论文 椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
江西省上犹中学 刘鹏
关键词：椭圆 焦点弦 弦长公式 应用
摘要
：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12
AB x -或
者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：
22222cos ab AB a c θ
=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.
下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.
解法一：根据弦长公式直接带入解决.
题：设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭
圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .
椭圆方程12222=+b
y a x 可化为02
22222=-+b a y a x b ……①，
直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：
222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=
∴24
1212222222
2,mcb b y y y y b m a b m a
+=-=-++，
∴
12AB y -==∴()22
222
21ab AB m b m a
=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1
tan m θ
=
，则有： ()222
2222
222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ
⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,
由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为2
222
2cos ab AB a c θ
=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()22
22221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由
()222232222222
2222222222
22()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 2
2，故可知通径是最短的焦点弦，.
综上，焦点弦长公式为2
2222cos ab AB a c θ
=-.
解法二：根据余弦定理解决
题：设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭
圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .
解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在
12AF F ∆中，由余弦定理得
222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2
cos b x a c θ=-，在
12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2
cos b y a c θ=+，则弦长
222
22
22=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.
解法三：利用焦半径公式解决
题：设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭
圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .
解：由解法一知222121212222222
22=()22m cb a c
x x my c my c m y y c c b m a b m a
++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-
故222221212222
22
2222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++
后面分析同解法一.
解法四：利用仿射性解决
题：设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭
圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .
解：利用仿射性，可做如下变换''x x
a y y
b =⎧⎪⎨=⎪⎩
，则原椭圆变为222
(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，
a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为
a
k b
.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为2
12''1()a A B k x x b
=+-，带入，得变换前后弦长关系为
22
2
2
1=
''b k AB A B b a k
++……③
而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为
()a
y k x c b
=
-，圆心到直线的距离为2
1()a kc b
d a k b
=+，根据半径
为a ，勾股定理求得弦长为
2
2222222
2(
)
(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b
+-=++，将此结果带入③中，得
22
222
2(1)
''
ab k
AB B
b a k
+
+
，由tan
kθ
=，带入得
2
222
2
cos
ab
AB
a cθ
=
-
.
上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：
2
222
2
cos
ab
AB
a cθ
=
-
，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.
例1 已知椭圆221
2521
x y
+=
的直线交椭圆于,A B两点，求AB.
分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.
解：由题，22
5,21,4=
3
a b c
π
θ
===，,带入
2
222
2
cos
ab
AB
a cθ
=
-
得=10
AB.
例2 已知点3
(1,)
2
P-在椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>上，过椭圆C的右焦点
2
(1,0)
F的直线l与椭圆C交于,
M N两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN AB，
2
AB
W
MN
=,试判断W是否为定值？若是定值，
求出这个定值，若不是，说明理由.
分析：因为l过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单.
解：（1）由题知1
c=，将点P带入得
22
19
1
4
a b
+=，又222
a b c
=+，解得22
4,3
a b
==，故椭圆方程为
22
1
43
x y
+=.
（2）假设(,)
A m n
，则AB=，设倾斜角为θ
，则cosθ=，根据过焦点的弦长公式则
222
2
22222
22
21234
cos12()
4
ab m n
MN
m
a c m n
m n
θ
+
===
-+
-
+
，故
222
=4
43
AB m n
W
MN
=+
（）=4.
例3 如图，已知椭圆221
43
x y
+=的左右焦点为
12
,
F F，过
2
F的直线
1
l交椭圆于,A C两点，过
1
F
的直线
2
l交椭圆于,B D两点，
12
,l l交于点P(P在x轴下方)，且
12
3
4
F PFπ
∠=，求四边形ABCD的
面积的最大值.
分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234
F PF π
∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.
解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为
3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2
12
4cos AC θ
=-, 2124cos ()
4
BD π
θ=
--，221221212=
2244cos 4cos ()
4
S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设2
2
()(4cos )(4cos ())4
f π
θθθ=---
71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448
θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣
⎦
， 则2
sin 41t θ=-,带入得2
4971()+(1)448
f t t t =-- 即21797()848
f t t t =
-+ min 99142
()8
f t -=
,此时2t =， 即sin 2cos 22θθ+=
，得到=
8
π
θ.
综上，四边形ABCD 的最大值为2882
=
5.1499142
S ≈-.此时
=
8
π
θ，得到2l 的倾斜角为
78
π
,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。