几何与代数历年真题

几何与代数历年真题

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0１－０2学年第二学期

几何与代数期终考试试卷

一(３0%）填空题：

1． 设(1,2)α=,(1,1)β=-,则T

αβ= ；T

αβ== ; 100

()

T

αβ= ；

2． 设矩阵120031130A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,234056007B ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则行列式1AB -= ；

3． 若向量组123,,ααα线性无关,则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关;

4． 矩阵11110

11100110001A ⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪

⎪⎝⎭的伴随矩阵*

A =⎛

⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪⎝

⎭

; 5． 设矩阵A 及A E +均可逆,则1

()G E A E -=-+，且1

G -= ；

6． 与向量(1,0,1)α=,(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ;

7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ；

8． 设实二次型222

12312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1

f x x x =是椭球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。

二（8%）记1π为由曲线230

z y x ⎧=-⎨=⎩绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的

交线为准线，母线平行于z －轴的柱面。试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图(应标明区域边界与坐标轴的交点）

。 三(8％)求经过直线22

21x y z x y z +-=⎧⎨-+-=⎩

且与x y -平面垂直的平面方程．

四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解,其中，

311101010,321003A B ⎛⎫

-⎛⎫ ⎪

== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪

⎝⎭

.

五（12%)设线性方程组

12341234234

1234

03552

232(3)1

x x x x x x x x x px x q x x x p x +

++=

⎧⎪+++=⎪⎨

-+-=⎪⎪++++=-⎩

1． 问:当参数,p q 满足什么条件时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?

2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解。

六（12％）设矩阵11113120132A k ⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪--⎝⎭

，已知()2A =秩。

1． 求参数k 的值；

2． 求一42,,()2;B AB O B ⨯==矩阵使得且秩

3． 问:是否存在秩大于2的矩阵M 使得O AM =?为什么？ 七（1２%)设实对称矩阵

001100.1001A k B l ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

与相似

1． 求参数,k l 的值；

2． 求一正交阵,.T

Q Q AQ B =使得

八（6%)已知n 阶方阵A 相似于对角阵,并且，A 的特征向量均是矩阵B 的特征向量。证明:AB BA =。

02－０3学年第二学期

几何与代数期终考试试卷

一． 填空题、单选题(每小题３分,共3６分）

1．[]2002

105132⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥-=⎨⎬

⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭

⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

; 2．1230110002-⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪

⎝⎭

⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

; 3.若A 是正交矩阵,则行列式3T A A = ;

４．空间四点(1,1,1)A ,(2,3,4)B ,(1,2,)C k ,(1,4,9)D -共面的充要条件是k = ； 5.点(2,1,1)P -到直线11:221x y z l -+==- 的距离为 ;

６．若4阶方阵A 的秩为２,则伴随矩阵A *的秩为 ；

7．若可逆矩阵P 使AP PB =,1203B -⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，则方阵A 的特征多项式为 ；

8.若３阶方阵A 使,2,3I A I A A I --+都不可逆,则A 与对角阵 相似(其中,I 是3阶单位阵）;

9.若0111

120A x y ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

与对角阵相合，则(,)x y = ； 1０．设()1234,,,A A A A A =,其中列向量124,,A

A A 线性无关,31242A A A A =-+,则齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系是 ;

11.设,A B 都是３阶方阵,AB O =，()()2r A r B -=，则()()r A r B +=（ ) （A)5; （B ）4; （Ｃ)3; （D)2

12.设n 阶矩阵A 满足2

2A A =，则以下结论中未必成立的是( ) (Ａ)A I -可逆,且1

()

A I A I --=-；

(B)A O =或2A I =；

（Ｃ)若2不是A 的特征值,则A O =；