江苏大学,大学物理19--22练习答案

练习 十九
知识点：理想气体状态方程、温度、压强公式、能量均分原理、理想气体内能
一、选择题
1． 容器中储有一定量的处于平衡状态的理想气体，温度为T ，分子质量为m ，则分子速度在x 方向的分量平均值为 （根据理想气体分子模型和统计假设讨论） ( )
（A ）x = （B ）x υ=； （C ）m kT x 23=υ； （D ）0=x υ。

解:(D)平衡状态下,气体分子在空间的密度分布均匀,沿各个方向运动的平均分子数相等,分子速度在各个方向的分量的各种平均值相等,分子数目愈多,这种假设的准确度愈高.
2． 若理想气体的体积为V ，压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻耳兹曼常量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为 （ ）
（A ）pV /m ； （B ）pV /(kT )； （C ）pV /(RT )； （D ）pV /(mT )。

解: (B)理想气体状态方程NkT T N R N RT m N Nm RT M M pV A
A mol ==== 3．根据气体动理论，单原子理想气体的温度正比于 （ ）
（A ）气体的体积； （B ）气体的压强；
（C ）气体分子的平均动量；（D ）气体分子的平均平动动能。

解: (D)kT v m k 2
3212==ε (分子的质量为m ) 4．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是 （ ）
（A ）氧气的温度比氢气的高； （B ）氢气的温度比氧气的高；
（C ）两种气体的温度相同； （D ）两种气体的压强相同。

解:(A) kT v m k 2
3212==ε,2222H O H O T T m m =(分子的质量为m ) 5．如果在一固定容器内，理想气体分子速率都提高为原来的2倍，那么 （ ）
（A ）温度和压强都升高为原来的2倍；
（B ）温度升高为原来的2倍，压强升高为原来的4倍；
（C ）温度升高为原来的4倍，压强升高为原来的2倍；
（D ）温度与压强都升高为原来的4倍。

解:(D)根据公式231v nm p =
,nkT p =即可判断. (分子的质量为m ) 6．一定量某理想气体按pV 2＝恒量的规律膨胀，则膨胀后理想气体的温度 （ ）
（A ）将升高； （B ）将降低； （C ）不变； （D ）升高还是降低，不能确定。

解:(B) pV 2＝恒量, pV /T ＝恒量,两式相除得VT ＝恒量
二、填空题
1．质量为M ，摩尔质量为M mol ，分子数密度为n 的理想气体，处于平衡态时，状态方程为_______________，状态方程的另一形式为_____________，其中k 称为____________常数。

解: RT M M pV mol
=; nkT p =;玻耳兹曼常数 2．两种不同种类的理想气体，其分子的平均平动动能相等，但分子数密度不同，则它们的温度 ，压强 。

如果它们的温度、压强相同，但体积不同，则它们的分子数密度 ，单位体积的气体质量 ，单位体积的分子平动动能 。

（填“相同”或“不同”）。

解: 平均平动动能kT v m k 2
3212==ε,nkT p =⇒相同,不同;相同,不同;相同. (分子的质量为m ) 3．理想气体的微观模型：
（1）___________________________________；（2）____________________________________；
（3）____________________________。

简言之理想气体的微观模型就是____________________。

解: (1)气体分子的大小与气体分子间的距离相比较,可以忽略不计.(2)气体分子的运动服从经典力学规律.
在碰撞中,每个分子都可以看作完全弹性的小球.(3)除碰撞的瞬间外,分子间相互作用力可以忽略不计。

简言之:气体分子是自由地、无规则地运动着的弹性分子的集合。

4．氢分子的质量为3.3⨯10-24g ，如果每秒有1023个氢分子沿着与容器器壁的法线成45︒角方向以105cm/s 的速率撞击在2.0cm 2面积上（碰撞是完全弹性的），则由这些氢气分子产生的压强为_________________。

解:232
41327123/1033.2102707.010103.3102cos 2m N m ms kg s S Nmv ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=----α (分子的质量为m ) 5．宏观量温度T 与气体分子的平均平动动能k ε的关系为k ε=___，因此，气体的温度是_______的量度。

解:kT k 23=
ε, 分子的平均平动动能(分子无规则热运动的程度) 6*．储有氢气的容器以某速度v 作定向运动，假设该容器突然停止，气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，此时容器中气体的温度上升 0.7 K ,则容器作定向运动的速度v =__________m/s ，容器中气体分子的平均动能增加了__________J 。

解:s m M T iR v T R i M M Mv mol mol /6.12010
27.031.85,22132=⨯⨯⨯=∆=∆=- 分子的平均动能(平动动能+转动动能)增加J T k i 23231042.27.01038.12
52--⨯=⨯⨯⨯=∆ 三、计算题
1．有一水银气压计，当水银柱高度为0.76m 时，管顶离水银柱液面为0.12m 。

管的截面积为2.0⨯10-4m 2。

当有少量氦气混入水银管内顶部，水银柱高度下降为0.60m 。

此时温度为27℃，试计算有多少质量氦气在管顶？（氦气的摩尔质量为0.004kg/mol ，0.76m 水银柱压强为1.013⨯105Pa ）
解：设管顶部氦气压强为p ,pa mHg
p 451013.210013.176.016.016.0⨯=⨯⨯== 354106.5100.228.0m V --⨯=⨯⨯= 由理想气体状态方程RT M M pV mol
=可得, 456mol 2.1310 5.6100.004 1.9110(kg)8.31(27273)
pVM M RT --⨯⨯⨯⨯===⨯⨯+ 2．一瓶氢气和一瓶氧气温度相同。

若氢气分子的平均平动动能为k ε= 6.21×10-21 J 。

求：
(1) 氧气分子的平均平动动能和方均根速率；
(2) 氧气的温度。

(阿伏伽德罗常量N A ＝6.022×1023 mol -1，玻尔兹曼常量k ＝1.38×10-23 J ·K -1) 解：(1) 温度相同,分子的平均平动动能相同 J v m kT k 2121021.62123-⨯===
ε,(分子的质量为m ) s m M N m v mol A k k /484100.3210022.61021.62223
23
212=⨯⨯⨯⨯⨯===--εε (2) 氧气的温度 K k T k 30010
38.131021.62322321
=⨯⨯⨯⨯==--ε 3．（1）有一带有活塞的容器中盛有一定量的气体，如果压缩气体并对它加热，使它的温度从27℃升到177℃、体积减少一半，求气体压强变为原来的几倍？（2）这时气体分子的平均平动动能变为原来的几倍？分子的方均根速率变为原来的几倍？
解：(1) 根据理想气体状态方程,由题意可知
T R M M V p RT M M pV mol mol '='=
2,,p p T T p p 3,3300
)177273(22='=+='=' (2) 根据分子平均平动动能公式可知 kT k 23=ε,T k k '='23ε,5.127273173273=++='='T T k k εε
根据方均根速率公式225.12/3//,3,32222=='=''='=
T T v v M T R v M RT v mol
mol 4． 水蒸气分解为同温度T 的氢气和氧气H 2O →H 2＋21O 2时，1摩尔的水蒸气可分解成1摩尔氢气和21摩尔氧气。

当不计振动自由度时，求此过程中内能的增量。

解：水蒸汽的自由度6=i ，RT RT i M M E mol O H 32
2=⋅=
氢气和氧气的自由度均为5，RT RT RT E E O H 4
1525212522=⋅+=+ 内能的增量RT RT RT E 433415=-=∆ 5．有 2×10-3 m 3刚性双原子分子理想气体，其内能为6.75×102 J 。

(1) 试求气体的压强；(2) 设分子总数为 5.4×1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。

解：（1）因为RT M M PV mol =，内能kT N RT M M E mol 2
525⋅==。

所以 2532/1035.110
251075.6252m N V E p ⨯=⨯⨯⨯⨯==- （2）分子的平均平动动能J N E N E kT k 21222105.710
4.55107
5.6353522323-⨯=⨯⨯⨯⨯==⋅==ε J T kT k 2123105.71038.12
323--⨯=⨯⨯⨯==ε，K T 362= 6．一容器被中间的隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K ；另一半装有氧气，温度为310K ，二者压强相等。

求去掉隔板两种气体混合后的温度。

解：设氦气、氧气的摩尔数分别为1μ、2μ，根据理想气体状态方程可知
112RT V p μ=,222RT V p μ=,2
112T T =μμ 将系统进行的过程近似地看成绝热过程,又因系统对外不作功,内能守恒
2121E E E E '+'=+,RT RT RT RT 2
5232523212211μμμμ+=+, )
/(53)/(53)/(53)/(535353212211122121212211T T T T T T T T T T T ++=++=++=μμμμμμμμk T T T T 4.2845381221=+= 练习 二十
知识点：麦克斯韦速率分布律、三个统计速率、平均碰撞频率和平均自由程
一、选择题
1． 在一定速率υ附近麦克斯韦速率分布函数 f (υ)的物理意义是：一定量的气体在给定温度下处于平衡态时的 （ ）
（A ）速率为υ的分子数；
（B ）分子数随速率υ的变化；
（C ）速率为υ的分子数占总分子数的百分比；
（D ）速率在υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。

解：(D) Ndv
dN v f =)(,速率在v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比 2． 如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则 （ ）
（A ）这两种气体的平均动能相同； （B ）这两种气体的平均平动动能相同；
（C ）这两种气体的内能相等； （D ）这两种气体的势能相等。

解：(B) 平均动能=平均平动动能+转动动能,氦气为单原子分子,3=i ;氢气为双原子(刚性)分子, 5=i
3． 在恒定不变的压强下，理想气体分子的平均碰撞次数z 与温度T 的关系为 ( )
（A ）与T 无关； （B ）与T 成正比； （C ）与T 成反比；
（D ）与T 成正比； （E ）与T 成反比。

解：(C)T
M R p d d kT p M RT d n v z mol mol πππππ82822222=== 4． 根据经典的能量按自由度均分原理，每个自由度的平均能量为 （ ）
（A ）kT /4； （B ）kT /3； （C ）kT /2； （D ）3kT /2； （E ）kT 。

解：(C)
5． 在20℃时，单原子理想气体的内能为 （ ）
（A ）部分势能和部分动能； （B ）全部势能； （C ）全部转动动能；
（D ）全部平动动能； （E ）全部振动动能。

解：(D)单原子分子的平动自由度为3,转动自由度0, 振动自由度为0
6． 1mol 双原子刚性分子理想气体，在1atm 下从0℃上升到100℃时，内能的增量为 （ ）
（A ）23J ； （B ）46J ； （C ）2077.5J ； （D ）1246.5J ； （E ）12500J 。

解：(C)J T R i M M E mol 5.207710031.82512=⨯⨯⨯=∆=
∆ 二、填空题
1．)(υf 为麦克斯韦速率分布函数，⎰∞p f υυυd )(的物理意义是_____________，⎰∞02d )(2
υυυf m 的物理意义是__________，速率分布函数归一化条件的数学表达式为___________，其物理意义是_________。

解：⎰⎰⎰∞∞∞==p p p v v v N dN dv Ndv
dN dv v f )(,∞~p v 速率区间内分子数占总分子数的百分率;
2 )(20202⎰⎰∞∞=N dN mv dv v f mv ,∞~0速率区间内分子的平均平动动能; 1)(0=⎰
∞dv v f ;速率在∞~0内的分子数占总分子数的比率为1。

2． 同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如右图所示，其中曲线1为
_____________的速率分布曲线，__________的最概然速率较大（填“氢气”或
“氧气”）。

若图中曲线表示同一种气体不同温度时的速率分布曲线，温度分别为
T 1和T 2且T 1<T 2；则曲线1代表温度为________的分布曲线（填T 1或T 2）。

解：最可几速率mol p M RT v 2=,T 相同时,mol M 大p v 小⇒氧气、氢气;同一种气体T 大p v 大⇒1T
3．设氮气为刚性分子组成的理想气体，其分子的平动自由度数为_________，转动自由度为_________；分子内原子间的振动自由度为__________。

解：3;2;0
4．在温度为27℃时，2mol 氢气的平动动能为 ，转动动能为 。

解：分子平动自由度3, 平动动能为J RT kT N N A k A 747930031.8332
322=⨯⨯==⋅=ε 分子转动自由度2, 转动动能为J RT kT N A 498630031.8222=⨯⨯==⋅
5． 1mol 氧气和2mol 氮气组成混合气体，在标准状态下，氧分子的平均能量为_________，氮分子的平均能量为____________；氧气与氮气的内能之比为____________。

解：氧气、氮气均为双原子分子,自由度为5,因此
J kT 21231042.92731038.12525--⨯=⨯⨯⨯==ε;J 211042.9-⨯=ε; RT i M M E mol 2
= ⇒2:1 6．2 mol 氮气，由状态A (p 1,V )变到状态B (p 2,V )，气体内能的增量为__________。

解：内能PV i RT i M M E mol 2
2==,内能的增量V P P E )(2512-=∆ 三、计算题
1*． 设氢气的温度为300℃。

求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数N 1与速率在υp 到υp +10m/s 之间的分子数N 2之比。

解：根据麦克斯韦速率分布函数可得
p v v p kT mv v v e v v v v e kT m N N p ∆=∆=∆--2
2)(2222/3)(4)2(4πππ(分子的质量为m ) p
p v p v e N N v e v N N p 104,10)3000(412)3000(212--==ππ，,)3000(2)3000(221e e v N N p v p ⋅=-
s m M RT v mol
p /2183/2==，,78.0)21833000(2)21833000(221=⋅=-e e N N 2*．假定大气层各处温度相同均为T ，空气的摩尔质量为mol M ，试根据玻尔兹曼分布律)(0kT mgh e n n -⋅=，证明大气压强p 与高度h (从海平面算起)的关系是0mol ln p RT h M g p =
⋅。

并求上升到什么高度处，大气的压强减到地面的75%。

解：kT m gh kT m gh e p kTe n nkT p /0/0--===,p p g M RT h mol 0ln =
(分子的质量为m ) 3
4ln 75.0ln 00g M RT p p g M RT h mol mol == 3*．导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。

设导体中共有N 个自由电子。

电子气中电子的最大速率υF 叫做费米速率。

电子的速率在υ与υ+d υ之间的概率为：
⎪⎩⎪⎨⎧>>>=)(
0)0( d 4d F F 2υυυυπυN V A N N 式中A 为归一化常量。

（1）由归一化条件求A 。

（2）证明电子气中电子的平均动能
F 2F k 53)21(53E m ==υε，此处E F 叫做费米能。

解：(1)1)(0=⎰∞dv v f , 1344302==⎰N A v N Adv v F v F
ππ，343F v N A π=,323F
v dv v N dN = (2)F F V F V k E mv v dv v m dv v f mv F F 53215323)(21203420=⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎰⎰ε 4．今测得温度为t 1＝15℃，压强为p 1＝0.76 m 汞柱高时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为：Ar λ＝
6.7×10-8 m 和Ne λ=13.2×10-8 m ，求：
(1) 氖分子和氩分子有效直径之比d Ne / d Ar ＝？
(2) 温度为t 2＝20℃，压强为p 2＝0.15 m 汞柱高时，氩分子的平均自由程/Ar λ＝？
解：(1)n d 221
πλ=, 22Ar Ne Ne Ar d d =λλ,712.02.137.6===Ne Ar Ar Ne d d λλ (2) p d kT 22πλ=,
15.528815.076.02931122=⋅⋅=⋅='T p p T Ar Ar λλ， m Ar Ar 71045.315.5-⨯=='λλ 5．真空管的线度为 m 210-，其中真空度为a p 31033.1-⨯，设空气分子的有效直径为m 1010
3-⨯。

求：
（1）温度为27℃时单位体积内的空气分子数；（2）平均碰撞频率；（3）平均自由程。

解：(1)317233
/1021.33001038.11033.1m kT p n 个⨯=⋅⨯⨯==--,(2)s m M RT v mol /4670289
.0142.330031.888=⨯⨯⨯==π， 1172027.591021.346710914.322---=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==s n v d z π ，(3)m n d z v 82.7212===πλ
练习 二十一
知识点：热力学第一定律及其应用、绝热过程 一、选择题
1． 如图所示为一定量的理想气体的p —V 图，由图可得出结论 ( C ) （A ）ABC 是等温过程； （B ）T A >T B ； （C ）T A <T B ； （D ）T A =T B 。

解：(C)C C A A V p V p =⇒C A T T =;过A 、C 作等温线,B 在过A 、C 的等温线之上。

2． 一定量的理想气体，处在某一初始状态，现在要使它的温度经过一系列状态变化后回到初始状态的温度，可能实现的过程为 （ D ）
（A ）先保持压强不变而使它的体积膨胀，接着保持体积不变而增大压强；
（B ）先保持压强不变而使它的体积减小，接着保持体积不变而减小压强；
（C ）先保持体积不变而使它的压强增大，接着保持压强不变而使它体积膨胀；
（D ）先保持体积不变而使它的压强减小，接着保持压强不变而使它体积膨胀。

解：(D)作等温线,由于末状态和初状态温度相同,状态变化过程的起点、终点应在同一等温线上。

3． 气体的摩尔定压热容C p 大于摩尔定体热容C V ，其主要原因是 （ C ）
（A ）膨胀系数不同； （B ）温度不同； （C ）气体膨胀需作功； （D ）分子引力不同。

解：(C)根据热力学第一定律可知,对等容过程E Q V ∆=;对等压过程A E Q p +∆=。

4． 压强、体积和温度都相同（常温条件）的氧气和氦气在等压过程中吸收了相等的热量，它们对外作的功之比为 （ C ）
（A ）1:1； （B ）5:9； （C ）5:7； （D ）9:5。

解：(C)氧气为双原子分子, 氦气为单原子分子.由等压过程吸热和作功的表达式:
T C M M Q p mol p ∆=,T R M M V p A mol ∆=∆=⇒p
p C R Q A =⇒75)2/5/()2/7/(2==RT R RT R A A He O 。

5． 一摩尔单原子理想气体，从初态温度T 1、压强p 1、体积V 1，准静态地等温压缩至体积V 2，外界需作多少功？ （ B ）
（A ）RT 1ln(V 2/V 1)；（B ）RT 1ln(V 1/V 2)；（C ）p 1(V 2-V 1)；（D ）(p 2V 2- p 1V 1)。

解：(B)RT M M pV mol =,2111ln 12121V V RT M M dV V RT M M pdV A mol V V mol V V =-=-=⎰⎰外 。

6． 在p —V 图上有两条曲线abc 和adc ，由此可以得出以下结论：
（A ）其中一条是绝热线，另一条是等温线；（B ）两个过程吸收的热量相同； （C ）两个过程中系统对外作的功相等；（D 解：(D)对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。

7． 1mol 的单原子分子理想气体从状态A 变为状态B ，如果不知是什么气体，变化过程也不知道，但A 、
B 两态的压强、体积和温度都知道，则可求出： （ D ）
(A) 气体所作的功； (B) 气体内能的变化；
(C) 气体传给外界的热量； (D) 气体的质量。

解：(B) 对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。

二、填空题 1． 一定量的理想气体从同一初态a(p 0,V 0)出发，分别经两个准静态过程ab 和ac ，b 点的压强为p 1，c 点的体积为V 1，如图所示，若两个过程中系统吸收的热量相同，
则该气体的比热容比γ =C p /C V =_________________。

解：)(a b V mol
ab T T C M M Q -=, )(a c p mol ac T T C M M Q -=, RT M M pV mol =, ⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-R V p R V p C R V p R V p C p V 00100001,1/1/0101--==V V p p C C V p γ 2． 如图所示，一理想气体系统由状态a 沿acb 到达状态b ，系统吸收热量350J ，
而系统做功为130J 。

（1）经过过程adb ，系统对外做功40J ，则系统吸收的热量Q =____________。

（2）当系统由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时，外界对系统做功为60J ，则系统吸收的热量Q =________。

)m 33-01
)(a 图)(b 图解：根据热力学第一定律求解:J A Q E acb acb ab 220130350=-=-=∆,
J E A Q ab adb adb 26022040=+=∆+=,J E A Q ba ba ba 28022060-=--=∆+=
3*． 对下表所列的理想气体各过程，并参照下图，填表判断系统的内能增量∆E ，对外作功A 和吸收热量
4
(1) 外界传给系统的热量_________零；(2) 外界对系统作的功__________零；
(3) 系统的内能的增量___________零；（填大于、等于、小于）
解：等于零；大于零；大于零； 5．压强、体积和温度都相同的氢气和氦气(均视为刚性分子的理想气体)，它们的质量之比为m 1∶m 2 =__________，它们的内能之比为E 1∶E 2 =__________，如果它们分别在等压过程中吸收了相同的热量，则它们对外作功之比为A 1∶A 2 =__________。

(各量下角标1表示氢气，2表示氦气) 解：RT M m pV mol
=,21422121===mol mol M M m m ;pV i RT i M m E mol 22==,352121==i i E E ; T C M m Q p mol p ∆=,T R M m V p A mol ∆=∆=⇒p p C R Q A =⇒7
5)2/5/()2/7/(2==RT R RT R A A He O 三、计算题
1． 标准状态下的0.014kg 氮气，压缩为原体积的一半，分别经过（1）等温过程，（2）绝热过程，（3）等压过程。

试计算在这些过程中气体内能的改变、吸收的热量和对外界所作的功。

解：(1) 等温过程，内能不变， 0=∆E
吸收的热量和对外界所作的功J V V RT M M A Q Mol 7862
1ln 27331.85.0ln 12-=⨯⨯⨯=== (2) 绝热过程，根据绝热方程K T T V V T T 3602,2112112112===⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=---γγγ, 内能的改变J T R M M T C M M E Mol V Mol 904)273360(31.82
55.025=-⋅⋅⋅=∆=∆=∆ 吸收的热量0=Q , 对外界所作的功J E A 904-=∆-=
(3)等压过程2211T V T V =，111222
1T T V V T == 内能增量J T R M M T C M M E Mol V Mol 1418)2732
273(31.8255.025-=-⋅⋅⋅=∆=∆=
∆ 气体对外界所作的功为J T R M M T R M M V p A Mol Mol 565)2732
273(31.85.0-=-⋅⋅=∆=∆=∆= 吸收的热量为 J A E Q 1983-=+∆=
2． 2 mol 双原子分子理想气体从状态A (p 1,V 1)沿p -V 图所示直线变化到状态B (p 2,V 2)，试求：
(1) 气体的内能增量；(2) 气体对外界所作的功；(3) 气体吸收的热量； 解：(1) 内能增量)(25)(2112212V p V p T T R i M M E mol -=-=∆ (2) 功等于直线AB 下的面积)(2
11122V p V p A -= (3) 根据热力学第一定律得 )(31122V p V p E A Q -=∆+= 3．如果一定量的理想气体，其体积和压强依照p a V /=的规律变化，其中a 为已知常量。

试求： (1) 气体从体积V 1膨胀到V 2所作的功； (2) 气体体积为V 1时的温度T 1与体积为V 2时的温度T 2之比。

解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===⎰⎰21
22
211212
1V V a dV V a pdV A V V V V ， RT M M V a pV mol ==2 ,1221V V T T =∴ 4． 有单原子理想气体，若绝热压缩使其容积减半，问气体分子的平均速率变为原来的速率的几倍？若为双原子理想气体，又为几倍？
解：根据绝热方程122111--=γγV T V T 由题意知，1121122--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=γγV V T T 根据平均速率公式mol
M RT v π8=得,21
12122-==γT T v v 单原子26.12,3523/11
2===+=v v i i γ;双原子15.12,5725/112===+=v v i i γ 5．温度为27℃、压强为1 atm 的2 mol 刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍。

(1) 计算这个过程中气体对外所作的功；
(2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？
解：(1) 等温过程中的功 J V V RT M M A Mol 54783ln 30031.82ln 1
2=⋅⋅⋅== (2) 根据绝热方程得 K T T T V V T T 193300644.033,3
1115/7112112112=⋅====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-+---γγγ 绝热过程 0=∆+E A
J T R M M T C M M E A Mol V Mol 4446)300193(31.82
5225=-⋅⋅⋅-=∆-=∆-=∆-= 6．气缸内有2 mol 氦气，初始温度为27℃，体积为20 L(升)，先将氦气等压膨胀，直至体积加倍，然后绝热膨涨，直至回复初温为止．把氦气视为理想气体。

试求：在p ―V 图上大致画出气体的状态变化过程； (2) 在这过程中氦气吸热多少？ (3) 氦气的内能变化多少？(4) 氦气所作的总功是多少？ 解：(1) 如图
(2) 等压过程
2211T V T V =，K T T 600212==,J T T C M M Q p mol 1246530031.82
52)(1212=⋅⋅⋅=-= 绝热过程023=Q , 因此J Q Q Q 124652312=+=
(3) 因始末状态温度相同, 0=∆E
(4) 根据热力学第一定律A E Q +∆=得 J Q A 12456==
p p 1
2
练习 二十二
知识点：循环过程、卡诺循环、热机效率、热力学第二定律、熵
一、选择题
1． 理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小（图中阴影部分）分别为
S 1和S 2，则两者的大小关系为： （ ）
（A ）S 1>S 2； （B ）S 1<S 2； （C ）S 1=S 2； （D ）无法确定。

解：(C)绝热过程E A ∆-=,内能改变相同,功相等,功的大小等于曲线下的面积. 2． “理想气体与单一热源接触作等温膨胀时，吸收的热量全部用来对外作功。

”
对此说法，有如下几种评论，哪个是正确的？ （ ）
（A ）不违反热力学第一定律，但违反热力学第二定律；
（B ）不违反热力学第二定律，但违反热力学第一定律；
（C ）不违反热力学第一定律，也不违反热力学第二定律；
（D ）违反热力学第一定律，也违反热力学第二定律。

解(C)热力学第一定律说明任何过程能量守恒,热力学第二定律说明并非能量守恒的过程都能实现.热力学第二定律的开尔文表述中强调的是不可能制成一种循环动作的热机…
3． 一热机由温度为727℃的高温热源吸热，向温度为527℃的低温热源放热，若热机在最大可能效率下工作、且吸热为2000焦耳，热机作功约为 （ ）
（A ）400J ； （B ）1450J ； （C ）1600J ； （D ）2000J ； （E ）2760J 。

解 (A)J Q A T T Q A 4002.0,2.01000
8001112===-=-= 4． 在功与热的转变过程中，下面的那些叙述是正确的？ （ ）
（A ）能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之完全变为有用功；
（B ）其他循环的热机效率不可能达到可逆卡诺机的效率，因此可逆卡诺机的效率最高；
（C ）热量不可能从低温物体传到高温物体；
（D ）绝热过程对外作正功，则系统的内能必减少。

解 (D)E A Q ∆+=
5*． 1mol 单原子理想气体从初态（p 1、V 1、T 1）准静态绝热压缩至体积为V 2其熵 （ ）
（A ）增大； （B ）减小； （C ）不变； （D ）不能确定。

解 (C)准静态绝热过程是可逆的,可逆的绝热过程是等熵过程.
6*． 一定量的理想气体向真空作自由膨胀，体积由V 1增至V 2，此过程中气体的 （ ）
（A ）内能不变，熵增加； （B ）内能不变，熵减少；
（C ）内能不变，熵不变； （D ）内能增加，熵增加。

解(A)自由膨胀过程是不可逆的,对可逆过程才能把T dQ /理解为熵的变化.自由膨胀过程中内能不变,温度不变,熵是状态的单值函数,可设想一等温过程求自由膨胀过程中的熵变.
二、填空题 1． 一卡诺热机（可逆的），低温热源为27℃，热机效率为40%，其高温热源温度为________K 。

今欲将该热机效率提高到50%，且低温热源保持不变，则
高温热源的温度增加________K 。

500K ，100K 2． 有v 摩尔理想气体，作如图所示的循环过程acba ，其中acb 为半圆弧，ba 为等压过程，p c =2p a ，在此循环过程中气体净吸收热量为Q =_______vC p (T b -T a )。

（填：>、<或=）。

解：<.由功的大小与V p -图上曲线下的面积关系讨论
)()()(2a b a a b a a b a acba acba V V p V V p V V p A Q -=---<=,)()(a b a a b V ab V V p T T C Q -+-=ν
3*．使4mol 的理想气体，在T =400K 的等温状态下，准静态地从体积V 膨胀到2V ，则此过程中，气体的熵增加是__________，若此气体膨胀是绝热状态下进行的，则气体的熵增加是________。

解:23J/K ，0
4*．从统计意义来解释：不可逆过程实质是一个____________________的转变过程。

一切实际过程都向着______________________的方向进行。

解:概率，概率大的状态
5．热力学第二定律的两种表述：开尔文表述： 。

克劳修斯表述： 。

解:开尔文表述:不可能制成一种循环动作的热机,只从一个热源吸取热量,使之完全变为有用的功，而其他物体不发生任何变化．克劳修斯叙述:热量不可能自动从低温物体传向高温物体.
b a p
6*．熵是 的量度。

解:熵是分子无序性或混乱性的量度.
三、计算题
1．一卡诺循环热机，高温热源温度是 400 K ．每一循环从此热源吸进 100 J 热量并向一低温热源放出80 J 热量。

求：(1) 低温热源温度；(2) 这循环的热机效率。

解：(1) 2121T T Q Q =,K T Q Q T 320400*********=⋅==, (2) %202.0100
8011`12==-=-=T T η 2． 如图所示，有一定量的理想气体，从初状态a (p 1,V 1)开始，经过一个等体过程达到压强为p 1/4的b 态，再经过一个等压过程达到状态c ，最后经等温过程而完成一个循环。

求该循环过程中系统对外作的功A 和所吸的热量Q 。

解：对等温过程ca 有 c V p V p 4
111=,14V V c = 0=ab A ，()()1111114
3444V p V V p V V p A b c bc =-=-= 4ln 4ln ln 111
111V p V V V p Vc V RT M m A a mol ca -=== 111111636.04ln 43V p V p V p A A A A ca bc ab -=-=++=， 11636.0V p A Q -== 3．一定量的理想气体经历如图所示的循环过程，A →B 和C →D 是等压过程，
B →
C 和
D →A 是绝热过程。

已知：T C ＝ 300 K ，T B ＝ 400 K 。

试求：此循环
的效率。

解：由绝热方程得：11a a d d p T p T γγγγ----=，11b b c c p T p T γγγγ----= 又 b a p p =，d c p p =，∴ a d b c T T T T = 或 c d c b a b
T T T T T T -=- AB 过程吸热 1p b a ()m Q C T T M =- CD 过程放热 2p c d ()m Q C T T M
=- 循环效率为 -=-=1112Q Q ηc d b a T T T T --c b 125%T T =-= 4．两台卡诺热机联合运行，即以第一台卡诺热机的低温热源作为第二台卡诺热机的高温热源。

试证明它们各自的效率1η及2η和该联合机的总效率η有如下的关系：=η1η+（1-1η）2η 解：循环为卡诺循环1
21111T T Q A -==η,232221T T Q A -==η 111121η-==Q A T T ,222231η-==Q A T T ,()()211
311ηη--=T T ()()()2112113111111ηηηηηη-+=---=-==T T Q A 5*．1kg0℃的冰，在0℃时完全熔化成水。

已知冰在0℃时的熔化热334=λJ/g 。

求冰
经过熔化过程的熵变，并计算从冰到水微观状态数增大到几倍。

解：冰在00C 时等温熔化，可以设想它和一个00C 的恒温热源接触而进行可逆的吸热过程，因而3310334 1.2210273dQ Q m S T T T λ⨯∆=====⨯⎰,又21
ln()S k Ω∆=Ω。

所以253.84102110⨯Ω=Ω 6*．1mol 的理想气体由初态),(11V T 经某一过程到达末态),(22V T ，求熵变。

设气体的V C 为常量。

解：222222111111
ln ln V V C dT T V dQ dE PdV dV S R C R T T T V T V +∆===+=+⎰⎰⎰⎰ A B
C D O V p
1
12。