数学百大经典例题(新课标)——正态分布

正态分布习题(1)

注：正态分布的定义与性质要牢记。
正态分布典型例题解答
4. 设随机变量 X
N (0,1)，求随机变量 Y 1 2 | X |的概率密度。
返回
1 y 解：当 y 1时， FY ( y ) P{Y y} P{1 2 | X | y} P X 2 y 1 1 y P X P X 2 2 y 1 1 y 1 y 1 2 2 2 2 2 1 y 1 1 y f ( y ) 2 所以， Y 2 2 2
正态分布典型例题解答
1. 填空 (1) 设随机变量 X (2) (3)
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(4) (5) (6) 设 X , Y 服从相同分布 N (, 2 )，则 E (aX bY )(aX bY ) ______.
N (0,1)，则 P{| X | 1} _______. 1 设随机变量 X N (20, 22 )，若 P{ X a} ，则 a ______. 2 2 1 ( x85) e ,( x )，则 P{X 5} ____. 随机变量 X 的概率密度 f ( x) 8 2 设随机变量 X 与 Y 独立且都服从 N (, ) ，则 2 X Y 3 _______. 2 2 设随机变量 X N (3, 4 )，则 E ( X ) ______.
2. 某工厂生产的电子管的寿命 X(小时)服从 N (160, 2 ), 若要求概率 P{120 X 200} 0.80
3. 某物体的温度T(。F)是一个随机变量，已知 T
足 S 5 (T 32) ，求S的概率密度。解答

正态分布测试题及答案

正态分布测试题及答案1. 正态分布是一种连续概率分布，其形状呈钟形曲线，也称为高斯分布。

以下哪个选项描述了正态分布的特征？A. 对称性B. 所有数据都集中在均值附近C. 曲线下的总面积等于1D. 所有选项都正确答案：D2. 如果一个随机变量X服从标准正态分布，那么它的均值μ和标准差σ分别是多少？A. μ=0，σ=1B. μ=1，σ=0C. μ=0，σ=0D. μ=1，σ=1答案：A3. 在正态分布中，68-95-99.7经验法则描述了数据的分布情况。

根据这个法则，以下哪个比例的数据落在均值的两个标准差之内？A. 68%B. 95%C. 99.7%D. 100%答案：B4. 假设一个正态分布的总体均值为100，标准差为15，随机抽取一个样本，样本容量为100。

根据中心极限定理，样本均值的分布情况如何？A. 样本均值服从均值为100，标准差为15的正态分布B. 样本均值服从均值为100，标准差为1.5的正态分布C. 样本均值服从均值为100，标准差为0.15的正态分布D. 样本均值服从均值为100，标准差为0.015的正态分布答案：B5. 正态分布的概率密度函数（PDF）表达式为f(x)=1/(σ√(2π)) *e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ和σ分别代表什么？A. μ代表均值，σ代表方差B. μ代表方差，σ代表均值C. μ代表均值，σ代表标准差D. μ代表标准差，σ代表方差答案：C结束语：以上是关于正态分布的一些基本测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握正态分布的相关知识。

正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

2001.若 x 〜N (0,1),求(I) P (-2.32< X <1.2) ; (2) P (x >2).解： ⑴ P (-2.32< x <1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2) P (x >2)=1- P (x <2)=1-(2)=1-0.9772=0.0228.:2利用标准正态分布表，求标准正态总体 (1)在 N(1,4)下，求 F(3).2 ,(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6);3 1 解: (1) F (3) =( ) =0( 1)= 0.8413 2a( )0.975 ■ 200(2)F(y+b)= ( -------------- )=0( 1)= 0.8413F(y —b))=0 (— 1 )=1—0 ( 1 )= 1 - 0.8413 = 0.1587F(y — c,a+b)=F(a+b) — F(y — cr)0.8413 — 0.1587 = 0.68263某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为 1=，求总体落入区间(一1.2 , 0.2 )之间的概率.[0 ( 0.2 ) =0.5793,0 ( 1.2 ) (x )22~=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是f(x),x ()，它是偶函数,1说明” 0,f(x)的最大值为f()=亍，所以"1,这个正态分布就是标准正态分P( 1.2 x 0.2)(0.2)( 1.2) (0.2) [1 (1.2)] (0.2) (1.2) 10.5793 0.8848 10.46424.某县农民年平均收入服从 =500元,在500 : 520元间人数的百分比；(2) 的概率不少于0.95，则a 至少有多大？ =200元的正态分布 (1)求此县农民年平均收入如果要使此县农民年平均收入在( [0 ( 0.1 ) =0.5398,0 ( 1.96 ) a, a )内=0.975]解：设表示此县农民年平均收入,~ N(500,2002).P(500520 500(500 500.200 ')(0.1) (0) 0.5398 0.50.0398 ( 2 )a)(盘—)2 200(旦)10.95,200查表知：—1.961设随机变量X 〜 N (3,1), 若P(X4) p ,,则 J P(2<X<4)=—、11(A) p(B)l 一P C .l -2p D . - p22 【答案】C因为P(X 4) P(X 2)p ,所以 P(2<X<4)1 P(X 4) P(X2) 1 2p ,选C .2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（）A . 100B . 200C . 300D . 400［答案］B［解析］记“不发芽的种子数为了，贝U 汁B(1 000,0.1)，所以E(8= 1 000 X 0.1= 100,而 X = 2E,故 E(X)= E(2 3= 2E( 3 = 200，故选 B.3.设随机变量3的分布列如下:3—10 1 Pabc其中a , b , c 成等差数列，若 E( 3 = 3,贝U D(3 =( )［答案］A［解析］设白球x 个，则黑球7— x 个，取出的2个球中所含白球个数为C 7-x 2 7 — x 6 — xP( 3= 0)= C 72 =42,x - 7 — x x 7 — x P( 3=1)= C 72 =21 ,C x 2 x x — 1P( 3= 2)= C 72 = 42 ,.x = 3.4A.9 B .1 2 9 C.3［答案］D［解析］由条件a , b , c 成等差数列知，2b = a + c ,由分布列的性质知 a + b + c = 1,又1 111 1E( 3 = — a + c = 3 解得 a= 6’ b= 3 c = 2，二 D(3= 6X2+21-「=舟.4. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取 2个球，已知取到白球个数的数学期望值为7，则口袋中白球的个数为（)A . 3 B . 4C . 5D . 23贝U 3取值0,1,2,0X7— x 6— x 42x 7 — x 21 + 2X X X —1 42 55.小明每次射击的命中率都为 p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数E 的期望值为4,方差为2，则p( &1)=()A 255B 9C 247D 7 A 256 B.256 C.256 D .64 ［答案］C［解析］由条件知旷B(n , P),E E = 4, np = 4 D E = 2n p 1 — p = 2 '1解之得，p = , n = 8, ••• P( = 0)= C 8°x 218= 2 8,1 1 1P( E= 1) = C 81x 2 1x2 7= 2 5，• P(E 1) = 1 — P( = 0) — P(E= 1)A . 2< 俘=淨，01=d2> d3B .皿> 俘=淨，d=d < dC . (J1= (J2<P 3, d 1< d 2= d 3D .小< p2= 3, d 1 = d < d 3 ［答案］D(^2(X)和g(X )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故3= 3，又屉(X)的对称轴的横坐标值比也(X)的对称轴的横坐标值大，故有 3<比 =3.又d 越大，曲线越“矮胖”，d 越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数咖(X)和侯(X )的图象一样“瘦高”，松(X )明显“矮胖”，从而可知d= d < d .6①命题"X R,cosx 0 ”的否定是：“ X R,cosx 0 ”； ②若lg a lg b lg( a b),则a b 的最大值为4； ③定义在R 上的奇函数f(X)满足f (X 2)f(X),则f(6)的值为0;=1— 18— 1 5= 24Z2 2 256. 5已知三个正态分布密度函数则()1XX )= 2 nd e —.2X —d^(x € R , 2 di = 1,2,3)的图象如图所示,［解析］正态分布密度函数<>④已知随机变量服从正态分布 N(1, 2),P( 5) 0.81,则P( 3) 0.19 ;其中真命题的序号是 ________ (请把所有真命题的序号都填上 ).【答案】①③④ ①命题“ x R,cosx 0”的否定是：“ x R,cosx 0 ”；所以① 正确.②若 lg a lg b lg( a b),则 Ig ab lg( a b),即 ab a b,a 0,b 0 .所以a b 22ab a b(/,即(a b) 4(a b),解得a b 4,则a b 的最小值为4;所以②错误.③定义在R 上的奇函数f( x)满足f ( x 2) f ( x),则f (x 4) f(x),且 f (0) 0,即函数的周期是 4.所以 f (6) f(2) f (0)0;所以③正确④已知随机变量服从正态分布2N(1, ),P(5) 0.81 ,则P( 5) 1 P(5) 1 0.81 0.19 ,所以 P(3) P( 5)0.19 ;所以④正确，所以真命题的序号是①③④.7、在区间［1,1］上任取两数 m 和n ,则关于x 的方程x 2 mx n 2 0有两不相等实根的概率为 ____________ .1【答案】—由题意知1 m 1, 1 n 1.要使方程x2 mx n 2 0有两不相等实4根，则 2=m 4n 2 0 , 即(m 2n )(m 2n) 0 . .作出对应的可行域，如图直线m 2n 0,m2n0 , 当 m1 时 1 1, n C—, n B—,所以SO111 1所以方程22 2BC 一 1 [( )xmx n 0有两不相等实根的概率为2 2222S OBC2 1 2 12 24 4'⑶ 随机变量X 服从正态分布 N(1,2),则P(X 0) P(X 2)；2 1⑷ 已知a,b R ,2a b 1,则一一 &其中正确命题的序号为 ________________________ .a b【答案】⑵(3)(1)2G lnx 〔2 ln2 ,所以⑴错误.(2)不等式1x|x 1| |x 3|的最小值为4,所以要使不等式|x 1|2 1⑵正确.(3)正确.(4)--a b所以⑷错误，所以正确的为 ⑵(3).场中的得分如图所示，则该样本的方差为7 2 3频数为A . 26B . 25C . 23D . 18【答案】D 样本的平均数为23,所以样本方差为1 [(19 523)2 (20 23)2 (22 23)2 (23 23)2(31 2 23)] 18,选 D3有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示 ,据图估计，样本数据在8,10内的21dx 1 x3.，⑵不等式|x 1|| x 3| a 恒成立,则a 4;| x 3| a 成立,则a 4,所以2已知某篮球运动员 2012年度参加了 40场比赛,现从中抽取 5场,用茎叶图统计该运动员2 1(a 严 b) 4 19,【答案】C样本数据在 8,10之外的频率为（0.02 0.05 0.09 0.15） 2 0.62,0.38 200 76,选 C .1的概率为,选 B .45从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为2【答案】25_3从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有C 5 10种.则3个数能构成等差数列的42所以样本数据在8,10内的频率为1 0.62 0.38,所以样本数据在 8,10的频数为4. （ 2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）的正方形OABC 中任取一点P,则点 1 A .3【答案】（x x 3）dxP 恰好取自阴影部分的概率为B .14【答案】B12141（c XX ） C.D.-5 6根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为11,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分4如图所示，在边长为I 第孕期图4 2.有,1,2,3;2,3, 4;3,4,5;1,3,5;有4种，所以这个数可以构成等差数列的概率为10 5。

正态分布(习题版)

27．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞a）＝0.2，则P（X＞6﹣a）＝．
28．某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．
A．0.25B．0.1C．0.125D．0.5
6．随机变量X服从正态分布X～N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，则的最小值为（）
A． B． C． D．
7．在某项测量中，测得变量ξ﹣N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（1，2）内取值的概率为（）
37．某中学为了了解该校高中学生的体重情况，现随机抽取该校150名高中学生，并测量每个人的体重后得到如图5的频率分布直方图．
（1）求这150名高中学生体重的样本平均数和样本方差s2；（同一组中的数据用该区间的中点值代替）
（2）根据频率分布直方图，我们认为该校高中学生的体重Z服从正态分布N（u，δ2），其中u近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2；如果体重Z满足Z＜33.4或Z＞106.6，则该生的体重有严重问题．
28．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X（单位：辆）均服从正态分布N（600，σ2），若P（500＜X＜700）＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）
A． B． C． D．
29．设随机变量ξ：N（2，2），则D（ ξ）＝（）
A． ﹣ B．计，某市高三学生期末数学成绩X﹣N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（）

2022高考数学专题15 正态分布(解析版)

【解析】解：（1） µ =35 × 0.02 + 45 × 0.12 + 55 × 0.20 + 65 × 0.25 + 75 × 0.24 + 85 × 0.13 + 95 × 0.04 =66.2 ．故 Z ~ N(66.2,198) ，易知
= σ 198 ≈ 14 ．
∴ P(Z ≤ 80.2) = 1 − 1 − P(66.2 − 14 < Z ≤ 66.2 + 14) = 1 − 1 − 0.6826 = 0.8413 ．
的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差 S 2 ≈ 77.8（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，
该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，利用现所得正态分布模型：（ⅰ）预估全年级恰好有 1000 名学生，正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数．（结果四舍五入到整数）（ⅱ）若在该地区 2020 年所有初三毕业生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 202 个以上的人数为ξ ，求随机变量 ξ 的分布列和期望．
【解析】解：（Ⅰ）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，两人得分之和不大于 33 分，
即两人得分均为 16 分，或两人中 1 人 16 分，1 人 17 分，由题意知：得 16 分的分数为 5 人，得 17 分的人数为 9 人，
∴两人得分之和不大于 33 分的概率为：
= P C= 52 + C51C91
组别
[30 ， 40) [40 ， 50) [50 ， 60) [60 ， 70) [70 ， 80) [80 ， 90) [90 ，100)

正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

2001.若 x 〜N (0,1),求(I) P (-2.32< X <1.2) ; (2) P (x >2).解： ⑴ P (-2.32< x <1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2) P (x >2)=1- P (x <2)=1-(2)=1-0.9772=0.0228.:2利用标准正态分布表，求标准正态总体 (1)在 N(1,4)下，求 F(3).2 ,(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6);3 1 解: (1) F (3) =( ) =0( 1)= 0.8413 2a( )0.975 ■ 200(2)F(y+b)= ( -------------- )=0( 1)= 0.8413F(y —b))=0 (— 1 )=1—0 ( 1 )= 1 - 0.8413 = 0.1587F(y — c,a+b)=F(a+b) — F(y — cr)0.8413 — 0.1587 = 0.68263某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为 1=，求总体落入区间(一1.2 , 0.2 )之间的概率.[0 ( 0.2 ) =0.5793,0 ( 1.2 ) (x )22~=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是f(x),x ()，它是偶函数,1说明” 0,f(x)的最大值为f()=亍，所以"1,这个正态分布就是标准正态分P( 1.2 x 0.2)(0.2)( 1.2) (0.2) [1 (1.2)] (0.2) (1.2) 10.5793 0.8848 10.46424.某县农民年平均收入服从 =500元,在500 : 520元间人数的百分比；(2) 的概率不少于0.95，则a 至少有多大？ =200元的正态分布 (1)求此县农民年平均收入如果要使此县农民年平均收入在( [0 ( 0.1 ) =0.5398,0 ( 1.96 ) a, a )内=0.975]解：设表示此县农民年平均收入,~ N(500,2002).P(500520 500(500 500.200 ')(0.1) (0) 0.5398 0.50.0398 ( 2 )a)(盘—)2 200(旦)10.95,200查表知：—1.961设随机变量X 〜 N (3,1), 若P(X4) p ,,则 J P(2<X<4)=—、11(A) p(B)l 一P C .l -2p D . - p22 【答案】C因为P(X 4) P(X 2)p ,所以 P(2<X<4)1 P(X 4) P(X2) 1 2p ,选C .2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（）A . 100B . 200C . 300D . 400［答案］B［解析］记“不发芽的种子数为了，贝U 汁B(1 000,0.1)，所以E(8= 1 000 X 0.1= 100,而 X = 2E,故 E(X)= E(2 3= 2E( 3 = 200，故选 B.3.设随机变量3的分布列如下:3—10 1 Pabc其中a , b , c 成等差数列，若 E( 3 = 3,贝U D(3 =( )［答案］A［解析］设白球x 个，则黑球7— x 个，取出的2个球中所含白球个数为C 7-x 2 7 — x 6 — xP( 3= 0)= C 72 =42,x - 7 — x x 7 — x P( 3=1)= C 72 =21 ,C x 2 x x — 1P( 3= 2)= C 72 = 42 ,.x = 3.4A.9 B .1 2 9 C.3［答案］D［解析］由条件a , b , c 成等差数列知，2b = a + c ,由分布列的性质知 a + b + c = 1,又1 111 1E( 3 = — a + c = 3 解得 a= 6’ b= 3 c = 2，二 D(3= 6X2+21-「=舟.4. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取 2个球，已知取到白球个数的数学期望值为7，则口袋中白球的个数为（)A . 3 B . 4C . 5D . 23贝U 3取值0,1,2,0X7— x 6— x 42x 7 — x 21 + 2X X X —1 42 55.小明每次射击的命中率都为 p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数E 的期望值为4,方差为2，则p( &1)=()A 255B 9C 247D 7 A 256 B.256 C.256 D .64 ［答案］C［解析］由条件知旷B(n , P),E E = 4, np = 4 D E = 2n p 1 — p = 2 '1解之得，p = , n = 8, ••• P( = 0)= C 8°x 218= 2 8,1 1 1P( E= 1) = C 81x 2 1x2 7= 2 5，• P(E 1) = 1 — P( = 0) — P(E= 1)A . 2< 俘=淨，01=d2> d3B .皿> 俘=淨，d=d < dC . (J1= (J2<P 3, d 1< d 2= d 3D .小< p2= 3, d 1 = d < d 3 ［答案］D(^2(X)和g(X )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故3= 3，又屉(X)的对称轴的横坐标值比也(X)的对称轴的横坐标值大，故有 3<比 =3.又d 越大，曲线越“矮胖”，d 越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数咖(X)和侯(X )的图象一样“瘦高”，松(X )明显“矮胖”，从而可知d= d < d .6①命题"X R,cosx 0 ”的否定是：“ X R,cosx 0 ”； ②若lg a lg b lg( a b),则a b 的最大值为4； ③定义在R 上的奇函数f(X)满足f (X 2)f(X),则f(6)的值为0;=1— 18— 1 5= 24Z2 2 256. 5已知三个正态分布密度函数则()1XX )= 2 nd e —.2X —d^(x € R , 2 di = 1,2,3)的图象如图所示,［解析］正态分布密度函数<>④已知随机变量服从正态分布 N(1, 2),P( 5) 0.81,则P( 3) 0.19 ;其中真命题的序号是 ________ (请把所有真命题的序号都填上 ).【答案】①③④ ①命题“ x R,cosx 0”的否定是：“ x R,cosx 0 ”；所以① 正确.②若 lg a lg b lg( a b),则 Ig ab lg( a b),即 ab a b,a 0,b 0 .所以a b 22ab a b(/,即(a b) 4(a b),解得a b 4,则a b 的最小值为4;所以②错误.③定义在R 上的奇函数f( x)满足f ( x 2) f ( x),则f (x 4) f(x),且 f (0) 0,即函数的周期是 4.所以 f (6) f(2) f (0)0;所以③正确④已知随机变量服从正态分布2N(1, ),P(5) 0.81 ,则P( 5) 1 P(5) 1 0.81 0.19 ,所以 P(3) P( 5)0.19 ;所以④正确，所以真命题的序号是①③④.7、在区间［1,1］上任取两数 m 和n ,则关于x 的方程x 2 mx n 2 0有两不相等实根的概率为 ____________ .1【答案】—由题意知1 m 1, 1 n 1.要使方程x2 mx n 2 0有两不相等实4根，则 2=m 4n 2 0 , 即(m 2n )(m 2n) 0 . .作出对应的可行域，如图直线m 2n 0,m2n0 , 当 m1 时 1 1, n C—, n B—,所以SO111 1所以方程22 2BC 一 1 [( )xmx n 0有两不相等实根的概率为2 2222S OBC2 1 2 12 24 4'⑶ 随机变量X 服从正态分布 N(1,2),则P(X 0) P(X 2)；2 1⑷ 已知a,b R ,2a b 1,则一一 &其中正确命题的序号为 ________________________ .a b【答案】⑵(3)(1)2G lnx 〔2 ln2 ,所以⑴错误.(2)不等式1x|x 1| |x 3|的最小值为4,所以要使不等式|x 1|2 1⑵正确.(3)正确.(4)--a b所以⑷错误，所以正确的为 ⑵(3).场中的得分如图所示，则该样本的方差为7 2 3频数为A . 26B . 25C . 23D . 18【答案】D 样本的平均数为23,所以样本方差为1 [(19 523)2 (20 23)2 (22 23)2 (23 23)2(31 2 23)] 18,选 D3有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示 ,据图估计，样本数据在8,10内的21dx 1 x3.，⑵不等式|x 1|| x 3| a 恒成立,则a 4;| x 3| a 成立,则a 4,所以2已知某篮球运动员 2012年度参加了 40场比赛,现从中抽取 5场,用茎叶图统计该运动员2 1(a 严 b) 4 19,【答案】C样本数据在 8,10之外的频率为（0.02 0.05 0.09 0.15） 2 0.62,0.38 200 76,选 C .1的概率为,选 B .45从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为2【答案】25_3从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有C 5 10种.则3个数能构成等差数列的42所以样本数据在8,10内的频率为1 0.62 0.38,所以样本数据在 8,10的频数为4. （ 2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）的正方形OABC 中任取一点P,则点 1 A .3【答案】（x x 3）dxP 恰好取自阴影部分的概率为B .14【答案】B12141（c XX ） C.D.-5 6根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为11,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分4如图所示，在边长为I 第孕期图4 2.有,1,2,3;2,3, 4;3,4,5;1,3,5;有4种，所以这个数可以构成等差数列的概率为10 5。

2019-2020年高考数学百大经典例题正态分布(含解析)

2019-2020年高考数学百大经典例题正态分布（含解析）例设服从，求下列各式的值：（1）（2）（3）分析：因为用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出的情形，故需要转化成小于非负值的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和有其用武之地．解：（1）;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P（2）;1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP（3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P.8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ=说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用．求服从一般正态分布的概率例设服从试求：（1）（2）（3）（4）分析：首先，应将一般正态分布转化成标准正态分布，利用结论：若，则由知：其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果．解：（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<ηP （2）;0030.0)75.2(1)75.2(25.14)4(=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=-<ηP （3）;4013.0)25.0(125.121)2(1)2(=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=<-=≥ηηP P （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<=<25.1325.131)2()3(ηηP P )]25.2(1[7734.0)25.2()75.0(Φ--=-Φ-Φ=说明：这里，一般正态分布，总体小于的概率值与和是一样的表述，即：服从正态分布的材料强度的概率例已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度服从（1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率．（2）如果所用的材料要求以99％的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求．分析：这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可．解：（1）-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥1181201801)180(1)180(ξξP P ;8665.0)11.1()]11.1(1[1)11.1(=Φ=Φ--=-Φ（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99％进行比较大小，从而得出结论．;9973.0)78.2()]78.2(1[1)78.2(1182001501)150(1)150(=Φ=Φ--=-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥ξξP P 即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73％＞99％，所以这批材料符合所提要求．说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”．转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表．公共汽车门的高度例若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的，如果某地成年男子的身高（单位：㎝），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？分析：实际应用问题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为，使其总体在不低于的概率值小于1％，即：，从中解出的范围．解：设该地公共汽车门的高度应设计高为cm ，则根据题意可知：，由于，所以，;01.061751)(1)(<⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥x x P x P ξξ 也即：通过查表可知：解得：即该地公共汽车门至少应设计为189cm 高．说明：逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性．关键是理解题意和找出正确的数学表达式．学生成绩的正态分布例某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布．平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？分析：要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体．解：设x 表示这个班的数学成绩，则x 服从设则z 服从标准正态分布．查标准正态分布表，得：所以，3413.05000.08413.0)0()1()10()1080901080108080()9080(=-=∅-∅=<<=-<-<-=<<z p x p x p ∴．说明：这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，一般地，我们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体．.。

正态分布及其经典习题和答案

【知识网络】1 、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2 、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题;例1 : （ 1）已知随机变量 X 服从二项分布，且 E （ X ）=，V （ X ）=，则二项分布的参数 n , p 的值为（）A n=4，p=B . n=6,p= C. n=8, p= D. n=24, p=答案：B 。

解析：EX n p 2.4 , V X n p （1 p ） 1.44。

（2）正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为（）。

A 95%B . 50%C . %D .不能确定（与标准差的大小有关）答案：B 。

解析：由正态曲线的特点知。

（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是（）A 32B 16C8D20答案： B 。

解析 :数学成绩是 X — N(80,10 2)，P(80 X 90)P 80 8010 Z 90 8010P(0 Z 1) 0.3413,48 0.3413 16。

（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 ___________________ 答案：。

解析：设两数之积为 X ，X 23456810121520P••• E(X)=.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为 1,1（x ），2 为 2 2（X ），答案：V ，＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

正态分布讲义3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图）【典型例题】，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3题进行测试，至少答对 2题才算合格.(I)求甲答对试题数E 的概率分布及数学期望； (H)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率p (A )=C ；C 4 C ；=60 202 , P (明 C ；C ； C ；56 56 14C ；01203’ C ,o120 15因为事件A 、B 相互独立，方法一：例2:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的 6题，乙能答对其甲答对试题数E 的数学期望1 9 L1 31 E E =0 12 -3 . 30 10 26 5(n)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B,则E 01 2 3P:1 3 1 :1 30 1026•••甲、乙两人考试均不合格的概率为 P A•••甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为方法二：•••甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为2 P P A B P A B P A B -3 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1 15 一一一2 14 1 B P A P B1 - 13 15 45_ _1 44P 1 P A B 145 454445 °1 X2 兰 443 15 3 15 454445' 答案：解：(I)依题意，甲答对试题数E 的概率分布如下: (2)比较两名射手的水平答案：（1）a=,b=;(2) EX 1 0.3 2 0.1 3 0.6 2.3, EY 1 0.3 2 0.4 3 0.3 2DX 0.855, DY 0.6所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定..例4 :一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白, 输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的•很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”答案：设取出的红球数为C k C6 kX,则X—H( 6, 6, 12), P(X k) C6 C6，其中k-0,1,2，…,6 C12设赢得的钱数为Y,则Y的分布列为••• E（Y）100馬507720侖1002°29・44,故我们不该“心动”【课内练习】1.标准正态分布的均数与标准差分别为（）。

正态分布练习题（含部分答案）

正态分布练习题（含部分答案）正态分布练习题1正态分布1.1正态函数及曲线特点1.（对称性）：已知随机变量ξN (2,32)。

若P (ξ>C +1)=P (ξ2.（单峰与最值）若正态分布曲线是偶函数，且最大值为14√2π，则总体的均值和方差分别为0和16。

1.2三个重要区间的概率应用(特殊区间段的计算公式)P 1=P (μ?σP 2=P (μ?2σP 3=P (μ?3σ类型1:(μ,μ+nσ]型,(n =1,2,3):P (μP n ,(n =1,2,3);如：P (μ类似也可求解(μ?nσ,μ]型,(n =1,2,3).类型2:(μ±nσ,+∞)型,(n =0,1,2,3):P (μ±nσ类似也可求解(?∞,μ±nσ)型,(n =0,1,2,3).类型3:(μ+kσ,μ+tσ)型,?3≤k <="">case 1:kt ≤0时P (μ+kσ×[P t +P |k |]case 2:kt ≥0时P (μ+kσ<="" ≤μ+tσ)="12×[P">1练习:1.若X N(μ,1)，求P(μ?3< bdsfid="97" p=""><>2.若X N(5,1)，求P(6< bdsfid="99" p=""><>3.若X N(1,1)，求P(3< bdsfid="101" p=""><>4.若X N(0,1)，求P(?3<x< bdsfid="103" p=""></x<>1.3应用问题1.某糖厂用自动打包机打包，包质量（单位：kg）目标以正态分布X N(100,1.22).（1）求质量在(98.8,101.2]内的糖包后的概率；（2）若一公司从该糖厂进货1500包，试估计在(98.8,101.2]内的糖包的数量。

正态分布及其经典习题和答案DOC

（1）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。

A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定答案：B 。

解析：由正态曲线的特点知。

（2）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（）A 32B 16C 8D 20 答案：B 。

解析:数学成绩是X —N(80,102)，80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭（31为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立，方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544．方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()454415143215143115132=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。

A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。

正态分布习题及答案 (2)

正态分布习题及答案习题一某机械工厂生产的产品质量服从正态分布，均值为200，标准差为20。

问：1.产品的质量指标在180到220之间的概率是多少？2.超过240的产品的概率是多少？答案1.产品的质量指标在180到220之间的概率可以通过正态分布的标准化计算。

首先计算180和220的标准分别为：$$ Z_1 = \\frac{180 - 200}{20} = -1 \\\\ Z_2 = \\frac{220 - 200}{20} = 1 $$2.然后查找标准正态分布表，查得Z1对应的累积概率为0.1587，Z2对应的累积概率为0.8413。

因此，产品的质量指标在180到220之间的概率为：Z(180<Z<220)=Z(−1<Z<1)=0.8413−0.1587=0.68263.超过240的产品可以通过正态分布的标准化计算。

首先计算240的标准分为：$$ Z = \\frac{240 - 200}{20} = 2 $$4.然后查找标准正态分布表，可得Z对应的累积概率为0.9772。

因此，超过240的产品的概率为：Z(Z>240)=Z(Z>2)=1−0.9772=0.0228习题二某考试的分数服从正态分布，均值为70，标准差为10。

假设该考试成绩近似服从正态分布，问：1.90分以上的考生占总人数的比例是多少？2.80分到90分之间的考生占总人数的比例是多少？答案1.90分以上的考生可以通过正态分布的标准化计算。

首先计算90的标准分为：$$ Z = \\frac{90 - 70}{10} = 2 $$2.然后查找标准正态分布表，可得Z对应的累积概率为0.9772。

因此，90分以上的考生占总人数的比例为：Z(Z>90)=Z(Z>2)=1−0.9772=0.02283.80分到90分之间的考生可以通过正态分布的标准化计算。

首先计算80和90的标准分别为：$$ Z_1 = \\frac{80 - 70}{10} = 1 \\\\ Z_2 = \\frac{90 - 70}{10} = 2 $$4.然后查找标准正态分布表，查得Z1对应的累积概率为0.8413，Z2对应的累积概率为0.9772。

正态分布例题

正态分布例题8.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它1x 0bx a )X (f 2且53)X (E =试确定系数a ，b ；并求D(X) 解：∵1dx )x (f =⎰∞+∞-；∴13ba )x 3b ax (dx )bx a (103102=+=+=+⎰534b 2a x 4b x 2a dx)bx a (x dx )x (xf )X (E 1042102=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+==⎰⎰∞+∞-∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+534b 2a 13b a ； ∴⎪⎩⎪⎨⎧==56b 53a ； ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它01x 0x5653)x (f 2x 256x 5153dx x 56dx x 53dx x 5653x )X (E )X (E )X (D 1051032104102102222-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎰⎰⎰9.设随机变量X 的密度函数为)0a (ax xa3a x 0)x (f 43>⎪⎩⎪⎨⎧>≤=求E(X)，D(X)，⎪⎭⎫⎝⎛-a X 32E ，⎪⎭⎫⎝⎛-a X 32D 解：x2a 3dx x a3dx xa 3x )X (E a333a43-==⋅=⎰⎰∞+--∞+[]22a132a23a4322a2a 3a 49xa 3a 49dx x a3xa 3x )x (E dx )x (f x )X (D =--=-=⋅=-⋅=∞+-∞+-∞+∞+⎰⎰⎰a a 2332a )X (E 32a X 32E =-⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-222a31a 4394)X (D 32a X 32D =⨯=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-11.设X~N (1, 26.0)，求P(X >0)，P(0.2<X<1.8)解：作变换：6.01X Y -=9525.0)667.1((1[1)667.1(1)667.1Y (P 1)667.1Y (P 6.0106.01X P )0X (P ==--=--=-≤-=->=⎪⎭⎫⎝⎛->-=>φφφP(0.2<X<1.8)＝9.021)333.1(2)333.1()333.1(6.08.0Y 6.08.0P 6.018.16.01X 6.012.0P ⨯=-⨯=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-<-φφφ12.设X~N (μ,2σ)，分别对P(μ-k σ<X<μ+k σ)＝0.95，0.90，0.99求相应的k 值，又k 取什么值时有P(X>μ－k σ)＝0.95 解：P(μ-k σ<X<μ+k σ)σμ-X ＝令：Y()()1)k (2)k ()k (k Y k P Y k P k X k P -=--=<<- ⎝⎛<<--=+<<-φφφσμσμσμσμ＝2φ(k)－1＝0.95 φ(k)＝0.975 k ＝1.962φ(k)－1＝0.90 φ(k)＝0.95 k ＝1.6452φ(k)－1＝0.99 φ(k)＝0.995 k ＝2.58P(X>μ－k σ)＝1－P(X ≤μ－k σ)＝1－⎪⎭⎫ ⎝⎛--σμσμφk ＝1－φ(－K)1－φ(－k)＝φ(k)＝0.95，K＝1.64513.对球的直径作测量，设其测量值均匀地分布在[a,b]内，求球体积的期望值解：均匀分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它b x a ab 1)X (f其中x 为直径，球的体积为：33x 612x 34ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛ )a b )(a b (24)a b ()a b (24dx x )a b (6dx a b 1x 61X 61E 2244b a 3b a 33++=--==-=-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰πππππ14.某产品的质量指标X~N (160, 2σ)单位：mm，若要求P(120<X<200)≥0.80，问允许σ最大为多少？解：X 遵从正态分布σ160X Y -=服从标准正态分布9.040402404040Y 40P 160200Y 160120P )200X 120(P ≥⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-= ⎝⎛-<<-=<<σφσφσφσφσσσσ则31.25≤≥σσ，28.140。

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