海洋中的声传播理论

12
3.1 波动方程和定解条件
③混合边界条件：压力和振速线性组合
p ap f s n s
——若a为常数，则为第三类边界条件 若 f s 0 ，则为阻抗边界条件：
p Z un
注意负号的物理含义。
13
3.1 波动方程和定解条件
④边界上密度或声速有限间断
体积积分

V
2 pdV k 2

V
pdV 4Ae jt
19
3.1 波动方程和定解条件
利用高斯定理：
FdV F ndS

S
V

S
p ndS k 2

V
pdV 4Ae jt
A j t kr p e r

jkr 1 jkr 2 2 Ae r d k S r2
22
3.2 波动声学基础
1、硬底均匀浅海声场
波导模型： 上层为均匀水层，下层为硬质均匀海底，海面和 海底均平整。
23
3.2 波动声学基础
（1）简正波 由于问题圆柱对称性，则水层中声场满足波动方程：
1 p p 2 r 2 k 0 p 4A r r0 r r r z
——也称为索末菲尔德（Sommerfeld）条件。
16
3.1 波动方程和定解条件
（3）奇性条件 对于声源辐射的球面波，在声源处存在奇异 点，即
r 0
p
不满足波动方程；如果引入狄拉克函数，它满足 非齐次波动方程
2 1 p 2 p 2 2 4 r Ae jt c t
p 0 z z
p ap f s n s
辐射 条件
平面波
柱面波 球面波
jk 0 x lim r jk 0 r r
lim r jk 0 r r
14
3.1 波动方程和定解条件
（2）辐射条件 无穷远处没有声源存在时，其声场应具有扩 散波的性质。
①平面波情况
jk 0 x
15
3.1 波动方程和定解条件 ②柱面波情况
lim r jk 0 r r
③球面波情况
lim r jk 0 r r
令 pr , z Rn r Z n z ，由分离变量法可求得本征 函数通解：
n
Z n z An sin k zn z Bn cosk zn z
待定系 数
0 zH
本征值—是波数 k0 的垂直分量
25
3.2 波动声学基础
（1）简正波 根据边界条件： •自由海面：Z 0 0 n
34
3.2 波动声学基础
（3）相速度和群速度 相速：等相位面的传播速度（振动状态在介质中的 传播速度）
1 n n c 2 H 0
2 2
c pn
c0 2 n 1 n
1 c0 N N 2 H
k zn
k
n
1 n n c 2 H 0
2
2
28
3.2 波动声学基础
（1）简正波 声场中声压：
pr , z j Z n z Z n z0 H 0 n r
2
n
2 j H
K k c x , y , z
2 k 2 x , y , z 0
p
2 p k 2 x , y , z p 0
8
3.1 波动方程和定解条件
1、波动方程 如果介质有外力作用，例如有声源情况， 则有： F 2 2 K x , y , z
第3章 海洋中的声传播理论
College of Underwater Acoustic Engineering，2007
声场常用分析方法
•波动理论（简正波方法） 研究声信号的振幅和相位在声场中的变化， 它适用低频，数学上复杂、物理意义不直观的 声场分析方法。
•射线理论（射线声学）
研究声场中声强随射线束的变化，它是近 似处理方法，且适用于高频，但数学上简单、 物理上直观的声场分析方法。
j nr 4
2 sin k zn z sin k zn z0 e nr
j nr 4
30
3.2 波动声学基础
（1）简正波
每阶简正波沿深度z方向作驻波分布、 沿水平r方向传播的波；不同阶数的简正波 其驻波的分布形式不同。
2
声场常用分析方法
3
3.1 波动方程和定解条件
1、波动方程
在理想海水介质中，小振幅波的运动方程、 连续性方程和状态方程： 2 u 1 p 1 2 p p 2 2 p 0 t c t
u 0 t 1 p u 0 2 c t
Bn 0
dZ n •硬质海底： 0 dz z H
1 k zn n 2 H
n 1, 2 , 3 ,
26
3.2 波动声学基础
（1）简正波

H
0
1 m n Z n z Z m z dz 0 m n
1 2 sink zn z k zn n 2 H H

V
A jkr e dV 4A r
20
证明左端＝右端，证毕。
3.1 波动方程和定解条件
（4）初始条件
当求远离初始时刻的稳态解，可不考虑初始 条件。
21
3.1 波动方程和定解条件
3、定解条件总结
绝对软边界 边界 条件
奇性 条件 初始 条件
pz 0
第一类 第二类 第三类
绝对硬边界 阻抗型边界 间断型边界
——第一类非齐次边界条件
11
3.1 波动方程和定解条件
②绝对硬边界条件：法向质点振速为零 界面方程： z x , y , t
界面振速： n u ux u y uz 0 x y
——第二类齐次边界条件
如果已知边界面上的质点振速分布，则有： n u u x u y u z us x y ——第二类非齐次边界条件
An 2 H
Z n z
n 1, 2 , 3 ,
27
3.2 波动声学基础
（1）简正波 同理可得 Rn r 的解（零阶贝塞尔方程）：
2 n r Rn r jZ n z0 H 0
2 2 n r j sin k zn z0 H 0 H
2
在圆柱对称情况下，根据狄拉克函数定义可求得：
1 r r0 r z z 0 2r
24
3.2 波动声学基础
（1）简正波 常数A与声源强度有关，不失一般性取A=1，则有：
2 p 1 p 2 p 2 2 2 k 0 p r z z 0 2 r r z r r
级数求和的数目与传播的频率和层中参数有关。
31
3.2 波动声学基础
（2）截止频率
简正波阶数最大值：
1 n n c 2 H 0
2
2
H 1 N c 2 0
当简正波数n>N时，水平波数变为虚数，简正波 振幅随r作指数衰减。在远场，声场可表示成有限项：
2 pr , z j H

n 1
N
2 sin k zn z sin k zn z0 e nr
j nr 4
32
3.2 波动声学基础
（2）截止频率 临界频率：最高阶简正波传播频率
1 c0 N N 2 H
4
dP c d
2
p 2 c t t
3.1 波动方程和定解条件 当介质密度是空间坐标的函数时，波 动方程的形式和密度均匀介质中波动 方程的形式有何不同?
2 1 p 1 2 p 2 2 p 0 c t
2 1 p 2 p 2 2 0 c t
2 k 2 x , y , z
2 2
F

p k x , y , z p FΒιβλιοθήκη Baidu
赫姆霍茨方程是变系数偏微分方程-泛定方程。
9
3.1 波动方程和定解条件
2、定解条件 满足物理问题的具体条件。
（1）边界条件
物理量在介质边界上必须满足的条件。
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3.1 波动方程和定解条件
①绝对软边界条件：声压为零 界面方程： z x , y , t 界面声压： px , y , z , t 0 z x , y , t ——第一类齐次边界条件
如果已知边界面上的压力分布，则有：
px , y , , t z x , y , t ps
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3.1 波动方程和定解条件
（3）奇性条件
狄拉克函数的定义

1 r dV V 0
r 0包含在体积V内 r 0在体积V以内
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3.1 波动方程和定解条件
证明：非齐次波动方程正确性
简谐球面波有：
p k p 4 r Ae jt
2 2
浅海波导属于频散介质。
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3.2 波动声学基础
（3）相速度和群速度 群速：声波能量的传播速度
dc pn d cgn c pn n d n d n
简正波的群速小于相速。
d n cgn c0 1 d n
2 sin k z sin k z H zn zn 0 0 n r
n
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3.2 波动声学基础
（1）简正波
在远场，根据汉克尔函数近似表达式：
H 0 n r
2
2
n r
e
j nr 4
n阶简正波表达式：
2 pn r , z j Z n z Z n z0 e nr 2 j H
5
3.1 波动方程和定解条件
1、波动方程 引入新变量：

p

2
2 2 1 1 3 2 2 2 0 c t 4 2
6
3.1 波动方程和定解条件
1、波动方程 考虑简谐波，则有：
2 t 2 2
2 K 2 x , y , z 0
1 3 K k 2 4
2 2 2
不是声场势函数， K 不是波数，且均为三维
空间函数。
7
3.1 波动方程和定解条件
1、波动方程 在海水中，与声速相比密度变化很小，将 其视为常数，则有：
1 c0 fN N 2 2H
声源激发频率 N 时，波导中不存在第N阶及 以上各阶简正波的传播。
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3.2 波动声学基础
（2）截止频率 截止频率：
简正波在波导中无衰减传播的最低临界频率
1
c0
2H
c0 f1 4H
声源激发频率 1 时，所有各阶简正波均随 距离按指数衰减，远场声压接近为零。
边界上压力和法向质点振速连续：
p s 0 p s 0
1 p 1 p n n s 0 s 0
若压力不连续，质量加速度趋于无穷；
若法向振速不连续，边界上介质“真空”或“聚集”。
边界条件限制波动方程一般解（通解）在 边界上取值。