四年级奥数专题之整除与余数

四年级奥数整除与余数

【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。下面来总结一下整除和有余数除法的特征：

1、整除：

（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。

（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。

（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。

（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。

（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。

（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。2、有余数的除法：

（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。（如果奇位上的数字之和

小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数

字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。

【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。

【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。所以这个6位数是141525或146520 【巩固练习】

1、已知一个五位数是A1A72能被12整除，求这个五位数。

【答案】由于12=3×4，且3和4是互质的，所以能被12整除的数也就是说即能被3整除又能被4整除。当A1A72能被3整除时，则有A+1+A+7+2=10+2A能被3整除，A可以取1和4,；因为这个5位数的末两位是72，能被4整除，所以该数可以被4整除。所以这个5位数是11172或41472。

2、如果一个6位数13A57B能同时被2、

3、5整除，求这个6位

数。

【答案】132570或135570或138570

3、有一个四位整数16AB如果要让这个四位数同时能被2、3、

4、

5整除，那么这个四位数的末两位上应是什么数？

【答案】20或80

【经典例题2】要使六位数18ABC6能被36整除，而且所得的商最小，这个六位数是多少？

【发散思维】由于18ABC6能被36整除，36=4×9，且4和9互质，所以这个6位数既能被4整除又能被9整除。再考虑“所得的商最小”这个条件，应首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。【解题步骤】18ABC6能被4整除，则C6能被4整除，因此C可能取1、3、5、7、9。18ABC6能被4整除，则1+8+A+B+C+6=15+A+B+C 能被9整除。要使所得的商最小，就要使18ABC6尽可能小，即ABC 尽可能小，因此首先A尽可能小，其次B,最后C尽可能小。先试取A=0，此六位数之和为15+B+C,欲使B+C尽可能小，而且15+B+C能被9整除，则（B+C）取3，因为B+C=3，且C只能取1、3、5、7、9。则C=3,B=0.

当A=0,B=0,C=3时，此六位数能被36整除，而且所得的商最小，为180036÷36=5001。

【巩固练习】

1、在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、

4、5整除，且使这个数值尽可能得小。

答案：这个六位数是865020。

2、一个三位数减去它的各位数字之和，其差还是一个三位数

73A,求A是几?

答案：设这个三位数为100a+10b+c,根据题意有100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b=(11a+b) ×9=73A,这就说明73A一定是9的倍数，所以A取8。

3、用0、1、3、5、7这五个数中的四个数字，可以组成许多

能被11整除的四位数，其中最小的一个四位数是多少？

答案：能组成14个，最小的是1375。

【经典例题3】有一个自然数，用它去除70、98和143这三个数得到的三个余数之和是29，求这个自然数。

【发散思维】如果设这个数为X,则根据带余除式可以得到下面三个等式：70=xq1+r1,98=xq2+r2,143=xq3+r3,将这三个等式相加就可以利用余数之和为29这个条件了。

【解题步骤】将上面三个等式相加可以得到

70+98+143=x(q1+q2+q3)+r1+r2+r3,

化简得311=xq+29,

其中的字母q是上面三个商的和，它是一个整数。上面这个

等式还可以写成xq=311-29,即xq=282,

从这个等式发现x是282的因数列出282的所有因数为1、

2、3、6、47、94、141、282，这8个因数中哪个可以成为

x的取值？逐一试验可以发现x=47.

【巩固练习】

1、有一个自然数，分别去除25、38、43、所得的余数都不为0，

且这三个余数之和是22，求这个自然数。

答案：如果把25、38、43三个数之和减去三个余数之和22，剩下的数必然是所求数的整数倍。25+38+43=84，84=21×4，即84是4的21倍。若所求之数为4，那么：25=4×6+1,38=4×9+2,43=4×10+3，而1+2+3！=22，。若所求之数为21，那么：25=21×1+4,38=21×1+17,43=21×2+1,4+17+1=21。所以这个自然数为21。

2、有一个自然数去除6

3、90、130都有余数，且余数之和为25，

求这个自然数。

答案：这个自然数是43。

3、用一个整数去除454和456，所得的余数都是17。求这个自然

数。

答案：23或46或92。

【经典例题4】被除数除以除数，商是12，余数是26，被除数、除数、商、余数四个数的和是454，求除数是多少。

【发散思维】被除数与除数的和是454-12-26=416。又因为商是12，余数是26，表示被除数比除数的12倍还多26，还要再减去26，所以除数是（416-26）÷（12+1）=30。

【解题步骤】（454-12-26-26）÷（12+1）=30。

【巩固练习】

1、两数相除，商是19，余数是4，被除数与除数的差为652，求

被除数。

答案：688