矩阵方程的数值解法开题报告

毕业论文开题报告

信息与计算科学

矩阵方程的数值解法

一、选题的背景、意义

1.选题的背景

在科学、工程计算中，求解矩阵方程的任务占相当大的份额。这是因为，矩阵方程不仅能以完整的形式作为许许多多实际问题的模型之一，而且还能作为不少其他数值方法处理过程中转化而成的组成部分。例如，在电路网络、弹性力学、潮流计算、热传导、振动等领域，其基本模型就是矩阵方程，而求微分方程边值问题的差分法和有限元法等数值计算本身，也导致求解某些矩阵方程。在系统控制等工程研究领域经常遇到矩阵方程的求解问题。自动控制系统最重要的一个特征是稳定性问题,它表示系统能妥善地保持预定工作状态,耐受各种不利因素的影响,因此矩阵方程在系统的稳定性理论,极点配置等方面具有重要的意义。在常微分方程的定性研究以及数值求解常微分方程的隐式Rung-kwtta方法和块方法中,也需要求解矩阵方程。此外,在广义特征值问题的摄动研究中及隐式常微分方程的数值解中,经常遇到矩阵方程的求解问题。

1.1.2选题的意义

随着科学技术的迅速发展，矩阵方程越来越多地出现在科学与工程计算领域，关于这类问题的研究也日益受到人们的高度重视．对矩阵方程的研究具有很重要的理论意义和很高的应用价值．所以，学会如何更好的解矩阵方程就显得非常重要。本文主要介绍了解矩阵方程的高斯消元法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidcl迭代法和SOR迭代方法。在这些方法的基础上，利用matlab软件，快速求出矩阵方程的解。通常熟练使用这些工具或编写程序，而这通常是一项入门缓慢、熟练精通时间较长的工作。MATLAB在提供强大的计算功能，也为我们用数值方法求解矩阵方程提供了很大的方便。

1.1.3求解线性方程组

由于线性方程组是矩阵方程的一个特例，所以本文试图将解线性方程组的一些经典方法推广用来解矩阵方程。

记线性方程组为

⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛ22112

222212********* （1）

这里ij a （n j i ,,2,1,Λ=）为方程组的系数，i b （n i ,,2,1Λ=）为方程组自由项。

方程组（1）的矩阵形式为 b Ax = 其中

⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡=

nn n n n n a a a a a a a a a A ΛM M M ΛΛ

212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n 21x x x x M ，⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n 21b b b b M ， 实际应用中，主要处理实数情形的方程组，即n n R A ⨯∈，n

R b ∈。

如果系数矩阵A 的行列式不为0, 则可根据Gramer(克兰姆）法则知上述方程组存在唯一解

D

D x i

i =

（n i ,,2,1Λ=） 其中

nn n

n a a a a a a a a a D Λ

M

Λ

M M

ΛΛ2n 1n 2222111211=

，nn

ni n

ni n n

i i n i i i a a b a a a a b a a a a b a a D Λ

Λ

M ΛΛM M ΛM Λ

Λ

ΛΛ11

-121221-22111111-111+++=

。 由此可知利用Gramer 法则求解一个n 阶方程组需要计算1+n 个n 阶行列式, 若n 阶行列式通过行列式的展开定理来计算, 则其计算量不低于!n 次乘法, 因此, Gramer 法则求解一个n 阶方程组的工作量不少于)!1(+n 次乘法运算. 由此可见Gramer 法则是不实用的, 不是面向计算机的算法, 必须研究其它数值方法。解上述线性方程组数值的数值方法主要有如下两类:

(1)直接法: 就是在没有舍入误差的情况下, 通过有限步的四次运算可以求得方程组准确解的方法, 但由于实际计算中舍入误差是客观存在的, 因而使用此类方法也只能得到近似解。

(2)迭代法: 就是先给出解的一个初始近似值, 然后按一定的法则逐步求各个更准确的

近似解的方法, 因此是用某种极限过程逐步逼近准确解的方法。

1.1.4求解矩阵方程 记矩阵方程组AX=B

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡=

nn n n n n a a a a a a a a a A Λ

M M M ΛΛ212222111211111212122212n n n n nn x x x x x x X x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L

L M M M L 111212122212n n n n nn b b b b b b B b b b ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

L

L M M M L 则

111212122212n n n n nn a a a a

a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦L L M M M L

111212122212n n n n nn x x x x

x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦L L M M M L =111212122212n n n n nn b b b b b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

L

L M M M L 已知A,B,求X;

第一步，

111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦L L M M M L

11211n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M =11211n b b b ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

M ，11

i i D x D =（n i ,,2,1Λ=）

其中，nn

n n a a a a a a a a a D Λ

M Λ

M M

ΛΛ2n 1n 2222111211=

，111-111111212-11121211-1

11i i n i i n i n ni n ni nn

a a

b a a a a b a a D a a b a a +++=

L L L L

M L M M L L M L

L

；

第二步，1112121

22212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦L L M M M L

12222n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M =12222n b b b ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

M ，22

i i D x D =（n i ,,2,1Λ=）

中，nn

n n a a a a a a a a a D Λ

M Λ

M M

ΛΛ2n 1n 2222111211=

，111-112111212-11221221-1

21i i n i i n i n ni n ni nn

a a

b a a a a b a a D a a b a a +++=

L L L L M L M M L L M L

L

；

依次类推，可分别得到ij ij D x D

=

（n i ,,2,1Λ=；n j ,,2,1Λ=）；