2018年九年级数学上册专题突破讲练三招教你求阴影面积试题新版青岛版

合集下载

九年级数学求阴影部分的面积

分割法应用举例
在处理不规则多边形或复杂组合图形时，可以通过分割法将其划分为几个三角形、矩形等简单图形，然后利用基本图形的面积公式进行计算。
添补法简化计算过程
添补法原理
在组合图形中添加一些辅助线或基本图形，使得阴影部分形成一个规则的、易于计算面积的基本图形，然后减去添加部分的面积，得到阴影部分的面积。
提高综合运用能力，培养创新思维
综合运用多种方法
在实际问题中，可能需要综合运用多种方法来求解阴影部分面积。因此，要熟练掌握各种方法，并能够根据问题的特点选择合适的方法。
培养创新思维
在求解阴影部分面积时，要敢于尝试新的方法和思路。通过不断地尝试和创新，可以锻炼自己的思维能力和创新能力。
06 练习题与答案解析
添补法应用举例
在处理一些具有对称性或旋转性的组合图形时，可以通过添补法将其转化为一个完整的、规则的图形，然后利用基本图形的面积公式进行计算。
等积变换思想在解题中体现
等积变换原理
通过图形的平移、旋转、对称等变换，使得阴影部分与某个已知面积的基本图形重合或相等，从而直接得到阴影部分的面积。
等积变换应用举例
1 2
圆的定义及性质
圆是平面上所有与给定点（中心）距离相等的点的集合。
扇形的定义
由两个半径和它们所夹的弧围成的图形叫做扇形。
3
圆心角、弧长与半径的关系
圆心角的度数等于它所对弧长与半径的比值乘以 180。
弧长、圆心角及扇形面积计算
弧长公式
应用举例
弧长 = (圆心角/360°) × 2πr，其中r 为半径。
分。
02
三角形中的阴影部分
当三角形中有一部分被其他图形遮挡时，被遮挡的部分即为阴影部分。

【推荐必做】九年级数学上册专题突破讲练三招教你求阴影面积试卷 (新版)青岛版

三招教你求阴影面积在近年的中考或各类数学竞赛中，频频出现求阴影面积的题目，而其阴影部分图形大多又是不规则的，部分同学乍遇这类题目则显得不知所措．求不规则图形面积主要是通过转化，将不规则图形转化为规则的图形，再进行计算．以下三招可以助你一臂之力！第一招：直接法将不规则图形直接转化为规则的图形的求和或求差，先求出涉及适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．这是求面积的常用方法．不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，其中： 1. 扇形的定义：如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形．2. 扇形面积公式：若设⊙O 半径为R ，则圆心角为n°的扇形的面积公式为：2360n R S π=扇形又因为n °的圆心角所对的弧长为：180n R π，所以21=3602n R S lR π=扇形．说明：公式中n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；例如：如图，扇形AOB 的圆心角为直角，若OA ＝4cm ，以AB 为直径作半圆，求阴影部分的面积．解析：图中阴影部分面积为：以AB 为直径的半圆面积减去弓形AmB 面积；而弓形面积等于扇形AOB 面积减去△AOB 面积．解：∵OA ＝4cm ，∠O＝90°，OB ＝4cm ，∴ππ4360490S 2AOB=⨯=扇形（cm 2），又)cm (24AB =，所以)cm (4222S 22ππ=⋅=）（半圆，而22A O B cm )84(S ),cm (8S -==∆π弓形所以，故28cm 8)4(4S S S =--=-=ππ弓形半圆阴．第二招：割补法1. 把阴影部分的图形通过割补，拼成规则图形，然后再求面积．例如：如图（1），在以AB 为直径的半圆上，过点B 做半圆的切线BC ，已知AB=BC=a ，连结AC ，交半圆于D ，则阴影部分图形的面积是______．解析：图中两块阴影部分图形都是不规则图形，但因AD DB S S =弓形弓形，所以可进行割补转化．解：连接DB ，因为AB=BC ， BD AC ⊥，如图（2），所以 AD=DB=DC ，所以AD DB S S =弓形弓形把弓形AD 割补到弓形DB 处，则图（1）中阴影部分图形的面积等于图（2）中Rt△BDC 的面积．因此2111224S a a a =⋅=阴． 2. 当阴影部分图形为分散的个体时，可针对其结构特征，视各阴影部分图形为一个整体，然后利用相关图形的面积公式整体求出．例如：如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E 相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？解析：由题意知，五个扇形（阴影部分）的半径都是1，是等圆，可把五个扇形割补到同一个圆中．解：因为，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°所以2540133602S ππ⨯⨯==阴．第三招：等积变形把所求阴影部分的图形适当进行等积变形，即是找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分图形的面积．例如：如图，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，点B 是切点，弦BC∥OA，连结AC ，求图中阴影部分的面积．解析：图中阴影部分可看作弓形BC 面积与三角形ABC 面积的和，而△ABC 不是Rt△，所以考虑借助OA∥BC 将△ABC 移形，连接OC 、OB ，则S △OCB ＝S △ACB ．则阴影部分面积为扇形AOB 面积．解：连接OB 、OC ，如图，因为BC∥OA，所以△ABC 与△OBC 在BC 上的高相等，所以OBC ABC S S ∆∆=，所以扇形阴S S =，又∵AB 是⊙O 的切线，所以OB⊥AB，而OB ＝2，OA ＝4，所以∠AOB ＝60°，由BC∥OA 得∠OBC＝60°，所以△OBC 为等边三角形，∠BOC＝60°，S BOC扇形×=2=60360232ππ．例题如图，AB 、CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点O 1、O 2、O 3、O 4分别OA 、OB 、OC 、OD 的中点，若⊙O 的半径是2，则阴影部分的面积为（）A. 8B. 4C. 4π+4D. 4π－4解析：如图将AD、DB、BC、CA、OE、O3E连接起来，得到一个对角线为4的正方形，由割补法：将每个小圆外面两个弓形图形放进正方形空白处，阴影面积正好是正方形面积．解：连接AD，DB，BC，CA，1=4482ABCDS S=⨯⨯=阴影面积．故选A．答案：A点拨：求解一些几何图形的面积，特别是不规则几何图形的面积时，常可通过变换等，把不规则图形转化为规则的图形，使复杂问题简单化，这种解题方法也体现了整体思想、转化思想．割补法是转化法的一种．求旋转问题中的阴影面积满分训练（江苏中考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝2cm，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A1B1C的位置，则线段AB扫过区域（图中阴影部分）的面积为 cm2．解析：阴影部分的图形是不规则的图形，求面积时应想到利用图形的割补或利用特殊图形的面积的和或差来求．解：∵∠BAC＝90°，∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝52＋22＝29．∴S 阴影＝S 扇形BCB1＋S △A1B1C －S △ABC －S扇形ACA1 ．∵△ABC 旋转得到△A 1B 1C ，∴S △ABC ＝S △A1B1C ，∴S 阴影＝S 扇形BCB1－S 扇形ACA1＝4529360π－2452360π＝258π（cm 2），故答案为258π．答案：258π 点拨：扇形面积的计算公式：S ＝2360n R π，S ＝12lR ，求阴影面积（或不规则图形面积）时常用图形割补的方法（图形变换），或用几个特殊图形的面积的和或差来求．利用旋转变换将所求面积转化为两个扇形的面积之差是解题关键。

专题求阴影部分的面积---四种方法(五大题型)(解析版)

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题求阴影部分的面积---四种方法【典例一】（2023•锦州）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ABC ＝40°，连接OA ，OC ．若⊙O 的半径为3，则扇形AOC （阴影部分）的面积为（）A ．23πB ．πC ．43πD ．2π【分析】先由圆周角定理可得∠AOC 的度数，再由扇形的面积公式求解即可．【解答】解：∵∠ABC ＝40°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝80°，∴扇形AOC 的面积为80×π×32360=2π，故选：D ．【点评】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得∠AOC 的度数是解答此题的关键．【变式1-1】（2023•新抚区模拟）如图，正五边形ABCDE 边长为6，以A 为圆心，AB 为半径画圆，图中阴影部分的面积为（）A ．185πB ．4πC ．545πD ．12π【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵正五边形的外角和为360°，解题技巧提炼所求阴影部分是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解.∴每一个外角的度数为360°÷5＝72°，∴正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°，∵正五边形的边长为6，∴S阴影=108⋅π×62360=545π，故选：C．【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．【变式1-2】（2023•大武口区模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB=A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为　．【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，AB＝AE DE，即可证得∠DAE＝45°，进而求得∠BAE＝45°，再求出扇形ABE的面积，即可得出答案．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝1，AB∴∠D＝∠DAB＝90°，∵AE＝AB，∴DE1，∴AD＝DE，∴∠DAE＝45°，∴∠BAE＝45°，∴阴影部分的面积S＝S扇形ABE=π4．故答案为：π4．【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和勾股定理等知识点，能求出∠EAB 的度数是解此题的关键．【变式1-3】如图，有公共顶点O 的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O 点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（）A ．4πB ．185πC ．3πD ．52π【分析】利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：S 阴=(360108×2)⋅π⋅32360=18π5，故选：B ．【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式1-4】（2022•二道区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交边AB 于点D ，以点B 为圆心，BD 长为半径画圆弧，交边BC 于点E ，若AC ＝2，则图中阴影部分图形的面积和为（结果保留π）．【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积S ＝S 扇形BDE +S 扇形ACD ．【解答】解：在Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，∴∠B ＝30°，AB ＝2AC ＝4，∴BC =∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BDE +S 扇形ACD =30π×22360+60π×22360=π，故答案为：π．【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-5】（2023•三台县模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．3πC D【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC ＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=AC＝可得到阴影部分的面积．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF=(62)×180°6=120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠BAC=12（180°﹣∠ABC）=12×（180°﹣120°）＝30°，过B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BH=12AB=12×2＝1，在Rt△ABH中，AH=∴AC＝同理可证，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∴S扇形CAE=2π，∴图中阴影部分的面积为2π，故选：A ．【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．【典例二】（2022秋•恩施市期末）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为边AB 的中点，以点A 为圆心，线段AD 的长为半径画弧，与AC 边交于点E ；以点B 为圆心，线段BD 的长为半径画弧，与BC 边交于点F ．若BC ＝6，AC ＝8，则图中阴影部分的面积为（）A ．48―25π2B ．48―25π4C ．24―25π2D ．24―25π4【分析】根据勾股定理得到AB=10，根据线段中点的定义得到AD ＝BD ＝5，根据扇形和解题技巧提炼将不规则阴影部分看成是以规则图形为载体的一部分，其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解.三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB==10，∠A+∠B＝90°，∵点D为边AB的中点，∴AD＝BD＝5，∴图中阴影部分的面积=12×6×8―90⋅π×52360=24―25π4，故选：D．【点评】本题考查了扇形面积的计算，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．【变式2-1】（2023•北京模拟）如图，以O为圆心AB为直径的圆过点C，C为弧AB的中点，若AB＝4，则阴影部分面积是（）A．πB．2+2πC．2πD．2+π【分析】求出∠AOC＝∠BOC＝90°，OA＝OC＝OB＝2，求出阴影部分的面积＝S扇形AOC，再根据扇形的面积公式求出答案即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，C为AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵AB＝4，∴OA＝OC＝OB＝2，∴S△AOC ＝S△BOC=12×2×2=2，∴阴影部分的面积S＝S△COB +S扇形AOC﹣S△AOC＝S扇形AOC =90π×22360=π，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n °，半径是r ，那么这个扇形的面积=nπr 2360．【变式2-2】（2023•蜀山区校级三模）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角∠O ＝120°形成的扇面，若OA ＝4m ，OB ＝2m ，则阴影部分的面积是（）A ．43πB ．83πC ．4πD ．163π【分析】利用扇形面积公式，根据S 阴影＝S 扇形AOD ﹣S 扇形BOC 即可求解．【解答】解：S 阴影＝S 扇形AOD ﹣S 扇形BOC=120π⋅OA 2360―120π⋅OB 2360=120π(OA 2OB 2)360=π(4222)3＝4π（m 2），故选：C ．【点评】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．【变式2-3】（2022秋•松滋市期末）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC ＝30°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为（）A ．π3―B ．2π3―C ．2π3―D ．π3―【分析】根据S 阴＝S 扇形OBC ﹣S △OBC ，计算即可．【解答】解：∵∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，∴S 阴＝S 扇形OBC ﹣S △OBC =60⋅π×22360―12×2×=23π―故选：B ．【点评】本题考查扇形的面积，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式2-4】（2022秋•鄞州区期末）如图，扇形AOB 圆心角为直角，OA ＝10，点C 在AB 上，以OA ，CA 为邻边构造▱ACDO ，边CD 交OB 于点E ，若OE ＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（）A ．10π﹣8B ．5π﹣8C ．25π﹣64D ．50π﹣64【分析】连接OC ．利用勾股定理求出EC ，根据S 阴＝S 扇形AOB ﹣S 梯形AOEC ，计算即可．【解答】解：连接OC ．∵四边形OACD 是平行四边形，∴OA ∥CD ，∴∠OEC +∠EOA ＝180°，∵∠AOB ＝90°，∴∠OEC ＝90°，∴EC =6，∴S 阴＝S 扇形AOB ﹣S 梯形OECA =90π×102360―12×（6+10）×8＝25π﹣64．故选：C ．【点评】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．【变式2-5】（2023•双柏县模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 的中点，以B 为圆心，BE 为半径作弧，交BC 于点F ，连接DE 、DF ，若AB ＝2，∠A ＝60°，则图中阴影部分的面积为（）A ．π3B π3C π3D ―2π3【分析】连接AC ，根据菱形的性质求出∠BCD 和BC ＝AB ＝2，求出AE 长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝2，∠A ＝60°，点E 是AB 的中点，∴△ABD 是等边三角形，DE ⊥AB ，∠ABC ＝120°，BE ＝1，∴DE BF ＝1，DF =DF ⊥BC ，∴阴影部分的面积S ＝S △BDE +S △BDF ﹣S 扇形BEF ＝2―120π×12360=π3，故选：B ．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出△AEC 、△AFC 和扇形ECF 的面积是解此题的关键．【变式2-6】（2022秋•余杭区校级月考）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结AC ，BC ．（1）求证：∠ACO ＝∠BCD ；（2）若CD ＝6，∠A ＝30°，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据垂径定理得到BC=BD，根据圆周角定理证明结论；（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴BC=BD，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD；（2）解：∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=12CD＝3，在Rt△COE中，OC=CEsin60°=∴扇形OAC（阴影部分）的面积=4π，答：阴影部分的面积为4π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．【典例三】（2023•大同模拟）如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，半径OA ＝3，将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，使点O 恰好落在AB 上的点D 处，折痕为BC ，则阴影部分的面积为（）AB ．9π4―C ．π34D ．3π34【分析】连接OD ，可得△OBD 为等边三角形，再求出∠COD 以及OC ，得到三角形BOC 的面积，又因为△BOC 与△BDC 面积相等，最后利用S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S △BOC ﹣S △BDC 求解即可．【解答】解：如图，连接OD ，根据折叠的性质，CD ＝CO ，BD ＝BO ，∠DBC＝∠OBC ，∴OB ＝BD ＝OD，解题技巧提炼先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算.∴△OBD 为等边三角形，∴∠DBO ＝60°．∵∠CBO =12∠DBO ＝30°，∵∠AOB ＝90°，∴OC ＝OB •tan ∠CBO ＝3=∴S △BOC =12OB •OC =∵△BOC 与△BDC 面积相等，∴S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S △BOC ﹣S △BDC=14π×32=9π4―故选：B ．【点评】本题考查与扇形有关的不规则图形的面积求法，掌握割补法求面积是解题的关键．【变式3-1】（2023•乡宁县二模）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC ＝30°，在直径AB 上截取AD ＝AC ，延长CD 交⊙O 于点E ，若CE ＝2，则图中阴影部分的面积为（）A B ．π2―1C ．π﹣2D ．π2【分析】连接OE ，OC ，BC ，推出△EOC 是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．【解答】解：连接OE ，OC ，BC ，由旋转知AC ＝AD ，∠CAD ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∠ACE ＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE ＝90°﹣∠ACE ＝15°，∴∠BOE ＝2∠BCE ＝30°，∴∠EOC ＝90°，即△EOC 为等腰直角三角形，∵CE ＝2，∴OE ＝OC =∴S 阴影＝S 扇形OEC ﹣S △OEC ―12×=π2―1，故选：B ．【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．【变式3-2】（2022秋•合川区期末）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接BC ．若BO =BC =2 ．【分析】证明△OBD 是等边三角形，根据S 阴＝S △DEB +（S 扇形DOB ﹣S △BOD ）求解即可．【解答】解：连接BD ．∵OC ＝OB ＝BC ＝∴△OBC 是等边三角形，∵CD ⊥AB ，AB 是直径，∴BC =BD ，∴BC ＝BD ＝OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵DE ⊥OB ，∴OE ＝EB∴DE ＝∴S 阴＝S △DEB +（S 扇形DOB ﹣S △BOD ）=12×（2＝4π﹣故答案为：4π﹣【点评】本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是理解性质和定理，注意掌握扇形的面积公式．【变式3-4】（2023•如皋市一模）如图，⊙O 的直径AB ＝8，C 为⊙O 上一点，在AB 的延长线上取一点P ，连接PC 交⊙O 于点D ，PO ＝OPC ＝30°．（1）求CD 的长；（2）计算图中阴影部分的面积．【分析】（1）作OE ⊥CD 于点E ，连接OC ，OD ，根据垂径定理得CE ＝DE ，再根据PO ＝OPC＝30°，得OE ＝（2）根据阴影部分的面积为扇形COD 的面积减去△COD 的面积即可．【解答】解：（1）作OE ⊥CD 于点E ，连接OC ，OD ，∴CE ＝DE ，∵PO ＝OPC ＝30°，∴OE =12PO ＝∵直径AB ＝8，∴OD ＝4，∴DE ==2，∴CD ＝2DE ＝4；（2）∵OD ＝2DE ，∴∠DOE ＝30°，∴∠COD ＝60°，∴阴影部分的面积为60π×42360―12×4×=8π3―【点评】本题考查了垂径定理，扇形面积的计算，含30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．【变式3-5】（2023•蒙阴县一模）已知AB 是圆O 的直径，半径OD ⊥BC 于点E ，BD 的度数为60°．（1）求证：OE ＝DE ；（2）若OE ＝1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BD ，证明△OBD 是等边三角形，可得结论；（2）根据S 阴＝S 扇形AOC +S △COE ，求解即可．【解答】（1）证明：连接BD ，∵BD 的度数是60°，∴∠BOD ＝60°，∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵OD ⊥BC ，∴OE ＝DE ；（2）解：连接OC ．∵OD ⊥BC ，OC ＝OB ，∴∠COE ＝∠BOE ＝60°，∴∠OCE ＝30°，∴OC ＝2OE ＝2，∴CE =∴S 阴＝S 扇形AOC +S △COE =60π⋅22360+12×1=2π3【点评】本题考查了扇形面积、三角形的面积的计算，正确证明△BOD 是等边三角形是关键．【变式3-6】（2023•长沙模拟）如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为点E ，OF ⊥AC ，垂足为点F ，BE ＝OF ．（1）求证：AC ＝CD ；（2）若BE ＝4，CD ＝【分析】（1）根据AAS 证明△AFO ≌△CEB 即可判断；（2）根据S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD 计算即可．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC =BD ，CE =12CD ，∴∠A ＝∠DCB ，∴OF ⊥AC ，∴∠AFO ＝∠CEB ，AF =12AC ，∵BE ＝OF ，∴△AFO ≌△CEB （AAS ），∴AF ＝CE ，∴AC ＝CD ；（2）∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE =12CD ＝设OC ＝r ，则OE ＝r ﹣4，∴r 2＝（r ﹣4）2+（2∴r ＝8，连接OD ，如图，在Rt △OEC 中，OE ＝4=12OC ，∴∠OCE ＝30°，∠COB ＝60°，∴∠COD ＝120°，∵△AFO ≌△CEB ，∴S △AFO ＝S △BCE ，∴S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD=120π×82360―12×4=643π﹣【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE 的度数是解决本题的关键．【典例四】（2023•凤台县校级三模）如图，点B 在半圆O 上，直径AC ＝10，∠BAC ＝36°，则图中阴影部分的面积为（）A ．5πB ．52πC ．10πD ．54π【分析】先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形得到△AOB 的面积与△COB的面积相解题技巧提炼通过对图形的变换，为利用公式法或和差法求解创造条件.有两种方法：（1）直接等面积转化法（2）平移转化法（3）对称转化法（4）旋转转化法等，从而把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积，再根据扇形面积计算公式求出即可．【解答】解：∵点O 是AC 的中点，∴线段BO 是△ABC 的中线，∴S △AOB ＝S △COB ，∴S 阴影＝S 扇形OBC ，∵∠BAC ＝36°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝72°，∵直径AC ＝10，∴OC ＝5，∴S 扇形OBC =72π×52360=5π，∴S 阴影＝5π，故选：A ．【点评】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，三角形的中线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．【变式4-1】（2023•孝义市三模）如图，AB 为半圆O 的直径，CD 垂直平分半径OA ，EF 垂直平分半径OB ，若AB ＝4，则图中阴影部分的面积等于（）A ．4π3B ．2π3C ．16π3D ．8π3【分析】根据图形可得，阴影部分的面积＝S 半圆﹣2S 扇形 ACO ，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：如图所示：连接OC ，∵CD 垂直平分半径OA ，∴AC ＝OC ，∵OC ＝OA ，∴OA ＝OC ＝AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠A ＝60°，∴S 阴影=12S ⊙O ﹣2S 扇形ACO =12×(AB 2)2π―2×60×(AB 2)2π360 =12×4π﹣2×16×4π＝2π―43π=23π．故选：B ．【点评】本题考查了扇形的面积计算，掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式是解题的关键．【变式4-2】（2023•锦州二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，DE ，若∠BED ＝45°，AB ＝2，则阴影部分的面积为（）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．π【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC ＝90°，再根据等腰三角形三线合一得出点E 是BC 的中点，从而得出OE 是△ABC 的中位线，于是OE ∥AB ，根据同底等高得到△AOD 和△AED 的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形AOD 的面积，根据扇形面积公式计算出扇形AOD 的面积即可得出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE，OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即点E是BC的中点，∵点O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，∴S△AOD ＝S△AED，∴S阴影＝S扇形OAD，∵∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∵∠BED＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°，∴S扇形OAD=90π×12360=π4，∴S阴影=π4，故选：A．【点评】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键．【变式4-3】（2023•东兴区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（）A ．512πB ．43πC ．34πD ．2512π【分析】根据AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED 的面积＝△ABC 的面积，得到阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，∴△ABC 为直角三角形，由题意得，△AED 的面积＝△ABC 的面积，由图形可知，阴影部分的面积＝△AED 的面积+扇形ADB 的面积﹣△ABC 的面积，∴阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积=30π×52360=2512π，故选：D ．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积是解题的关键．【变式4-4】（2023•郸城县模拟）如图，扇形ABC 圆心角为90°，将扇形ABC 沿着射线BC 方向平移，当点B 落到线段BC 中点E 时平移停止，若AC 的长为2π，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据S 阴影＝S 扇形DEF +S 矩形ABED ﹣S 扇形BAC ＝S 矩形ABED 求解即可．【解答】解：∵扇形ABC 圆心角为90°，AC 的长为2π，∴2π=90π⋅r 180，∴r ＝4，∴AB ＝BC ＝4，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝2，∴S阴影＝S扇形DEF+S矩形ABED﹣S扇形BAC＝S矩形ABED＝2×4＝8．故答案为：8．【点评】本题考查平移性质，扇形面积，熟练掌握求不规则图形面积，通过转化成规则图形面积的和差求解是解题的关键．【变式4-5】如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．求：（1）阴影部分的周长；（2）阴影部分的面积．（结果保留π）【分析】（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC的长，利用弧长公式可求解；（2）由面积的和差关系可求解．【解答】解：（1）阴影部分的周长是：2×12×2π×6+60π×12180＝12π+4π＝16π（厘米），答：阴影部分的周长为16π厘米；（2）∵阴影部分的面积是：S半圆+S扇形BAC﹣S半圆＝S扇形BAC，∴阴影部分的面积=60×π×144360=24π（平方厘米）．答：阴影部分的面积为24π平方厘米．【点评】本题考查了旋转的性质，弧长公式，扇形面积公式，掌握计算公式是解题的关键．【变式4-6】如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于点E ，OF ⊥AC 于点F ，BE ＝OF ．（1）求证：△AFO ≌△CEB ；（2）若BE ＝4，CD ＝①⊙O 的半径；②求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据AAS 即可判断；（2）①设 OC ＝r ，则 OE ＝r ﹣4，在Rt △OCE 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；②根据S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD 计算即可；【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC =BD ，∴∠A ＝∠DCB ，∴OF ⊥AC ，∴∠AFO ＝∠CEB ，∵BE ＝OF ，∴△AFO ≌△CEB （AAS ）．（2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE =12CD ＝设 OC ＝r ，则 OE ＝r ﹣4，∴r 2＝（r ﹣4）2+（2∴r ＝8．②连接 OD ．∵在Rt △OEC 中，OE ＝4=12OC ，∴∠OCE ＝30°，∠COB ＝60°，∴∠COD ＝120°，∵△AFO ≌△CEB ，∴S △AFO ＝S △BCE ，∴S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD=120⋅π⋅82360―12××4=643π﹣【点评】本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．【典例五】（2022秋•潼南区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，两弧分别交AB 于点D 、F ，则图中阴影部分的面积是　．解题技巧提炼有的阴影部分是由两个基本图形互相重叠得到的.常用的方法是：两个基本图形的面积-被重叠图形的面积=组合图形的面积.【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BCE 与扇形ACD 的面积之和与Rt △ABC 的面积之差．【解答】解：在Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，∴∠A ＝60°，AC =12AB ＝1，BC∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BCE +S 扇形ACD ﹣S △ACB 60π×12360―12×1×=5π12―故答案为：5π12【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式5-1】（2022秋•北碚区校级期末）如图，正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AB 为半径画弧，连接AC ，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AD 的延长线于点E ，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°，∠DAC ＝45°，∴AC =∴图中阴影部分的面积＝12×1×1]+（1×1―90π×12360）=12，故答案为12．【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．【变式5-2】（2023•平遥县二模）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，∠A ＝60°，将Rt △ACB 绕点C 顺时针旋转90°后得到Rt △DCE ，点B 经过的路径为BE ，将线段AB 绕点A 顺时针旋转60°后，点B 恰好落在CE 上的点F 处，点B 经过的路径为BF ，则图中阴影部分的面积是（）A π12B π12C +π12D ―π12【分析】根据S 阴＝S △ACB +S 扇形CBE ﹣S 扇形ABF 计算即可．【解答】解：S 阴＝S △ACB +S 扇形CBE ﹣S 扇形ABF=12×1×60⋅π⋅22360+π12，故选：A ．【点评】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．【变式5-3】如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，以C 为圆心、BC 长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：连接BE ，∵AB 为直径，∴BE⊥AC，∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴BE＝AE＝CE，∴S弓形AE ＝S弓形BE，∴图中阴影部分的面积＝S半圆―12（S半圆﹣S△ABE）﹣（S△ABC﹣S扇形CBF）=12π×22―12（12π×22―12×12×4×4）﹣（12×4×4―45π×42360）＝3π﹣6，故答案为3π﹣6．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式5-4】（2022•射洪市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝∠C＝90°，∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝4，∴图中阴影部分的面积＝S扇形FCD ﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAE）=90π×62360―（6×4―90π×42360）＝13π﹣24，故答案为：13π﹣24．【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．。

九年级数学人教版(上册)小专题15 四种方法求阴影部分的面积

方法 2 和差法 ★直接和差法
将不规则阴影部分的面积看成是以规则图形为载体的一部分，其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解.如图：
⇨S 阴影＝S△ABC－S 扇形 CAD
⇨ S阴影＝S△ABO－S扇形COD
2（. 2021·包头）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝ 5，
方法 4 容斥原理
有的阴影部分面积是由两个基本图形互相重叠得到的.常用的方法是：两个基本图形的面积－被重叠图形的面积＝组合图形的面积.
10.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝ 3，

分别以点 A，B 为圆心，AC，BC 的长为半径画弧，分别交 AB 于点
D，E，则图中阴影部分的面积是51π2－
与 AB 相交于点 F，连接 OE，OF，则图中阴影部分的面积是
7 2
3－43π .
★构造和差法
先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算.如图：
4（. 2021·吉林）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝2.以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 D， E，则图中阴影部分的面积为 23π－ 3 （结果保留 π）.
3 2
.
11.如图，正方形 ABCD 的边长为 3，以点 A 为圆心，2 为半径作圆弧，以点 D 为圆心，3 为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别为 S1，S2，则 S1－S2＝134π－9 .
BC＝2，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，交 AC
于点 C，以点 B 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB 于点 E，交 BC

九年级数学全册解题技巧专题圆中求阴影部分的面积练习

解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积——全面掌握核心方法，以不变应万变◆类型一直接利用规则图形的和差求面积1．(2016·安顺中考)如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是________(结果保留π)．第1题图第2题图2．如图，长方形ABCD的长BC为3cm，宽AB为2cm，点E，F是边AD的三等分点，点G，H是边BC的三等分点．现分别以B，G两点为圆心，以2cm长为半径画弧AH和弧EC，则阴影部分的面积为_______cm2.3．(2016·烟台中考)如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为_______cm2.【方法18】第3题图第4题图◆类型二割补法4．(2016·深圳中考)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是AB︵的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为22时，则阴影部分的面积为（）A．2π－4 B．4π－8C．2π－8 D．4π－45．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（）A．4π－2 B．2π－2C．4π－4 D．2π－4第5题图第6题图◆类型三等积法一、轴对称、旋转6．(2016·重庆中考)如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝2，则图中阴影部分的面积是______．【方法18】7．如图，平行四边形ABCD中，AB＝AC＝4，AB⊥AC，O是对角线的交点．若⊙O过A，C两点，则图中阴影部分的面积之和为________.第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（）A.π2＋12B．π－14C.π4＋12D.π4－12二、同底等高的三角形等积替换9．(2016·襄阳中考)如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，若弦CD＝2，则图中阴影部分的面积为______．第9题图第10题图10．如图，P是半径为2的⊙O外一点，PB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，且BC＝2，则图中阴影部分的面积为________．【方法18】◆类型四折叠问题中求面积11．(2016·德州中考)如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．答案：8.D。

2024年中考数学总复习第一部分考点精讲第六单元圆微专题三种方法求阴影部分面积

微专题
三种方法求阴影部分面积
微专题三种方法求阴影部分面积
广东8年高频点考情及趋势分析
考情及趋势分析
年份题号
题型
分值
考情分析
图形背景
方法
计算方法
结果
2023 22(2)② 解答题(三) 5
圆，矩形
公式法
/
2π+ 2π
4
2022 15
填空题 3
扇形
公式法
/
π
2021 13
填空题
等腰直角三角形 4
例2 如图，菱形ABCD对角线AC，BD的长分别为4，4 3，以点
8π
B为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为____3．
例2题图
微专题三种方法求阴影部分面积
方法二和差法[2021.13，2019.22(2)，2018.15] 一、直接和差法
方法解读
直接和差法所求阴影部分面积可以看成扇形、三角形、特殊四边形面积相加减．
，扇形
等腰三角形面积－两直接和差法
个扇形面积
4－π
网格，等腰直角
等腰直角三角形面积
2019 22(2) 解答题(二) 4
直接和差法
20－5π

三角形，扇形
－扇形面积
微专题三种方法求阴影部分面积
考情分析
年份题号
题型分值图形背景
方法
计算方法
结果
构造和差法三角形－(正方形－
2018 15
填空题 4 矩形，半圆
例3题图
微专题三种方法求阴影部分面积
例4 (2021广东13题4分)如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝ 90°，BC＝4.分别以点B，点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为__4_－__π___．

青岛版九年级数学上册第三章3.6弧长及扇形面积的计算专题练习【含答案】

青岛版九年级数学上册第三章3. 6弧长及扇形面积的计算专题练习一、选择题将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器弧（応）对应的圆心角（"0B ）为120。

，AO 的长为4cm,OC 的长为2cm,则图中阴影部分的面积为（）2. 如图，皿是O0的直径，仞是弦, 的两侧.若"OC ： ZJ1OD ： Z.DOB = 则？S 的长为（）A. 2nB. 4兀D ・ y]2n3.如图所示，左边的正方形与右边的扇形而积相等，扇形的半径和正方形的边长都是2cm ,则此扇形的弧长为（）cm ・如图，在△力3C 中，LB AC = 90% AB = AC = 4.以点C 为中心，把AABC 逆时针旋转45。

，得到AA f B f C,则图中阴影部分的而积为（）1.B.(牛 + V2)cm 2A. 4D ・ 8 — 7T4. 乂 0 CD. (y + 2\/3)cm 22cmB. 4nAC8\/3 D. 9\/3-3TTA. S x < S 2 < S 3B. S 2<S 1< S 3C. Si V S3 V S 2D. S 3<S 2< S x 如图，在等腰RthABC^. AC = BC = 2y]2，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是（）D. 2如图一个扇形纸片的圆心角为90。

，半径为4•将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为 CD,则图中阴影部分的而积为（）A. ^-4x/3B. 4V3-^ C ・字-SSS5. 6. 7. A. 2B. 2n若扇形的半径为2,圆心角为90。

, B. n C.4则这个扇形的面积为（D. 47TC. 2nD. 4n如图，扇形纸扇完全打开后.外侧两竹条AB, AC 夹角为150°, AB 的长为36cm, BD 的长为18c/n,则宛的长为（）cm ・A. is —n 4B. ISnC. 18TT 如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆上一点，且乙CO 力= 60。

(完整版)中考求阴影部分面积

中考求阴影部分面积【知识概述】计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。

不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。

现介绍几种常用的方法。

一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。

例1. 如图1，点C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC 、AD 和C D ⌒围成的阴影部分图形的面积为_________。

二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。

三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。

这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。

要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。

例4. 如图4，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。

四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。

例5. 如图5，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠=︒∠=∠=A B D 60，90︒，求四边形ABCD 所在阴影部分的面积。

例2.如图2，PA 切圆O 于A ，OP 交圆O 于B ，且PB=1，PA=3，则阴影部分的面积S=_______．五、拼接法例6. 如图6，在一块长为a 、宽为b 的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽图2都是c个单位），求阴影部分草地的面积。

六、特殊位置法例7. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_______。

七、代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。

新人教版九年级上册数学8.2技巧训练求阴影部分面积的六种常用技巧优质课件

第七页，共十一页。
4．(2019·通辽)如图，等边三角形 ABC 内接于⊙O，若⊙O 的半
径为 2，则图中阴影部分的面积等于( C )
A．π3
B．23π
C．43π
D．2π
【】连接OC.易知△AOB和△AOC关于OA所在直线对称，所以
S△AOB＝S△AOC，从而将阴影部分的面积转化为扇形OAC的
面积．
新人教版九年级上册数学 8.2 技巧训练求阴影部分面积的六种常用技巧优质课件
科目：数学
适用版本：新人教版
适用范围：【教师教学】
人教版九年级上
期末提分练案
第8讲与圆有关的计算
第2课时技巧训练求阴影部分面积的六种常用技巧
第一页，共十一页。
1．(2019·枣庄)如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为
第九页，共十一页。
解：如图，连接 AC，作 AD⊥BC 于点 D，则 BC＝2DC. 由 A(5，1)可得 AD＝1. ∵半径 AC＝2，∴在 Rt△ADC 中， DC＝ AC2－AD2＝ 22－12＝ 3. ∴BC＝2 3.
第十页，共十一页。
6．如图，三个小正方形的边长都为1，求图中阴影部分面积的和 (结果保留π)．
第三页，共十一页。
【点拨】作 FH⊥BC 交 BC 的延长线于 H，连接 AE，如图所示． ∵点 E 为 BC 的中点，点 F 为半圆的中点， ∴BE＝CE＝CH＝FH＝6. ∴AE＝ 62＋122＝6 5. 易得△ABE≌△EHF， ∴∠AEB＝∠EFH，AE＝EF.
第四页，共十一页。
而∠EFH＋∠FEH＝90°，∴∠AEB＋∠FEH＝90°. ∴∠AEF＝90°. ∴图中阴影部分的面积为 S 正方形 ABCD＋S 半圆形－S△ABE－S△AEF ＝12×12＋12×π×62－12×12×6－12×6 5×6 5＝18＋18π.

九年级数学上册24圆小专题十四求阴影部分的面积练习新版新人教版(2021年整理)

九年级数学上册24圆小专题十四求阴影部分的面积练习新版新人教版(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册24圆小专题十四求阴影部分的面积练习新版新人教版(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级数学上册24圆小专题十四求阴影部分的面积练习新版新人教版(word版可编辑修改)的全部内容。

小专题（十四) 求阴影部分的面积方法归纳：求阴影部分（或不规则图形)的面积时，常用图形割补的方法（图形变换），或用几个特殊图形的面积和或差来求．【例】（盐城中考)如图，在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝5 cm,AC＝2 cm，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A1B1C的位置,求线段AB扫过区域(图中阴影部分)的面积．1．（泰安中考)如图，半径为2 cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )A．（错误!－1）cm2B．（错误!＋1）cm2 C．1 cm2D。

错误! cm22．（重庆中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为（)A．25π－6 B.错误!－6 C。

错误!－6 D.错误!－63．（乐山中考）如图，正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧，以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1－S2＝__________．4．(河南中考）如图,在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°。

(word完整版)青岛版九年级数学上册专题突破练习

青岛版九年级数学上册专题突破练习圆中辅助线添加技巧1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。

说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。

方法依据：（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

2. 辅助线方法：连中点说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。

方法依据：（垂径定理推论）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

3. 与切线有关的辅助线作法：（1）点已知，连半径，证垂直说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来, 则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径。

（2）点未知，作垂直，证半径说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径（r）。

（3）见切线，连半径，得垂直说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。

方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

例题1 O o的弦AB cD相交于点P,且Ac=BD求证：Po 平分/ APD 解析：由等弦Ac=BD可得出弧Ac等于弧BD,进一步得出弧AB等于弧cD,从而可证等弦AB=cD由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线oE丄AB, oF丄cD,易证△ 0卩磴厶oPF,得出Po平分/ APD答案：证明：作oE丄AB于E, oF丄cD于FAc=BD••• AB=cD•••/ oPE=/ oPF••• Po 平分/ APD.点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

例题2（鞍山一模）如图，在等腰三角形ABc 中，AB=Ac以Ac为直径作圆o,与Bc交于点E,过点E作ED 丄AB,垂足为点Do求证：DE为O o的切线。

解析：连接oE,根据等边对等角，由AB=Ac得到/ B=Z c, 再由半径oc与oE相等得到/ c=Z cEo,利用等量代换得到 / B=Z cEo,由同位角相等两直线平行，得到AB与Eo平行，再根据两直线平行内错角相等，由角BDE为直角得到角DEo为直角，又oE为圆o的半径，根据切线的判断方法得到DE 为O o的切线。

九年级数学上册专题突破讲练三招判定切线试题青岛版(2021年整理)

九年级数学上册专题突破讲练三招判定切线试题（新版）青岛版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册专题突破讲练三招判定切线试题（新版）青岛版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级数学上册专题突破讲练三招判定切线试题（新版）青岛版的全部内容。

三招判定切线直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。

如何判定直线和圆相切？以下三招可以助你一臂之力!第一招：确定直线和圆交点的个数.如果直线和圆有唯一的公共点，那么这条线是圆的切线，这个点是切点. 第二招：比较圆心到直线的距离与半径的大小。

如果圆心到直线的距离等于圆的半径,那么这条线是圆的一条切线。

说明：第三招：利用切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，如图:点A 是直线AB 与圆O 的公共点，如果OA⊥AB,那么直线AB 是圆O 的一条切线。

说明：该定理必须具备两个条件:⑴经过半径的外端；⑵垂直于半径；两个条件缺一不可.例题1 如图,直线AB 、CD 相交于点O ，∠A OC=30°,半径为1cm 的圆P 的圆心在射线OA 上,开始时,PO=6cm,如果圆P 以1cm/秒的速度沿由A 向B 的方向移动,那么当圆P 的运动时间t （秒）满足什么条件时，圆P 与直线CD 相切？ PDC O B A解析：要想保证圆P 与直线CD 相切,就要使点P 到直线CD 的距离等于1cm.符合条件的圆有两个，圆心分别在点O 的两侧。

答案：如下图P 2P 1F E DC O BA（1）当圆P 运动到点P 1时，可得1PE CO ⊥，又因为∠AOC=30°，所以11221OP PE ==⨯ =2cm ，所以圆P 运动到圆1P 所用的时间16241t -==（秒）；（2)当圆P 继续向B 运动，当点P 到达点P 2时，F P 2=1cm 同理可得:28t =（秒）。

2023年九年级中考数学专题突破---求图形阴影部分的面积课件

容斥原理法
容斥原理法
<m></m>
容斥原理法
1.如图,分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若AB=2，,则勒洛三角形的面积为__ _ ___.
容斥原理法
2.如图，在矩形 <m></m> 中， <m></m> ,以点 <m></m> 为圆心， <m></m> 长为半径画弧，交 <m></m> 的延长线于点 <m></m> ，以点 <m></m> 为圆心， <m></m> 长为半径画弧，交 <m></m> 于点 <m></m> ，则图中形成的阴影部分的面积是________________.
（1）求证：直线是的切线；
和差法
证明：如图，连接，，
，．是的直径，，是直角三角形．又是斜边的中点，，．又，，∴直线是的切线．
和差法
（2）若，，求阴影部分的面积．
解：由（1）知，，，，．在中，，， .在中，， .
中考
2023
谢谢观看
公式法
2.如图，矩形的边长，．将绕点逆时针旋转，使点恰好落在上的点处，线段扫过部分为扇形，则阴影部分的面积是
公式法
3.如图,△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=5,BC=13,CA=12,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是 .

中考数学第一轮总复习微专题三种方法求阴影部分面积课件

微专题三种方法求阴影部分面积
【方法示例】
已知图形
转化
转化后图形
计算公式
S阴影＝S扇形COD
S阴影=S扇形ACF+ S△ADC
微专题三种方法求阴影部分面积
已知图形
转化
转化后图形
计算公式
S阴影=S扇形ACES扇形CF
微专题三种方法求阴影部分面积
方法应用 7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD= 2 3，则阴影部分的面积为____23_π____.
微专题三种方法求阴影部分面积
【方法示例】基本图形
第一步：连半径、第二步：找和差
构扇形
第三步：求解
S阴影＝S△OBD+ S扇形DOC
S阴影＝S△ODCS扇形DOE
用公式法表示扇形、三角形、特殊四边形的面积，再进行加减运算
微专题三种方法求阴影部分面积
基本图形
第一步：连半径、构扇形
第二步：找和差
天才是由于对事业的热爱感而发展起来的，简直可以说天才。
如图，AB是半圆的直径，AB=2r，C、D为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是( )
(2)若sinC＝ ,CE=3,求阴影部分的面积.
(1)证明：如解图，连接OE、AE，
构造图形时一般先观察阴影部分图形：
第4题图
微专题三种方法求阴影部分面积
32 2
.
∴S阴影＝ S正方形OADE－S扇形AOE
＝ 3 2 3 2 90 (322) 9 9 .
22
360 2 8
13 24
第6题解图
微专题三种方法求阴影部分面积
方法2 公式法（省卷：2019.13）方法解读所求阴影部分的面积是规则图形，直接用面积公式计算，常见规则图形面积如下：

物体阴影的形2018年成部审青岛版中考真题梁沃教师

物体阴影的形成部审青岛版中考真题梁沃教师
1、如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于答案D 解析
2、如图所示，从正面看下图，所能看到的结果是（）答案B 解析
3、已知两圆的半径、分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，则两圆的位置关系是答案B 解析
4、下列展开图中，不能围成几何体的是（; 答案B 解析
5、化简的结果是A．B．C．D．答案B 解析
6、王老师为了了解本班学生课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是答案A 解析
7、（2014?含山县一模）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八九月份平均每月的增长答案D 解析试题分析：根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．解：∵七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，∴八月份的产量为50（1+x）万个，九月份的产量为50（1+x）2万个，∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196，故选D．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能分别将8、9月份的产量表示出来，难度不大．
8、已知x．y是实数，＋y2－6y＋9＝0，则xy的值是九年级阶段性检测·数学第1页
答案B 解析
9、（2011?泰安）的倒数是（）A．B．C．D．答案D 解析
10、（2011?衢州）衢州市“十二五”规划纲要指出，力争到2015年，全市农民人均年纯收入超13000元，数1300 答案B 解析
11、－(－2)＝A．－2B．2C．±2D．4 答案B 解析
12。

化简【小题1】【小题2】先化简，再求值.;已知x＝－，答案解析13、。