对差分方程两边进行Z变换
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n0
x(0) x(1) z 1 x(2)(z 1 )2 x(n)(z 1 )n
说明：（1）序列的Z变换是复变量Z-1的幂级数
（2）幂级数的系数是序列x(n)的样值 （3）只有当幂级数收敛时和存在时，Z变换存在
2.单边Z变换 双边Z变换
x( z ) Z [ x(n)] x(n) z n
第七章
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 §7.5 §7.6 §7.7 §7.8
Z变换
Z域分析
引言 Z变换定义 典型序列的Z变换 Z变换的收敛域 逆Z变换 Z变换的基本性质 Z变换与拉普拉斯变换关系 利用Z变换解差分方程 离散系统的系统函数
§7.1 引言
补充：幂级数 a0 a1 x a2 x 2 aN x N ai 是幂级数的系数 幂级数和函数在收敛区间内可逐项求导，可逐项积幂级数 在收敛域内解析、处处可导等比几何级数求值表
z 1 1
z 1
z 1
3.
Z [nu(n)] nu(n) z
n 0
nz n
n 0
n z n 0
1 1 z 1
z 1
对z-1逐项求导
两边再乘z-1 4.
Z [a u(n)]
n
n( z 1 ) n1
n 0
(1) 1 (1 z 1 ) 2 (1 z 1 ) 2
二.典型序列的收敛域 1.有限长序列：
x( z )
0 n1 n n2 x(n) 其它 0
n
n
x(n) z
n n1
n x ( n ) z (1)
n2
①
n1 0 n2 0
0 n n n1
（ 1 ）式 x(n) z
0
x(n) z n
n 0
n2
其中 x(n) z n 只要z 有限项和肯定 （a）式要求z
n n1
x(n) z
n n 0 n 0
n2
n2
x(n) 只要z 有限项和肯定 （b）式要求z 0 zn
有起点无终点
x( z ) Z [ x(n)]
n n1
n x ( n ) z 无穷级数，由级数判定法来判收敛
n x(n) z n 1 由根值判别法 lim n
z lim n x(n) Rx1
n
时级数收敛右边序列的收敛半径为半径为 R x1 的圆外部分是否包括∞和 n1的取值有关 z的负幂次 因果序列 收敛域包括∞ z Rx1
n 0
x( z ) Z [ x(n)]
n
x(n) z
n
二. 典型序列的Z变换
1. Z [ (n)] (n) z n 1
2.
Z [u(n)] u(n) z
n 0
n 0
n
z n
n 0
n
1 1 z 1
z ( z 1) 2
② n1 0 n2 0
x( z ) x( z ) z n n都取负值，变成z的正幂，只要 z
n n1 n2
z 包括z=0 有限和收敛
③ n1 0 n2 0
x( z ) x( z ) z n z的负幂，只要 z 0 有限和收敛
an1 lim n a n
1 收敛 1 发散 1 可能收敛、可能发散
3.根值判定法： 若正项级数 a 的n次根的极限等于ρ
n n
1 收敛 lim n a n 1 发散 n 1 可能收敛、可能发散
1 z z 1 n n ( z ) (1 z 1 ) 2 ( z 1) 2 n 0
n 0
a n u(n) z n
z za
a 1 即 z a z
§7.3
Z变换的收敛域
收敛域：只有当级数收敛时，Z变换才有意义对于任意
给定的有界序列x(n)，使Z变换定义式 x(n) z n n
级数收敛的所有Z值集合，即Z满足什么条件和 式收敛，即为收敛域
一.判定级数收敛方法
Z [ x(n)]
n
x(n) z
n
Βιβλιοθήκη Baidu
x ( n) z n 1.收敛充要条件： n
正项级数满足绝对可和
2.比值判定法： 若有一个正项级数
n
an
令它的后项与前相比值的极限等于ρ
n n1 n2
z 0
包括∞
n1 , n2 都为正 包括（不包括0） 总结：对于有限长序列，收敛域为除 0、∞的整个平面 n1 , n2 都为负 包括（不包括 0 ） n1 , n2 一正一负 不包括0不包括
2.右边序列
0 n n1 x ( n) 0 n n1
1 a n2 1 1. an 1 a n 0 n2 1
n2
a 1 a 1
a n1 a n2 1 a 1 n 2. a 1 a n n1 n2 n1 1 a 1
n2
1 n 3. a a 1 1 a n 0
4. an
n 1
a a 1 1 a
a n1 5. a a 1 1 a n n1
n
§ 7.2 Z变换定义 典型序列的Z变换
一. Z变换定义 1.由抽样信号引出Z变换
x(t ) xs (t ) x(t ) T (t ) x(nT ) (t nT )
冲激，抽样 n 0
对上式取拉氏变换
xs (t ) x s (t )e st dt
0
[ x(nT ) (t nT )]e st dt
0 n 0
x( z ) x(n) z n x(0) x(1) z 1 x(2) z 2 x(n) z n
x(0) x(1) z 1 x(2)(z 1 )2 x(n)(z 1 )n
说明：（1）序列的Z变换是复变量Z-1的幂级数
（2）幂级数的系数是序列x(n)的样值 （3）只有当幂级数收敛时和存在时，Z变换存在
2.单边Z变换 双边Z变换
x( z ) Z [ x(n)] x(n) z n
第七章
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 §7.5 §7.6 §7.7 §7.8
Z变换
Z域分析
引言 Z变换定义 典型序列的Z变换 Z变换的收敛域 逆Z变换 Z变换的基本性质 Z变换与拉普拉斯变换关系 利用Z变换解差分方程 离散系统的系统函数
§7.1 引言
补充：幂级数 a0 a1 x a2 x 2 aN x N ai 是幂级数的系数 幂级数和函数在收敛区间内可逐项求导，可逐项积幂级数 在收敛域内解析、处处可导等比几何级数求值表
z 1 1
z 1
z 1
3.
Z [nu(n)] nu(n) z
n 0
nz n
n 0
n z n 0
1 1 z 1
z 1
对z-1逐项求导
两边再乘z-1 4.
Z [a u(n)]
n
n( z 1 ) n1
n 0
(1) 1 (1 z 1 ) 2 (1 z 1 ) 2
二.典型序列的收敛域 1.有限长序列：
x( z )
0 n1 n n2 x(n) 其它 0
n
n
x(n) z
n n1
n x ( n ) z (1)
n2
①
n1 0 n2 0
0 n n n1
（ 1 ）式 x(n) z
0
x(n) z n
n 0
n2
其中 x(n) z n 只要z 有限项和肯定 （a）式要求z
n n1
x(n) z
n n 0 n 0
n2
n2
x(n) 只要z 有限项和肯定 （b）式要求z 0 zn
有起点无终点
x( z ) Z [ x(n)]
n n1
n x ( n ) z 无穷级数，由级数判定法来判收敛
n x(n) z n 1 由根值判别法 lim n
z lim n x(n) Rx1
n
时级数收敛右边序列的收敛半径为半径为 R x1 的圆外部分是否包括∞和 n1的取值有关 z的负幂次 因果序列 收敛域包括∞ z Rx1
n 0
x( z ) Z [ x(n)]
n
x(n) z
n
二. 典型序列的Z变换
1. Z [ (n)] (n) z n 1
2.
Z [u(n)] u(n) z
n 0
n 0
n
z n
n 0
n
1 1 z 1
z ( z 1) 2
② n1 0 n2 0
x( z ) x( z ) z n n都取负值，变成z的正幂，只要 z
n n1 n2
z 包括z=0 有限和收敛
③ n1 0 n2 0
x( z ) x( z ) z n z的负幂，只要 z 0 有限和收敛
an1 lim n a n
1 收敛 1 发散 1 可能收敛、可能发散
3.根值判定法： 若正项级数 a 的n次根的极限等于ρ
n n
1 收敛 lim n a n 1 发散 n 1 可能收敛、可能发散
1 z z 1 n n ( z ) (1 z 1 ) 2 ( z 1) 2 n 0
n 0
a n u(n) z n
z za
a 1 即 z a z
§7.3
Z变换的收敛域
收敛域：只有当级数收敛时，Z变换才有意义对于任意
给定的有界序列x(n)，使Z变换定义式 x(n) z n n
级数收敛的所有Z值集合，即Z满足什么条件和 式收敛，即为收敛域
一.判定级数收敛方法
Z [ x(n)]
n
x(n) z
n
Βιβλιοθήκη Baidu
x ( n) z n 1.收敛充要条件： n
正项级数满足绝对可和
2.比值判定法： 若有一个正项级数
n
an
令它的后项与前相比值的极限等于ρ
n n1 n2
z 0
包括∞
n1 , n2 都为正 包括（不包括0） 总结：对于有限长序列，收敛域为除 0、∞的整个平面 n1 , n2 都为负 包括（不包括 0 ） n1 , n2 一正一负 不包括0不包括
2.右边序列
0 n n1 x ( n) 0 n n1
1 a n2 1 1. an 1 a n 0 n2 1
n2
a 1 a 1
a n1 a n2 1 a 1 n 2. a 1 a n n1 n2 n1 1 a 1
n2
1 n 3. a a 1 1 a n 0
4. an
n 1
a a 1 1 a
a n1 5. a a 1 1 a n n1
n
§ 7.2 Z变换定义 典型序列的Z变换
一. Z变换定义 1.由抽样信号引出Z变换
x(t ) xs (t ) x(t ) T (t ) x(nT ) (t nT )
冲激，抽样 n 0
对上式取拉氏变换
xs (t ) x s (t )e st dt
0
[ x(nT ) (t nT )]e st dt
0 n 0
x( z ) x(n) z n x(0) x(1) z 1 x(2) z 2 x(n) z n