函数的周期性和对称性PPT课件
函数的周期性与对称性
【解析】∵f（x）为奇函数，∴f（0） ＝0，又函数f（x）以3为周期，且f（2） ＝0，∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4） ＝0，f（3）＝0，f（5）＝0，
∴在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
【例3】 已知函数f（x）的定义域为{x︱ x∈R x≠1} ，f（x+1）为奇函数，当 x ＜ 1 时， f （ x ）＝ 2x2 － x+1 ，则当 x ＞ 1 时， f（x）的递减区间是 （ ）
5 A．［ ，+∞） 4 7 C．［ ，+∞） 4 5 B．（1， ］ 4 7 D．（1， ］ 4
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
【解析】 由 f （ x+1 ）为奇函数得 f （－ x+1）＝－ f（ x+1）， ∴f（ x）的 图象关于点（1，0）中心对称，又由 已知可画出 f（ x）在（－ ∞， 1）上的 图象，再根据中心对称画出 f （ x ）在 （1，+∞）上的图象，由图象易知，f 7 （x）在［ ，+∞）上单调递减，故 4 应选C.
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
【例1】已知函数f（x）的定义域为 R，则 下列命题中 :①若 f （ x － 2 ）是偶函数，则 函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；
②若 f （ x+2 ）＝－ f （ x － 2 ），则函数 f （ x ） ③函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的 图象关于直线x＝2 ④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的 图象关于直线x＝2对称. 其中正确的命题序号是
f x则f（x）是周期函数， Nhomakorabeaa是它的一个周期.
3.5.3 函数的周期性和对称性-(必修第一册) (教师版)
函数的周期性和对称性一函数的周期性1 概念对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.Eg：上图是三角函数f(x)=sinx的图像①函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；②红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；(思考：4π是周期么)③整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？2 常见的结论①若f(x+a)=f(x+b)，则y=f(x)的周期是T=a−b.②若f(x+a)=−f(x)，则y=f(x)的周期是T=2a；(你可证明试试)，则y=f(x)的周期是T=2a.③若f(x+a)=1f(x)二函数的对称性1 函数图象自身的对称关系.①轴对称：若f(x+a)=f(b−x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2②中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件 f(a+x)+f(b−x)=c(a ,b ,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b 2,c2)对称.2 两个函数图象之间的对称关系 ① 轴对称若函数y =f(x)定义域为R ，则两函数y =f(x +a)与 y =f(b −x)的图象关于直线x =b−a 2对称.特殊地，函数y =f(a +x)与函数y =f(a −x)的图象关于直x =0对称. ② 中心对称若函数y =f(x)定义域为R ，则两函数y =f(a +x)与y =c −f(b −x)的图象关于点(b−a 2 ,c2)对称.特殊地，函数y =f(x +a)与函数y =−f(b −x)图象关于点(b−a 2,0)对称.3 周期性与对称性拓展① 若函数y =f(x)同时关于直线x =a ,x =b 对称，则函数y =f(x)的周期 T =2|b −a|；特殊地，若偶函数y =f(x)的图像关于直线x =a 对称，则函数y =f(x)的周期 T =2|a |；② 若函数y =f(x)同时关于点(a ,0) ,(b ,0)对称，则函数y =f(x)的周期 T =2|b −a|； ③ 若函数y =f (x )同时关于直线x =a 对称，又关于点(b ,0)对称 , 则函数y =f(x)的周期 T =4|b −a|；特殊地，若奇函数y =f(x)的图像关于直线x =a 对称，则函数y =f(x)的周期 T =4|a|.【题型一】函数的周期性【典题1】 设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(−92)=【解析】∵f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x(1+x)， ∴f (−92)=f (−92+4)=f (−12)=−f(12)=−12(1+12)=−34.【典题2】 设偶函数f(x)对任意x ∈R ，都有f(x +3)=−1f(x)，且当x ∈[−3 ,−2]时，f(x)=4x，则f(107.5)=．【解析】∵f(x+3)=−1f(x)，∴f(x+6)=−1f(x+3)=−1−1f(x)=f(x) ，∴函数f(x)是以6为周期的函数．∵当x∈[－3 ,－2]时，f(x)=4x，∴f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=−1f(2.5)=−1f(−2.5)=−14×(−2.5)=110．故答案为：110．【点拨】①在求值过程中，比如本题中求f(107.5)，先用函数周期性把107.5这个数值变小些，尽量向[－3 ,－2]靠拢.②函数综合性的题型，可用数形结合的方法找到思考的方向.巩固练习1(★★)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x+4)=−f(x)，且在[0 ,2]上单调递减，则() A．f(8)<f(11)<f(15)B．f(11)<f(8)<f(15)C．f(15)<f(11)<f(8)D．f(15)<f(8)<f(11)【答案】B【解析】∵f(x)为R上的奇函数，且满足f(x+4)=－f(x)，∴f(x)是以8为周期的函数，∴f(8)=f(0)，f(11)=f(3)=－f(－1)=f(1)，f(15)=f(7)=f(－1)，又f(x)在区间[0，2]上单调递减，∴f(－1)>f(0)>f(1)，即f(15)>f(8)>f(11)．故选：B．2(★★)已知f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈[−1 ,1]时，f(x)=|x|，那么当x∈[−7 ,−5]时，f(x)=.【答案】|x+6|【解析】当x ∈[－7，－5]时，x +6∈[－1，1]． ∴f(x)=f(x +6)=|x +6|， 故选：C ．3(★★★)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f (x +1)=−f(x −1)，若f (−1)>1， f (5)=a 2−2a −4，则实数a 的取值范围是 . 【答案】 (−1 ,3)【解析】由f(x +1)=－f(x －1)，可得f(x +2)=－f(x)， 则f(x +4)=－f(x +2)=f(x)，故函数f(x)的周期为4， 则f(5)=f(1)=a 2－2a －4，又∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，f(－1)>1， ∴f(1)＜－1．∴a 2－2a －4＜－1，解得－1＜a ＜3． ∴实数a 的取值范围是(－1，3)．【题型二】函数图象自身的对称关系【典题1】定义在R 上的函数f(x)的图象关于点(−34，0)成中心对称且对任意的实数x 都有 f (x )=−f(x +32)且f (−1)=1 ,f (0)=−2，则f(1)+f(2)+⋯+f(2014)= .【解析】∵f (x )=−f(x +32)， ∴f (x +32)=−f(x) , 则f (x +3)=−f(x +32)=f(x)∴f(x)是周期为3的周期函数．(确定周期后，接着求前三项和f(1)+f(2)+f(3)便可) 则f (2)=f (−1+3)=f (−1)=1 ,f (12)=−f (−1)=−1∵函数f(x)的图象关于点(−34，0)成中心对称，∴f (1)=−f (−52)=−f(12)=1∵f (3)=f (0)=−2 ∴f (1)+f (2)+f (3)=1+1−2=0∴f(1)+f(2)+⋯+f(2014)=f(1)=1【典题2】已知函数f(x)=2x 2x 2−4x+8，则( ) A ．函数f(x)的图象关于x =2对称B ．函数f(x)的图象关于x =4对称C ．函数f(x)的图象关于(2 ,2)对称D ．函数f(x)的图象关于(4 ,4)对称【解析】方法一 利用函数平移和奇偶性对于A 选项：若函数f(x)的图象关于x =2对称，则y =f(x +2)是偶函数， 而y =f(x +2)=2(x+2)2x 2+4不是偶函数，∴A 错误；对于B 选项，可以采取类似选项A 的方法排除；对于C 选项：若函数f(x)的图象关于(2 ,2)对称，则则函数向左和向下均平移2个单位的函数关于原点对称，即y =f(x +2)－2是奇函数. 易得y =f(x +2)−2=2(x+2)2x 2+4−2=8xx 2+4是奇函数，∴C 正确；对于D 选项：若函数f(x)的图象关于(4 ,4)对称，则函数向左和向下均平移4个单位的函数关于原点对称，即y =f (x +4)−4是奇函数.而y =f(x +4)−4=2(x+4)2(x+2)2+4−4=−2x 2(x+2)2+4不是奇函数，∴D 错误． 故选C ．方法二 利用函数自身的轴对称和中心对称关系利用函数自身的轴对称关系:若f(x +a)=f(b −x) , 则y =f(x)有对称轴x =a+b 2.对于A 选项：若函数f(x)的图象关于x =2对称，则有f(4−x)=f(x) 而f (4−x )= 2(4−x)2(4−x)2−4(4−x)+8=2(4−x)2x 2−4x+8≠2x 2x 2−4x+8=f (x ) ,∴A 错误； 对于B 选项：若函数f (x )的图象关于x =4对称，则有f (8−x )=f (x ) 而f (8−x )=2(8−x)2(8−x)2−4(8−x)+8=2(8−x)2x 2−12x+40≠2x 2x 2−4x+8=f (x ) ,∴B 错误；利用函数自身的中心对称关系：若f(a +x)+f(b −x)=c(a ,b ,c 为常数),则函数y =f(x)的图象关于点(a+b 2,c2)对称.对于C 选项：若函数f(x)的图象关于(2 ,2)对称，则f(x)+f(4−x)=4 易得f (x )+f (4−x )=2x 2x 2−4x+8+2(4−x)2x 2−4x+8=4，∴C 正确；对于D 选项：若函数f(x)的图象关于(4 ,4)对称，则f(x)+f(8−x)=8 而f(x)+f(8−x)= 2x 2x 2−4x+8+2(8−x)2x 2−12x+40显然不恒等于8，∴D 错误． 故选C ．方法三 取特殊值排除法对于A选项：f(0)=0， f(4)≠0，故函数f(x)的图象不可能关于x=2对称，排除A；对于B选项：f(0)=0，f(8)≠0，故函数f(x)的图象不可能关于x=4对称，排除B；对于D选项：f(0)=0， f(8)=165≠8，故函数f(x)的图象不可能关于(4 ,4)对称，排除D；故选C．【点拨】①从三种方法来说，显然大家觉得方法三有种秒杀的感觉，很爽，从应试的角度来讲是这样子的.从提高数学能力的角度，还是需要好好领会下方法一、二；②方法一需要理解抽象函数的平移变换：左加右减，上加下减，它充分体现了数形结合的力量；③方法一其实也是方法二的一种特殊情况的表现；对于函数自身的轴对称和中心对称关系(1) 轴对称:若f(x+a)=f(b−x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2.对于选项A，令a=b=2,有f(x+2)=f(2−x)，即证明f(x+2)是偶函数便可.(2) 中心对称:若函数y=f(x)满足条件 f(a+x)+f(b−x)=c(a ,b ,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2 ,c2)对称.对于选项C，令a=b=2，c=4，有f(2+x)+f(2−x)=4⇒f(2+x)−2=2−f(2−x),即证明y=f(2+x)−2是奇函数.【题型三】两个函数图象之间的对称关系【典题1】下列函数中，其图象与函数y=lgx的图象关于点(1 ,0)对称的是() A．y=lg(1−x)B．y=lg(2−x)C．y=log0.1(1−x)D．y=log0.1(2−x)【解析】设所求函数图象上任意一点P(x ,y)，则P(x ,y)关于(1 ,0)对称的点(2−x ,−y)在y=lgx上，即−y=lg(2−x)，所以y=−lg(2−x)=log0.1(2−x)故选：D．【典题2】下列函数中，其图象与函数y=2x的图象关于直线y=1对称的是.【解析】设P(x ,y)为所求函数图象上的任意一点，它关于直线y=1对称的点是Q(x ,2−y)．由题意知点Q(x ,2−y)在函数y=2x的图象上，则2−y=2x，即y=2−2x．【点拨】这种涉及函数对称性、平移去求解析式的题，常用代入法.巩固练习1(★★)已知函数f(x)=ax+2x−6的对称中心为(b ,1)，则a=；b=．【答案】 1，6【解析】∵f(x)=ax+2x−6=a(x−6)+6a+2x−6=a+6a+2x−6，结合反比例函数的性质及函数的图象平移可知，函数f(x)的对称中心为(6，a)∵f(x)的对称中心为(b，1)，∴{b=6a=1故答案为：1，62(★★)【多选题】函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么()A．f (2−x)=f (x)B．f (1−x)=f (1+x)C．函数y=f (x+1)是偶函数D．函数y=f (x−1)是偶函数【答案】ABC【解析】由f(x)的图象关于x=1对称可知，f(2－x)=f(x)，f(1－x)=f(1+x)，把函数f(x)的图象向左平移1个单位可得y=f(x+1)的图象，关于x=0对称，即为偶函数，把函数f(x)的图象向右平移1个单位可得y=f(x－1)的图象，关于x=2对称，故选：ABC．3(★★★)已知函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线x=1对称，则函数f(1)的值为() A．0B．1C．lna D．−1【答案】A【解析】函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线x=1对称，可得f(x)=f(2－x)，即lnx+ln(a－x)=ln(2－x)+ln(a－2+x)，即有lnx(a－x)=ln(2−x)(a−2+x)，可得x(a−x)=(2−x)(a−2+x)，即ax−x2=2(a−2)+(4−a)x−x2，可得2(a－2)=0，且a=4−a，解得a=2，可得f(x)=lnx+ln(2－x)，则f(1)=2ln1=0．故选：A．4(★★★)已知函数f(x)=ln x4−x，则()A．y=f(x)的图象关于点(2 ,0)对称B．y=f(x)的图象关于直线x=2对称C．f(x)在(0 ,4)上单调递减D．f(x)在(0 ,2)上单调递减，在(2 ,4)上单调递增【答案】A【解析】x4−x>0，则函数定义域为(0，4)，f(1)=ln13，f(3)=ln3，即f(3)=－f(1)，有关于点(2，0)对称的可能，进而推测f(x+2)为奇函数，关于原点对称，f(x+2)=ln x+22−x，定义域为(－2，2)，奇函数且单调递增，∴f(x)为f(x+2)向右平移两个单位得到，则函数在(0，4)单调递增，关于点(2，0)对称，故选：A．5(★★)同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1与y=21−x的图象() A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【答案】C【解析】∵y=21−x=(12)x−1可看做由y=(12)x的图象右移1个单位，而y=2x+1的图象可看做由y=2x的图象向左平移1个单位，且y=2x与y=(12)x的图象关于y轴对称，故函数y=2x+1与y=21−x的图象关于y轴对称．故选：C．6 (★★★)【多选题】已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=−f(x)，且函数y=f(x−1)为奇函数，则()A．函数y=f(x)是周期函数B．函数y=f(x)的图象关于点(−1 ,0)对称C．函数y=f(x)为R上的偶函数D．函数y=f(x)为R上的单调函数【答案】 ABC【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，函数y=f(x)满足f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，A正确；对于B，y=f(x−1)是奇函数，则f(x−1)的图象关于原点对称，又由函数f(x)的图象是由y=f(x－1)向左平移1个单位长度得到，故函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，B正确；对于C，由B可得：对于任意的x∈R，都有f(−1−x)=−f(−1+x)，即f(－1－x)+f(－1+x)=0，变形可得f(－2－x)+f(x)=0，则有f(－2－x)=－f(x)=f(x+2)对于任意的x∈R都成立，令t=2+x，则f(－t)=f(t)，即函数f(x)是偶函数，C正确；对于D，f(x)为偶函数，则其图象关于y轴对称，f(x)在R上不是单调函数，D错误；故选：ABC．。
15.函数的对称性与周期性 课件-广东省惠来县第一中学2021届高三数学一轮复习
问题4 :
4.设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x, 恒有f(x+4)=f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
1 则f(2 017) =________.
答案：因为f(x+4)=f(x),所以周期T=4. 又f(1)=1,所以f(2 017)=f(1+4×504)=f(1)=1. 答案:1
即f(4-x)=f(x).因此,函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,
由f(x-4)=f(-x)知f(x-8)=f(x).又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,
所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数,如图所示(草图),
方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4, 不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4, 所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.
【解析】因为f(x)·f(x+2)=2 012,
所以f(x+2)·f(x+4)=2 012,所以f(x)=f(x+4),
所以f(x)是一个周期为4的周期函数,
所以f(99)=f(4×25-1)=f(-1).
因为f(-1)·f(-1+2)=2 012,
所以f(99)=
2 f
0112=1
006.
答案:1 006
函数的奇偶性、周期性、对称性的关系：
①函数 f（x）是偶函数；②函数图象关于直线 x＝a 对称； ③函数的周期是 2|a|.
①函数 f(x)是奇函数；②函数图象关于点(a，0)对称； ③函数的周期是 2|a|.
函数的周期性和对称性PPT课件
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
12
完整版)常见函数对称性和周期性
完整版)常见函数对称性和周期性二、函数对称性的重要结论一）函数y=f(x)的图像本身的对称性（自身对称）若f(x+a)=±f(x+b)，则f(x)具有周期性；若f(a+x)=±f(b-x)，则f(x)具有对称性。
即，“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x)=f(b-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。
推论1：f(a+x)=f(a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
推论2、f(x)=f(2a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
推论3、f(-x)=f(2a+x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
2、f(a+x)+f(b-x)=2c⟺y=f(x)的图像关于点(a+b/2,c)对称。
推论1、f(a+x)+f(a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
推论2、f(x)+f(2a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
推论3、f(-x)+f(2a+x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
二）两个函数的图像对称性（相互对称）1、偶函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于Y轴对称。
2、奇函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称。
3、函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于X轴对称。
4、互为反函数y=f(x)与函数y=f^-1(x)的图像关于直线y=x对称。
5、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。
推论1: 函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图像关于直线x=a对称。
推论2: 函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称。
推论3: 函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称。
三、函数周期性的重要结论1、f(x±T)=f(x)(T≠0)⟺y=f(x)的周期为T，kT(k∈Z)也是函数的周期。
2、f(x+a)=f(x+b)⟺y=f(x)的周期为T=b-a。
上海高中三角函数的周期性奇偶性和对称性PPT课件
tan1
【 例 4 】 求 下 列 函 数 的 最 小 正 周 期 ：
(1)y 3sin2xcos2x
解：y2sin(2x) T 2
6
2
y a sinx b cosx 的周期T 2
【例4 】求下列函数的最小正周期：
(2)ysin2(2x)1
3
1cos(4x2)
解：y
3 1
2
1cos(4x2)3
f(x)sin2x(sin2x)sin2x
f(x)f(x)
该 函 数 是 奇 函 数
【例 1 】判断下列函数的奇偶性：
(2)yxcos(x)
解 ： 定 义 域 R 关 于 原 点 对 称
f(x)x(cosx)xcosx f(x)xcos(x)xcosx
f(x)f(x) 该 函 数 是 奇 函 数
(1)当f (x) 是奇函数时 f (x) f (x) 0
2cos2xsin0
sin 0
k,kZ
【例2】已知函数f xsin2x (1)取何值时，f x是奇函数？ (2)取何值时，f x是偶函数？
解 ： fx s i n 2 x c o s c o s 2 x s i n f x s i n ( 2 x ) c o s c o s ( 2 x ) s i n
当 y取 得 最 大 值 或 最 小 值 时 sin(x)1
一 、 y s i n x 的 奇 偶 性 、 周 期 性 和 对 称 性 :
y 1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y sin x
周期性 sin(x2)sinx T 2
奇偶性 对称轴 对称中心
sin(x)sinx 奇 函 数
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
函数的奇偶性、周期性与对称性 课件--2023届高三数学一轮复习
命题点3 利用奇偶性求函数值和最值
例4 （1）已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2.若f(x)在区间[－t，t]上的
最大值为M，最小值为m，则M＋m＝____4____.
(2)已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝
____4____.
(3)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的
则y＝f(x)的图象关于直线x＝ a＋b 轴对称. (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(2a－x)，
则y＝f(x)的图象关于点（a，0）中心对称.
(4)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，
则(5)y若＝函f(x数)的f(x图)满象足关f于(a＋点x)＋a＋f2(bb－，0x)＝中c心，对称. 则函数f(x)的图象关于点 a＋2 b，2c 中心对称.
(2)(多选)关于函数f(x)＝sin
x＋
1 sin
x
有如下四个命题，其中
正确的是
A.f(x)的图象关于y轴对称
√B.f(x)的图象关于原点对称 √C.f(x)的图象关于直线x＝π 对称 √D.f(x)的图象关于点(π，0)2对称
本节结束
谢谢
1－x 跟踪训练1 (1)(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ 1＋x ，则下列函数
中为奇函数的是
A.f(x－1)－1
√B.f(x－1)＋1
C.f(x＋1)－1
D.f(x＋1)＋1
2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在 一 个 非 零 常 数 T ， 使 得 对 每 一 个 x∈D 都 有 x ＋ T∈D ， 且 __f_(x_＋__T__)＝__f_(_x，) 那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常 数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最__小__的正数，那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
函数周期性ppt课件
f [2a (2a x)] f [2b (2a x)] f (x) f [x (2b 2a)]，即T=（ 2 b-a）
拓 展 2.由 对 称 性 得 出 周 期 性 的 常 用 结 论
练习2：
1 f x是定义在R上的偶函数，且满足 f 2 x f 2 x,求证：f x是周期函数。 （如果f x是奇函数呢？）
2设f x是定义在R上的函数，并且对任意的x, 都有f x f x 2 f x 1. 求证：f x是周期函数，并求出它的一个周期
谢谢！
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
判断周期练习：
1已知函数f x在其定义域上满足f x 1 f x 6,
求此函数的周期。T=5
2已知函数f x在其定义域上满足f x 1 f x,
拓 展 1.有 关 周 期 性 的 结 论
1. 设 a为 非 零 常 数 ， 若 对 于 f (x)定 义 域 内 的 任 意 x, 恒有下列条件之一成立，
(1) f (x a) f (x a)
(2) f (x a) f (x)
(3) f (x a) 1 f (x)
(4) f (x a) 1 f (x)
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
高中数学—函数的对称性与周期性—完整PPT
函数的轴对称
函数的点对称求函数对Βιβλιοθήκη 后的解析式对称轴或对称中心
原函数
对称函数
原点
对称的两函数
对称轴或对称中心
两函数关系式
原点
同一函数的对称性
对称轴或对称中心
函数满足的关系式 无
原点
无
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
第6讲函数的性质(二)奇偶性周期性对称性PPT课件
1． 一 般 的 ， 如 果 ① _______________________ ，
1都有 ② _______， 那么 函数 f x 就叫 做奇 函数 ； 2都有③ _______，那么函数f x就叫做偶函数．
(3)由 x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，可得 f(0)＝0，f(1) ＝1，f(2)＝0，
又 x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8，可得 f(3)＝－1， 所以 f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，而 f(x＋4)＝f(x)， 所以 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝[f(0)＋f(1)＋ f(2)＋f(3)]×503＝0.
(2)已知函数 f(x)＝x3＋sinx 的定义域为(－1,1)， 则满足不等式 f(a2－1)＋f(1－2a)<0 的 a 的取值范围 是 (0,1) .
【解析】(1)因为 f(x)与 g(x)都是奇函数， 所以 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)， 所以 F(x)＋F(－x)＝af(x)＋bg(x)＋3＋a[－f(x)]＋ b[－g(x)]＋3＝6， 所以 F(x)＝6－F(－x)， 所以 F(2)＝6－F(－2)＝6－5＝1.
(2)
所以函数 f(x)的定义域是{－1,1}，此时 f(x)＝0， 所以 f(x)＝ 1－x2＋ x2－1既是奇函数又是偶函数．
(3)
，解得－1≤x<0 或 0<x≤1，它
关于原点对称，且此时|x＋2|－2＝x＋2－2＝x，
从而 f(x)＝ 1－x x2，
从而 f(－x)＝ 1－－－x x2＝－ 1－x x2＝－f(x)，
函数周期性ppt
专属客服
VIP专属客服，第一时间解决你的问题。专属客服QQ：800049878
路漫部权益：1.海量精选书免费读2.热门好书抢先看3.独家精品资源4.VIP专属身份标识5.全站去广告6.名
服务特 权
共享文档下载特权
VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文
档消耗一个共享文档下载特权。
年VIP
月VIP
连续包月VIP
享受100次共享文档下载特权，一次 发放，全年内有效
赠每的送次VI的发P类共放型的享决特文定权档。有下效载期特为权1自个V月IP，生发效放起数每量月由发您放购一买次，赠 V不 我I送 清 的P生每 零 设效月 。 置起1自 随5每动 时次月续 取共发费 消享放， 。文一前档次往下，我载持的特续账权有号，效-自
VIP有效期内享有搜索结果页以及文档阅读页免广告特权，清爽阅读没有阻碍。
知识影响格局，格局决定命运！ 多端互通
抽奖特权
VIP有效期内可以无限制将选中的文档内容一键发送到手机，轻松实现多端同步。 开通VIP后可以在VIP福利专区不定期抽奖，千万奖池送不停！
福利特权
开通VIP后可在VIP福利专区定期领取多种福利礼券。
其他特 VIP专享精彩活动
权
VIP专属身份标识
开通VIP后可以享受不定期的VIP随时随地彰显尊贵身份。
专属客服
VIP专属客服，第一时间解决你的问题。专属客服Q全部权益：1.海量精选书免费读2.热门好书抢先看3.独家精品资源4.VIP专属身份标识5.全站去广告6.名
应用：①利用周期函数的周期性求函数值 练习1：已知是定 义在实数集上的周期函数，
函数的对称性ppt课件
(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是
偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是
A.f(－1)<f(1)<f(2)
B.f(1)<f(2)<f(－1)
C.f(2)<f(－1)<f(1)
D.f(－1)<f(2)<f(1)
√
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝
则 + = ．
【答案】6
【解析】设函数 图象的对称中心为 , ，则有2 = + (2 − )，
即2 = 3 − 9 2 + 29 − 30 + (2 − )3 − 9(2 − )2 + 29(2 − ) − 30，
整理得2 = (6 − 18) 2 − (122 − 36) + 83 − 362 + 58 − 60，
所以 = 2 ．
故答案为 = 2 ．
题型三
例3
两个函数图象的对称
已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)
的图象
√
A.关于直线x＝1对称
B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称
D.关于点(3,0)对称
跟踪训练3
A.y＝ex－1
√
C.y＝e2－x
A
B
考点2 函数的对称性
一。函数的图象自对称性
函数y=f(x)图象关于直线x=a对称⇔f(2a-x)=f(x)
函数y=f(x)图象关于点(a,b)中心对称 ⇔f(2a-x)+f(x)=2b
函数的周期性与对称性.
函数的周期性与对称性1函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y= f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y = f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x + a) = f(x —a)② f(x + a) = —f(x) ③f(x + a) = 1/f(x) ④ f(x + a) =—1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5若函数y = f(x)同时关于直线x= a与x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 2|a —b|性质6、若函数y= f(x)同时关于点(a, 0)与点(b, 0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 2|a —b|性质7、若函数y= f(x)既关于点(a, 0)中心对称，又关于直线x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 4|a —b|3. 函数y二f (x)图象本身的对称性(自身对称)若f (x • a)二f (x b)，贝U f (x)具有周期性；若f (a • x)二f (b - x)，贝U f (x)具有对称性："内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1: f (a • x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线x = a对称推论2、f (x) = f (2a —x) ：= y = f (x)的图象关于直线x = a对称推论3、f (-x) = f (2a • x) ：= y = f(x)的图象关于直线x = a对称推论1、f (a x) f (a - x) = 2b =推论2、f(x) f (2a -x) =2b = 推论3、f (-x) f (2a x) = 2b :二例题分析：1 .设f (x)是(Y「：：)上的奇函数，f(47.5)等于(A) 0.5 ( B) -0.52、(山东)已知定义在R上的奇函数A . —1B . 03•设f (x)是定义在R上的奇函数，y = f(x)的图象关于点(a,b)对称y = f (x)的图象关于点(a,b)对称y = f(x)的图象关于点(a,b)对称f(x 2) = — f(x)，当0 乞x ^1 时，f(x)二x，则( )(C) 1.5 ( D) -1.5f (x)满足f (x • 2) = -f(x)，贝y f(6)的值为( ) C. 1 D . 2f(1)=2, f(x 1) = f (x 6),求f(10).4•函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x • 2)1，若f(l)二-5，贝y f[f(5)]二f (x)5•已知f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x = 1对称。
第三节+函数的奇偶性、周期性与对称性课件-2025届高三数学一轮复习
[解析] 对于A，函数的定义域为，
− = − + − = − + = − ，故该函数为奇函数；对于B，
函数的定义域为， − = −
− − = − = ，故该函数为偶
函数；对于C，函数的定义域为， − =
二、函数的周期性
1.周期函数：对于函数y = f x ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任
f x+T =f x
何值时，都有________________，那么就称函数y
= f x 为周期函数，称T为这个函
数的周期.
最小
正
2.最小正周期：如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个______的____数，那么这
( D )
A.e−x − 1
B.e−x + 1
C.−e−x − 1
D.−e−x + 1
[解析] 通解:依题意得，当 < 时， = − − = − − − = −− + .故选D.
优解:依题意得， − = − = − − = − ，结合选项知，选D.
图象关于直线x = a对称.
（3）若函数y = f x + b 是奇函数，即f −x + b + f x + b = 0，则函数y = f x
的图象关于点 b, 0 中心对称.
4.指数型函数的奇偶性
（1）函数f x = ax + a−x (a > 0且a ≠ 1)是偶函数.
（2）函数f x = ax − a−x (a > 0且a ≠ 1)是奇函数.
奇偶性
偶函数
奇函数
定义
图象特点
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常见函数的对称性
一个函数本身的对称性称为自对称,分成 y f x
关于某直线对称或某点对称.
eg : y ax2 bx c(a 0)关于直线 x b 对称
2a
y a x b m(a 0) 关于直线 x b对称
y
x
a x
(a
0)关于 原点
f ( x) f (2a x) f ( x a) f (a x)
(2)若 y f (x)关于点 a,b 对称
f (x a) f (a x) 2b f (x) f (2a x) 2b
2
定理：若函数 f (x)满足 f (a x) f (a x)，那么函数以 x a为对
解析式。
f x 1 x 22 , x [1, )
例5：设f x是定义在R上的偶函数，它的图
象关于直线 x 1对称，已知x 1,1时,函数
f x 1 x2,求当 x 3,1时f x的解析式
f x 1 x 22 , x 3,1
称轴。
cor.若函数f (x) 满足 f (x) f (2a x) ，那么函数以x a为对称轴。
即：x a为 f (a x) f (a x)
对称轴
f (x) f (2a x)
Y
A(a x, f (a x))
A
B
O
X=a
B(a x, f (a x))
2
2)若 f x a f b x c ,则函数 f x
关于___a_2__b_, c2__ _____对称;
5
对称源
性质
点(0,0) f(-x)=-f(x)
y轴 f(-x)=f(x) y=f(x)
y=x f(x)=f-1(x)
x=m f(x)=f(2m-x)
点(m,n) f(x)=2n-f(2m-x)
Ex:若函数 f (x), 且 f (3- x)= f (3+ x),
12 使 f (x)=
1 2
的解是
x1
,
x2
,
x3
,
x4
,
求x1
+
x2 +
x3 +
x4 = - - - -
6
例1：已知y f x的图象,画出 f 1 x和 f 1 x
7
一般地, 函数 y f x a 和 y f x b 关于
x___b___a_对称.记忆：令x+a=-x+b，可求得对称轴.
2
变化前 对称源
变化后
点(0,0) x轴
y=-f(-x) y=-f(x)
y轴
y=f(-x)
y=f(x)
y=x y=-x 直线x=m 直线y=n
对称
y
A
B (BC
Cx D
0)关于点
D C
,
A
对称
11
二、函数的周期性
思考：若 f x a f x b,a b,函数 f x
具有什么性质？ T= (a-b)
1.定义:对于函数 y f x, x D ，若存在非零
常数T，使得 f x T f x恒成立，则称 y f x
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
函数的性质
--对称性、周期性
1
一、函数的对称性
两个恒等式的形式均不唯一，要记住本质构造.
若函数y f x上任意一点关于某直线（或某点）
的对称点仍在 y f x上，就称 f x关于某直线
（或某点）对称，这种对称性称为自对称。
(1)若 y f (x)关于直线 x a 对称
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x x)
y=-f-1(-x) y=f(2m-x) y=2n-f(x)
点(m,n)
y=2n-f(2m-x)
8
利用对称性求解析式
（一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式
例2:将函数 y f (x)右移2个单位得到图像 C1，有C1和C2的图像关于点(1, 2)对称，求C2的 函数解析式。
y 4 f (x)
A(x, f (x))
X
B(2a x, f (2a x))
3
定理：若函数 f (x)满足 f (a x) f (a x)，那么函数关于点 (a,0)
对称。
cor.若函数 f (x)满足 f (x) f (2a x) ，那么函数关于点(a,0) 对称 。
即：对 a,称 0为 点
f (a x) f (a x)
f (x) f (2a x)
Y
(a,0) B O
A(a x, f (a x)) A B(a x, f (a x))
A(x, f (x)) X B(2a x, f (2a x))
4
注：1.当a 0 时,函数关于直线 x 0 对称
偶函数----特殊的轴对称函数 f ( x) f ( x)
2.当a 0 时,函数关于点(0, 0)对称
奇函数----特殊的点对称函数 f ( x) f ( x) 0
一般地,1)若f x a f x b ,则函数f x
关于 x a b 对称.
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。