人教版七年级数学下册5.1.2垂线与垂线段 专题复习

5.1.2垂线与垂线段专题复习

考情分析

[命题角度1] 利用三角尺作已知直线(线段、射线)的垂线

根据题目的要求,选择适当的工具进行操作,用三角尺作垂线:让三角尺的一条直角边与已知直线重合,沿直线左右移动三角尺,使其另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则这条直线就是已知直线的垂线,简单说成“一贴,二靠,三画”.用量角器画垂线:让量角器的0刻度线与直线重合,点位于90度线上,画出90度线所在的直线即可.需要注意:如过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在延长线上.

例如图5-1-23,∠ABC为钝角.

(1)过点C作AB的垂线;

(2)过点B作AC的垂线;

(3)过点A作BC的垂线段.

图5-1-23

解:如图所示.(1)CF为过点C垂直于AB的直线,垂足F在AB的延长线上.

(2)BE为过点B垂直于AC的直线,垂足E在线段AC上.

(3)线段AD即为点A到BC的垂线段.

[命题角度2] 考查垂线的唯一性

对于垂线性质的考查往往以选择题或判断题的形式出现,解决此类问题的关键在于理解垂线的性质:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.理解此性质在于理解“有且只有”和“过一点”的含义:“有且只有”中,“有”指确定性,“只有”指唯一性;“过一点”的点既可以在直线外也可以在直线上.

例下列说法正确的有(B)

①在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

②在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

③在同一平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;

④在同一平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

[解析] 根据垂线的确定性和唯一性可知①②是正确的,故选B.

[命题角度3] 点到直线的距离的应用

解答此类题的关键在于理解点到直线的距离的概念,点到直线的距离指点到直线的垂线段的长度.理解此概念要抓住以下几点:(1)距离指连接两点的线段的长度,而不是曲线长度;(2)距离是垂线段的长度而不是斜线段的长度.直线由无数个点组成,直线外一点与直线上的点形成无数条线段,在这无数条线段中只有一条是垂线段,它的长度才是点到直线的距离;(3)垂线段最短,在连接直线外一点和线段上各点的线段中,垂线段的长度最短.

例如图5-1-24,要把水渠中的水引到水池C中,在渠岸的什么地方开沟,水沟的长度才能最短?请把图画出来,并说明理由.

图5-1-24

分析:要解决此题,首先需要将实际问题抽象成数学问题,将水池抽象为一个点,水渠抽象为一条直线,根据垂线段最短,只需要作出点C到水渠所在直线的垂线段即可.

解:如图5-1-25,过点C作水渠的垂线段CD,D为垂足,即在渠岸的D处开沟,水沟的长度才能最短.理由:垂线段最短.

图5-1-25

[命题角度4] 利用垂线的性质求角的度数

根据两条直线互相垂直,可以得到一个角或几个角的度数为90°,由图形特征可以得到两个角或多个角之间的数量关系,然后根据等式的性质通过代数计算求得相关的角的度数.

图5-1-26

例如图5-1-26,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB.

(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数;

(2)若∠1=1

∠BOC,求∠AOC和∠MOD的度数.

4

[答案:(1)∠NOD=90°(2)∠AOC=60°,∠MOD=150°]

[命题角度5] 判定两条直线垂直

若两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°,则这两条直线互相垂直.利用垂线的定义我们可以判断两条直线是否垂直.

图5-1-27

例如图5-1-27,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EO C.

(1)若∠EOC=72°,求∠BOD的度数;

(2)若∠DOE=2∠AOC,判断射线OE,OD的位置关系并说明理由.

[答案:(1)∠BOD=36°(2)OE⊥OD理由略]

第1课时垂线

1. 如图，点O在直线AB上且OC⊥OD．若∠COA=36°，则∠DOB的大小为（）

A．36°B．54°C．64°D．72°

2. 如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，

则∠COE的度数是（）

A．125°B．135°C．145°D．155°

3. 如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，若∠COB=135°，则∠MOD等于（）

A．45°B．35°C．25°D．15°

4. 若直线AB与直线CD垂直，则所成的四个角的度数_________.

5. 有一点P和一条直线l，在同一平面内过点P作直线l的垂线，这样的垂线有__________.

答案

1. B

2. B

3. A

4. 都是90º

5. 一条

第2课时垂线段

1. 如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足为点B，PA⊥

PC，则下列语句不正确的是（）

A. 线段PB的长是点P到直线a的距离

B. PA、PB、PC三条线段中，PB最短

C．线段AC的长是点A到直线PC的距离

D. 线段PC的长是点C到直线PA的距离

2. 如图，点P在直线l外，PB⊥l于点B，A为l上任意一点，则P A与PB的大小关系是（）

A．P A＞PB B．P A＜PB C．P A≥PB D．P A≤PB

3. 如图，在△ABC中,∠C＝90°,AC＝3，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（）

A．2B．3.5 C．5.8D．7