高中数学人教版B必修1练习——4函数的单调性
新教材人教B版高中数学必修第一册练习-函数的单调性答案含解析
3.1.2函数的单调性第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2函数的单调性考点1函数单调性的定义1.(2019·山东栖霞二中高一月考)下列命题正确的是()。
A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数C.若函数f(x)在区间I1上为减函数,在区间I2上也为减函数,那么f(x)在区间I1∪I2上一定是减函数D.若函数f(x)是区间I上的增函数,且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),则x1<x2答案：D解析：A项中,并不是对任意x1,x2都成立,故A错;B项中,虽然有无穷多对,但也不能代表“所有”“任意”,为例,虽然在(-∞,0)及(0,+∞)上均为减函数,但在整个定义域上却不具有单调性,故C错。
故B错;C项中,以f(x)=1x故选D。
2.若函数f(x)在R上是减函数,则下列关系式一定成立的是()。
A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a2)答案：D解析：因为f(x)是R上的减函数,且a2+1>a2,所以f(a2+1)<f(a2)。
故选D。
3.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中不一定正确的是()。
>0A.f(x1)-f(x2)x1-x2B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)≠f(x2)答案：C解析：由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D中结论正确;对于C,若x1>x2,则f(x1)>f(x2),故C中结论不一定正确。
第三章-3.1.2-函数的单调性高中数学必修第一册人教B版
（2） =
2 2 −3
.
【解析】因为 =
2 2 −3
3
= 2 − ，且函数的定义域为 −∞, 0 ∪ 0, +∞ ，
（切勿认为定义域为）
3
3
又函数 = 2和 = − 在区间 −∞, 0 上均单调递增，所以 = 2 − 在区间
−∞, 0 上单调递增.
同理可得 = 2
3
[ , 4),
2
4, +∞ .1源自又 = 在 ∈ −∞, 0 和(0,
=
25
]上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数
4
1
3
的单调递增区间为[ , 4)和
4+3− 2
2
4, +∞ ．
例13 设 是定义在上的函数，对, ∈ ，恒有
( + ) = ⋅ ≠ 0, ≠ 0 ，且当 > 0时，0 < < 1.
−
2 +
2 +
→2.作差.
∵ > > 0,2 > 1 > −,
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,→4.定号.
即 1 > 2 ,∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.→5.下结论.
递增
【解析】A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
以 =
1
为例，
在 −∞, 0 和 0, +∞ 上均单调递减，但在整个区间上并不是减
高中数学人教B版必修一练习：2.1.3 函数的单调性
2.1.3 函数的单调性【选题明细表】1.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a,b,总有>0成立,则f(x)必定是( C )(A)先增后减的函数 (B)先减后增的函数(C)在R上的增函数 (D)在R上的减函数解析:因为对任意两个不等实数a,b,总有>0,所以当Δx=a-b>0时,Δy=f(a)-f(b)>0,当Δx=a-b<0时,Δy=f(a)-f(b)<0,所以f(x)在R上是增函数,故选C.2.下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是( A )(A)f(x)=(B)g(x)=-2x2(C)h(x)=-3x+1 (D)s(x)=(x-1)2解析:B,C在(0,+∞)上是减函数,而D是二次函数,在(0,1)上是减函数,(1,+∞)上是增函数,故选A.3.已知下列区间不是函数y=的递减区间的是( D )(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)(C)(3,9) (D)(-∞,0)∪(0,+∞)解析:作出函数图象,可知应选D.4.已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,那么f(a2-a+1)与f的大小关系是( C )(A)f(a2-a+1)≥f(B)f(a2-a+1)=f(C)f(a2-a+1)≤f(D)两者大小关系与a的取值有关解析:因为(a2-a+1)-=a2-a+=≥0,所以a2-a+1≥,又f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以f(a2-a+1)≤f.故选C.5.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是.解析:由题知,g(x)=在[1,2]上是减函数,需a>0,欲使f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数,则需a≤1,综上,a的取值范围是(0,1].答案:(0,1]6.(2018·北京西城13中期中)若函数y=|2x+c|是区间(-∞,1]上的单调函数,则实数c的取值范围是.解析:由函数y=|2x+c|=即函数y=|2x+c|在(-∞,-]上单调递减,在[-,+∞)上单调递增. 所以-≥1,解得c≤-2.答案:(-∞,-2]7.设f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题,其中正确的命题是( C )①若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增;②若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增;③若f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减;④若f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减.(A)①②(B)①④(C)②③(D)②④解析:若函数f(x),g(x)单调性相同,则函数f(x)-g(x)的单调性不确定,故①④不正确.由-g(x)与g(x)的单调性相反知②③正确.故选C.8.已知f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,a,b∈R,且a+b≤0,则有( D )(A)f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b)(B)f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b)(C)f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)(D)f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)解析:由a+b≤0可得,a≤-b,b≤-a.因为f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).故选D.9.(2018·河北枣强中学期末)已知函数f(x)=若f(2-a2)<f(a),则实数a的取值范围是( D )(A)(-1,2)(B)(-2,1)(C)(-∞,1)∪(2,+∞)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:画出图象如图可得函数f(x)在实数集R上单调递增,故由f(2-a2)<f(a),可得2-a2<a,即a2+a-2>0,解得a<-2或a>1.故实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).选D.10.证明:函数f(x)=-2x2+3x+3在(-∞,]上是增函数.证明:设x1,x2是(-∞,]上的任意两个不相等的实数,且x1<x2,则Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1)=(-2+3x2+3)-(-2+3x1+3)=2-2+3x2-3x1=2(x1+x2)(x1-x2)-3(x1-x2)=[2(x1+x2)-3](x1-x2).因为x1<x2,所以x1-x2=-Δx<0.由x1,x2∈(-∞,]且x1<x2,得x1+x2<+=,则2(x1+x2)<3,即2(x1+x2)-3<0,所以Δy>0,所以函数f(x)=-2x2+3x+3在(-∞,]上是增函数.11.作出函数f(x)=的图象,并指出函数f(x)的单调区间.解:f(x)=的图象如图所示.由图可知,函数f(x)=的单调减区间为(-∞,1]和(1,2),单调增区间为[2,+∞).12.(2018·湖南师范大学附中检测)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意正实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)-2,且当x>1时恒有f(x)<2,则下列结论正确的是( A )(A)f(x)在(0,+∞)上是减函数(B)f(x)在(0,+∞)上是增函数(C)f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数(D)f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数解析:设任意0<x1<x2,则>1,f(x2)-f(x1)=f(·x1)-f(x1)=f()+f(x1)-2-f(x1)=f()-2<0,即f(x2)<f(x1),所以函数为减函数,故选A.。
高中数学(人教B版)必修第一册：函数的单调性【精品课件】
x
则称 y f (x) 在 I 上是增函数(也称在 I 上单调递增)，
(1) y
如图（1）所示；
f (x1)
(2)
如果对任意 x1, x2 I ，当 x1
x2 时，都有
f (x1)
f ( x ) ， f (x2) 2
O
x1
x2
x
则称 y f (x) 在 I 上是减函数(也称在 I 上单调递减)，
（1）当 a
0 时，
f
x
在
,
b 2a
上单调递_____，在
b 2a
,
上单调递
_____，函数没有最_____值，但有最____值________________；
（2）当 a
0 时，
f
x
在
,
b 2a
上单调递_____，在
b 2a
,
上单调递
_____，函数没有最_____值，但有最____值_________________.
f
x2
x2
f x1
x1
,
则：
（1） y f x 在 I 上是增函数的充要条件是 y 0 在 I 上恒成立；
x
（2） y f x 在 I 上是减函数的充要条件是 y 0 在 I 上恒成立.
x
定义：
一般地，当 x1 x2 时，称
f f x2 f x1
x
x2 x1
为函数 y f (x) 在区间x1, x2 x1 x2时或x2, x1 x2 x1时 上的平均变化率.
x
想一想：能否说 f x 2 在定义域内是增函数？为什么？
x
新知提炼：
(1)单调区间是定义域的子区间，对于单调性，首先要考虑函数的 定义域。因此，单调性是函数的局部性质.
高考数学 函数的单调性单元复习训练 新人教B版必修1
高考数学 函数的单调性单元复习训练 新人教B 版必修1【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ） A.y=-x+1 B.y=xC.y=x 2-4x+5D.y=x2 答案：B解析：A 、C 、D 函数在（0，2）均为减函数.2.设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，则下列不等式正确的是（ ）A.f(2a)<f(a)B.f(a 2)<f(a)C.f(a 2+a)<f(a)D.f(a 2+1)<f(a)答案：D解析：∵a 2+1-a=(a-21)2+43>0，∴a 2+1>a.又f(x)在R 上递减，故f(a 2+1)<f(a). 或者令a=0,排除A 、B 、C,选D.3.函数y=(2k+1)x+b 在(-∞，+∞)上是减函数，则（ ） A.k>21 B.k<21 C.k>-21 D.k<-21 答案：D 解析：2k+1<0⇒k<-21. 4.函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>21 D.a>-2 答案：C解析：∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>21. 5.(2010四川成都一模，4)已知f(x)是R 上的增函数，若令F （x ）=f(1-x)-f(1+x)，则F （x ）是R 上的（ ）A.增函数B.减函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数答案：B解析：取f(x)=x,则F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x 为减函数，选B.6.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且f(x)在［0，+∞）上是减函数，则下列关系式中正确的是（ ）A.f(5)>f(-5)B.f(4)>f(3)C.f(-2)>f(2)D.f(-8)<f(8)答案：C解析：∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴f(2)<f(0)=0,f(-2)=-f(2)>0,即f(-2)>f(2).7.(2010全国大联考，5)下列函数：（1）y=x 2;(2)y=21x ;(3)y=2x;(4)y=log 2x.其中不是偶函数且在区间（0，+∞）上也不是减函数的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 答案：D解析：（1）是偶函数，（2）（3）（4）都不是偶函数且在（0，+∞）上递增，故满足条件.二、填空题（每小题5分，共15分）8.函数y=542)21(--x x 的递减区间是__________________.答案：［2，+∞］解析：y=(21)t 单调递减，t=x 2-4x+5在［2，+∞)上递增，∴递减区间为［2，+∞). 9.若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f(x)>f(8x-16)的解集为_______________. 答案：（2，716） 解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-><<⇒>->,168.7162,0168,0x x x x x 10.已知函数f(x)满足：对任意实数x 1,x 2,当x 1<x 2时，有f(x 1)>f(x 2),且f(x 1+x 2)=f(x 1)f(x 2),则f(x)=_____________(请写出一个满足这些条件的函数即可).答案：a x (0<a<1)解析：f(x)在R 上递减，f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2)的函数模型为f(x)=a x .三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.设函数f(x)=x+xa (a>0). (1)求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之；（2）若函数f(x)在［a-2,+∞］上递增，求a 的取值范围.解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增区间为［a ,+∞］，减区间为（0，a ）. 证明：∵f ′(x)=1-2x a ,当x ∈［a ,+∞］时， ∴f ′(x)>0,当x ∈（0，a ）时，f ′(x)<0.即f(x)在［a +∞］上单调递增，在（0，a ）上单调递减.（或者用定义证）（2）［a-2,+∞］为［a ，+∞］的子区间，所以a-2≥a ⇒a-a -2≥0⇒(a +1)( a -2)≥0⇒a -2≥0⇒a ≥4.12.(2010湖北黄冈中学模拟，19)已知定义域为［0，1］的函数f(x)同时满足：①对于任意的x ∈［0，1］，总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x 1≥0,x 2≥0,x 1+x 2≤1,则有f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2).(1)求f(0)的值；（2）求f(x)的最大值.解析：(1)对于条件③，令x 1=x 2=0得f(0)≤0，又由条件①知f(0)≥0，故f(0)=0.(2)设0≤x 1<x 2≤1,则x 2-x 1∈(0,1)，∴f(x 2)-f(x 1)=f ［(x 2-x 1)+x 1］-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-f(x 1)=f(x 2-x 1)≥0.即f(x 2)≥f(x 1),故f(x)在［0，1］上是单调递增，从而f(x)的最大值是f(1)=1.13.定义在R 上的奇函数f(x)在［-a,-b ］(a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F （x ）=［f(x)］2在［b,a ］上的单调性并证明你的结论.解析：设b ≤x 1<x 2≤a,则-b ≥-x 1>-x 2≥-a.∵f(x)在［-a,-b ］上是减函数,∴0<f(-b)≤f(-x 1)<f(-x 2)≤f(-a),∵f(x)是奇函数,∴0<-f(x 1)<-f(x 2)，则f(x 2)<f(x 1)<0,［f(x 1)］2<［f(x 2)］2,即F(x 1)<F(x 2).∴F(x)在［b,a ］上为增函数.14.已知函数f(x)=(m x -1)2+(xn -1)2的定义域为［m,n)且1≤m<n ≤2. (1)讨论函数f(x)的单调性；（2）证明：对任意x 1、x 2∈［m,n ］,不等式|f(x 1)-f(x 2)|<1恒成立.（1）解析：解法一：∵f(x)=(m x -1)2+(xn -1)2=x n m x x n m x 222222--++2, ∴f ′(x)=32232222222x m x n m x n m x =+--·(x 4-m 2n 2-mx 3+m 2nx)=322xm (x 2-mx+mn)(x+mn ) (x-mn ).∵1≤m ≤x<n ≤2,∴322x m >0,x 2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+mn >0. 令f ′(x)=0,得x=mn ，①当x ∈［m,mn ］时，f ′(x)<0;②当x ∈［mn ，n ］时，f ′(x)>0.∴f(x)在［m,mn ］内为减函数，在［mn ，n ）为内增函数.解法二：由题设可得f(x)=（x n m x +-1）2-mn 2+1.令t=xn m x +. ∵1≤m<n ≤2,且x ∈［m,n ］, ∴t=x n m x +≥2,m n >2. 令t ′=21x n m -=0,得x=mn . 当x ∈［m,mn ］,t ′<0;当x ∈(mn ,n)时，t ′>0.∴t=x n m x +在［m,mn ］内是减函数，在［mn ，n ］内是增函数.∵函数y=(t-1)2-mn 2+1在［1，+∞］上是增函数，∴函数f(x)在［m, mn ］内是减函数，在［mn ，n ］内是增函数.（2）证明：由（1）可知，f(x)在［m,n ］上的最小值为f(mn )=2(mn -1)2,最大值为f(m)=(mn -1)2. 对任意x 1、x 2∈［m,n ］,|f(x 1)-f(x 2)|≤(m n -1)2-2(m n -1)2=(m n )2-4·m n +4m n -1.令u=mn ,h(u)=u 4-4u 2+4u-1. ∵1≤m<n ≤2,∴1<m n≤2,即1<u ≤2.∵h ′(u)=4u 3-8u+4=4(u-1)(u-215-)(u+215+)>0, ∴h(u)在(1,2)上是增函数.∴h(u)≤h(2)=4-8+42-1=42-5<1.∴不等式|f(x 1)-f(x 2)|<1恒成立.。
新教材人教B版必修第一册 函数的单调性 函数的最大小值 作业 课件(26张)
8．函数 f(x)在区间[－3，－1]上是增函数，且最小值为－2， 最大值为 1，那么|f(x)|在[－3，－1]上( C )
A．最小值为－2，最大值为 1 B．最小值为 0，最大值为 1 C．最小值为 0，最大值为 2 D．最小值为－2，最大值为 0
解析：可用排除法去掉 A，D，再利用绝对值的性质排除 B.
2．函数 f(x)＝2－3x在区间[1,3]上的最大值是( D )
A．2
B．3
C．－1 D．1
解析：容易判断函数 f(x)在区间[1,3]上是增函数，所以在区间 [1,3]上的最大值是 f(3)＝1.
3．已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f1x＜f(1)的实数 x
的取值范围是( C )
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2 在[2,4]上是单调函数， ∴m＋2 2≤2 或m＋2 2≥4，即 m≤2 或 m≥6. 故 m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
——能力冲关——
14．(5 分)函数 f(x)＝1x，x≥1，
的最大值为( B )
－x2＋2，x<1
若 t＜1＜t＋2，即－1＜t＜1，则 ymin＝f(1)＝1. 综上，当 t≥1 时，ymin＝2t2－4t＋3； 当－1＜t＜1 时，ymin＝1； 当 t≤－1 时，ymin＝2t2＋4t＋3.
(2)要使 f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调， 则 2a＜1＜a＋1，解得 0＜a＜12. 故实数 a 的取值范围是(0，12)． (3)由(1)知，y＝f(x)图像的对称轴为直线 x＝1. 若 t≥1，则 y＝f(x)在[t，t＋2]上是增函数， ymin＝f(t)＝2t2－4t＋3； 若 t＋2≤1，即 t≤－1，则 y＝f(x)在[t，t＋2]上是减函数， ymin＝f(t＋2)＝2t2＋4t＋3；
人教B版数学高一版必修1练习函数的单调性
2.1.3 函数的单调性知识点一：函数的单调性 1．下列命题正确的是A ．定义在R 上的函数f(x)，若存在x 1，x 2∈(a，b)，使得x 1<x 2时，有f(x 1)<f(x 2)，那么f(x)在(a ，b)上为增函数B ．定义在(a ，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x 1，x 2∈(a，b)，使得x 1<x 2时，有f(x 1)<f(x 2)，那么f(x)在(a ，b)上为增函数C ．若f(x)在区间I 1上为增函数，在区间I 2上为增函数，那么f(x)在I 1∪I 2上也一定为增函数D ．若f(x)在区间I 上为增函数，且f(x 1)<f(x 2)(x 1，x 2∈I)，那么x 1<x 22．定义在R 上的函数f(x)对任意两个不相等实数a 、b ，总有f a －f ba －b >0成立，则必有A ．函数f(x)是先增加后减少B ．函数f(x)是先减少后增加C ．f(x)在R 上是增函数D ．f(x)在R 上是减函数 3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是A ．y ＝3－xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝1xD ．y ＝－|x|4．关于函数y ＝2x单调性的表达正确的是A ．在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减B ．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减C ．在[0，＋∞)上递减D ．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都递减5．已知函数f(x)＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2]上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(1)＝__________.6．设函数f(x)＝(2a －1)x ＋b 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是__________． 知识点二：函数的单调区间与最值7．函数f(x)＝11＋x 2(x∈R )的值域是A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1] 8．函数f(x)＝－1－2x 的单调区间为__________，在此区间上是__________(填“增函数”或“减函数”)．9．函数f(x)＝xx ＋2在区间[2,4]上的最大值为__________，最小值为__________．10．画出函数y ＝－x 2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． 11．讨论函数f(x)＝x ＋x －1的单调性，并求其值域．能力点一：函数单调性的判定与证明12．如果函数f(x)在区间(a ，b)和(c ，d)上都是增函数，且x 1∈(a，b)，x 2∈(c，d)，x 1<x 2，那么A ．f(x 1)<f(x 2)B ．f(x 1)>f(x 2)C ．f(x 1)＝f(x 2)D ．无法确定 13．下列命题中正确命题的序号是__________．①函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上不是增函数②函数y ＝1x ＋1在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数③y＝－5－4x －x 2的单调区间是[－2，＋∞)④已知f(x)在R 上是增函数，若a ＋b>0，则有f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)14．已知f(x)<0(x>0)，且f(x)单调递增，试判断F(x)＝1f x 在(0，＋∞)上的单调性并证明．能力点二：函数单调性的简单应用15．已知y ＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(34)与f(a 2－a ＋1)的大小关系为__________．16．f(x)，g(x)都是单调函数，有如下四个命题：①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增； ②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增； ③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减； ④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减． 则上述说法中正确的是__________．17．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x －2)<f(1－x)，求x 的取值范围．18．已知f(x)＝－x 3＋ax 在(0,1)上是增函数，求实数a 的取值范围．19.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f(xy )＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式：f(x)－f(1x －3)≤2.能力点三：函数最值的求法及应用20．函数f(x)＝1x －1在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是A.15，1 B ．1，15 C.17，1 D ．1，1721．已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a x ，x∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．22．已知函数f(x)＝x －1x ＋1，x∈[1,3]，证明函数的单调性，并求其最大值和最小值．23．设函数f(x)是实数集R 上的单调增函数，令F(x)＝f(x)－f(2－x)． (1)求证：F(x)在R 上是单调增函数； (2)若F(x 1)＋F(x 2)>0，求证：x 1＋x 2>2.24．讨论函数y ＝x 2－2(2a ＋1)x ＋3在[－2,2]上的单调性．答案与解析基础巩固1．D2．C 由条件知，f(a)－f(b)与a －b 同号，故f(x)在R 上为增函数． 3．B 4.D5．21 由已知，－－m2×4＝－2，∴m＝－16，f(x)＝4x 2＋16x ＋1. ∴f(1)＝21.6．a>12 由2a －1>0，得a>12.7．B ∵x 2≥0，∴1＋x 2≥1.∴0<11＋x 2≤1.8．(－∞，12] 增函数9.23 12 ∵f(x)＝x x ＋2＝1－2x ＋2， ∴f(x)在[2,4]是增函数，∴f(x)min ＝f(2)＝12，f(x)max ＝f(4)＝23.10．解：y ＝－x 2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示．由图象可知：函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数； 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数的单调递增区间是(－∞，－1]，[0,1]；单调递减区间是[－1,0]，[1，＋∞)．11．解：由故x≥1，即函数f(x)的定义域是[1，＋∞)． 对于任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，有f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋x 1－1)－(x 2＋x 2－1) ＝(x 1－x 2)＋(x 1－1－x 2－1)＝x 1－x 2x 1＋x 2＋x 1－1－x 2－1x 1－1＋x 2－1＝(x 1－x 2)(1x 1＋x 2＋1x 1－1＋x 2－1)．∵1≤x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，1x 1＋x 2＋1x 1－1＋x 2－1>0.∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．∴函数f(x)＝x ＋x －1在[1，＋∞)上单调递增． ∴当x ＝1时，y min ＝1＋1－1＝1，无最大值． 故所求函数的值域是[1，＋∞)．能力提升12．D 例如y ＝－1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)都为增函数，但f(－1)>f(1)；而对于y＝x(x≠0)在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，但是f(－1)<f(1)，故选D.13．④ ①因为函数在(－14，＋∞)上为增函数，所以在(0，＋∞)上也是增函数，故①错；②应该在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上均为减函数，故②错；③函数y ＝－5－4x －x 2的定义域为[－5,1]，所以增区间为[－2,1]，故③错；④∵f(x)为R 上的增函数，又a ＋b>0，∴a>－b 且b>－a.∴f(a)>f(－b)且f(b)>f(－a)，两式相加，得f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，故④正确． 14．解：F(x)在(0，＋∞)上为减函数，下面给出证明： 任取x 1、x 2∈(0，＋∞)，且Δx＝x 2－x 1>0，∵F(x 2)－F(x 1)＝1f x 2－1f x 1＝fx 1－f x 2f x 2f x 1，又y ＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数且Δx＝x 2－x 1>0， ∴Δy＝f(x 2)－f(x 1)>0， 即f(x 2)>f(x 1)． ∴f(x 1)－f(x 2)<0. 而f(x 1)<0，f(x 2)<0， ∴f(x 1)f(x 2)>0. ∴F(x 2)－F(x 1)<0.又Δx>0，∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．15．f(34)≥f(a 2－a ＋1) ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34>0，且y ＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数， ∴f(34)≥f(a 2－a ＋1)．16．②③17．解：x 应满足解得∴1≤x<32.∴x 的取值范围是1≤x<32.18．解：在(0,1)上任取x 1，x 2，使0<x 1<x 2<1.∵f(x)＝－x 3＋ax 在(0,1)上是增函数， ∴有f(x 1)－f(x 2)<0，即－x 31＋ax 1－(－x 32＋ax 2) ＝x 32－x 31＋a(x 1－x 2)＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋a(x 1－x 2)＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22－a) <0.∵0<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0. ∴x 21＋x 1x 2＋x 22－a<0.∴a>x 21＋x 1x 2＋x 22恒成立，即a>(x 21＋x 1x 2＋x 22)max.又∵x 21＋x 1x 2＋x 22<3， ∴a≥3.∴a 的取值范围是a≥3. 19．解：f(2)＋f(2)＝2.∵f(xy )＝f(x)－f(y)，∴f(y)＋f(xy)＝f(x)．在以上等式中取x ＝4，y ＝2， 则有f(2)＋f(2)＝f(4)， ∵f(2)＝1，∴f(4)＝2.∴f(x)－f(1x －3)≤2可变形为f[x(x －3)]≤f(4)．又∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴解得3<x≤4.∴原不等式的解集为{x|3<x≤4}． 20．B21．(1)解：当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x ＋2，因为f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)解法一：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立x 2＋2x ＋a>0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，∵y＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上递增，∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，∴a>－3.解法二：f(x)＝x ＋ax＋2，x∈[1，＋∞)，当a≥0时，函数f(x)的值恒为正； 当a<0时，函数f(x)递增． 故当x ＝1时，f(x)min ＝3＋a.于是当且仅当f(x)min ＝3＋a>0，函数f(x)>0恒成立， ∴－3<a<0.故a>－3.22．解：f(x)＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1.设x 1，x 2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则Δx＝x 1－x 2<0， Δy＝f(x 1)－f(x 2)＝1－2x 1＋1－1＋2x 2＋1＝2x 2＋1－2x 1＋1 ＝2x 1＋1－2x 2＋1x 1＋1x 2＋1＝2x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.由1≤x 1<x 2≤3，得(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 又因为Δx＝x 1－x 2<0， 所以Δy<0.所以，函数f(x)＝x －1x ＋1是区间[1,3]上的增函数．因此，函数f(x)＝x －1x ＋1在区间[1,3]的两个端点上分别取得最小值与最大值，即在x ＝1时，取得最小值，最小值是0，在x ＝3时取得最大值，最大值是12.拓展探究23．证明：(1)任取x 1<x 2， ∵f(x)在R 上为单调增函数，∴f(x 1)<f(x 2)，f(2－x 1)>f(2－x 2)，即f(x 1)－f(x 2)<0，f(2－x 1)－f(2－x 2)>0.∴F(x 1)－F(x 2)＝[f(x 1)－f(2－x 1)]－[f(x 2)－f(2－x 2)]＝[f(x 1)－f(x 2)]＋[f(2－x 2)－f(2－x 1)]<0，即F(x 1)<F(x 2)．∴F(x)在R 上是单调增函数． (2)∵F(x 1)＋F(x 2)>0， ∴F(x 1)>－F(x 2)．而－F(x 2)＝－[f(x 2)－f(2－x 2)]＝f(2－x 2)－f(x 2)＝f(2－x 2)－f[2－(2－x 2)]＝F(2－x 2)，∴F(x 1)>F(2－x 2)．又∵F(x)在R 上是增函数， ∴x 1>2－x 2，即x 1＋x 2>2.24．解：由题意，函数的对称轴方程为x ＝2a ＋1；(1)当2a ＋1≤－2，即a≤－32时，函数在[－2,2]上为增函数．(2)当－2<2a ＋1<2，即－32<a<12时，函数在[－2,2a ＋1]上是减函数，在[2a ＋1,2]上是增函数．(3)当2a ＋1≥2，即a≥12时，函数在[－2,2]上是减函数．综上所述：当a≤－32时，函数在[－2,2]上为增函数；当－32<a<12时，函数在[－2，2a ＋1]上是减函数，在[2a ＋1,2]上是增函数；1当a≥2时，函数在[－2,2]上是减函数．。
数学人教版必修1(B) 函数的单调性 例题解析
函数的单调性 例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x2＋2x －3|(2)y (3)y ＝＝x x x x x 2221123-----+||解 (1)令f(x)＝x2＋2x －3＝(x ＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y ＝|x2＋2x －3|的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．解 当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ．当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2．</PGN0071B.TXT/PGN>∴增区间是(－∞，0)和(0，1)减区间是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1．令u ＝＝g(x)＝－x2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是在x ∈[－1，1]上是．而＝在≥上是增函数．y u 0u∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．【例2】函数f(x)＝ax2－(3a －1)x ＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a aa --⎧⎨⎪⎩⎪若a ＜0时，无解．∴a 的取值范围是0≤a ≤1．【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)(2)f(2)f(15)与解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)(2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15时为减函数．∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 21-解 任取两个值x1、x2∈(－1，1)，且x1＜x2． ∵－＝∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 10012121221a x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()12211222121212211222111111+---+---当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证 取任意两个值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 02112221212121212221221212121222证法一又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1)故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法二()x x x x (x x )x x x x 0x x 0x 0x 0x x x x x x 012122212222122122112121222∵＋＋＝＋＋，这里＋与不会同时为，否则若＋＝且＝，则＝这与＜矛盾，∴＋＋＞．12341212得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法三()t x x x x x 4x 3x 00x 0x 0t x 03x 0t 0x x x x 0f(x )f(x )f(x)(22121212121212221222121221令＝＋＋，其判别式Δ＝－＝－≤，若Δ＝时，则＝，那么≠，∴＝＞，若Δ＝－＜，则＞，即＋＋＞，从而＜，∴在－∞，＋∞上是减函数．)【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1＜x2． ∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 221∴当0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0时，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2) ∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1时，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2，当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出＝＋的图像如图．－．y x 2321x说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．2°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)4°例6是分层讨论，要逐步培养．。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
人教课标版高中数学必修1《函数的单调性》基础训练
《函数的单调性》基础训练知识点1 函数的单调性1.如图是函数y=f(x)的图像，则此函数的单调递减区间的个数是（）.A.1B.2C.3D.42.[2017河南周口高一（上)月考]设（a ，b)，（c ，d)都是f(x)的单调递增区间，且1x ∈ (a ，b)，2x ∈ (c ，d)，12x x <，则f(1x ）与f(2x )的大小关系为（）A. 12f ()f ()x x <B.12f ()f ()x x > C. 12f ()f ()x x = D.不能确定3.[2017福建莆田一中高一（上）期中考试]若函数f(x)在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是（）A.f ()f (2a)a > B.2f ()f ()a a < C. f (2a a +) < f(a ) D. 22f ()f ()a a a +<4.画出下列函数的图像，并写出其单调区间.()()112f x x =-+ ()()22f x x x =⋅-()()21,0322,0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩ 知识点2单调性的判定与证明 5.（1)证明：函数f(x)=()21f x x x=-在区间（0，+∞)上是增函数； （2）证明：函数()3f x x x =+在R 上是增函数。
6.[2017重庆八中高一（上）月考]已知f(x ）在（0，+∞）上是增函数，且f(x ）>0，f(3)=1.试判断()()()1f x fg x x =+在（0，3]上是增函数还是减函数，并加以证明. 7.讨论函数()1122ax f x a x +⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭在（-2，+∞）上的单调性. 知识点3利用函数的单调性求参数的取值范围8.[2018湖北黄石二中高一（上）月考]若函数f(x)=（2a-1)x + b 在R 上是减函数，则有（）. A. a 12≥ B. a ≤12C. a>12D. a<129.函数y=f(x ）在R 上单调递增，且f(2m )>f(-m)，则实数m 的取值范围是________. 10.若二次函数f(x)= 215x a x -+-（）在区间（12，1）上是增函数，则实数a 的取值范围是____. 11.已知()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是____________.12.[2018河北承德二中高一（上）月考]已知一次函数f(x)是R 上的增函数，g(x)=f(x)（x + m ），且f(f(x))=16x+5. （1)求f(x)的解析式；（2）若g （x ）在（1，+∞）上单调递增，求实数m 的取值范围.13.已知定义在[1，4]上的函数f(x ）是减函数，求满足不等式f(1-2a)-f(3-a)>0的实数a 的取值范围.14.已知函数()2a af x x x =-+在（1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围.参考答案1.B 【解析】由图像，可知函数y=f(x)的单调递减区间有2个.故选B.2.D 【解析】由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的12,x x 不在同一单调区间内，所以f(1x ）与f(2x )的大小关系不能确定.故选D.3.D 【解析】因为f(x ）是R 上的减函数，且2a +1>2a ，所以f(2a +1)<f(2a ).故选D.4.【解析】（1）画出f(x)=12x -+的图像，如图所示，可得其单调递增区间为（-∞，-2)和（-2，+∞），无单调递减区间.（2）由题意，得()222,202,02x x x x f x x x x ⎧-≥<⎪=⎨-+≤<⎪⎩或，画出图像如图所示，由图像，知函数f(x)的单调递减区间是（-∞，0)和（1，2），单调递增区间是[0，1]和[2，+∞）.（3）画出f(x)的图像如图所示，由图像知，函数f(x)的单调递减区间是（-∞，0]和（0，+∞）.【归纳总结】本题涉及求解函数的单调区间，这类问题的求解可以由函数图像直接得出 5.【证明】（1）任取1x ，2x ∈（0，+∞)，且1x <2x ，则()()()()()()()()()22121212121212121212121212211110,0,00,,10f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x f x x x⎛⎫-=--+=-++ ⎪⎝⎭<<∴-<++>∴-<<∴=-+∞即函数在区间，上是增函数。
人教B版数学高一版必修1学案函数的单调性(1)
数学人教B 必修1第二章2.1.3 函数的单调性1．理解函数的单调性的定义，学会运用单调性的定义来判断或证明函数的单调性． 2．会结合函数单调性的定义和图象，求函数的单调区间．3．会应用函数单调性求函数的值域(或最值)等问题，并注意体会函数单调性是函数的“局部”性质．1．函数单调性的概念一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ____A ． 如果取区间M 中的____两个值x 1，x 2，当改变量Δx ＝x 2－x 1＞0时，有Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0，那么就称函数y ＝f (x )在区间M 上是______，如下图所示．当改变量Δx ＝x 2－x 1＞0时，有Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0，那么就称函数y ＝f (x )在区间M 上是______，如下图所示．如果函数y ＝f (x )在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说函数y ＝f (x )在这一区间M 上具有______(区间M 叫做y ＝f (x )的______)．(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质． (2)在求函数的单调区间时，若端点处有意义，包括不包括端点均可．(3)有的函数在整个定义域内具有单调性；有的函数在定义域的某个子集上具有单调性；但也有的函数没有单调区间，或者它在定义域上不具有单调性．(4)单调性的定义可以逆用．【做一做1－1】关于函数y ＝2x的单调性的表述正确的是( )A ．在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减B ．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减C ．在[0，＋∞)上单调递减D ．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减【做一做1－2】函数f (x )在R 上是减函数，则有( ) A ．f (3)＜f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)＞f (5) D ．f (3)≥f (5)2．判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f (x )在给定的区间M 上的单调性的一般步骤： (1)任取x 1，x 2∈M ，且Δx ＝x 2－x 1__0； (2)作差：Δy ＝______；(3)____(通常所用的方法有：因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等)； (4)定号(即判断____的正负)；(5)下结论(即指出函数f (x )在给定的区间M 上的____)．【做一做2】证明函数f (x )＝2 011x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．一、正确理解单调性的定义剖析：(1)第一关键——“定义域内”研究函数的性质，我们应有这样一个习惯：定义域优先原则．函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的，即单调区间是定义域的子集．函数y ＝x 2的定义域为R ，但函数y ＝x 2在区间(－∞，0]上是递减的，在区间[0，＋∞)上是递增的．(2)第二关键——“某个区间”增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开相应的区间就谈不上函数的单调性．我们不能说一个函数在x ＝5时递增或递减，因为这时没有一种可比性，没突出变化．所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数．这里说的区间可以是整个定义域，例如y ＝2x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是增函数，y ＝－2x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是减函数，也可以是定义域的真子集，例如y ＝x 2＋1在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数；有的函数不具有单调性，例如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域为R ，但不具有单调性．(3)别忽视“任意”和“都有”在定义中，“任意”两个字很重要，它是指不能取特定的值来判断函数的单调性；而“都有”的意思是：只要x 1＜x 2，f (x 1)就必须都小于f (x 2)，或f (x 1)就必须都大于f (x 2)．对“任意”二字不能忽视，我们可以构造一个反例：在区间[－2,2]上考察函数y ＝x 2，如果取两个特定的值x 1＝－2，x 2＝1，显然x 1＜x 2.而f (x 1)＝4，f (x 2)＝1，有f (x 1)＞f (x 2)，若由此判定y ＝x 2在[－2,2]上是减函数，那就错了．同样地，理解“都有”，我们也可以举例说明：y ＝x 2在[－2，2]上，当x 1＝－2，x 2＝－1时，有f (x 1)＞f (x 2)；当x 1＝1，x 2＝2时，有f (x 1)＜f (x 2)．从上例我们可以看到对于x 1＜x 2，f (x 1)并没始终小于(或者大于)f (x 2)，因此就不能说y ＝x 2在[－2,2]上是增函数或减函数．对函数单调性的定义，为了方便也可改为：如果对于属于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1≠x 2时，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞(＜)0，那么就说函数f (x )在区间D 上是增(减)函数．二、关于函数单调性的判断 剖析：对于复合函数y ＝f [g (x )]，如果t ＝g (x )在(a ，b )上单调递增(减)，并且y ＝f (t )在(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，那么y ＝f [g (x )]在(a ，b )上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”．另外对于复合函数还有如下常用结论：(1)在公共定义域内，增函数f (x )＋增函数g (x )是增函数； 减函数f (x )＋减函数g (x )是减函数； 增函数f (x )－减函数g (x )是增函数； 减函数f (x )－增函数g (x )是减函数．(2)当m ＞0时，函数f (x )与函数mf (x )＋n (m ，n 为常数)具有相同的单调性；当m ＜0时，函数f (x )与函数mf (x )＋n (m ，n 为常数)具有相反的单调性；若f (x )≠0，则函数f (x )与函数1f (x )具有相反的单调性；若f (x )＞0且在定义域上是增函数，则nf (x )，f n (x )(n ＞1，且n ∈N ＋)都是增函数．三、教材中的“探索与研究”研究一个函数在某区间上是增函数还是减函数时，你能否根据函数的平均变化率(即比值Δx Δy )的符号来判断函数y ＝f (x )在某区间上是增函数还是减函数？比值ΔyΔx 的大小与函数值增长的快慢有什么关系？剖析：(1)用比值ΔyΔx的符号可以判断函数y ＝f (x )在某区间上的单调性．函数y ＝f (x )在x 1与x 2之间的平均变化率记为Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1.①若ΔyΔx ＞0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δy >0，Δx >0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δy <0，Δx <0.当Δx ＞0，Δy ＞0时，符合增函数的定义；当Δx ＜0，Δy ＜0时，说明函数值随自变量的减小而减小，也就是函数值随自变量的增大而增大，同样符合增函数的定义．②若ΔyΔx ＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δy <0，Δx >0或⎩⎪⎨⎪⎧Δy >0，Δx <0.当Δx ＞0，Δy ＜0时，符合减函数的定义；当Δx ＜0，Δy ＞0时，说明函数值随自变量的减小而增大，也就是说函数值随自变量的增大而减小，同样也符合减函数的定义．综合①②可知，由比值ΔyΔx的符号可以判断函数y ＝f (x )在某区间上是增函数还是减函数．若Δy Δx ＞0，则y ＝f (x )在某区间上是增函数；若ΔyΔx＜0，则y ＝f (x )在某区间上是减函数．(2)比值ΔyΔx 的大小与函数值增长的快慢有关．对于比值ΔyΔx ，假设Δx 均匀变化．①若ΔyΔx大，则Δy 大，即Δy ＝y 2－y 1＝f (x 2)－f (x 1)大，说明自变量从x 1变化到x 2时，对应的函数值f (x 1)与f (x 2)的差大，也就是函数y ＝f (x )增长得快，如图1所示．图1②若ΔyΔx小，则Δy 小，即Δy ＝y 2－y 1＝f (x 2)－f (x 1)小，说明自变量从x 1变化到x 2时，对应的函数值f (x 1)与f (x 2)的差小，也就是函数y ＝f (x )增长得慢，如图2所示．图2题型一 利用单调性的定义判断或证明函数的单调性 【例1】证明函数f (x )＝－x 在定义域上是减函数．分析：本题主要考查证明函数的单调性．解题的关键是对Δy 进行合理的变形，尽量变为几个最简单因式的乘积形式．反思：(1)有的同学认为由0≤x 1＜x 2即可得0≤x 1＜x 2，这样多么直接呀．其实这种证明方法不正确，因为我们没有这样的性质依据．另外，这种证明利用了函数y ＝x 的单调性，而y ＝x 的单调性在证明之前不能使用．(2)在本题的证明中，使用了“分子有理化”这种证明技巧，一定要注意观察这类题目的结构特点．(3)对Δy 的变形技巧常用的有因式分解、通分、分子或分母有理化、配方法等． 题型二 利用图象求函数的单调区间【例2】已知x ∈R ，函数f (x )＝x |x －2|，试画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出函数的单调区间．分析：首先分类讨论，去掉绝对值号，将函数化为分段函数，然后画出图象求解即可．反思：画出函数的图象得到单调区间是常用的一种方法，但一定要注意画图的准确性及端点处的处理．如果定义域内不含端点，则要写成开区间；如果端点在其定义域内，则写成开区间和闭区间均可，但最好加上区间端点．题型三 函数单调性的应用【例3】已知f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围． 分析：本题考查利用函数的单调性求参数的范围．二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的，所以只需确定对称轴与区间的关系即可求出a 的取值范围．反思：对于二次函数单调性的研究，要抓住对称轴这个关键点，再者，“函数的单调区间为M ”与“M 是函数的单调区间”不是一回事，不能混为一谈．【例4】求函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|的最值．分析：可以画图象，也可以对解析式赋予几何意义，数形结合求最值．反思：求函数最值的方法：(1)图象法：依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值． (2)单调性法：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值．(3)数形结合：将函数的解析式赋予几何意义，结合图形利用其几何意义求最值． 题型四 易错辨析【例5】已知g (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且g (t )＞g (1－3t )，求t 的取值范围． 错解：∵g (x )是增函数，且g (t )＞g (1－3t )． ∴根据单调性的定义，得t ＞1－3t ，∴t ＞14.∴t 的取值范围为t ＞14.反思：关于抽象不等式问题，要注意自变量的取值范围以及自变量是否在函数的单调区间内．若在同一单调区间内，则直接转化；若不在同一个单调区间内，需要讨论或化归到函数的同一单调区间内再求解．1下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．f (x )＝－x ＋3 B ．f (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝－|x －1|D ．f (x )＝1x2已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫1x ＞f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)3若函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)4已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数的单调减区间为__________．5已知函数f (x )＝x ＋1. (1)求函数f (x )的定义域；(2)求证：函数f (x )在定义域上是增函数； (3)求函数f (x )的最小值． 答案： 基础知识·梳理1．⊆ 任意 增函数 减函数 单调性 单调区间【做一做1－1】D 对于反比例函数y ＝kx(k ≠0)，当k ＞0时，在区间(－∞，0)上是单调递减函数，在区间(0，＋∞)上也是单调递减函数，这种函数的单调区间只能分开写；当k ＜0时，在区间(－∞，0)上是单调递增函数，在区间(0，＋∞)上也是单调递增函数．【做一做1－2】C ∵函数f (x )在R 上是减函数，3＜5， ∴f (3)＞f (5)．2．(1)＞ (2)f (x 2)－f (x 1) (3)变形 (4)Δy (5)单调性【做一做2】证明：设x 1，x 2是(－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝2 011x 2＋1－2 011x 1＋1＝2 011(x 1－x 2)(x 2＋1)(x 1＋1). ∵－1＜x 1＜x 2，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 1－x 2＜0，∴Δy ＜0.f (x )＝2 011x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．典型例题·领悟【例1】证明：易知f (x )＝－x 的定义域为[0，＋∞)．设x 1，x 2是[0，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝－x 2－(－x 1)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵x 1－x 2＝－Δx ＜0，x 1＋x 2＞0， ∴Δy ＜0.∴f (x )＝－x 在[0，＋∞)上是减函数．【例2】解：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －2)，x ≥2，x (2－x )，x <2，图象如下图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)； 单调递减区间为[1,2)．【例3】解：要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图象可知，只要对称轴x ＝－－2(1－a )2≥4即可，解得a ≤－3.故实数a 的取值范围是(－∞，－3]．【例4】解：解法一(图象法)：f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x <1，2x ，x ≥1，其图象如图所示．由图象，得函数的最小值是2，无最大值．解法二(数形结合法)：函数的解析式f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|的几何意义是：f (x )的值是数轴上任意一点P 到±1的对应点A ，B 的距离的和，即|PA |＋|PB |，如图所示．观察数轴，可得|PA |＋|PB |≥|AB |＝2，即函数有最小值2，无最大值． 【例5】错因分析：只考虑利用单调性化简，而忽略了函数的定义域． 正解：∵g (x )是[－2,2]上的增函数，且g (t )＞g (1－3t )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤t ≤2，－2≤1－3t ≤2，t >1－3t ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤t ≤2，－13≤t ≤1，t >14，∴14＜t ≤1.∴t 的取值范围为14＜t ≤1. 随堂练习·巩固 1．B2．D 由已知，得1x＜1，解得x ＜0或x ＞1.3．A ∵(－1，＋∞)是f (x )＝1x ＋1的一个递减区间，∴由题意可知(a ，＋∞)⊆(－1，＋∞)， ∴a ≥－1.4．⎝⎛⎦⎤－∞，－32，⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 5．分析：(1)求函数的定义域转化为解不等式；(2)根据判断函数单调性的步骤证明；(3)利用函数f (x )的单调性求最小值．解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值需满足x ＋1≥0， 解得x ≥－1.所以函数f (x )的定义域是[－1，＋∞)．(2)证明：设x 1，x 2是定义域[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1－x 2＋1＝(x 1＋1－x 2＋1)(x 1＋1＋x 2＋1)x 1＋1＋x 2＋1＝(x 1＋1)－(x 2＋1)x 1＋1＋x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋1＋x 2＋1.∵－1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋1≥0，x2＋1＞0.∴f(x1)＜f(x2)，即Δy＝f(x2)－f(x1)＞0，∴函数f(x)在定义域上是增函数．(3)∵函数f(x)在定义域[－1，＋∞)上是增函数，∴f(x)≥f(－1)＝0，即函数f(x)的最小值是0.。
高中数学人教版B必修一练习题及详解
练习四函数的单调性一、选择题1．若是的单调增区间，，且，则有（）A．B．C．D．2．函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．3．下列函数中，在区间上递增的是（）B．C．D．A．4. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．5. 设函数在上是减函数，则有（）A．B．C．D．6. 如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题7．函数的单调递增区间是____________.8．已知函数在是增函数，则,,的大小关系是__________________________.9．函数的单调递增区间是_______.10．若二次函数在区间是减函数，在区间上是增函数，则________.三、解答题11. 证明函数在上是增函数.12．判断函数在区间上的单调性，并给出证明．13．已知函数在上是减函数，且，求的取值范围．能力题14．若函数在上是单调递增函数，求的取值范围.15．讨论函数在内的单调性.练习四一、选择题二、填空题7．8．9．10．三、解答题11．设，且，则，则.，∴∴.∴在上是增函数.12．函数在区间上单调递增．证明如下：设，且，则，则．，∴，，，∴，∴在区间上的单调递增.13．函数在上是减函数，且,∴解得. ∴的取值范围是.能力题14．在上是单调增函数,∴ ，解得∴.15．，对称轴.∴若，则在上是增函数；若，则在上是减函数，在上是增函数；若，则在上是减函数.练习五函数的奇偶性一、选择题1．若是奇函数，则其图象关于（）A．轴对称B．轴对称C．原点对称D．直线对称2．若函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是（）A．B．C．D．3．下列函数中为偶函数的是（）B．C．D．A．4. 如果奇函数在上是增函数，且最小值是5，那么在上是（）A．增函数，最小值是-5 B．增函数，最大值是-5C．减函数，最小值是-5 D．减函数，最大值是-55. 已知函数是奇函数，则的值为（）A．B．C．D．6.已知偶函数在上单调递增，则下列关系式成立的是( )A．B．C．D．二、填空题7．若函数是奇函数，，则的值为____________ .8．若函数是偶函数，且，则与的大小关系为__________________________.9．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如右图所示，那么f (x) 的值域是 .10．已知分段函数是奇函数，当时的解析式为，则这个函数在区间上的解析式为．三、解答题11. 判断下列函数是否具有奇偶性：(1)； (2) ；(3)； (4)； (5).12．判断函数的奇偶性，并指出它的单调区间.13．已知二次函数的图象关于轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数的单调递增区间. 能力题14．设是定义在上的偶函数,且在上是增函数,则与（）的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．与的取值无关若函数15．已知是奇函数，是偶函数，且在公共定义域上有，求的解析式. 练习五一、选择题二、填空题 7． 8． 9．10． 三、解答题11．(1)奇函数，(2)非奇非偶，(3)偶函数，(4) 非奇非偶函数，(5)偶函数12．偶函数. ∴函数的减区间是和，增区间是和.13．二次函数的图象关于轴对称，∴，则，函数的单调递增区间为.能力题14．B (提示: 是定义在上的偶函数,且在上是增函数,∴在上是减函数，.,∴，因此. )15．得 .练习六一次函数与二次函数一、选择题1．已知一次函数，满足，，则（）D．A．B．C．2．下列关于函数，的结论正确的是（）A．递增函数B．递减函数C．最小值是2 D．最大值是53．函数的值域为（）A．B．C．D．4. 若二次函数在区间是减函数，在区间上是增函数，则（）A．B．C．D．5. 若二次函数图象关于轴对称，则函数的单调增区间为 ( )A．B．C．D．6.函数上是单调递增的奇函数，则( )A．B．C．D．二、填空题7．二次函数的图象的顶点坐标为________，对称轴方程是_________ .8．已知定义域为，则实数的区值范围是 .9．已知，则直线一定不经过第象限.10．已知是一次函数的图象与轴交点的横坐标，又二次函数的图象与轴有交点则.三、解答题11. 已知二次函数：（1）求它的图象顶点坐标和与轴交点的坐标；（2）作出它的图象；（3）求点关于图象对称轴的对称点的坐标.12．已知函数判断该函数的奇偶性，并求该函数的最小值及单调区间.13．写出二次函数在区间上的最大值和最小值.能力题14．设函数，已知且，求实数的取值范围.15．已知，为常数，且，，且，方程有相等实根.（1）求函数的解析式，函数的最大值，并比较与的大小.若，判断的奇偶性，并证明你的结论.练习六一、选择题二、填空题7．，8．9．三10．三、解答题11．（1）顶点坐标，与轴交点的坐标，；（2）略；（3）二次函数图象对称轴为，∴点关于图象对称轴的对称点为，即.12．偶函数，，单减区间和；单增区间和. 13．当时，；当时，；当时，；当时,.能力题14．，即由于，，代入上式又有可解得的取值范围是.15．（1）由，得；由方程有相等实根，得，并且，即，由得，∴，，∴，故是奇函数.练习七函数的应用一、选择题t01．某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（）2．某商店卖、两种价格不同的商品，由于商品连续两次提价%，同时商品连续两次降价%，结果都以每件元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是（ ） A ．多赚元 B ． 少赚元 C ．多赚元 D ．利益相同3．拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费由给出，其中，是大于或等于的最小整数，(如，，)，则从甲地到乙地通话时间为分钟的话费为（ ）A ．B ．C ．D ．4．有一批材料可以建成长为的围墙，如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积是（ ）A ．B ．C ．D ．5．某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元， 销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为（ ）A ．元B ．元C ．元D ．元6．抛物线型拱桥的跨度是米，拱高是米，建桥时每隔米用一根支柱支撑，其中最长的支柱是（ ）A ．米B ．米C ．米D ．米二、填空题7．某乡镇现在人均一年占有粮食千克，如果该乡镇人口平均每年增长%，粮食总产量平均每年增长%，那么年后若人均一年占有千克粮食，则函数关于的解析式是______________________.8．某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过，票价是元，如果超过，超过部分按元定价，则客运票价元与行程公里数之间的函数关系式是．9．一个高中研究性学习小组对本地区年至年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒．10．某商人将彩电先按原价提高%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了元，则每台彩电原价是元.三、解答题11．把长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若求此框架围成平面图形的面积与之间的函数关系式，并求其定义域.12．经市场调查，某商品在过去天内的销售量和价格均为时间（）的函数，且销售量近似地满足（，）；前天价格为（，），后天的价格为（，），试写出该种商品的日销售额与时间的函数关系．13．某商场购进一批单价为元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格．经试验发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按元的价格销售时，每月能卖件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数．（1）试求与之间的关系式；（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？能力题14．某宾馆有相同标准的床位张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床价每天的租金）不超过元时，床位可以全部租出，当床位高于元时，每提高元，将有张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位订一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用表示床价，用表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）（1）把表示成的函数，并求出其定义域；（2）试确定该宾馆床位定为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？15．经研究发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述总量所用的时间，开始讲题时，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力，表示提出和讲授概念的时间（单位：分），有以下的公式：（1）开讲后分钟与开讲后分钟比较，学生的接受能力何时强呢？（2）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长的时间？（3）若讲解这道数学题需要的接受能力以及分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题？练习七一、选择题二、填空题7．8．9．10．三、解答题11．.,由,有.12．13．设（），由解得所以．设利润为，则有所以，当时有最大值为元．能力题14．（1）由已知有，令解得且．所以函数的定义域为．（2）当时，显然当时，取得最大值为（元）；当时，，仅当时，取最大值．又因为，所以当时，取得最大值，最大值为元．比较两种情况的最大值，所以当床位定价为元时净收入最多．15．，，所以．所以开讲后分钟学生的接受能力比开讲后分钟强．当时，，所以是增函数，．当时，是递减的函数，所以，故开讲后钟学生达到最强的接受能力，并维持分钟．当时，令，解得．当时，令，解得则．因此，学生达到或超过的接受能力的时间分钟，小于分钟，故这位老师不能在学生所需状态下讲完这道题．练习九指数与指数函数一、选择题1．计算的结果是（）A．B．C．D．2．将根式化成分数指数幂为（）C．D．A．B．3．某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林％，则第四年造林（）A．亩B．亩C．亩D．亩4．曲线分别是指数函数的图象,则与的大小关系是 ( )A．B．C．D．5．若，则下列不等式中成立的是( )A．B．C．D．6．要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位二、填空题7．函数是指数函数，则的取值为 . 8．比较下列各组数的大小:(1)______ ; (2) ______;(3)______9．函数的定义域是．10．若，则 .三、解答题11．化简12．已知函数的定义域是，求的取值范围.13．设，是上的偶函数．求的值；证明在上是增函数．能力题14. 已知，当该函数的值域为时，求的取值范围．15. 已知，判断的奇偶性；证明．练习九一、选择题二、填空题7．8．> > >9．10．三、解答题11．.12．由，得，因为定义域为，所以. 13．因为是上的偶函数，所以，即，解得，因为所以．在上任取，且，则，因为且，所以，即，且，所以式，即．所以在上是增函数．能力题14．设，则，即．因为，所以，所以．15．任取且，则．因为所以是偶函数．当时，，即，所以．所以，所以．因为是偶函数，所以当时，．所以当且时，都有.练习十对数与对数函数一、选择题1．若，那么用表示是（）A．B．C．D．2．若等于（）C．D．A．B．3．下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A．B．C．D．4．下列函数与有相同图象的一个函数是（）A．B．C．D．5．函数（）A．是偶函数，在区间上单调递增B．是偶函数，在区间上单调递减C．是奇函数，在区间上单调递增D．是奇函数，在区间上单调递减6．已知，为不等于1的正数，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题7．使对数式有意义的的取值范围是．8．比较大小； 1；0；0；；.9．函数与的图像关于对称．10．函数的值域是__________.三、解答题11．已知函数的定义域是，函数的定义域是，确定集合、的关系？12．已知函数在区间上的最大值是最小值的倍，求的值．13．已知函数且．（1）求函数的定义域；（2）求使的的取值范围．能力题14．（1）若函数的定义域为，求的取值范围；（2）若函数的值域为，求的取值范围．15．已知函数．（1）求函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性和单调性．练习十一、选择题二、填空题7．且8．9．轴10．三、解答题11．∵或，,∴．12．∵函数在区间上是减函数，∴．13．（1）函数的定义域是；（2）当时，；当时，．能力题14．（1）恒成立，则，得．（2）须取遍所有的正实数，当时，符合条件；当时，则，得，即．15．（1）函数的定义域为；（2）∵，∴为奇函数；在上为减函数．练习十一幂函数一、选择题1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A．B．C．D．2．所有幂函数的图象都通过点（）A．B．C．D．3．函数在区间上的最大值是（）B．A．C．D．4．下列函数中为偶函数的是（）A．y =B．y = xC．y = x2 D．y = x3+15．当时，函数与函数的图象（）A．关于原点对称B．关于轴对称C．关于轴对称D．关于直线对称6．若函数在上为增函数，则的取值范围是（）A．B．C．R D．二、填空题7．函数的定义域是．8．比较大小；；.9．已知幂函数的图象经过点，这个函数的解析式为．10．已知幂函数，若，则幂函数在区间上是增函数；若，则幂函数在区间上是减函数．三、解答题11．比较下列两个代数式值的大小：（1），；（2），12．已知函数f (x) =-2.（1）求f (x) 的定义域；（2）证明函数f (x) =-2在 (0，+∞)上是减函数.13．已知幂函数轴对称，试确定的解析式.能力题14．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，写出图象，，，相应的解析式.15．求证：函数在R上为奇函数且为增函数.练习十一一、选择题二、填空题7．8．9．10．，三、解答题11．；≤12．（1）f (x) 的定义域是｛x∈R| x≠0｝；（2）设x1，x2是(0，+∞)上的两个任意实数，且x1 < x2，则x = x1-x2 < 0，y = f (x1) - f (x2) =-2- (-2) =-=.因为x2- x1 = -x >0，x1x2 >0 , 所以y >0.因此 f (x) =-2是 (0，+∞)上的减函数.13．由能力题14．：；：；：；：15．∵，∴在R上为奇函数.设x1，x2是R上的两个任意实数，且x1 < x2，则x = x1- x2 < 0，y = f (x1) - f (x2) =, 因为，=，由于，，且不能同时为0，否则，故.所以y<0.因此函数在R上为增函数.。
人教课标版(B版)高中数学必修1《函数的单调性》基础练习
2.1.3 函数的单调性1．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）A . y =－x +1B . yC . y = x 2－4x ＋5D . y =2x2．下列四种说法中正确的个数有（ ）(1)若12,x x I ∈，当12x x <时，12()()f x f x <，则y =()f x 在I 上是增函数；(2)函数y =2x 在R 上增函数；(3)函数y =1x-在定义域内是增函数； （4）函数y =1x 的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞. A .0 B .1 C .2 D .33．若函数()(21)f x k x b =++在R 上是减函数，则（ ）A .12k >B .12k <C .12k >-D .12k <- 4．函数26y x x =-的减区间是（ ） A . (,2]-∞ B . [2,)+∞ C . [3,)+∞ D . (,3]-∞5．二次函数2()2f x x ax b =++在区间(-∞，4)上是减函数，则下列关系一定成立的是（ ）A . 2a ≥B . 2b ≥C . 4a ≤-D . 4b ≤-6．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ． 1a ≥7．函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x -->，则()f x 在(,)a b 上是 . （填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）8．已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 .9函数21,1,()3,12,21,2x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩的值域为 .10．指出下列函数的单调区间及单调性：（1）3()1x f x x +=-；（2）2|23|y x x =-++. 11．讨论函数1()f x x x=+（0x >）的单调性. 12．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==. （1）求b 与c 的值；（2）试证明函数()f x 在区间(2,)+∞上是增函数；（3）当[]0,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值.参考答案1. B2.B3. D4. D5.C6. C7.增函数8. f (－1) > f f (1)9.{}3x x≥10.（1）在(,1)+∞上都是减函数.-∞、(1,)（2）先作出函数223=-++的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的y x x图象沿x轴对折到x轴上方，由图可知，函数在(,1]-∞-、[1,3]上是减函数，在[1,1]-、+∞上是增函数.[3,)11.函数在(0,1]上是减函数，在(1,)+∞上是增函数.12.（1）4,3=-=；（2）略；（3）略.b c。
2020年人教版高中数学必修第一册《函数的单调性》课时作业(含解析)
2020年人教版高中数学必修第一册《函数的单调性》课时作业一、选择题1.已知函数f(x)的定义域为I ，如果对属于I 内某个区间上的任意两个不同的自变量的值x 1，x 2都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，那么( ) A.f(x)在这个区间上为增函数B.f(x)在这个区间上为减函数C.f(x)在这个区间上的增减性不定D.f(x)在这个区间上为常函数2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ( )A.y=|x|B.y=3-xC.y=D.y=-x 2+43.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x 1,x 2,且x 1<x 2,使f(x 1)<f(x 2)成立,则y=f(x)( )A.一定是增函数B.一定是减函数C.可能是常数函数D.单调性不能确定4.函数y=|x ＋2|在区间[－3,0]上是( )A.递减B.递增C.先减后增D.先增后减5.如果函数f(x)=x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.[－3，＋∞)B.(－∞，－3]C.(－∞，5]D.[3，＋∞)6.若函数f(x)在区间(a ，b]上是增函数，在区间(b ，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a ，c)上( )A.必是增函数B.必是减函数C.是增函数或是减函数D.无法确定单调性7.函数f(x)=x 2-2(a-1)x+1在区间[5,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是 ( )A.[6,+∞)B.(6,+∞)C.(-∞,6]D.(-∞,6)8.已知，a ，b ，c ∈R ，函数f(x)=ax 2＋bx ＋c.若f(0)=f(4)>f(1)，则( )A.a>0,4a ＋b=0B.a<0,4a ＋b=0C.a>0,2a ＋b=0D.a<0,2a ＋b=0二、填空题9.若f(x)在R 上是减函数，则f(－1)_____f(a 2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”).10.已知函数f(x)在R 上是减函数,A(0,-2),B(-3,2)是其图象上的两点,那么不等式-2<f(x)<2的解集为 .11.若函数f(x)=2x 2－mx ＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f(1)=______.12.函数f(x)=2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)=________.三、解答题13.已知函数f(x)=x －1x ＋1，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明.14.已知f(x)=x 2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明.15.已知函数f(x)=. (1)求f(x)的定义域.(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义加以证明.答案解析1.答案为：A2.答案为：A.解析：B 在R 上为减函数;C 在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数;D 在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.3.答案为：D.4.答案为：C解析：y=|x ＋2|的图象是由y=|x|图象向左平移2个单位得来，由图可知y=|x ＋2|在[－3，－2]上递减，在[－2,0]上递增.5.答案为：B ；解析：二次函数开口向上，对称轴为x=－2a －12=1－a ，要使f(x)在(－∞，4]上是减函数，需满足1－a ≥4，即a ≤－3.6.答案为：D ；7.答案为：C.解析：函数f(x)的对称轴x=a-1,因为函数f(x)在[5,+∞)上是增函数,所以a-1≤5,所以a ≤6.8.答案为：A解析：∵f(0)=f(4)，∴二次函数图象关于直线x=2对称，又f(0)>f(1)，∴f(x)在(－∞，2]上递减，∴二次函数图象开口向上，即a>0.9.答案为：>；解析：∵f(x)在R 上是减函数，∴对任意x 1，x 2，若x 1<x 2均有f(x 1)>f(x 2).又∵－1<a 2＋1，∴f(－1)>f(a 2＋1).10.答案为：(-3,0)；解析：因为A(0,-2),B(-3,2)在函数y=f(x)的图象上,所以f(0)=-2,f(-3)=2,故-2<f(x)<2可化为f(0)<f(x)<f(-3),又f(x)在R 上是减函数,因此-3<x<0.11.答案为：13;解析：f(x)的图象的对称轴为x=m 4=－2， ∴m =－8.∴f(x)=2x 2＋8x ＋3.∴f(1)=2＋8＋3=13.12.答案为：－3；解析：f(x)=2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m 4=2，∴m=8.∴f(1)=2×12－8×1＋3=－3.13.解：f(x)在(0，＋∞)上单调递增.证明如下：任取x 1＞x 2＞0，f(x 1)-f(x 2)=x 1－1x 1＋1-x 2－1x 2＋1=2x 1－x 2x 1＋1x 2＋1， 由x 1＞x 2＞0知x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 1-x 2＞0，故f(x 1)-f(x 2)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增.14.解：函数f(x)=x 2－1在[1，＋∞)上是增函数.证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)-f(x 1)=x 22－1-x 21－1=x 22－x 21x 22－1＋x 21－1=x 2－x 1x 2＋x 1x 22－1＋x 21－1. ∵1≤x 1<x 2，∴x 2＋x 1>0，x 2-x 1>0, x 22－1＋x 21－1>0.∴f(x 2)-f(x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数.15.解：(1)由x 2-1≠0,得x ≠±1,所以函数f(x)=的定义域为{x ∈R|x ≠±1}. (2)函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数. 证明:任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=-=.因为x 2>x 1>1,所以-1>0,-1>0,x 2-x 1>0,x 2+x 1>0,所以f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),所以函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.。
人教B版高中数学必修一函数的单调性同步练习名师解析
第2章 2.1.3 1．设f (x )，g (x )都是单调函数，有如下四个命题，其中正确的命题是( )①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增；②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增；③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案：C解析：∵g (x )是单调增函数时，－g (x )是单调减函数，g (x )是单调减函数时，－g (x )是单调增函数，∴根据两个单调增函数相加是增函数，两个单调减函数相加是减函数这一原理，易知②③正确，故选C.2．设f (x )是定义在区间U 上的增函数，且f (x )>0，则下列函数中增函数的个数是( )①y ＝1－f (x ) ②y ＝1f (x )③y ＝f 2(x ) ④y ＝－f (x ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：A解析：由于y ＝1－t ，y ＝1t，y ＝－t 均在(0，＋∞)上递减，而f (x )递增，且f (x )>0，∴函数y ＝1－f (x )、y ＝1f (x )、y ＝－f (x )均在U 上递减，又y ＝t 2在(0，＋∞)上递增，f 2(x )也递增．故选A.3．已知f (x )＝(3a －1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，13 B.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，13 D.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 答案：B解析：由3a －1>0，解得a >13，故选B. 4．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，a ，b ∈R ，且a ＋b0，则下列选项正确的是( )A ．f (a )＋f (b )－[f (a )＋f (b )] B ．f (a )＋f (b )f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )－[f (a )＋f (b )] D ．f (a )＋f (b ) f (－a )＋f (－b )答案：D解析：∵a ＋b0，∴a －b ，且b －a . 又∵f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数． ∴f (a ) f (－b )，f (b )f (－a )， ∴f (a )＋f (b ) f (－a )＋f (－b )．故选D.5．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2]上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f (1)＝________.答案：21解析：由条件可知x ＝－2是f (x )的对称轴，∴－－m 2×4＝－2，解得m ＝－16. ∴f (x )＝4x 2＋16x ＋1，则f (1)＝21.6．若f (x )在R 上是增函数且f (x 1)>f (x 2)，则x 1、x 2大小关系为________．答案：x 1>x 2解析：由增函数的定义知若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2.7．指出f (x )＝2x 2＋4x 的单调区间，并对减区间情况给予证明．分析：对于基本初等函数可结合其图象，确定出单调区间．本题确定抛物线的开口方向和对称轴是关键．解：∵已知函数是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1.∴函数的单调增区间为[－1，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1]．下面对减区间情况给予证明．设x 1<x 2－1，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 21＋4x 1)－(2x 22＋4x 2)＝2(x 21－x 22)＋4(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)．∵x 1<x 2－1，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋2<0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－1]上是减函数．8．用定义证明：(1)函数f (x )＝kx ＋b (k <0，k ，b 为常数)在R 上是减函数；(2)函数g (x )＝k x(k <0，k 为常数)在(－∞，0)上是增函数． 证明：(1)设任意的x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(kx 1＋b )－(kx 2＋b )＝k (x 1－x 2)，由x 1<x 2及k <0，得k (x 1－x 2)>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )＝kx ＋b (k <0)在R 上为减函数．(2)设x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝k x 1－k x 2＝k (x 2－x 1)x 1x 2， ∵x 1<x 2<0，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0.又k <0，∴g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)．∴g (x )＝k x(k <0)在(－∞，0)上为增函数．。
(完整)高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案),推荐文档
24高中数学必修 1第二章 函数单调性和奇偶性专项练习一、函数单调性相关练习题1、（1）函数 f (x )＝x －2 ， x ∈｛0，1，2，4｝的最大值为.3（2） 函数 f (x )＝2x －1在区间[1，5]上的最大值为 ，最小值为.12、利用单调性的定义证明函数 f (x )＝ x 2 在（－∞，0）上是增函数.3、判断函数 f (x )＝x ＋1在（－1，＋∞）上的单调性，并给予证明. 4、画出函数 y ＝－x 2＋2丨x 丨＋3的图像，并指出函数的单调区间.5、已知二次函数 y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为 x ＝3 的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与 f(4)； (2)f(2)与f( 15)6、已知 y ＝f (x ) 在定义域（－1，1）上是减函数，且 f (1－a )＜f (3a －2) ，求实数 a 的取值范围.7、求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|x 2 - 2x(2) y＝1-|x - 1|(3)y ＝ （4） y ＝- x 2 - 2x + 31x 2－x －208、函数 f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2 在[1，＋∞]上是增函数，求实数 a 的取值范围．ax9、 【例4】 判断函数f(x)＝x 2 - 1(a ≠0)在区间(－1，1)上的单调性．10、求函数 f (x )＝x ＋ x在[1，3]上的最大值和最小值.二、函数奇偶性相关练习题11、判断下列函数是否具有奇偶性.（1） f (x )＝(x －； （2） f (x )＝a（ x ∈ R ）； （3） f (x )＝3 (2x ＋5)2－3 (2x －5)212、若 y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋3 是偶函数，则 m ＝．13、 已知函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋c （ a ≠ 0 ）是偶函数，那么 g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是 （ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数14、已知函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[ a －1, 2a ]，则 （）1A ． a = ，b ＝0B ．a ＝－1，b ＝0C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝3，b ＝0315、已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f (x )＝x 2－2x ，则 f (x ) 在 R 上的表达式是 （ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）16、函数 f (x ) =）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数17、若(x ) ， g (x ) 都是奇函数， f (x )＝a(x )＋bg (x )＋2 在（0，＋∞）上有最大值 5，则 f (x ) 在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－318、函数 f (x ) = 的奇偶性为（填奇函数或偶函数） ．⎪ x 3－3x 2＋1， 19、判断函数 f (x )＝ ⎨⎩ x 3＋3x 2－1， x ＞0x ＜0的奇偶性. 20、f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且 f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断 f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．121、已知 f (x ) 是偶函数， g (x ) 是奇函数，若 f (x ) + g (x ) =g (x ) 的解析式为.x -1，则 f (x ) 的解析式为，22、已知函数 f （x ）满足 f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且 f （0）≠0.试证 f （x ）是偶函数．23、设函数 y ＝f （x ）（x ∈R 且x≠0）对任意非零实数 x 1、x 2 满足 f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）.求证 f （x ）是偶函数．1 + x2 + x -11 + x2 + x +1x - 2 - 21 - x 2高中数学必修 1第二章函数单调性和奇偶性专项练习答案11、【答案】（1）2 （2）3，32、略3、【答案】减函数，证明略.4、【答案】分为x ≥ 0 和x＜0 两种情况，分段画图.单调增区间是（－∞，－1）和[0，1]；单调减区间是[－1，0)和（1，＋∞）5、【答案】（1）f(6)＜f(4) ；（2）∴f( 15)＞f(4)，即f( 15)＞f(2)．1 36、【答案】实数a 的取值范围是（，）3 47、【答案】（1）递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]（2）增区间是(－∞，0)和(0，1)；减区间是[1，2)和(2，＋∞)（3）∴函数的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．1 1（4）函数的增区间是（－∞，－4）和（－4，）；减区间是[ ，5)和（5，＋∞）2 28、【答案】a 的取值范围是0≤a≤1．9、【答案】当a＞0 时，f(x)在(－1，1)上是减函数；当a＜0 时，f(x)在(－1，1)上是增函数．10、【答案】先判断函数在[1，2]上是减函数，在（2，3]上是增函数，可得f (2) ＝4 是最小值，f (1) ＝5 是最大值.二、函数奇偶性相关练习题11、【答案】（1）定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；（2）a＝0 ，f (x) 既是奇函数又是偶函数；a ≠ 0 ，f (x) 是偶函数；（3）f (x) 是奇函数.12、【答案】013、【答案】选A14、【答案】选B15、【答案】选D16、【答案】选B17、【答案】选C18【答案】奇函数19、【答案】奇函数【提示】分x＞0 和x＜0 两种情况，分别证明f (－x)＝－f (x) 即可.20、【答案】解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）⇒f（x1）＜－f（x2）⇒f（x1）＞f（x2），即单调减函数．21、【答案】 f (x) =1x 2 -1 ，g(x)＝xx 2－122、证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）⇒f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．23、证明：由x1，x2∈R 且不为 0 的任意性，令x1＝x2＝1 代入可证，f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，∴f（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
(word完整版)高中数学必修一函数单调性专题练习(2021年整理)
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函数的单调性1。
下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）.A ．B ．C ．D ． 2．函数的增区间是（ )。
A ．B ．C ．D ． 3．在 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。
A ．B ．C ．D ． 4．当 时，函数 的值有正也有负,则实数a 的取值范围是( ）A ．B ．C ．D ．5。
若函数)(x f 在区间（a ，b)上为增函数，在区间(b ，c ）上也是增函数,则函数)(x f 在区间（a,c ）上（ ）（A ）必是增函数 （B)必是减函数(C ）是增函数或是减函数 (D ）无法确定增减性6。
设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数,则),2(-f )(πf ，)3(-f 的大小关系是 （ ）A )2()3()(->->f f f πB )3()2()(->->f f f πC )2()3()(-<-<f f f πD )3()2()(-<-<f f f π7.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 A ．（13,23） B ．（∞-，23） C ．(12，23） D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32 8。
人教B版高中数学必修一学第二章函数的单调性讲解与例题
2.1.3 函数的单调性1．函数单调性的概念一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A . 如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数，如下图所示．当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数，如下图所示．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)．谈重点 对函数单调性的理解1．函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集．如函数y ＝x 2的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，0)时是减函数．2．函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征：一是任意性，即“任意取x 1，x 2”，“任意”二字决不能丢掉；二是有大小，即x 1＜x 2(x 1＞x 2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．3．单调性是一个“区间”概念，如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，但不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数．如函数f (x )＝1x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．因为当x 1＝－1，x 2＝1时有f (x 1)＝－1＜f (x 2)＝1，不满足减函数的定义．4．单调区间端点的写法：对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减性变化，所以不存在单调问题，因此在写此单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点．【例1－1】下列说法不正确的有( )①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数；②函数1=y x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在其上是减函数； ③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两个值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是增函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①函数y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故其在(－∞，＋∞)上不具有单调性；②(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数1=yx的单调区间，在这两个区间上都是减函数，但1=yx在整个定义域上不是减函数；③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性．答案：D【例1－2】若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A．32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)＜f(2)B．f(－1)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(2)C．f(2)＜f(－1)＜32 f⎛⎫-⎪⎝⎭D．f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)解析：∵函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜32-＜－1，∴f(－2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)，即f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)．答案：D【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集为( )A．(－1,2) B．[3，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：∵A(0，－1)，B(3,1)是函数f(x)图象上的两点，∴f(0)＝－1，f(3)＝1.由|f(x＋1)|＜1，得－1＜f(x＋1)＜1，即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴由单调函数的定义，可知0＜x＋1＜3.∴－1＜x＜2.答案：A2．函数单调性的判断方法(1)图象法对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图象较容易画出，因此，可利用图象的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．【例2－1】写出下列函数的单调区间： (1)y ＝|2x －1|；(2)y ＝|x 2－3x ＋2|；(3)2=3xy x -+. 分析：本题画出各个函数的图象后，就可以得出相应的单调递增或单调递减区间了．图1解：(1)y ＝|2x －1|＝121,,2121,<.2x x x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩ 如图1所示，函数的单调递增区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；单调递减区间是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(2)y ＝|x 2－3x ＋2|＝2232,12321<<2.x x x x x x x ⎧-+≤≥⎨-(-+)⎩或，， 如图2所示，函数的单调递增区间是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.图2图3(3)255==1=1333xyx x x-⎛⎫---+⎪+++⎝⎭.如图3所示，函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞)．谈重点由图象得出函数的单调区间对于函数求单调区间，可以根据图象及结合基本函数的单调性来寻找的．对于有些函数，如果能够画出函数的图象，那么寻找单调区间就比较容易了，此类题目通常是与基本函数(如一次函数、二次函数、反比例函数以及后面学的指数函数与对数函数等)有关的函数．【例2－2】已知四个函数的图象如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )解析：已知函数的图象判断其在定义域内的单调性，应从它的图象是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知选项B中的函数在定义域内为增函数．答案：B谈重点单调函数的图象特征函数的单调性反映在图象上是在指定的区间(也可以是定义域)从左到右图象越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图象上的直观表现．【例2－3】画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图象，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图象后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．解：2223,0, ()=23,<0.x x xf xx x x⎧-++≥⎨--+⎩当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)＝0，f(0)＝3；当x＜0时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f(－3)＝0.作出函数的图象(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．辨误区写函数的单调区间易忽略的问题1．如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪”连接；2．确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2,3]，[5,9]，[1，＋∞)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成[0，＋∞)，而不能写区间[0，＋∞)的任一子区间；3．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图象在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间．(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：①取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时不能用特殊值来代替它们)；②作差变形：作差Δy＝f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；③定号：确定差值Δy的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；④判断：根据定义作出结论(若Δx＝x2－x1与Δy＝f(x2)－f(x1)同号，则给定函数是增函数；异号，就是减函数)．【例2－4】(1)证明函数()=f x在定义域上是减函数；(2)证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数；(3)证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f(x1)，f(x2)的差Δy＝f(x2)－f(x1)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．证明：(1)()=f x的定义域为[0，＋∞)，任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝((--＝<0，由单调函数的定义可知，函数()=f x在定义域[0，＋∞)上是减函数．(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x23＋x2)－(x13＋x1)＝(x23－x13)＋(x2－x1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12)＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12＋1)＝222121113()1024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由单调函数的定义可知，函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．(3)设x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝212111x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝(x 2－x 1)＋1212x x x x -＝(x 2－x 1)1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2112121x x x x x x (-)(-).∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0.∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0.∴由单调函数的定义可知，函数1()=f x x x+在(0,1)上为减函数．辨误区 利用定义证明函数的单调性需谨慎在第(1)题中，有的同学认为由0≤x 1＜x 2，可得0≤x 1＜x 2，这种证明实际上利用了函数y ＝x 的单调性，而y ＝x 的单调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使用了“分子有理化”的变形技巧，要注意观察这类题目的结构特点．3．利用函数的单调性比较两个函数值的大小若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是增函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)；若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是减函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＞f (x 2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．【例3】设函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为________．解析：∵a 2－a ＋1＝2133244a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭＞0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴当12a ≠时，a 2－a ＋1＞34，有f (a 2－a ＋1)＜34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当1=2a 时，a 2－a ＋1＝34，有f (a 2－a ＋1)＝34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上可知，f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．例如：已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图象，会给我们研究问题带来很大方便．要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图象可知，只要对称轴x ＝1－a ≥4即可，解得a ≤－3.谈重点 对分段函数的单调性的理解求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图象之间的上下关系．【例4】已知函数(3)4,<1,()=,1a x a x f x a x x-+⎧⎪⎨≥⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．分析：函数f (x )是一个分段函数，其图象由两部分组成．当x ＜1时，f (x )＝(3－a )x ＋4a ，其图象是一条射线(不包括端点)；当x ≥1时，()=af x x，其图象由a 的取值确定，若a ＝0，则为一条与x 轴重合的射线，若a ≠0，则为反比例函数图象的一部分(曲线)．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x ＜1时的图象位于x ≥1时的图象的上方.解：由题意知，函数f (x )＝(3－a )x ＋4a (x ＜1)与()=af x x(x ≥1)都是递减的，且前者图象位于后者图象的上方(如图所示)．∴3<0,>0,34,a a a a a -⎧⎪⎨⎪(-)+≥⎩即>3,>0,3.2a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥-⎩ ∴a ＞3.∴实数a 的取值范围是{a |a ＞3}． 5．利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是增函数，则最大值在右端点b 处取得，最小值在左端点a 处取得；若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是减函数，则最大值在左端点a 处取得，最小值在右端点b 处取得．解题时也可结合函数的图象，得出问题的答案．【例5－1】求()=f x x +的最小值．分析：求函数()=f x x +的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解：()=f x x +的定义域为[1，＋∞)，任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，Δx ＝x 2－x 1＞0，则Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 2)－(x 1＝(x 2－x 1)＋(－＝(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)·1⎛ ⎝.∵Δx ＝x 2－x 1＞0,1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＞0.∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1.【例5－2】已知函数2=1xy x +(x ∈[－3，－2])，求函数的最大值和最小值． 解：设－3≤x 1＜x 2≤－2，则f (x 1)－f (x 2)＝12122211x x x x -++＝122112212111x x x x x x (+)-(+)(+)(+)＝1212211x x x x (-)(+)(+).由于－3≤x 1＜x 2≤－2，则x 1－x 2＜0，x 1＋1＜0，x 2＋1＜0. 所以f (x 1)＜f (x 2)． 所以函数2=1xy x +在[－3，－2]上是增函数． 又因为f (－2)＝4，f (－3)＝3，所以函数的最大值是4，最小值是3. 6．利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性，即f (x )在区间D 上是递增的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＞x 2〔事实上，若x 1≤x 2，则f (x 1)≤f (x 2)，这与f (x 1)＞f (x 2)矛盾〕．类似地，若f (x )在区间D 上是递减的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＜x 2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域要求，最后取几个不等式的解的交集即可．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，在解决比较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量放在同一个单调区间上．【例6】已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，求a 的取值范围．分析：由于函数y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a ∈(－1,1)，a 2－1∈(－1,1)，且1－a ＞a 2－1，解此关于a 的不等式组，即可求出a 的取值范围．解：由题意可得221<1<1,1<1<1,1>1,a a a a --⎧⎪--⎨⎪--⎩①②③由①得0＜a ＜2，由②得0＜a 2＜2，∴0＜|a |，∴a ，且a ≠0.由③得a 2＋a －2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0， ∴1>0,2<0a a -⎧⎨+⎩或1<0,2>0,a a -⎧⎨+⎩∴－2＜a ＜1.综上可知0＜a ＜1， ∴a 的取值范围是0＜a ＜1.7．复合函数单调性的判断方法一般地，如果f(x)，g (x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同．(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同．(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c＜0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的．(4)f(x)恒为正或恒为负时，y＝1f x与y＝f(x)单调性相反．(5)若f(x)＞0，则函数y＝f(x)与y＝f x具有相同的单调性．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个函数的单调区间；④若两个函数在对应区间上的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若不同，则y＝f[g(x)]为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解选择题、填空题时我们可直接运用此法，但在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．【例7】求y的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解：要使函数y需满足x2＋2x－3≥0，即(x－1)(x＋3)≥0.∴10,30xx-≥⎧⎨+≥⎩或10,30.xx-≤⎧⎨+≤⎩∴x≥1，或x≤－3.∴函数y的定义域为{x|x≥1，或x≤－3}．令u＝x2＋2x－3，则=y u＝(x＋1)2－4，其开口向上，对称轴为x＝－1.∴当x≥1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x≤－3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数．∴y的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．辨误区求函数的单调区间易忽略的问题由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间；在处理函数的相关问题时，往往会把函数问题转化成方程问题或简单不等式问题来处理，但要注意转化时应确保转化前后式子的等价性．8．抽象函数的单调性问题没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：(1)抽象函数单调性的证明．证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．(2)抽象函数单调性的应用．如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等．解决抽象函数的有关问题，常采用赋值法．在解不等式时关键是将已知不等式转化为f(x1)≥f(x2)的形式，然后利用单调性结合定义域求解．【例8】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，2 (1)=3f .求证：f(x)在R上是减函数；证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0. 令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即Δy＜0.∴f(x)在R上是减函数．。
(完整版)函数单调性的习题及答案
函数的单调性（一）一、选择题：1．在区间(0,＋∞）上不是增函数的函数是 （ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2 D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f （x )=4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1）等于（ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x ）在区间(－2，3)上是增函数，则y =f （x ＋5）的递增区间是 ( ） A ．（3,8） B ．（－7，－2) C ．（－2，3) D ．(0，5)4．函数f （x ）=21++x ax 在区间（－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．（0，21)B ．( 21，＋∞）C ．（－2，＋∞)D ．（－∞,－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f （x ）在区间［a ，b ]上单调，且f (a ）f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x ）=8＋2x －x 2，如果g (x ）=f ( 2－x 2)，那么函数g （x ) （ ） A ．在区间(－1,0)上是减函数 B ．在区间（0，1)上是减函数 C ．在区间（－2，0)上是增函数 D ．在区间（0，2)上是增函数7．已知函数f （x )是R 上的增函数,A （0,－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1）|＜1的解集的补集是 ( ） A ．（－1，2) B ．(1，4） C ．（－∞，－1)∪[4,＋∞) D ．(－∞,－1)∪［2，＋∞)8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f （5＋t )＝f (5－t ）,那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1）＜f (9）＜f (13） B ．f (13)＜f (9）＜f (－1) C ．f （9)＜f (－1)＜f （13） D ．f （13)＜f (－1)＜f （9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ )A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311．已知f (x )在区间（－∞,＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a ）＋f (b ）] B ．f （a ）＋f （b )≤f （－a ）＋f （－b ） C ．f (a ）＋f （b ）≥－f （a )＋f （b ）] D ．f (a )＋f （b ）≥f （－a )＋f （－b ) 12．定义在R 上的函数y =f （x ）在（－∞，2）上是增函数，且y =f (x ＋2）图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1）＜f （3) B ．f （0）＞f （3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f （3）二、填空题:13．函数y =（x －1)—2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___．15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 。
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练习四 函数的单调性
一、选择题
1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有（ ）
A ． ()()21x f x f <
B ． ()()21x f x f =
C ． ()()21x f x f >
D ． ()()021>x f x f
2．函数()2
2-=x y 的单调递减区间为（ ）
A ．[)+∞,0
B ．(]0,∞+
C ．),2[+∞
D ．]2,(-∞
3．下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ）
A ．x
y 1=
B ．x y -=
C ．1-=x y
D ．122++=x x y
4. 若函数1
2)(-=
x a
x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞-
B ．()+∞,0
C ．()0,1-
D ．()+∞,1
5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有（ ）
A ．2
1≥
a
B ．2
1≤
a C ．2
1>
a D ．2
1<
a
6. 如果函数2)1(2)(2
+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3≤a
B ．3≥a
C ．3-≥a
D ．3-≤a
二、填空题
7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =,)2(π
f b =,)2
3
(f c =的大小关系是__________________________. 9．函数32)(2
+--=
x x x f 的单调递增区间是_______.
10．若二次函数45)(2
++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞- 上
是增函数，则=)1(f ________.
三、解答题
11. 证明函数x
x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数.
12．判断函数x x y 1+
=在区间),1[+∞上的单调性，并给出证明．
13．已知函数)(x f y =在()+∞,0上是减函数，且)()2(2m f m m f >-，求m 的取值范围 ．
能力题
14．若函数⎩⎨
⎧<-≥+=,
1,
1,1,
1)(2x ax x x x f 在R 上是单调递增函数，求a 的取值范围.
15．讨论函数32)(2+-=ax x x f 在)2,2(-内的单调性.
练习四
一、选择题
7．[)+∞,1 8．b c a << 9．[]1,3-- 10．19 三、解答题
11． 设()0,,21∞-∈x x ，且21x x <，则012>-=∆x x x ，
则2
112)()(x x x x f x f y ⋅∆=
-=∆.
()0,,21∞-∈x x ，∴021>⋅x x ∴0>∆y .
∴)(x f 在()0,∞-上是增函数.
12．函数x
x y 1+
=在区间),1[+∞上单调递增．证明如下：
设[)+∞∈,1,21x x ，且21x x <，则012>-=∆x x x ， 则2
12112)1()()(x x x x x x f x f y ⋅-∆=
-=∆．
[)+∞∈,1,21x x ，∴0121>-x x ，021>⋅x x ，0>∆x ，
∴0>∆y ，∴x
x y 1+
=在区间),1[+∞上的单调递增.
13． 函数)(x f y =在()+∞,0上是减函数，且)()2(2m f m m f >-,
∴
⎪⎩
⎪⎨⎧><->-,0,2,022
2m m m m m m 解得32<<m . ∴m 的取值范围是()3,2. 能力题
14． ⎩⎨
⎧<-≥+=)
1(1
)1(1
)(2x ax x x x f 在R 上是单调增函数,
∴ ⎩⎨⎧
+≤-⨯>1
11102
a a ，解得30≤<a ∴∈a (]3,0. 15． 2
223)(32)(a a x ax x x f -+-=+-=，对称轴a x =.
∴若2-≤a ，则32)(2
+-=ax x x f 在)2,2(-上是增函数；
若
22<<-a ，则32)(2+-=ax x x f 在],2(a -上是减函数，在[]
2,a 上是增函数；
若2≥a ，则32)(2
+-=ax x x f 在)2,2(-上是减函数.。