这种性质在技术中得到了应用．例如，用直立木杆造水塔，如果把这些杆垂直地放置，那就只能得到一个很不牢固的建筑物，他会因为非常小的负荷而损坏．如果立杆时，使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族)，并使他们的交点处连接在一起，就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物．许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理．在尝试解决古代名题的过程中，所发现的各种美妙曲线远不限于螺线，蚌线和圆锥曲线．可是，不管找到了多少美妙的曲线，他们还是解决不了古代名题．要知道，正像我们还记得的那样，要求不只是解出这些名题，而是除了直尺和圆规外，不准利用其他任何工具．而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?如果这个答案存在的话，对这个问题给与肯定的回答，原则上显得比给与否定的回答更容易，只不过需要尝试才能找到这个答案．经过或多或少接连不断的寻找，这种题解通常可以找到．在题解不存在的情况下，事情则难办的多．这时，只停留在普通的几何直观上，几乎不可能得到所需要的答案．在这种情况下，可以对问题进行精确的代数分析，以便归结为完成某些代数方程的不可能性证明解答这个问题的不可能性．这样，就要求助于代数！2．1 圆锥曲线自我检测(1)以A,B为焦点的椭圆 (2) 以A,B为焦点的双曲线，A(-2,0)、B(2,0) (3)抛物线，A(1,0) ，l：x= -3 (4) 以A,B为端点的两条射线(5)因为AB，BC，AC成等差数列，所以AB+AC =2BC=12>BC，因此点A在以B、C为焦点的椭圆上运动．课后巩固练习A组1．(1)⑦；(2)②；(3)⑥；(4)⑤ 2．以O,A为焦点的椭圆3．证明略 4．点A在以B，C为焦点的双曲线的右支上B组5．以O1，O2为焦点的双曲线的一支 6．过点A且垂直于l的直线7．8．证明略C组9．证明略10．当m<2时，轨迹不存在；当m=2是，轨迹是以F1F2为端点的线段；当m>2时，轨迹是以F1F2为焦点的椭圆。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线复习课教案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选
5．
目 标
检 测
抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆 的短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程。
1、巡视学生作答情况。
2、公布答案。
3、评价学生作答结果。
1、小考卷上作答。
2、同桌互批。
3、独立订正答案。
检查学生对本课所学知识的掌握情况。
5分钟
6
布置下节课自主学习任务
1、改卷
1.小组可适当讨论；
2.提出自主学习困惑.
明确本节课学习目标，准备学习。
3分钟
2.
承接结 果
1.过抛物线 的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程。
2.焦点在x轴上的抛物线的通径长为8，求此抛物线的标准方程，并写出它的焦点坐标和准线方程。
1．检查学生预习作业完成情况，进行及时评价。
2．补充学生出现的漏洞。
4、说出发现的解题规律
通过具体实例体会韦达定理的意义。
3分钟
3.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点，且倾斜角135°为的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程。
1、巡视学生的完成情况。
2、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
3.要对学生不同的解题过程和答案给出准确的评价，总结。
1、学生先独立完成例题，然后以小组为单位统一答案。
抛物线的弦长问题
课题
抛物线的弦长问题
课时
第一课时
课型
习题课
教学
重点
1.弦长公式
2.抛物线的焦点弦
3.抛物线的通径
依据：2018年新课程标准以及考试大纲
教学
难点
1、抛物线的弦的判断
依据：新课程标准及考试大纲
自主
人教课标版高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程章末复习课》教学设计
《圆锥曲线与方程》章末复习课一、思维导图二、例题讲解例1：已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+. （1）当m 为何值时,直线与椭圆相切; （2）求直线被椭圆截得最长弦所在直线方程. 答案：（1）2m =±;（2）y x =. 解析：【知识点】直线与椭圆的位置关系【解题过程】联立方程组2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩,消去y ,整理得225210x mx m ++-=,222420(1)2016m m m ∆=--=-（1）由0∆=得220160m -=,解得m =. （2）由韦达定理得122122515m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, ∴弦长l ===当0m =时,l取得最大值为5, 此时直线方程为y x =.点拨：用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系,是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法.例2：过点(4,1)Q 作抛物线28y x =的弦AB ,恰被Q 所平分, （1）求AB 所在直线方程; （2）求AB 的长.答案：（1）4150x y --=;（2解析：【知识点】直线与抛物线、焦点弦.【解题过程】（1）法一：设以(4,1)Q 为中点的弦AB 端点的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ,而斜率k 显然存在,于是 2118y x = ①2228y x = ②128x x += ③ 122y y += ④由①-②得,121212()()8()y y y y x x +-=-所以12121284y y k x x y y -===-+所以所求弦AB 所在直线方程为14(4)y x -=-,即4150x y --=. 法二：设弦AB 所在直线方程为(4)1y k x =-+,1122(,),(,)A x y B x y由28(4)1y x y k x ⎧=⎨=-+⎩消去x ,得 283280ky y k --+=,由韦达定理得,128y y k+=又122y y +=,所以4k =∴所求弦AB 所在直线方程为14(4)y x -=-,即4150x y --=.（2）284150y x x y ⎧=⎨--=⎩消去x 得22300y y --=,设1122(,),(,)A x y B x y 则212121221111()4161156AB y y y y y y k =+-=++-=点拨：因为所求弦通过定点Q ,所以求弦AB 所在的直线方程关键是求出斜率k ,又由于Q 点是所求弦AB 的中点,所以所求斜率与,A B 点坐标有关.注意弦的中点问题灵活利用点差法解题.例3.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率22e =,右准线l ,,M N 是l 上的两个动点,120F M F N ⋅=.（1）若12||||25F M F N ==求,a b 的值;（2）证明：当||MN 取最小值时,12FM F N +与12F F 共线.答案：（1）2,a b ==（2）见解题过程. 解析：【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由条件可得22122,(,0),,0)a b F F =,所以l 的方程x =.设12,),,)M y N y ,则1122322(,),(,)22F M a y F N a y ==,由120F M F N ⋅=得212302y y a =-<. ①（1）由12||||25F M F N === ②= ③由①②③三式,消去12,y y ,并求得24a =,故2,a b ==（2）222221212121212||()2226MN y y y y y y y y y y a =-=+-≥--=,当且仅当122y y a =-=或212y y a =-=时,||MN . 此时,121212(22,)(22,0)2FM F N a y y a F F +=+==,故12FM F N +与12F F 共线. 点拨：此题重点考察椭圆中的基本量的关系,进而求椭圆中的待定系数,考察了向量的综合应用,设而不求的消元思想在圆锥曲线问题中的灵活应用.学生需熟悉椭圆各基本量间的关系,并能数形结合,熟练地进行向量的坐标运算,要求较高.例4．已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ,过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.（1）若线段AB 中点的横坐标是12-,求直线AB 的方程;（2）在x 轴上是否存在点M ,使MA MB ⋅为常数？若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.答案：（1）10x -+=或10x ++=;（2）见解题过程. 解析：【知识点】直线与椭圆.【解题过程】（1）依题意,直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为(1)y k x =+, 将(1)y k x =+代入5322=+y x , 消去y 整理得 2222(31)6350.k x k x k +++-=设1122() () A x y B x y ，，，， 则4222122364(31)(35)0 (1)6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩， 由线段AB 中点的横坐标是12-, 得2122312312x x k k +=-=-+,解得3k =±,适合(1). 所以直线AB 的方程为10x -+=,或10x +=. （2）假设在x 轴上存在点(,0)M m ,使MA MB ⋅为常数. ① 当直线AB 与x 轴不垂直时,由（Ⅰ）知22121222635. (3)3131k k x x x x k k -+=-=++，所以212121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+++22221212(1)()().k x x k m x x k m =++-+++将(3)代入,整理得222222114(2)(31)2(61)5333131m k m m k MA MB m m k k -+----⋅=+=+++ 2216142.33(31)m m m k +=+--+ 注意到MA MB ⋅是与k 无关的常数,从而有761403m m +==-，, 此时4.9MA MB ⋅=②当直线AB 与x 轴垂直时,此时点A B ，的坐标分别为11⎛⎛-- ⎝⎝、,当73m =-时, 亦有4.9MA MB ⋅=综上,在x 轴上存在定点703M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,使MA MB ⋅为常数. 点拨：解决直线和圆锥曲线的相关问题时,韦达定理得应用十分广泛,涉及向量问题时还要注意向量数量积的定义和坐标运算. 三、圆锥曲线章末测试 一、选择题1．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 答案：D解析：【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】焦点在y 轴上,则2221,20122y x k k k+=>⇒<< 点拨：将方程转化为标准形式处理.2．以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程（ ） A ．2211648y x -= B ．2212575x y -= C ．2211648y x -=或2212575x y -=D ．以上都不对 答案：C解析：【知识点】圆锥曲线的几何性质.【解题过程】当顶点为(4,0)±时,224,8,11648y x a c b ===-=;当顶点为(0,5)±时,225,10,12575x y a c b ===-= 点拨：求圆锥曲线方程时注意确定焦点的位置.3．与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 答案：A解析：【知识点】双曲线的标准方程.【解题过程】 241c c =-=，且焦点在x 轴上,可设双曲线方程为222213x y a a-=-过点(2,1)Q 得222224112,132x a y a a -=⇒=-=- 点拨：注意确定双曲线标准方程的类型.4．以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（ ） A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92= 答案：D解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】圆心为(1,3)-,设22112,,63x py p x y ==-=-;设2292,,92y px p y x ===,故选D.点拨：注意抛物线的开口方向.5．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦,则AB 的最小值为（ ） A ．2p B ．p C ．p 2 D ．无法确定 答案：C解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】垂直于对称轴的通径时最短,即当,,2px y p ==±min 2AB p = 点拨：利用图形的对称性解题.6．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ,1F 是另一焦点,若∠21π=Q PF ,则双曲线的离心率e 等于（ ） A ．12- B ．2 C ．12+ D ．22+【知识点】双曲线的离心率.【解题过程】Δ12PF F 是等腰直角三角形,21212,PF F F c PF ===12222,1c PF PF a c a e a -=-====. 点拨：利用离心率的定义解题. 答案：C7.12,F F 是椭圆22197x y +=的两个焦点,A 为椭圆上一点,且1245AF F ∠=,则12AF F ∆的面积为（ ） A.7B.74 C.72D.2答案：C解析：【知识点】椭圆的焦点三角形.【解题过程】1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2AF AF AF AF -=-+=1772222S =⨯⨯=点拨：焦点三角形问题从定义出发尽量求焦半径.8．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为（ ）A ．1(,44±B ．1(,84±C ．1(4D ．1(,84答案：B解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】点P 到准线的距离即点P 到焦点的距离,得PO PF =,过点P 所作的高也是中线18x P ∴=,代入到x y =2得4y P =±1(,84P ∴±点拨：利用抛物线的定义解题.9．椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直,则△21F PF 的面积为（ ） A ．20 B ．22 C ．28 D ．24 答案：D解析：【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】 222212121214,()196,(2)100PF PF PF PF PF PF c +=+=+==,相减得12121296,242PF PF S PF PF ⋅==⋅= 点拨：焦点三角形问题从定义出发尽量求焦半径.10．若点A 的坐标为(3,2),F 是抛物线x y 22=的焦点,点M 在抛物线上移动时,使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ） A ．()0,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C ．()2,1 D ．()2,2答案：D解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】MF 可以看做是点M 到准线的距离,当点M 运动到和点A 一样高时,MA MF +取得最小值,即2y M =,代入x y 22=得2x M = 点拨：利用抛物线的定义转化为几何方法求最值.11．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点,那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--） 答案：D解析：【知识点】直线与双曲线的位置关系.【解题过程】 2222226,(2)6,(1)41002x y x kx k x kx y kx ⎧-=-+=---=⎨=+⎩有两个不同的正根则21221224024040,11001k k x x k x x k ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨-⎪-⎪=>⎪-⎩得1k <<-. 点拨：联立方程利用韦达定理确定交点位置.12.如图,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,过椭圆C 上异于顶点的任一点P 作圆222:O x y b +=的两条切线,切点分别为,A B ,若直线AB 与,x y 轴分别交于,M N 两点,则2222||||b a OM ON +的值为（ ）A.1B.43C.32D.53 答案：B解析：【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系.【解题过程】设(cos ,sin )P a b θθ,则2:cos sin AB a x b y b θθ+=,所以2(,0),(0,)cos sin b b M N a θθ,代入得：222222||||b a a OM ON b +=,由于12c e a ==,故2243a b =. 点拨：根据条件得到切点弦AB 的方程是关键. 二、填空题13．椭圆22189x y k +=+的离心率为12,则k 的值为_______. 答案：544-或.解析：【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】当89k +>时,222891,484c k e k a k +-====+;当89k +<时,2229815,944c k e k a --====- 点拨：注意讨论椭圆焦点的位置.14．若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点,则线段AB 的中点坐标是______. 答案：(4,2).解析：【知识点】直线与抛物线.【解题过程】设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,242y xy x ⎧=⎨=-⎩2121212840,8,44x x x x y y x x -+=+=+=+-=中点坐标为1212(,)(4,2)22x x y y ++= 点拨：利用韦达定理解中点坐标问题.15. 双曲线221tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直,则这双曲线的离心率为________.解析：【知识点】双曲线的几何性质.【解题过程】渐近线为y =,其中一条与与直线210x y ++=垂直,11,24t ==221,2,42x y a c e -==== 点拨：注意离心率与渐近线斜率的关系.16．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称,且2121-=⋅x x ,则m 等于_______.答案：32.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系. 【解题过程】22212121211,2()AB y y k y y x x x x -==--=--而,得x 2+x 1=12-且212122x x y y ++(,)在直线y x m =+上, 即21212121,222y y x x m y y x x m ++=++=++即22221212121212()2,2[()2]2x x x x m x x x x x x m +=+++-=++得323,2m m ==∴ 点拨：利用韦达定理解题. 三、解答题17．已知双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同焦点,且经过点4),求双曲线方程. 答案：22145y x -=.解析：【知识点】双曲线的方程.【解题过程】椭圆2213627y x +=的焦点为(0,3),3c ±=. 设双曲线方程为222219y x a a -=-因为双曲线过点4),则22161519a a-=-,得2436a =或,而29a <, 24a ∴=,双曲线方程为22145y x -=.点拨：依据焦点的位置通过待定系数法求解方程.18．设12,F F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且01260F PF ∠=,求△12F PF 的面积.答案：解析：【知识点】双曲线的几何性质.【解题过程】双曲线116922=-y x 的3,5,a c ==不妨设12PF PF >,则1226PF PF a -== 22201212122cos 60F F PF PF PF PF =+-⋅,而12210F F c ==得22212121212()100PF PF PF PF PF PF PF PF +-⋅=-+⋅=01212164,sin 602PF PF S PF PF ⋅==⋅=点拨：利用双曲线的定义以及余弦定理整体处理.19.已知抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆13422=+y x 的右焦点重合,抛物线C 与椭圆的交于点P ,延长PF 交抛物线C 于点Q . （1）求抛物线C 的方程; （2）求||PQ 的值.【知识点】抛物线的方程与焦点弦.【解题过程】（1）由题意：(1,0)F ,2P ∴=,抛物线C 的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ,由2224143y xx y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得123x =,设:1PQ x my =+,由241y xx my ⎧=⎨=+⎩得2440y my --=,124y y ∴=-221212144y y x x ∴=⋅=,232x ∴=.12256PQ PF QF x x p ∴=+=++=. 点拨：抛物线的焦点弦长计算注意转化利用定义处理. 答案：（1）24y x =;（2）256. 20.双曲线22221x y a b-= (1,0)a b >>的焦距为2c ,直线l 过点(,0)a 和(0,)b ,且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥,求双曲线的离心率e 的取值范围.答案： 解析：【知识点】双曲线的几何性质.【解题过程】∵直线l 的方程为0bx ay ab +-=.由点到直线的距离公式,且1a >,得到点(1,0)到直线l的距离1d =.同理得到点(1,0)-到直线l的距离2d =.+45c ≥得245ab c c ≥. 即252ab c ≥,222425()4a c a c -≥ 从而42425250e e -+≤⇒2554e ≤≤. 所以e的取值范围是2. 点拨：利用离心率的定义解题.21.已知点(1,0)F ,直线l ：3x =,P 为平面上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为Q ,且|||PQ PF =．（1）求动点P 的轨迹C 的方程;（2）若直线y kx m =+与曲线C 有两个交点N M ,,当线段MN 的中点在直线1=x 上时,求k 的范围． 【知识点】直线与椭圆.【解题过程】（1）设(,)P x y ,则(3,)Q y .由|||PQ PF =得：|3|x -=整理得22132x y += 故动点P 的轨迹C 的方程为22132x y +=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y联立22132x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 有：222(23)6360k x kmx m +++-=,从而有122623km x x k +=-+由于MN 的中点在直线1x =上,所以1226223kmx x k +=-=+,进而有2233k m k +=-. ∴12223y y k m k +=+=-,即MN 的中点为2(1,)3k- 又MN 的中点在椭圆22132x y +=内部,∴22()13132k -+<,解得k >k <所以k 的取值范围为3(,)(,)33-∞-+∞ 点拨：解决直线和椭圆的相关问题时,韦达定理得应用十分广泛.答案：（1）22132x y +=;（2）3(,(,)-∞+∞.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>F 为椭圆C 的右焦点,且椭圆C 上的点到F 1. 过F 作直线l 交椭圆C 于,M N 两点,点(0A .（1）求椭圆C 的方程;（2）是否存在这样的直线l ,使得以,AM AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.答案：（1）2212x y +=;（2）存在,:0l y =或(1)2y x =-. 解析：【知识点】椭圆的几何性质、直线与椭圆.【解题过程】（1）由题意,12c a c a =-=,解得1a c ==, ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）若以,AM AN 为邻边的平行四边形为菱形,则AM AN =. 设00(,)P x y 为MN 的中点,则AP MN ⊥.当直线l 斜率不存在时,显然不合题意;当直线l 斜率存在时,设1122:(1),(,),(,)l y k x M x y N x y =- ①当0k =时,(M N ,则有AM AN =,合题意;②当0k ≠时,由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)4220k x k x k +-+-=, 则212022221x x k x k +==+,002(1)21ky k x k -=-=+,又AP MN ⊥, 0014AP y k x k ∴==-,即2221214221k k k k k -+=-+,解得：2k =.综上：:0l y =或1)y x =-. （提示：也可从()0AM AN MN +⋅=的角度进行处理）.点拨：解决直线和圆锥曲线的相关问题时,韦达定理得应用十分广泛,涉及向量问题时还要注意向量数量积的定义和坐标运算.。
人教版高中数学选修2-1导学案第二章圆锥曲线方程复习
第二章圆锥曲线方程复习设计者：李晓帆 审核者： 执教： 使用时间：学习目标1．掌握椭圆的定义及标准方程；2. 了解双曲线和抛物线的定义和标准方程；3．能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.______________________________________________________________________.自学探究问题问题； ②双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，则双曲线的方为 ；③以椭圆2212516x y +=的右焦点为焦点的抛物线方程为 ． 【技能提炼】1.当α从0o 到180o 变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？[变式]若曲线2211x y k k+=+表示椭圆，则k 的取值范围是 ．2.设1F ，2F 分别为椭圆C ：2222x y a b+ =1, (0)a b >>的左、右两个焦点．⑴若椭圆C 上的点A （1，32）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； ⑵设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程．3.求证：抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 恒过定点()0,2p M 的充要条件是1-=OB OA k k4.抛物线22x y =上有不同的两点A,B ，关于直线m x y +=对称，求m 的取值范围。
教师问题创生学生问题发现 变式反馈1．曲线221259x y +=与曲线221259x y k k +=--(9)k <的（ ）． A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等2．过抛物线28y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）．A ．10B ．8C ．6D ．43．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（ ） ．A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上C ．一条抛物线上D ．一个圆上 *4. 设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同， 离心率为12，则此椭圆的方程为（ B ） A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y +=*5. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④1212.c c a a < 其中正确式子的序号是（ ）A.①③B.②③C.①④D.②④6．双曲线与椭圆2212736x y +=有相同焦点，且经过点4)，求双曲线的方程．7.已知ABC ∆的两个顶点A ，B 坐标分别是(5,0)-，(5,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于m (0)m ≠，试探求顶点C 的轨迹．8.过点()1,4Q 作抛物线x y 82=的弦AB 恰被Q 所平分。
高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课学案新人教A版选修2-1
. 也可将椭圆方程设为 Ax2＋ By2＝ 1( A>0，
11
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B>0， A≠ B) ，其中当 A>B时，焦点在 x 轴上，当 A<B时，焦点在 y 轴上；双曲线方程可设为
Ax2 ＋By2＝
1(
AB<0)
，当
1 A<0
时，焦点在
1 y 轴上，当 B<0 时，焦点在
x 轴上 .
x2 y2
x2 y2
另 外 ，与 已 知双 曲线 a2 － b2 ＝ 1( a>0 ， b>0) 共渐 近线的 双 曲线 方 程可 设为 a2 － b2 ＝
理由 .
解 假设在 x 轴上存在点 M( m，0) ，使 M→A· M→B为常数 . 设 A( x1， y1) ， B( x2， y2).
①当直线 AB与 x 轴不垂直时，直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程为 y＝ k( x＋ 1) ，将 y ＝k( x＋ 1) 代入椭圆方程 x2＋ 3y2＝5，消去 y 整理，得 (3 k2＋ 1) x2＋ 6k2x＋ 3k2－5＝ 0.
∴２c
＝
1 3
×２a＝
6，
∴
c＝
3，
b2＝
a2－
c
2＝
72
，
x2 y2 故椭圆的方程为 81＋ 72＝ 1.
x2 y2 3. 设椭圆 ＋ ＝ 1( m>0， n>0) 的右焦点与抛物线
y2＝ 8x 的焦点相同，离心率为
1 ，则此椭
m2 n2
2
圆的方程为 ( )
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
A. 12＋ 16＝ 1 B. 16＋ 12＝ 1 C. 48＋ 64＝1 D. 64＋ 48＝ 1
「精品」高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案新人教A版选修2_1
§2.1曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法．知识点一曲线的方程和方程的曲线的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．知识点二坐标法思想及求曲线方程的步骤思考曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．答案不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．(3)求曲线的方程的步骤如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则(1)曲线l的方程是F(x，y)＝0.(×)(2)方程F(x，y)＝0的曲线是l.(×)(3)坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．(√)(4)坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上．(×)类型一曲线的方程与方程的曲线解读例1 (1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是( )A．坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0C．坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0(2)“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案(1)D (2)B解析(1)命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”为假命题，则命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是真命题．故选D.(2)由曲线C的方程是f(x，y)＝0，得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.反思与感悟(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性．(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪训练1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用解 (1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解，但以方程|x |＝2的解为坐标的点不都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上．因此，|x |＝2不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线的方程． (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5. (3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.类型二 曲线与方程的应用 例2 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在上述方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在上述方程表示的曲线上，求m 的值．考点 曲线与方程的概念 题点 点在曲线上的应用解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.引申探究本例中曲线方程不变，若点N (a,2)在圆外，求实数a 的取值范围． 解 结合点与圆的位置关系，得a 2＋(2－1)2＞10，即a 2＞9，解得a ＜－3或a ＞3，故所求实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．反思与感悟 判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练2 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围． 考点 曲线与方程的概念 题点 点在曲线上的应用解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0，∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12，∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. 类型三 求曲线的方程命题角度1 直接法求曲线的方程例3 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程． 考点 求曲线方程的方法 题点 直接法求曲线方程解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2|PA |， 则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2， 化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|，又|PA |＝(x －2)2＋(y －0)2，故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2， 化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明． 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练3 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，求点P 的轨迹方程． 考点 求曲线方程的方法 题点 直接法求曲线方程解 设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)， 得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )，MN →＝－NM →＝(2,0)．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →＝2(1－x )．于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)． 命题角度2 相关点法求曲线的方程例4 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程． 考点 求曲线方程的方法 题点 相关点法求曲线方程 解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以x 20＋y 20＝1，所以(2x －3)2＋4y 2＝1. 所以点P 的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练4 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9.过原点作圆C 的弦OP ，求OP 的中点Q 的轨迹方程． 考点 求曲线方程的方法 题点 相关点法求曲线方程 解 设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为点P 在圆C 上，所以x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(x ≠0).1．若命题“曲线C 上点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，则下列命题为真命题的是( ) A ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线是曲线C B ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是曲线C C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上 考点 曲线与方程的概念 题点 点在曲线上的应用 答案 B解析 “曲线C 上点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点不一定在曲线C 上，故A ，C ，D 都为假命题，B 为真命题．2．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上 考点 曲线与方程的概念 题点 点在曲线上的应用 答案 B解析 将M (2,1)代入直线l 和曲线C 的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M 既在直线l 上又在曲线C 上，故选B.3．等腰三角形底边的两个顶点分别是B (2,1)，C (0，－3)，则另一个顶点A 的轨迹方程是( ) A ．x －2y ＋1＝0(x ≠0) B ．y ＝2x －1C ．x ＋2y ＋1＝0(y ≠1)D ．x ＋2y ＋1＝0(x ≠1)考点 求曲线的方程的方法 题点 直接法求曲线方程 答案 D解析 设A (x ，y )，依题意，知|AB |＝|AC |， 所以(x －2)2＋(y －1)2＝x 2＋(y ＋3)2， 化简得x ＋2y ＋1＝0.又因为A ，B ，C 三点不能共线，所以x ≠1，故选D.4．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________________．考点 求曲线的方程的方法 题点 几何法求曲线方程答案 4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0 解析 设该点坐标为(x ，y )，则 |4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5， ∴所求轨迹方程为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.5．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP →＝3PM →，求动点P 的轨迹方程． 考点 求曲线方程的方法 题点 坐标转移法求曲线方程解 设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、选择题1．方程|x |＋|y |＝|xy |＋1表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．一个正方形 C ．一个圆D ．四条直线考点 曲线和方程的概念 题点 由方程研究曲线的对称性 答案 D解析 由|x |＋|y |＝|xy |＋1，得(|x |－1)(|y |－1)＝0，即x ＝±1或y ＝±1，因此该方程表示四条直线． 2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π3B.53πC.π3或5π3 D.π3或π6考点 曲线和方程的概念 题点 点在曲线上的应用 答案 C解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α<2π， 所以α＝π3或α＝53π.3．方程|x |－|y |＝0表示的图形是下图中的( )考点 曲线和方程的概念 题点 由方程研究曲线的对称性 答案 C解析 由|x |－|y |＝0知，y ＝±x ，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线．4．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的面积为( ) A ．9πB ．8πC ．4πD ．π 考点 曲线与方程的意义 题点 曲线与方程的综合应用 答案 C解析 设P (x ，y )，∵|PA |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，∴(x －2)2＋y 2＝4， ∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， ∴所围成的面积S ＝π·22＝4π.5．在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W ，则有下列命题： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于x 轴对称； ③曲线W 关于y 轴对称； ④曲线W 关于直线y ＝x 对称． 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点 曲线与方程的意义 题点 曲线与方程的综合应用 答案 A6．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |等于( ) A ．26B ．8C ．46D ．10 考点 求曲线方程的方法 题点 几何法求曲线方程 答案 C解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，故选C.7．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且PA →·PB →＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．y 2－x 2＝2 C ．x 2－2y 2＝1D ．2x 2－y 2＝1考点 求曲线方程的方法 题点 定义法求曲线方程 答案 B解析 设动点P 的坐标为(x ，y )， 则点Q 的坐标为(0，y )， PQ →＝(－x,0)，PA →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2.由PA →·PB →＝2PQ →2，得x 2－2＋y 2＝2x 2， 所以所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. 二、填空题8．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是____________． 考点 讨论方程的曲线类型 题点 其他类型的曲线与方程 答案 点(1,2)解析 由(x －1)2＋y －2＝0，知(x －1)2＝0且y －2＝0，即x ＝1且y ＝2，所以(x －1)2＋y －2＝0表示的是点(1,2)．9．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程是________． 考点 求曲线方程的方法 题点 坐标转移法求曲线方程 答案 y 2＝4x (x ≥0)解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )． 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2， 化简得y 2＝4x (x ≥0)．10．若点A (1,1)，B (2，m )都在方程ax 2＋xy －2＝0表示的曲线上，则m ＝________. 考点 曲线与方程的概念 题点 点在曲线上的应用 答案 －1解析 ∵A (1,1)，B (2，m )都在方程ax 2＋xy －2＝0表示的曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1－2＝0，4a ＋2m －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝－1.11．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________. 考点 曲线与方程的概念 题点 点在曲线上的应用 答案 5解析 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0， 解得a ＝5. 三、解答题12．已知A (－3,0)，B ，C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，点P 为BC 延长线上一点，并且满足AB →⊥BP →，BC →＝12BP →，试求动点P 的轨迹方程． 考点 求曲线方程的方法 题点 直接法求曲线方程解 设P (x ，y )，B (0，y ′)，C (x ′，0)， 则BC →＝(x ′，－y ′)，BP →＝(x ，y －y ′)， 由BC →＝12BP →，得(x ′，－y ′)＝12(x ，y －y ′)，即x ′＝x2，y ′＝－y ，∴B (0，－y )， 又A (－3,0)，∴AB →＝(3，－y )，BP →＝(x,2y )，由AB →⊥BP →，得AB →·BP →＝0，∴3x －2y 2＝0，即动点P 的轨迹方程为y 2＝32x .13．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 坐标转移法求曲线方程解 如图所示，设点A (a,0)，B(0，b )，M (x ，y )．因为M 为线段AB 的中点，所以a ＝2x ，b ＝2y ，即A (2x,0)，B (0,2y )．因为l 1⊥l 2，所以k AP ·k PB ＝－1.而k AP ＝4－02－2x(x ≠1)， k PB ＝4－2y 2－0，所以21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．因为当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.四、探究与拓展14．方程x 2|x |＋y 2|y |＝1表示的图形是( ) A ．一条直线B ．两条平行线段C ．一个正方形D ．一个正方形(除去四个顶点)考点 讨论方程的曲线类型题点 其他类型的曲线与方程答案 D解析 由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x ≠0，y ≠0.当x ＞0，y ＞0时，方程可化为x ＋y ＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.15．已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，M 为直角坐标平面内一动点，过点M 作圆O 的切线，切点为N ，若|MN |与|MQ |的比值等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 连接ON ，OM ，易知ON ⊥MN ，设M (x ，y )． ∵圆O 的半径是1，∴|MN |2＝|OM |2－|ON |2＝|OM |2－1.由题意，|MN ||MQ |＝λ，∴|MN |＝λ|MQ |， 即x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2，整理得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0. ∵λ＞0，∴当λ＝1时，方程化为x ＝54，该方程表示一条直线；当λ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2λ2λ2－12＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2，该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2λ2－1，0为圆心，以1＋3λ2|λ2－1|为半径的圆．。
2018-2019学年高中数学 二 圆锥曲线与方程学案 新人教A版选修2-1
二 圆锥曲线与方程[学生用书P78]1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线 抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准 方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x2b2＝1(a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x2b2＝1(a >0，b >0)y 2＝2px 或y 2＝－2px或x 2＝2py 或x 2＝－2py (p >0)关系式a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形 封闭图形无限延展，但有渐近线y ＝±b a x 或y ＝±a bx无限延展，没有渐近线，有准线变量 范围 |x |≤a ，|y |≤b 或|y |≤a ，|x |≤b|x |≥a 或|y |≥ax ≥0或x ≤0或y ≥0或y ≤0 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e ＝ca， 且0<e <1e ＝ca，且e >1 e ＝1决定形状的因素 e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2p 决定开口大小2．椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，则△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S ＝b 2tan α2.(2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c . 3．特殊的两个双曲线(1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线．与x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线系方程为x 2a 2－y 2b2＝k (k ≠0)．(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距．(3)等轴双曲线方程一般设为x 2－y 2＝a 2(或y 2－x 2＝a 2)． 4．抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F 的弦长|AB |的一个重要结论． (1)y 2＝2px (p >0)中，|AB |＝x 1＋x 2＋p . (2)y 2＝－2px (p >0)中，|AB |＝－x 1－x 2＋p . (3)x 2＝2py (p >0)中，|AB |＝y 1＋y 2＋p . (4)x 2＝－2py (p >0)中，|AB |＝－y 1－y 2＋p .1．椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 中，应有2a >|F 1F 2|，双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2a 中，应有2a <|F 1F 2|，抛物线定义中，定点F 不在定直线l 上．2．求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区分焦点在哪个轴上，选取合适的形式． 3．由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时，椭圆看分母的大小，双曲线看x 2，y 2系数的符号．4．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．主题1 轨迹问题[学生用书P79]一动圆过定点A (2，0)，且与定圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解】 将圆的方程化为标准形式为(x ＋2)2＋y 2＝62， 可知圆心坐标为B (－2，0)，半径为6，如图，设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C .所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC |－|MC |＝|BM |，而|BC |＝6，所以|BM |＋|CM |＝6， 又|CM |＝|AM |， 所以|BM |＋|AM |＝6，根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点B (－2，0)和点A (2，0)为焦点，线段AB 的中点O (0，0)为中心的椭圆．所以a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5， 所以所求圆心M 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.求曲线方程的常用方法及特点(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x ，y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量． (3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．1.已知点F (0，1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.则动点P 的轨迹C 的方程为________．解析：设P (x ，y )，则Q (x ，－1)． 因为QP →·QF →＝FP →·FQ →，所以(0，y ＋1)·(－x ，2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)， 即x 2＝4y ，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .答案：x 2＝4y2．在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时，动点M 满足PD →＝2MD →，动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解：法一：由PD →＝2MD →，知点M 为线段PD 的中点，设点M 的坐标为(x ，y )，则点P 的坐标为(x ，2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上， 所以x 2＋(2y )2＝4，所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.法二：设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)， 由PD →＝2MD →，得x 0＝x ，y 0＝2y ，因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，(*) 把x 0＝x ，y 0＝2y 代入(*)式，得x 2＋4y 2＝4， 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.主题2 圆锥曲线的定义及应用[学生用书P80](1)设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．(2)已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________．【解析】 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1，0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义，知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为求点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到点F (1，0)的距离之和的最小值．显然，A ，P ，F 三点共线时，所求的距离之和取得最小值，且AF 的长为所求的最小值，故最小值为22＋（－1）2，即为 5.(2)设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)．因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】 (1) 5 (2)－1圆锥曲线定义的应用技巧(1)在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据定义直接写出圆锥曲线的轨迹方程．(2)焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决．(3)在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化．1.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59解析：选B.由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，因为OM ⊥F 1F 2，所以PF 2⊥F 1F 2，所以|PF 2|＝b 2a ＝53.又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝2a－|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.2．已知点A (1，y 1)，B (9，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，y 2>y 1>0，点F 是抛物线的焦点，若|BF |＝5|AF |，则y 21＋y 2的值为________．解析：由抛物线的定义可知，9＋p2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2，解得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，又因为A 、B 两点在抛物线上，所以y 1＝2，y 2＝6，所以y 21＋y 2＝22＋6＝10.答案：10主题3 圆锥曲线的方程与几何性质[学生用书P80](1)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 为直线y ＝2b 上的一点，△F 1MF 2是等边三角形，则椭圆C 的离心率为( )A.714B.77C.277D.3714(2)(2017·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 【解析】 (1)因为△F 1MF 2是等边三角形，故M (0，2b )，|MF 1|＝|F 1F 2|，即4b 2＋c 2＝2c ，即4b 2＋c 2＝4c 2，4a 2＝7c 2，e 2＝c 2a 2＝47，故e ＝277，故选C.(2)由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y ＝±x ，由P (0，4)知左焦点F 的坐标为(－4，0)，所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.选项B 符合．【答案】 (1)C (2)B求解离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距是c ，A ，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若△ABO 的面积是3c 2，则这一椭圆的离心率是( )A.12B.32C.22D.33解析：选A.由题意知，12ab ＝3c 2，即a 2(a 2－c 2)＝12c 4，所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0，所以a 2＝4c 2，a ＝2c ，故e ＝c a ＝12.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD.y ＝±x解析：选C.因为b a＝e 2－1＝54－1＝12，所以C 的渐近线方程为y ＝±12x .故选C. 主题4 直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P80]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点P 到左右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，37满足|MA |＝|MB |，求直线l 的斜率k 的值．【解】 (1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22， 所以a ＝2，e ＝c a ＝22，所以c ＝22×2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2－1＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)由第一问知F 2(1，0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为y ＝k (x －1)，交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线与椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 22＋y 2＝1， 化简得：(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2，所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，①当k ≠0时，AB 的中垂线方程为 y －－k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 因为|MA |＝|MB |，所以点M 在AB 的中垂线上， 将点M 的坐标代入直线方程得： 37＋k 1＋2k 2＝2k 1＋2k 2， 即23k 2－7k ＋3＝0，解得k ＝3或k ＝36. ②当k ＝0时，AB 的中垂线方程为x ＝0，满足题意． 所以斜率k 的取值为0，3，36.直线与圆锥曲线关系问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有如下三种：①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故“Δ>0”是“直线与双曲线相交”的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离． (2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等许多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 的方程和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，消去y ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2， 抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，消去y ，得x 2＋4x －4＝0，|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝1＋22·（－4）2－4×（－4）＝410. 设P ⎝⎛⎭⎪⎫t ，－12t 2(－2－22<t <－2＋22)，因为|AB |为定值，当点P 到直线l 的距离d 最大时，△ABP 的面积最大，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t ＋12t 2－222＋（－1）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（t ＋2）2－45.因为－2－22<t <－2＋22， 所以当t ＝－2时，d max ＝455.所以△ABP 面积的最大值为12×410×455＝8 2.[学生用书P149(单独成册)])[A 基础达标]1．若双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一个焦点为(3，0)，则它的离心率为( )A ．2 2 B.423C.324D.2解析：选C.由焦点为(3，0)知，1＋a 2＝9，所以a 2＝8，a ＝22，所以离心率e ＝322＝324.故选C. 2．设k <3，k ≠0，则下列关于二次曲线x 23－k －y 2k ＝1与x 25＋y 22＝1的说法正确的是( )A ．它们表示的曲线一条为双曲线，另一条为椭圆B ．它们有相同的顶点C ．它们有相同的焦点D ．它们有相同的离心率解析：选C.当0<k <3时，则0<3－k <3，所以x 23－k －y 2k ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.所以两曲线有相同焦点； 当k <0时，－k >0且3－k >－k ，所以x 23－k ＋y 2－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆．a 2＝3－k ，b 2＝－k .所以a 2－b 2＝3＝c 2，与已知椭圆有相同焦点．3．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则此双曲线的离心率为( )A. 5B.102C.3＋1D.3解析：选C.由题知PF 1⊥PF 2，则⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，|PF 1|＝3|PF 2|，得c a＝3＋1.故选C.4．已知斜率为22的直线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，＋∞)C ．(1，5)D.(5，＋∞)解析：选B.依题意，双曲线的一条渐近线的斜率b a 必大于22，即b a>22，因此该双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>3，选B.5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1 C ．(1，2) D.(1，－2)解析：选B.如图，因为点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，选B. 6．双曲线x 24－y 2＝1的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为________．解析：双曲线x 24－y 2＝1的右顶点为(2，0)，渐近线方程为x ±2y ＝0，故点(2，0)到x ±2y＝0的距离为d ＝|2|4＋1＝255.答案：2557．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)(O 为坐标原点)，则|OM →|＝________．解析：设F 1为右焦点，因为|PF →|＝6，所以|PF 1→|＝10－6＝4， 又OM →＝12(OP →＋OF →)，所以M 为PF 的中点，所以OM 为△FPF 1的中位线， 所以|OM →|＝12|PF 1→|＝2.答案：28．已知直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且交椭圆C于A 、B 两点，椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点，则椭圆C 的方程为________．解析：根据题意，直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，所以F (1，0)，所以c ＝1.又因为椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点，所以b ＝3，b 2＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝19．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一内接△OAB ，O 为坐标原点，若OA →·OB →＝0，直线OA 的方程为y ＝2x ，且|AB |＝413，求抛物线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，又OA →·OB →＝0，所以OA ⊥OB ， 故直线OB 的方程为y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，联立得B (8p ，－4p )． 因为|AB |＝413，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－8p 2＋(p ＋4p )2＝16×13，解得p ＝85，所以抛物线方程为y 2＝165x .10．设椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >2)的离心率为33，斜率为k 的直线l 过点E (0，1)且与椭圆交于C ，D 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC →＝DE →，求k 的值．解：(1)由题可得e 2＝c 2a 2＝a 2－4a 2＝13，解得a 2＝6，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 26＋y 24＝1，得(2＋3k 2)x 2＋6kx －9＝0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－6k 2＋3k 2，x 1x 2＝－92＋3k2，则CD 中点的横坐标为x 0＝－3k2＋3k2，又E (0，1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，0，则GE 中点的横坐标为x 0′＝－12k ，又因为GC →＝DE →，所以CD ，GE 的中点重合， 即－3k 2＋3k 2＝－12k ，解得k ＝±63. [B 能力提升]11．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D.± 2解析：选C.由题设，得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，F (c ，0)．将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a .不妨设B (c ，b 2a )，C (c ，－b 2a )，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得b a＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.12．点F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线作垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B .若2AF →＝FB →，则双曲线C 的离心率是________．解析：由题意得双曲线C 的右焦点为F (c ，0)，记一条渐近线OA 的方程为y ＝b ax ，则另一条渐近线OB 的方程为y ＝－b ax ，设A (m ，bm a )，B (n ，－bn a)，因为2AF →＝FB →，所以2(c －m ，－bm a)＝(n －c ，－bn a)，所以2(c －m )＝n －c ，－2bm a ＝－bna，解得m ＝3c 4，n ＝3c 2，所以A (3c 4，3bc4a)．由FA ⊥OA 可得3bc 4a －03c 4－c ·ba ＝－1.所以a 2＝3b 2，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝233.答案：23313．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，离心率为22，过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，|AB |＝2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P (x 0，y 0)满足OP →＝OM →＋2 ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，求证：x 20＋2y 20为定值．解：(1)由e 2＝a 2－b 2a 2＝12，得a 2＝2b 2，因为过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝2，所以由椭圆的对称性，知该直线过点(c ，1)或(－c ，1)，且点(±c ，1)在椭圆上，即c 2a2＋1b2＝1，即a 2－b 2a 2＋1b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则k OM ·k ON ＝y 1x 1·y 2x 2＝－12，化简得x 1x 2＋2y 1y 2＝0.因为M ，N 是椭圆上的点， 所以x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，即有x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，由OP →＝OM →＋2 ON →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋2x 2y 0＝y 1＋2y 2，所以x 20＋2y 20＝(x 1＋2x 2)2＋2(y 1＋2y 2)2＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝4＋4×4＋0＝20.即x 20＋2y 20为定值．14．(选做题)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0.(1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点(2，0)作斜率为k 的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得OA →·OB →≤－1？若存在，求出直线l 的斜率k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0，知Q 为线段PN 的中点，且GQ ⊥PN ，则GQ 为线段PN 的中垂线，故|PG →|＝|GN →|，所以|GN →|＋|GM →|＝|PM →|＝6.故点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且其长半轴长a ＝3，半焦距c ＝5，所以短半轴长b ＝2.所以点G 的轨迹C 的方程是x 29＋y 24＝1.(2)设l 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 29＋y 24＝1⇒(9k 2＋4)x 2－36k 2x ＋36(k 2－1)＝0，所以x 1＋x 2＝36k 29k 2＋4，x 1x 2＝36（k 2－1）9k 2＋4， y 1y 2＝[k (x 1－2)][k (x 2－2)]＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－20k29k 2＋4，则x 1x 2＋y 1y 2＝36（k 2－1）9k 2＋4－20k 29k 2＋4＝16k 2－369k 2＋4. 由OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2≤－1， 得16k 2－369k 2＋4≤－1， 解得k 2≤3225，故－425≤k ≤425.故存在这样的直线l ，使得OA →·OB →≤－1，且直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－425，425.。
高中数学 2-1 第二章 圆锥曲线与方程导学案 新人教A版选修1-1
§2.1.1 曲线与方程（1）2．求曲线的方程．3436，找出疑惑之处）复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．二、新课导学※ 学习探究 探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x =，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……；2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．2．曲线220+-=上有点(1,2)x xy byQ，则b= ．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．※典型例题例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)=±．k k>的点的轨迹方程式是xy k变式：到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y-=吗？例2设,A B两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)C．中线AO（O为原点）所在直A，(2,0)B-，(2,0)线的方程是0x=吗？为什么？反思：BC边的中线的方程是0x=吗？小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y表示曲线上的任意一点的坐标；②写出适合条件P的点M的集合{|()}=；P M p M③用坐标表示条件P，列出方程(,)0f x y=；④将方程(,)0f x y=化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．※动手试试练1．下列方程的曲线分别是什么？(1)2xyx= (2)222xyx x-=-(3) log a xy a=练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？三、总结提升※学习小结1．曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程的步骤：①建系，设点；②写出点的集合；③列出方程；④化简方程；⑤验证．※知识拓展求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（ ）．A ．2x y = B ．yC ．y ．2log 2x y = 2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1， 则点C 的轨迹为 ( ) ．A ．射线B ．直线C ．圆D ．线段3．(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（ ）．A ．10x y -+=B ．10x y -+=(01)x ≤≤C ．10x y +-=D ．10x y -+=(01)x ≤≤4．已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和点(1,1)B ，则a = ，b = ．5．已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12PA PB =，则点p 的轨迹方程是 ．3)-，(3,10)C 是否在方程2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？2 求和点(0,0)O ，(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程．§2.1.2 曲线与方程（2）1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．3637，找出疑惑之处）复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、新课导学※ 学习探究引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．※ 典型例题例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是 ；点(,)P a b 到y 轴的距离是 ；点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是 ．例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．※ 动手试试练1． 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到直线10x y +-=的距离的2倍，试求曲线的方程．练2. 曲线上的任意一点到(3,0)A -,(3,0)B 两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．三、总结提升※ 学习小结1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※ 知识拓展圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线．01e <<：椭圆；1e =： 抛物线；1e >： 双曲线．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（）. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ ）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥3．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（ ）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ∙=,则点P 的轨迹方程是 ．5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是 ．1．以为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．§2.2.1椭圆及其标准方程(1)2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．3840，文P 32~ P 34找出疑惑之处）复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为 ；当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >．新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程()222210x y a b a b+=>> 其中222b a c =-若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,ac ==y 轴上；⑶10,a b c +==．变式：方程214x ym+=表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的范围．小结：椭圆标准方程中：222a b c=+；a b>．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式：椭圆过点()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程．※动手试试练1. 已知ABC∆的顶点B、C在椭圆2213xy+=上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC∆的周长是（）．A． B．6 C． D．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．三、总结提升 ※ 学习小结 1. 椭圆的定义： 2. 椭圆的标准方程：※ 知识拓展1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）． A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）． A ．椭圆 B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）． A ．(0,)+∞ B ．(0,2) C ．(1,)+∞ D ．(0,1)3．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）． A ．4 B ．14 C ．12 D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是．5．如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式10=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=．2. 椭圆2214x y n+=的焦距为2，求n 的值．§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．4142，文P 34~ P 36找出疑惑之处）复习1：椭圆上221259x y +=一点P 到椭圆的左焦点1F 的距离为3，则P 到椭圆右焦点2F 的距离是 ．复习2：在椭圆的标准方程中,6a =,b =则椭圆的标准方程是 ．二、新课导学 ※ 学习探究问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在 圆 上．※ 典型例题例1在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M的轨迹方程 ．变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？※动手试试练1．求到定点()2,0A与到定直线8x=的动点的轨迹方程．练2．一动圆与圆22650+--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，x y xx y x+++=外切，同时与圆226910并说明它是什么曲线．三、总结提升※ 学习小结1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．※ 知识拓展椭圆的第二定义：到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹． 定点F 是椭圆的焦点； 定直线l 是椭圆的准线； 常数e 是椭圆的离心率．）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠D ．221259x y +=(0)y ≠3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（ ）． A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ． 5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．4346，文P 37~ P 40找出疑惑之处）复习1： 椭圆2211612x y +=上一点P 到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是 ．复习2：方程2215x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ．二、新课导学 ※ 学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；离心率：刻画椭圆 程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记ce a =，且01e <<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：cea== ．反思：ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※典型例题例1 求椭圆221625400x y+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y+=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴． 例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ．※ 动手试试练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =；⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =；⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．三、总结提升 ※ 学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率．※ 知识拓展（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面的※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是（ ）．A ．3B ．3或253C 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．A ．34B ．23C ．12D ．143，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．⑴22936x y +=与2211612x y += ；⑵22936x y +=与221610x y += ．2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ； ⑶焦距是8，离心率等于0.8．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质； 2．椭圆与直线的关系．4648，文P 40~ P 41找出疑惑之处）复习1： 椭圆2211612x y +=的焦点坐标是（ ）（ ） ；长轴长 、短轴长 ；离心率 ．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？二、新课导学 ※ 学习探究问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？※ 典型例题例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．变式：若图形的开口向上，则方程是什么？小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c；②注意焦点所在坐标轴．（理）例2 已知椭圆221259x y+=，直线l：45400x y-+=。
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第二章 圆锥曲线与方程（复习）
1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程； 2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质； 3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题．
一、课前准备
复习1：完成下列表格：
复习2：
① 若椭圆221x my +=，则它的长半轴长为__________； ②双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，则双曲线的方程为 ；
③以椭圆22
12516
x y +=的右焦点为焦点的抛物线方程为 ．
二、新课导学 ※ 典型例题
例1 当α从0到180变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？
变式：若曲线22
11x y k k
+=+表示椭圆，则k 的取值范围是 ．
小结：掌握好每类标准方程的形式．
例2设1F ，2F 分别为椭圆C ：22
22x y a b
+ =1(0)a b >>的左、右两个焦点．
1.若椭圆C 上的点A （1，32
）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；
2.设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程．
变式：双曲线与椭圆22
12736
x y +=有相同焦点，且经过点4)，求双曲线的方程．
※ 动手试试
练1．已知ABC ∆的两个顶点A ，B 坐标分别是(5,0)-，(5,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于m (0)m ≠，试探求顶点C 的轨迹．
练2．斜率为2的直线l 与双曲线22
132
x y -=交于A ，B 两点，且4AB =，求直线l
的方程．
三、总结提升 ※ 学习小结
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质； 3．直线与圆锥曲线． ※ 知识拓展
圆锥曲线具有统一性：
1.它们都是平面截圆锥得到的截口曲线；
2.它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线；
3.它们的方程都是关于x ，y 的二次方程．
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．曲线221259x y +=与曲线22
1259x y k k
+=--(9)k <的（ ）
． A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等
2．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（ ） ． A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上
3．过抛物线28y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）．
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
4．直线1y kx =-与双曲线224x y -=没有公共点，则k 的取值范围 ． 5．到直线3y x =+的距离最短的抛物线24y x =上的点的坐标是 ．
1．就m 的不同取值，指出方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--所表示的曲线的形状．
2． 抛物线2
2
x y =-与过点(0,1)M -的直线l 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和
OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．。