高数曲面及其方程

绕x轴：x a
2 2

y2 z2 c2
1
(旋转双叶双曲面)
绕z轴：x
2
a2
y
2

z2 c2
1
(旋转单叶双曲面)
b. 柱面
在Oxyz中，方程x2＋y2 R2表示什么？
该方程表示： 以平行于z轴的直线为母线， 以xoy面上的圆周x2 y2 R2为准线的圆柱面.
Def 平行于定直线并绕定曲线C移动的动直 线L形成的轨迹叫做柱面； 称L为柱面的母线； 称C为柱面的准线。
即：
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 (*)
(*)即是球面上点的坐标所满足的方程。 而不在球面上的点的坐标都不满足方程(*). 故，(*)即为所求.
1. 曲面方程的概念
Def 若曲面S与三元方程
F(x, y, z) 0
(*)
满足下列关系：
(1) S上任一点的坐标满足方程(*);
1.截痕法 截痕：平面与曲面F(x,y,z)=0的交线；
截痕法：通过综合截痕的变化去研究曲面的形状。
2.伸缩变形法
（一）椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：

x2

a2

y2 b2

1,
z 0
z

x2 a2

z2 c2

1 ,

y

0

2.两个基本问题：
(1)已知曲面是动点的轨迹，求曲面方程；
(2)已知一个三元方程，研究该方程所表示曲面的 形状。
思考：
求将xoz面上的抛物线z x2绕z轴旋转一周 所得曲面的方程.
z x2 y2.
---旋转抛物面
a. 旋转曲面
Def 1 平面曲线绕其平面内的一条直线旋转一周所成的 曲面叫做旋转曲面。 称旋转曲线为母线； 称定直线为轴。
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
c. 二次曲面
Def 称三元二次方程F(x,y,z)=0表示的曲面为 二次曲面；相应地，把一次曲面称为平面.
§7-3 曲面及其方程
曲面方程的概念 讨论曲面时的两个基本问题：
(a)旋转曲面；(b)柱面；(c)二次曲面
例: 求球心在M0 (x0, y0, z0 ),半径为R的球面方程。
解：设M (x, y, z)为球面上任意一点. 根据已知得：
MM0 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
x2 ay 抛物柱面
思考与练习：
x2 1.已知准线方程为 4

y2 8

z2 3
1，母线平行于y轴.
y 2
求此柱面方程.
2.下列方程表示什么图形： (1)x2 y2 2z; (2)x2 y2 2z2 4x 0.
内容小结
1. 空间曲面
三元方程 F(x, y , z) 0
y2 b2

z2 c2

1.
x 0
x
o
y
（二）抛物面
x2 a2

y2 b2

z
z
椭圆抛物面
xo
y

x2 a2

y2 b2

z
双曲抛物面（马鞍面）
用截痕法讨论： 图形如下：
z
o y
x
（三）双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
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2. 二次曲面

三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
• 椭圆锥面:
x2 a2

y2 b2

z2
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作业
7－（3 第318页）： 8.(1)(5); 9.(2)(4); 10.(1)(3); 11.(3)
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.

x2 a2

y2 b2

1
z 0
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
双叶双曲面
o
y
x
x2 y2 z2 椭圆锥面； a2 b2 x2 y2 1 椭圆柱面； a2 b2 x2 y2 1 双曲柱面； a2 b2
称其为锥面； 称两直线的交点为锥面的顶点； 称两直线的夹角 (0 )为半顶角.
2
例1 建立顶点在原点O, 旋转轴为z轴,半顶角
为的圆锥面方程.
z2 a2 (x2 y2 ).
(a2 =cot2).
例2 求 xoz面上的双曲线
x2 z2 1
a2 c2 分别绕x轴、z轴旋转一周所得曲面的方程。
• 球面 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
• 旋转曲面
如,
曲线

f (y, z) x0

0
绕
z
轴的旋转曲面:
• 柱面
f ( x2 y2 , z) 0
如,曲面F(x , y) 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
结论：
1. F(x,y)=0 表示母线平行于Z轴的柱面，该柱面 的准线是在xoy面上的曲线C: F(x,y)=0.
2. G(x,z)=0,H(y,z)=0有类似结论。
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
(2) 不在S上的点的坐标都不满足(*).
称(*)为S的方程，S为(*)的图形.
举例
例1 一动点与点A(2,3,1), B(4,5, 6)等距离，求动点 轨迹方程。
例2 方程x2 y2 z2 2x 4 y 2z 0表示什么曲面？
注：一般地，形如下列的三元二次方程： Ax2 Ay2 Az2 Dx Ey Fz G 0 表示一个球面。
旋转曲面的方程： (1) yoz面上的曲线f ( y, z) 0绕z轴旋转所得的
旋转曲面的方程： f ( x2 y2 , z) 0
(2)xoz面上的曲线f (x, z) 0绕x轴旋转所得的 旋转曲面的方程：
f (x, y2 z2 ) 0
旋转曲面举例：
Def 2 : 直线L绕与其相交的直线旋转一周所得曲面