薄板的振动固有频率的求解
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算1. 基本假定及振动微分方程弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。
板的振动理论是以以下几个假定为基础的：1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。
这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。
2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。
3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。
在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程[1]：022********=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂twm y x w D y w D x w D （1） 等式中)1(1223ν-=Eh D ，式中： m 为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度,E ,ν分别为板的弹性模量和泊松比，h 为板的厚度。
微分方程(1)的解答形式为薄板上每一点),(y x 的挠度),()sin cos (1y x W t B t A w m m m m m m ωω+=∑∞=。
被表示成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m ω。
另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 表示的，为求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的圆频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入方程（1）消除因子)sin cos (t B t A ωω+得到振形微分方程：0222244444=-∂∂+∂∂+∂∂W m yx WD y W D x W D ω (2) 2. 边界条件振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例，其相应的边界条件为：固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0==x W ，0)(0=∂∂=x xW； 简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0==x W ，0)(022=∂∂=x xW；自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222=∂∂+∂∂=x y W x W ν，0))2((02333=∂∂∂-+∂∂=x yx Wx W ν 对于四边支承板有如下6中不同边界条件：（a ） （b ）（c ） （d ）（e ） （f ）一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。
振动频率 计算公式
振动频率计算公式振动频率是指物体在单位时间内完成的振动周期个数，通常用赫兹（Hz）来表示。
振动频率是描述振动特性的重要参数，它与物体的质量、弹性系数以及外界施加力的特性密切相关。
为了计算振动频率，我们可以运用以下公式：振动频率（f）= 1 / 振动周期（T）其中，振动周期是指振动一次所需的时间。
在许多情况下，物体的振动周期可以根据其特性来确定。
当物体以简谐振动进行时，其振动周期可以通过以下公式计算：振动周期（T）= 2π√(m/k)其中，m代表物体的质量，k代表物体的弹性系数。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算振动频率的情况。
例如，在建筑工程中，为了保证建筑物的安全性，需要计算地震时建筑物的振动频率。
在机械振动领域，计算机械设备的振动频率可以帮助我们判断其是否处于正常工作状态，以及是否需要进行维护和修理。
此外，振动频率的计算还在科学研究中具有重要意义。
在物理学中，我们常常要研究各种物体的振动特性，例如声音的传播速度和频率，光的波长和频率等。
通过计算振动频率，我们能够更好地了解物体的振动特性，并通过对振动频率的调整来达到特定的目的。
在实际操作中，我们可以通过一些测量工具来计算振动频率，例如振动计、光谱仪和声谱仪等。
这些工具可以记录物体振动的周期和幅度，进而计算出振动频率。
总结起来，振动频率是描述物体振动特性的重要参数，它与物体的质量、弹性系数和外界施加力的特性密切相关。
通过计算振动频率，我们能够更好地了解物体振动的本质，从而在工程、科学研究和实际应用中做出准确的判断和决策。
多种方法计算水中薄板的固有振动频率
多种方法计算水中薄板的固有振动频率水中薄板的固有振动频率是指薄板在水中自然振动的频率，它是一个极为重要的参数，在工程设计和科学研究中有着广泛的应用。
下面，将介绍多种方法计算水中薄板的固有振动频率。
方法一：理论计算法理论计算法是一种基于物理原理、数学公式和动力学方程的计算方法。
该方法通常需要建立薄板的数学模型，包括弹性模量、材料密度和板厚等参数，然后根据振动方程推导出薄板在水中的固有振动频率。
这种方法通常适用于理论研究和数值模拟，计算精度较高，但需要大量的计算工作。
方法二：实验测量法实验测量法是通过实验手段直接测量水中薄板的振动频率，包括自由振动法和迫振法两种。
自由振动法是指将薄板挂在两个支点上，将薄板振动后测量振动频率；迫振法是指向薄板施加外力，使其振动，并测量振动频率。
这种方法的优点是测量精度高、适用范围广，但需要专业的实验设备和技术。
方法三：有限元法有限元法是一种基于数值计算的方法，它将薄板分解成许多小单元，然后计算每一个小单元的振动状态和响应，最终得到整个薄板的振动频率。
这种方法通常需要借助计算机完成大量的计算工作，计算结果与实验结果比较相近，但需要大量的计算工作。
方法四：解析法解析法是一种基于数学理论的计算方法，它通过对薄板的动力学方程进行解析，得到薄板振动的解析表达式，从而计算出薄板的固有振动频率。
这种方法通常对薄板的几何形状和材料参数有一定的限制，但是具有计算精度高、计算速度快等优点。
总之，计算水中薄板的固有振动频率的方法有很多种，每种方法都有其特点和适用范围。
在实际应用中，可以根据需要和情况选择不同的方法，以获得最好的计算结果。
数据分析是数据科学和统计学领域中的重要组成部分，可以为我们提供有关各种情况或事件的信息和见解。
在进行数据分析时，需要将数据收集、整理和归纳总结，然后进行分析并得出结论。
本文将选取某一组数据进行分析。
首先，需要明确分析的对象是什么，比如是一组公司的销售数据、学生的考试成绩等等。
第十五章--薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
得常微分方程
d2 F d r2
或
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
取振形函数为如下的形式：
W F(r) cosn
其中n=0，1，2，…。相应于n＝0，振形是轴对 称的。相应于n＝1, 2；圆板的环向围线将分别 具有一个及两个波，板的中面将分别具有一根 或两根径向节线，余类推。将上式代入式
(1)试求薄板振动的频率，特别是最低频 率。
(2)设已知薄板的初始条件，即已知初挠 度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。
当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度， 就易求得薄板在该瞬时的内力。
设薄板在平衡位置的挠度为we＝we(x，y)，这
时，薄板所受的横向静荷为q＝q(x，y)。按照薄板 的弹性曲面微分方程，我们有：
kx ny
Dkn sin a sin b
Ckn
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由 于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难 以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由 振动。
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算
常为华
【期刊名称】《山西建筑》
【年(卷),期】2012(038)005
【摘要】从弹性薄板的基本振动微分方程出发,利用可以满足各边边界条件的振型函数,根据能量法推导出四边支承六种不同边界条件的矩形薄板的最低自振频率计算公式,为楼板结构的自振频率计算和舒适性设计提供了指导。
【总页数】3页(P63-65)
【作者】常为华
【作者单位】北京市建筑设计研究院,北京100000
【正文语种】中文
【中图分类】TU311.3
【相关文献】
1.具有焊接残余应力的矩形薄板固有频率计算方法研究 [J], 高永毅;唐果;万文
2.四角点支承四边自由矩形板自振分析新方法 [J], 许琪楼
3.四边固定支承矩形薄板振动分析的有限积分变换法 [J], 钟阳;张永山
4.四角点支承四边自由矩形薄板屈曲问题的新解析解 [J], 杨雨诗;安东琦;倪卓凡;李锐
5.四边任意支承条件下弹性矩形薄板弯曲问题的解析解 [J], 钟阳;张永山
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固有频率 计算公式
固有频率计算公式在我们的物理世界中，固有频率可是一个相当重要的概念，而与之紧密相连的就是固有频率的计算公式啦。
先来说说啥是固有频率。
想象一下，你有一个秋千，你轻轻推它一下，它就会按照一定的节奏来回摆动，这个节奏就是秋千的固有频率。
再比如一把吉他的弦，当你拨动它，它也会以一种特定的频率振动发声，这也是它的固有频率。
固有频率的计算公式呢，对于不同的物理系统会有所不同。
咱们先从最简单的弹簧振子说起。
弹簧振子的固有频率公式是f = 1 / (2π) ×√(k / m) ，这里的 f 就是固有频率，k 是弹簧的劲度系数，m 是振子的质量。
我给你讲讲我之前的一个经历。
有一次我在课堂上给学生们讲解这个公式，有个特别调皮的学生就问我：“老师，这公式有啥用啊？难道我以后去荡秋千还得算一算它的固有频率？”当时全班都哄堂大笑。
我笑着回答他：“你可别小瞧这个公式，虽然咱们平常荡秋千可能用不上，但在很多工程领域，比如桥梁设计、机械制造，那可是非常关键的。
”我接着给他举了个例子，“假如一座桥的固有频率和经过车辆产生的振动频率接近，那就可能发生共振，桥就有可能出危险啦。
”咱们再来说说单摆的固有频率。
单摆的固有频率公式是f = 1 / (2π)× √(g / l) ，这里的 g 是重力加速度，l 是单摆的摆长。
我记得有一次带着学生们去实验室做单摆实验。
大家都兴致勃勃地摆弄着器材，测量摆长，记录时间。
有个小组的同学怎么都测不准数据，急得满头大汗。
我走过去一看，原来是他们的摆长测量有误差，绳子没有拉直。
我帮他们纠正了错误，最后他们成功算出了单摆的固有频率，那种兴奋劲儿，别提多有成就感了。
在实际生活中，固有频率的应用可多了去了。
比如建筑物要避免与地震波的频率接近，不然在地震时就容易遭到严重破坏。
还有各种乐器的设计，通过调整琴弦的长度、粗细和张力，来改变固有频率，从而发出美妙的音乐。
总之，固有频率的计算公式虽然看起来有点复杂，但它在我们理解和解释物理现象，以及在实际的工程和技术应用中，都发挥着极其重要的作用。
振动体系固有频率计算公式分析
从上式可 以看 出， 邓柯 莱公式 是在 左端 略去 高频项 得 到的 ，
因而它给 出的基频将低于实际值 。
． ３ 文献 ［ ４ ］ 计算方法 时， 仅涉及到积分 和求和 ， 所 以 比直 接求解 自由振动 微分方 程 方 １
Ｉ Ｅ ｌ ［ （ ） ］ ｄ ｘ ，
甜 ＝＿————————— ——一 — — — — — — — — 一 （ Ｌ １ Ｊ ）
去
＋ Ａ ｍ ） 击 ＋ Ａ ｍ （ ３ ）
Ｊ ｍ （ ） （ ） ｏ ｋ ＋ ∑ （ ）
［ ６ ］ “ 西气东输”中天然气合理 应用方式研 究［ Ｍ］ ． 北京 ： 中国建
筑 工 业 出版 社 ． ２ ０ ０ ８ ．
Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｏ ｎ Ｌｉ ｎ ｆ ｅ ｎ ｕ ｒ ｂ ａ ｎ － ｒ ｕ ｒ ａ ｌ ｇ ａ ｓ ｐ ｌ ａ ｎ ｎ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｅ ｖ ｅ ｌ ｏ ｐ ｍｅ ｎ ｔ
有一定优越性 的计算公式 ， 对实际工程 中振动体系 固有频率 的计算有重要 的意义 。
关键词 ： 振动体 系 ， 固有频率 ， 计算公式
中 图分 类 号 ： Ｔ Ｕ ３ １ １ ． １ 文献标识码 ： Ａ
０ 引言
便得多 。用瑞利法求固有频率 ， 必需 知道振型 函数 Ｕ（ ） ， 而精确
（ ｘ ） 事先往 往 不知 道 ， 所 以必 须先 假定 一个 Ｕ（ ） 来 进行 计 在结构振动体 系问题 的研究 中， 计算 系统 的各 阶 固有频 率 ， 的Ｖ 算 ， 由此得 到的结 果就 有一 定的近似 性 。一般 来说 ， 很 难精 确地 尤其是基本 固有频率 ， 是十分重要 的。相应 的计算 多 自由度振动 故利用 假设高 阶振型 的方法用上式求得 的 系统 的固有频率方法有很 多种 ， 主要 有矩阵迭 代法 、 瑞利法 、 邓柯 假设 出高 阶振型 函数 ， 往往误差较大 ， 因此瑞利法通常 只计算基本频 率。通 常 莱法 、 传递矩阵法 、 变换 法（ Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 法、 Ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｓ 法、 Ｑ Ｒ法 ） 、 子空 间迭 高阶频率 ， 弹性 曲线 ） 作为 代法 、 模态综合法 等… 。 由于 计算机 和有 限元 软件 的快速 发展 ， 情况下可以取结构在某种静荷载作用下 的挠 曲线 （ 振型 曲线。 虽然 目 前 我们 可以借助于它们计算很 复杂的结构 ， 但 是在某些 场
第二章 薄板振动分析
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx st t0a来自dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
32D
3a2
2m
薄板的振动固有频率的求解
ua z
w x w va z y wa w (高阶小量)
(1.1)
根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为
ua 2w z 2 x x v 2w y a z 2 y y
x
(1.2)
xy
ua va 2w 2 z y x xy
4 X ( x) 4X 4 x 2 X ( x) 2 X x 2
(1.17)
(1.18)
现讨论式(1.17)中，首先要满足边界条件，设
(1.19)
根据上两式，有
4 X ( x) 2 X 4 X x 4
则 4 4 ，故有
(1.20)
固体力学作业 薄板的振动的固有频率与振型
1 、 问题
矩形薄板的参数如下
a 150mm, b 100mm, h 5mm, E 210GPa, v 0.3, 7.93 103 kg / m3
求矩形薄板在 （1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型
2 、薄板振动微分方程
(1.23)
于是变量得到了分离，要满足式(1.14)的三角函数为
sin x X ( x) cos x
类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为
(1.24)
sin y Y ( y) cos y
(1.25)
现设 x 方向板的长度为 a， y 方向板的长度为 b， 且当 x=0 和 x=a 边为简支， 则满 足此边界的条件 m / a ，故式(1.24)可写为
4 X ( x) 4X 4 x 2 X ( x) 2 X 2 x
将上两式(1.21)代入式(1.19)第一式中，可写为
薄板、薄壁圆筒固有频率分析(ANSYS)
的误差越大。
2 薄壁圆筒固有频率
尺寸：R=100mm,L=500mm,t=2mm 材料参数： 杨氏模量：E=2E5（MPa） 泊松比：μ=0.3 密度：ρ=7.8×E-9（103kg/mm3） 边界条件：
2.3.3 薄壁圆筒固有频率——数据对比
表2.3、数据对比
m
n
6
7
8
9
10
11
12
实验
525
592*
720
885
1095 1310 1560
1
ANSYS 531
588
711
875
1070
1290
1534
误差（%） 1.14
0.68
1.25
1.13
2.28
1.53
1.67
实验
980
856*
900
995 1140* 1365 1578*
4.96
1.72
0.15
0.41
1.30
表中带有*号者表示为实验的平均值。
参考文献
1.《机械振动手册（第2版）》屈维德、唐恒 龄主编
2. 《振动力学》倪振华编著 3. 《板壳理论》吴连元编著
2.1 薄壁圆筒固有频率——两端自由
表2.1 不同单元两端自由边界条件结果对比
序号
ansys Shell63（40*50） Shell93（40*50）
Abaqus （1mm*1mm）
1-6
0
0
0
7
131
131
131
8
131
多种方法计算水中薄板的固有振动频率
多种方法计算水中薄板的固有振动频率李亚;赵文峰【摘要】In order to study the vibration of thin plate in the water,various sot~vare,such as ABAQUS,ANSYS Workbench and Virtual lab,are adopted to carry out the numerical calculation.The operation procedures of the software are almost the same.The calculated results show that the several ex-frequencies agree well with the experiment result.When high frequency is calculated,some methods may exhibit some limit.The methods in the text can be used to study the noise radiation of underwater structure.%针对薄板在水中的振动,采用Abaqus,AnsysWorkbench,Virtual lab等软件进行数值计算.几种软件在操作流程上基本一致,与实验结果比较表明,各个软件在计算前几阶模态频率均十分接近.在高频计算时,有些方法可能会存在一些局限性.文中方法可作为水下结构声辐射性能研究有力的手段.【期刊名称】《舰船科学技术》【年(卷),期】2017(039)005【总页数】4页(P6-9)【关键词】薄板;固有频率;声固耦合【作者】李亚;赵文峰【作者单位】中国船舶科学研究中心,江苏无锡214082;中国船舶科学研究中心,江苏无锡214082【正文语种】中文【中图分类】U661.14固体能够贮存剪切和压缩能量，所以会保持所有形式的波，即压缩波、弯曲波、剪切波和扭转波；流体只能贮存压缩能量，所以它仅能维持压缩波。
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析四边固支矩形薄板是一种典型的结构，其固有振动特性的计算对于结构的稳定性以及对外载荷的响应有着重要的影响。
本文将从理论计算和有限元分析两个方面来探讨四边固支矩形薄板的固有振动特性。
一、理论计算在理论计算中，四边固支矩形薄板的固有振动频率可以通过以下公式进行计算：f_n = (C_n^2 + D_n^2)^0.5 / (2πt)^0.5 * (EH^3/12ρ(1-μ^2))，其中，f_n为第n阶固有频率；C_n和D_n分别为第n阶水平和竖直模态振型的振幅比；t为薄板厚度；E为材料的弹性模量；H为矩形薄板的一侧长度；ρ为材料的密度；μ为材料的泊松比。
根据上述公式，我们可以对四边固支矩形薄板进行理论计算，得出其固有振动频率，并根据振动模型分析结构的稳定性以及响应能力。
二、有限元分析在有限元分析中，我们可以通过建立合适的有限元模型，利用求解振型特征值和振型模态来得出四边固支矩形薄板的固有振动特性。
有限元分析的主要步骤包括：1.建立有限元模型：根据实际结构情况，选择合适的有限元支撑和单元类型，对结构进行离散化网格化处理，建立结构有限元模型。
2.确定边界条件：对于固支矩形薄板，边界条件为四边界固定支撑。
3.求解特征值和振型：对于固有振动频率，我们可以通过求解振型特征值和振型模态来得出。
4.分析特征值和振型：得出固有振动频率，我们可以进一步分析与理论计算结果的一致性，同时还可以分析振型特征值与振型模态，进一步了解结构的稳定性和响应能力。
通过有限元分析，我们可以更加精确地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，为结构设计和应用提供更加实际的参考依据。
总之，四边固支矩形薄板的固有振动特性对于结构稳定性和响应能力有着重要的影响。
通过理论计算和有限元分析两个方面的探讨，我们可以更好地理解并应用这一结构特性。
为了更加深入地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，我们可以从以下几个方面进行数据的收集和分析：1. 材料弹性模量与密度：材料的弹性模量和密度直接影响到四边固支矩形薄板的固有振动频率。
薄板的振动
对于矩形薄板两相邻边都是自由边，例如图6.5(a)中，y＝b和x＝a两边有公 共点，它们都是自由边，就是这种情况，这时还需要附加一个角点条件。如 果这个角点(x＝a，y＝b)处没有集中质量，也没有集中动载荷作用，那么该 角点条件是
2 f ( x, y, t ) 0 xy x a , y b
( y b) ( y b)
(r a) (r a)
圆形薄板
1 f (r , , t ) 1 2 f (r , , t ) 2 f (r , , t ) 2 0 r 2 r r r 2
2 1 1 2 f (r , , t ) 1 f (r, , t ) f (r , , t ) 2 0 r r r r r
D 2 f (r , , t ) r
山东理工大学 交通与车辆工程学院 5
2009-2
1 2 f (r , , t ) 1 f (r , , t ) 1 2 f (r , , t ) Q (r , , t ) D 2 2 r r r r r 2 D 1 2 f (r , , t ) r
2 f ( x, y, t ) 2 f ( x, y, t ) Qx ( x, y, t ) D x x 2 y 2
2 f ( x, y, t ) 2 f ( x, y, t ) Qy ( x, y, t ) D y x 2 y 2
2 21 2 (ch1 cos 2 1) ( 12 2 )sh1 sin 2 0
通常对于一个指定的m值，方程有无穷多个根
mn
2009-2
m2 2 K n (m)b K n (m) 2 a
设备固有频率计算公式
设备固有频率计算公式在我们的日常生活和工程技术领域中，设备固有频率的计算可是个相当重要的知识点呢！要搞清楚设备固有频率的计算公式，咱们得先明白啥是固有频率。
简单来说，固有频率就是设备自身“喜欢”振动的频率。
就好像每个人都有自己独特的性格特点一样，每个设备也有它特有的固有频率。
比如说，一个简单的弹簧振子系统，它的固有频率计算公式是 f = 1 / (2π) × √(k / m) 。
这里的 f 就是固有频率，k 是弹簧的劲度系数，m 是振子的质量。
这公式看起来可能有点复杂，但咱们慢慢拆解，其实也不难理解。
我记得有一次，我在工厂里看到一台大型的冲压设备在工作。
那家伙，一启动起来，整个车间都“嗡嗡”作响。
工程师们就一直在讨论这设备的振动问题，担心振动太厉害会影响设备的寿命和工作精度。
这时候，计算设备的固有频率就变得至关重要了。
他们先对设备的各个部件进行测量和分析，确定了相关的参数，然后运用固有频率的计算公式来计算。
这过程可不简单，需要非常仔细地测量和准确的计算。
如果固有频率和设备工作时的激励频率接近，那就可能会发生共振现象。
这共振可不得了，就像一个调皮的孩子闹腾起来，能把整个局面搞得一团糟。
比如说，一座桥，如果它的固有频率和风吹过或者车辆行驶产生的振动频率接近，就可能在某个瞬间发生剧烈的振动，甚至导致桥梁的损坏。
再比如说，飞机的机翼也有固有频率。
如果在飞行过程中，遇到的气流波动频率和机翼的固有频率接近，那可能会引起机翼的剧烈抖动，这对飞行安全可是个巨大的威胁。
在实际应用中，我们计算设备固有频率，就是为了避免共振的发生。
通过合理的设计和调整，让设备能够稳定、安全地运行。
总之，设备固有频率的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要我们认真学习、理解，并且在实际中多观察、多应用，就能很好地掌握它，让它为我们的生产和生活服务。
希望大家都能对这个有趣又实用的知识有更深入的了解，让我们的世界因为科学知识而变得更加美好！。
第三章板壳理论
求得相应的固有频率。
§3.1 薄板的自由振动
引入符号：
4
mp D
2
关于振型函数的微分方程变为：
W W 0
4
利用边界条件，并求解上式，就可以得到W 。 利用初始条件，求解 w Ai cos pi t Bi sin pi t Wi 中的 i 1 待定系数 A和 Bi 。 i 设初始条件为：
3333coshsinhcossinsin组齐次代数方程这个代数方程有非零解的条件是系数行列式等于零从而得到计算固有频率的频率方程特征方把振型函数的表达式代入上式边界条件方程3333coshsinhcossinsin由非零解条件得方程组的系数行列式等于零即
第三章 薄板振动问题
第三章 薄板振动问题
薄板的自由振动
四边简支矩形薄板的自由振动
两对边简支矩形薄板的自由振动 用能量法求固有频率及举例 薄板的强迫振动
§3.1 薄板的自由振动
板的横向振动：垂直于中面方向的振动。 自由振动：
– 求固有频率和振型函数。 – 求对初始条件的扰动。
在重力（静力）载荷作用下，在 静平衡位置的挠度为 we x, y 由薄板弯曲基本微分方程有
tanh b
b
tan b
b
0
由：
p m D
m
2
2
得
tanh pb
2
a
2
p
m D
m
2
2
a
2
m D
m b
2
2 2
板的振动
s in knt )
sin
kx
a
sin
ny
b
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。
第三节 两对边简支的矩形薄板的
自由振动
取振形函数为
x
W
Yk
sin
kx
a
其中Yk是待定的y的函数。W可 以满足该两简支边的边界条件。
将其代入振形微分方程
y
4W 4W 0
得出常微分方程
其中Jn(x)及Nn(x)分别为实宗量的、n阶的第一种 及第二种贝塞尔函数，In(x)及kn(x)分别为虚宗量 的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数（又称修 正贝塞尔函数）。
贝塞尔函数
将上式代入
W F(r) cosn
即得振形函数如下：
W (C1Jn (x) C2Nn (x) C3In (x) C4Kn (x)) cos n
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
v0( x,
y)
Akn Ckn
Bkn
Dkn
kn
w
k 1 n1
(Ckn
cosknt
Dkn
薄板的总挠度为
w
k 1 n1
(
Akn
cosknt
Bkn
sin
k nt )
sin
第十五章 薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
kn
D kn
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。
第三节 两对边简支的矩形薄板的
自由振动 取振形函数为
kx W Yk sin a
x
其中 Y k 是待定的 y的函数。 W 可 以满足该两简支边的边界条件。 将其代入振形微分方程
4W 4W 0
y
得出常微分方程
w wk ( Ak cosk t Bk sin k t )Wk ( x, y )
k 1 k 1
在这里，薄板上每一点 ( x，y)的挠度，被表示成为 无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐 振动的频率是ωk ，另一方面，薄板在每一瞬时 t的 挠度，则被表示成为无数多种振形下的挠度相叠加， 而每一种振形下的挠度是由振形函数 Wk(x，y)表示 的。
上述四个根成为±α及±iβ，而微分方程的解 可写为
Yk C1 chy C2 sh y C3 cosy C4 sin y
从而得振形函数的表达式
W (C1 ch y C2 sh y C3 cos y C4 sin y ) sin
kx a
在少数的情况下，γ2<k2π2/a2，而上面所示 的四个根都是实根，取正实数
2 4 2 2 2
命k及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形 的自然频率
2 2 D k n 2 a 2 b2 m
当薄板以这一频率振动时，振形函数为
k x n y Wkn sin sin a b
而薄板的挠度为
kx ny w ( Akn cos knt Bkn sin knt ) sin sin a b
当k＝n＝1时，得到薄板的最低自然频率
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h
将式(1.2)代入式(1.8)，积分后得
M x D( M y D(
2w 2w ) x 2 y 2 2w 2w ) y 2 x 2 2w xy
(1.9)
M xy D(1 )
再将式(1.9)代入式(1.5)，即可得到薄板微元的运动微分方程为
ua z
w x w va z y wa w (高阶小量)
(1.1)
根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为
ua 2w z 2 x x v 2w y a z 2 y y
x
(1.2)
xy
ua va 2w 2 z y x xy
矩形板的横向自由振动的微分方程为
4 2 4w 4w w w D 4 2 2 2 h 0 4 x y y t 2 x
(1.11) 或写成
D4 w m
其中 m h
2w 0 t 2
(1.12)
设解的形式是时间变量和坐标变量可以分离的形式：
胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：
x y
E Ez 2 w 2w ( ) ( ) x y 1 2 1 2 x 2 y 2 E Ez 2 w 2w ( ) ( ) y x 1 2 1 2 y 2 x 2 Ez 2 w 1 xy
(1.34)
W x, y Amn sin 2
m 1 n 1
m x 2 n y sin a b
(1.35)
将上式带入方程(1.14)，整理可得
2 4 4 4 4 2n y 2m x 2n y 2m x A b 4 m4 cos b2 m2 a 2 n2 cos cos mn 4 4 a n cos b a b a m 1 n 1 a b n y 2 m x k 4 sin 2 sin 0 b a
Wx 0 Wx a 0, Wy 0 Wy a 0,
4.1 正弦函数平方的逼近 根据简支的启发，正弦函数的平方满足边界条件。所以设其 W ( x, y) 是如下形式：
(
W W ) x 0 ( ) x a 0 x x W W ( ) y 0 ( ) y a 0 y y
2 2 m 2 m x n x n 4 A k sin 0 sin mn a b a b m 1 n 1 i x j y 将上式两边乘以 sin sin dxdy 并对整个面积进行积分得到： a b
m 2 n 2 4 k a b
则得固有频率为
2 2 D 2 D m n k h h a b
2
mn
Hale Waihona Puke (1.32)因此可得，四边简支矩形薄板在自由振动时的挠度函数为
图 1
薄板模型
根据假定（2） ，板的横向变形和面内变形 u、v 是相互独立的。为此，其弯曲变形可由 中面上各点的横向位移 w( x, y, t ) 所决定。根据假定（4） ，剪切应变分量为零。由薄板经典 理论，可以求得板上任意一点 a( x, y, z ) 沿 x, y, z 三个方向的位移分量 ua , va , wa 的表达式 分别为
M xy M x Qy x y M y M yx Qx x y
由弯矩的计算公式
(1.6)
整理得到
(1.7)
M x x zdz M y 2h y zdz
2 h
h 2 h 2
(1.8)
M xy M yx 2h xy zdz
2
(1.23)
于是变量得到了分离，要满足式(1.14)的三角函数为
sin x X ( x) cos x
类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为
(1.24)
sin y Y ( y) cos y
(1.25)
现设 x 方向板的长度为 a， y 方向板的长度为 b， 且当 x=0 和 x=a 边为简支， 则满 足此边界的条件 m / a ，故式(1.24)可写为
D22 44401 45169.
D13 38424 39451
图 3
简支的模态
Abaqus 的计算结果：
表格 2 简支薄板各阶振型 abaqus 实体单元有限元仿真结果
实体有限元模态
频率
D11
13951
23135. D12
D21
33610.
D13
39451
D22
45169.
D14
59868.
4 、固支边界条件振动微分方程的解 四边固支矩形薄板的自由振动边界条件为
X ( x) sin
令 (1.27) 代入式(1.14)有
m x ,0<x<a,m=1,2 a m x Wm ( x,y) Ym (y)sin a
(1.26)
(
即为
m 4 m x m 2 m x m x m x +sin -k 4 sin ) sin Ym -2( ) sin Ym Ym Ym 0 a a a a a a
图 2
薄板应力示意图
p(x, y, t)=P(x, y)f(t)为具有变量分离形式的外载荷集度，沿 z 轴方向。应用动静法计算时， 沿 z 轴负方向有一虚加惯性力 h 有
2w dxdy ，根据 Fz 0 ， M y 0 ， M y 0 则 t 2
F
z
0 Qy x dydx Qx dy Qy dx Qx dydx Qy dx y
4w 4w 4w 2w D 4 2 2 2 4 h 2 P( x, y ) f (t ) x y y t x
这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。其中 D
(1.10)
Et 3 为薄板的抗弯刚度。 12(1 v 2 )
3 、 矩形板横向振动微分方程的解
(1.28)
-2( Ym
上式的解为
m 2 m 2 - ) Ym k 4 -( ) Ym 0 a a
(1.29)
Ym (y)=C1mch(1m y)+C2msh(1m y)+C3mcos(2m y)+C4msin(2m y)
式中
(1.30)
m 2 ) , a m 2 2m k 2 ( )2 a 再由 y=0 及 y=b 的边界条件，由式(1.30)可求得 Cim (i=1,2,34)的齐次方程组， 再令其系数
(1.4)
Qx dy
P( x, y ) f (t )dydx h
整理后，可得
2w dydx 0 t 2
Qx Qy 2w P( x, t ) f (t ) h 2 x y t
(1.5)
M
x
0 M y
Qy 1 dydx) Qy dx dy (Qy dx dydx) y 2 y M xy M xy dy ( M xy dy dydx) 0 x My 0 M y dx ( M y dx ( M x dy M yx Mx dxdy ) M x dy ( M yx dx dxdy ) M yx dx x y Q 1 1 (Qx dy x dxdy ) dx Qx dy dx 0 x 2 2
4 X ( x) 4X 4 x 2 X ( x) 2 X x 2
(1.17)
(1.18)
现讨论式(1.17)中，首先要满足边界条件，设
(1.19)
根据上两式，有
4 X ( x) 2 X 4 X x 4
则 4 4 ，故有
(1.20)
w( x, y, t ) Amn sin
m 1 n 1
m x n x sin cos mnt a b
(1.33)
将上述结果用 MATLAB 求出：
表格 1 简支的固有频率计算结果
频率 计算结果 仿真结果
D11 11100 13951
D12 21347 23135
D21 34155 33610
21m k 2 (
行列式为零，可得到固有频率方程式，从而求出固有频率。
四边简支矩形薄板的自由振动边界条件为
2W 2W ) ( ) x a 0 x 0 x 2 x 2 (1.31) 2W 2W Wx 0 Wx a 0, ( 2 ) x 0 ( 2 ) x a 0 x x m x n y 设 W x, y Amn sin 则满足边界条件。将上式代入方程(1.14)，得 sin a b m 1 n 1 Wx 0 Wx a 0, (
w( x, y, t ) W ( x, y)cos t
将式(1.13)代入式(1.12)）可得
(1.13)
4W k 4W 0 h 2 k4 D
下形式： W ( x, y) X ( x)Y ( y) 将上式代入式(1.14)中，可得
(1.14) (1.15)
再根据板的边界条件来求解固有频率，式(1.14)可用分离变量法来求解。假定解具有如
Y ( y)
4 X ( x) 2 X ( x) 2Y ( y) 4Y ( y) 2 X ( x ) k 4 X ( x)Y ( y) 0 x 4 x 2 y 2 y 4
(1.16)
上式可改写为
( (
4 X ( x) 4 2 X 2Y 4Y k X ) Y 2 X 0 x 4 x 2y 2 y 4 4Y ( x) 4 2 X 2Y 4 X k Y ) X 2 Y 0 y 4 x 2y 2 x 4