鸽笼原理及其应用

鸽笼原理及其应用

鸽笼原理是组合数学中最基本的计数原理之一，它是解决许多涉及存在性问题的有用工具.十九世纪德国数学家Dirichlet 曾用该原理证明过数学命题，因此也称为Dirichlet 原理.许多关于组合数学方面的教材给出了鸽笼原理的简单形式，一般形式以及加强形式.下面我们就这三个不同层次分别展开来看其等价形式，并对解决同一问题加以比较以取得最优方法.(为对比方便，以下不论是定理还是推论均以形式命名)

1鸽笼原理的种种形式

1.1 鸽笼原理的简单形式

形式1

[]()1711P (通俗表述) 如果n ＋1只鸽子飞进n 个鸽笼，则必有一个鸽笼，该鸽笼里至少有2只鸽子.

形式2[]()1711P 设A 是有限集，A ≥1+n ，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1n

i

i A =U ＝A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥2.

证明 用反证法.设i A ≤1(i ＝1，2，… ，n )，有A ＝Y n i i A

1=≤∑=n i i A 1≤n ，这与A ≥1

+n 的假设矛盾，所以必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥2.证毕.

[]()1711P 形式3[]()P715 若R 是从A 到B 的关系，则有

(1)存在a ∈A ，使)(a R ≥R /A ；

(2)存在a ∈A ，使)(a R ≤R /A ；

(3)存在b ∈B ，使)(1b R -≥R /B ；

(4)存在b ∈B ，使)(1b R -≤R /B .

说明 一组数不可能都大于(或小于)其平均数.

形式4[]()P715 若f :A →B 是一函数且A ＝B ＋1，则存在b ∈B ，使|1-f (b )|≥2.

形式5 设n 个元素按任一确定的方式分成m 个集合，如果m ＜n ，那么必有一个集合至少含有两个元素.

形式6[]()P2123 设A 、B 为两个有限集合，若A ＞B ，则从A 到B 的任意函数f :A →B ，必有1a ，2a ∈A ，且1a ≠2a ，使得f (1a ) ＝f (2a ).

结合以上几种形式，我们通过例题来看一下具体应用.

例1 任给n （n ＞1）个自然数，其中必有两个数的差是　n －1的倍数. []()P96

证明一（通俗证明） 任意一个自然数被　n －1除的余数只能是0，1，2，… ，n －2共　n －1种，根据所得余数，可以把所有自然数分为　n －1类:{余数为0的自然数}，{余数为1的自然数}，… ，{余数为n －2的自然数}，把它们看作　n －1个鸽笼，余数相同的自然数在同一笼里.任取n 个数则必有两个数出自同一鸽笼中，也就是这两个数除以n －1所得余数相同，所以用大数减去小数，它们的差就是　n －1的倍数.证毕. []()P96

证明二（用形式2） 设A ＝{1a ，2a ，… ，n a }，(i a 为任给的n 个自然数)，i A ＝{被　n －1除余数为i 的自然数j a ，i ＝0，1，… ，n －2}，因为 A ＝n ，

∑-20n i ＝i A ＝　n －1，所以由形式2，

则必有正整数k (1≤k ≤　n －1)，使得|k A |≥2.即至少存在2个自然数，不妨设为k a ，l a ，被　n －1除余数为k ，则　n －1整除k a －l a .证毕.

证明三（用形式4） 设A ＝{1a ，2a ，… ，n a }，(i a 为任给的n 个自然数)，B ＝{0b ，1b ，… ，

2-n b }，（j b 为i a 被　n －1除余数为j 的自然数），f :A →B 是一函数且A ＝B ＋1， 则由形式4，则存在b ∈B ，使|1-f (b )|≥2.不妨设f (1a )＝f (2a )＝b （见形式6），则　n －1整除1a －2a .证毕.

从这道例题的证明中可看出证明一有些烦琐，没有证明二，三那么简洁明了，另外我们可以看到证明三综合了两种形式，这就使得该题的解决更加简单且容易理解和掌握.

1.2鸽笼原理的一般形式

形式7[]()P1741 如果m （m ≥2）只鸽子飞进n 个笼子，则必有一个笼子，该笼子里至少有11+⎥⎦

⎥⎢⎣⎢-n m 只鸽子. 形式8[]()P1741 设A 是m （m ≥2）元集，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1n

i

i A =U = A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥11+⎥⎦

⎥⎢⎣⎢-n m .

证明 用反证法.设i A ≤⎥⎦

⎥⎢⎣⎢-n m 1 (i ＝1，2，… ，n )，则i A ≤n

m 1-(i ＝1，2，… ，n )，从而A ＝Y n i i A 1

=≤∑=n i i A 1≤n ·n m 1-＝1-m ，这与A ＝m 的假设矛盾.所以必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥11+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m .证毕. []()P1741

例2 一写着 “马（H ）”，“兵（S ）”，“炮（C ）”的牌，一套牌是指三马，三兵，三炮，或马兵炮，试证:任意5张牌中必存在一套牌. []()P715

证明 ①若5张牌不缺花式，则存在一套马兵炮牌，结论得证.

②证明一（用形式8）:若缺一种花式，比如H ，设A ＝{1a ，2a ，3a ，4a ，5a }代表5张牌之集，B ＝{S ，C}代表两种花式之集.由于A ＝5，i A ⊆A (i ＝1，2)且Y 2

1=i i

A ＝A ，所以由形式8 ，必有正整数k (1≤k ≤5)，使得|k A |≥1215+⎥⎦

⎥⎢⎣⎢-＝3.证毕. 若用形式1证明②，可看作5只鸽子飞进2个鸽笼，则必有一个鸽笼里至少有两只鸽子，很明显，这样得不出要证的结论，所以用形式1证明该题不可行.

同理，用形式2，形式5和形式6均得不出结论，可见选择形式对解问题还是很重要的.那么②的证明方法就此一种吗？不是的，下面介绍它的其他证明形式.

形式9 把多于m ×n 只鸽子，按任意确定的方式分放在n 个鸽笼里，那么至少有一个鸽笼有m ＋1或多于m ＋1只鸽子.

我们用形式9来证明例2②

证明二（用形式9） 把两种花式作为两个鸽笼，n ＝2，而5＞2×2，所以由形式9，m ＝2，则至少有一个鸽笼有3或多于3只鸽子，即5张牌中必存在一套牌.证毕.

在第三部分将介绍它的加强证明形式.

形式10 设有无穷多只鸽子按任一确定方式分成有限个鸽笼，那么至少有一个鸽笼含有无穷多只鸽子.

形式11

[]()P725 设f :A →B 是可列无穷集A 到有限非空集B 的函数，则必存在b ∈B ，使|1-f (b )|为可列无穷集.