第二讲_复变函数与解析函数

例2 求 f(z)zzzz在 z0时的.极限 f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3 证明 f(z)Rezz在z0时的极限不 . 存
3.函数的连续性
定义
若limf zz0
(z)
f
(z0)，
则f称 (z)在z0处
连;续
若 在 区D域 内 处 处 连 续 ， f (z则 )在D称 内 连;续
定义域
函数值集合
称 w为 z的象 (映点 )， 象z而 称w 为 的原象。
y
(z)
v
(w)
w=f(z)
G w=f(z)
z
G* w
o
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.
zz0
zz0
zz0
lim f (z)g(z) lim f (z) limg(z) AB
zz0
zz0
zz0
lim
f (z)
Baidu Nhomakorabea
lim
zz0
f (z)
(limg(z) 0)
A
zz0 g(z) lim g(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1 证明 wx2 yi(xy2)在平面上处处. x2 y, x y2在平面上处处有极限
zG w f (z) wG*
一(或 个几 )z G 个 z (w ) wG*
则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.
显然w 有 f[(w)] wG*
当反函数 z单 [f(值 z)] 时 zG(一z般 [f(z)])
当函(映 数射 )w f(z)和其反(函 逆数 映)射
z(w)都是单值的，(则 映称 射 )w函 f(数 z)
则lz z i0fm (z) A u 0 i0 v ( (x x ,,y y ) l) l ( (ix ix 0 0 ,,y y m m 0 0 ) )u v ( (x x ,,y y ) ) v u 0 0
定理2
若lim f (z) A limg(z) B,则
zz0
zz0
lim f (z) g(z) lim f (z) limg(z) A B
例2 若已 f(z)x 知 1 x 2 1y2 i y 1 x 2 1y2 将f(z)表示z成 的函. 数
设 zx i,y 则 x1(z z)y ,1(z z)
2
2 i
f (z) z 1 z
2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
zG(z平)面 w f (z)wG *(w 平面） (变 的 )换 .
1. 函数的极限
定义 设w f(z), zU(z0,),若存在 A， 数 0,
（）,当0 （0)
zz0
时,有f(z)A,
则
称 A为f(z)当zz0时
的
极
限
， lim 记f(z作 )A zz0
或当 zz0时， f(z)A
几何意义:
y
(z)
当变点z一旦进
v
(w)
入z0 的充分小去
w f(z)
z0
o
xo
是 一 一 的 。 也 G与 称集 集G合 合 是 一 一 对 应 的
例 已知映射w= z3 ，求区域 0<argz< 在平面w上的象。 3
例 已知w 映 1射 ,判:断 z平面 上x的 2y曲 21被 线 z
映 射w平 成面 上 怎?样 的 曲 线
§6 复变函数的极限与连续性
1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性
若z一 个 w值 ，f称 (z)是 单 值 函 数 ; z多 个 w值 ，f称 (z)是 多 值 函 数 .
今后无特别声明， 论所 的讨 函数均为单值 。函
G—f(z)的定义集合，常 面常 区是 域平 （定义
G*{wwf(z),zG}— 函数值集合
zxiy (x,y);wuiv (u,v) wf(z)f(xiy)
心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
A
一个预先给定的
u ε邻域中
(1) 意义中 z 的方z0式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
(3) 若f(z)在 z 0 处有极限,其极限是唯一的.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：
定理1 设 f ( z ) u ( x ,y ) i( x v ,y )z x iz y 0 x 0 i0 y
u(x,y)iv(x,y)
故 u u (x ,y )v v (x ,y )
w f ( z ) u i v u u ( x , y )v v ( x , y )
例1 wz2 令 zxiywuiv 则 w(uiv )(xiy )2x2y22xyi
w z2 u x 2 y 2 v 2 xy
以下不再区分函数与映射（变换）。
例3 研究wz所构成的映 . 射
解 设 zr(co issin )rie
zr e i —关于实轴对称的一个映射 ➢见图1-1~1-2
例4 研究weiz (实常数）所构成的. 映射
解 设 z ri e w e i z e i ri e ri( e )
w uiv (co issin )x (i)y (xco sysin )i(xsin ysin ) 即，
uxcos ysin vxsinysin
—旋转变换(映射)
➢见图2
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)
o
x、u
x、u
图1-2
o 图2
例5 研究w z2 所构成的映. 射
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称w z为z=w2的反函数或逆映射
2k
w z ze 2 (k0,1)∴为多值函数,2支.
定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*
第二讲 复变函数与解析函数
§5 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设G是 一 个 复 z数 xiy的 非 空 集 ,存合在 法 f ,使 得zG,就 有 一 个 或w几u个iv与 之 对, 应 则 称 复 变 w是数复 变z的 数函 数 （ 简 称 复 ）变 记 作w f(z).