大学物理安培环路定理概述
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B-S定律 直导线电流的磁场 圆环电流轴线上的磁场 螺线管中轴线附近的磁场
1
9-3 磁通量 磁场的高斯定理 一、磁感线
仿照电场线引入磁感应线（磁力线）来形象地描 绘磁场的分布。
磁感应线：一些有向曲线，线上任一点的切向代表
该点的磁感应强度 B 的方向，而通过垂直于磁感强 度方向的单位面积上的磁感线数等于该点 B 的大小。
B dl
L
L
Bi dl
有电流的贡 献
L
Bi
dl
0
k i 1
Ii
0
0
k i 1
Ii
(L内）
B dl L
μ0
Ii内 —— 安培环路定理
8
安培环路定理
B dl
L
μ0
Ii内
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径
L 的线积分等于路径 L 包围的电流强度的代数和的
μ 0 倍。
磁力线的特点：1、无头无尾的闭合曲线； 2、 任何两条磁力线不相交； 3、 磁力线与电流套链。
2
二、磁通量——穿过磁场中任一曲面的磁感线的条数
B dm
S
dS
B
S n
B
m BS
S
dS
n
B
m B S BS cos
S
dS
n
B
m B dS B cos dS m B dS B cos dS
（0 I1
I
）
2
讨论：
（1）B 是否与回路 L
外电流有关？
I1
I2 I3
I1
L
I1
（2）若 LB dl 0 ，是否回路 L上各处
B 0 ？是否回路 L 内无电流穿过？
11
B dl 0 Ii 0 (I2 I3)
由环 环路 路上 内的 外磁 电感 流应 产强 生度
由 环 路 内 电 流 决 定
L
0Ir1d 0Ir2d
2r1
2r2
环路不包围电流，则磁场
环流为零 。
0 I
r2
B2 2
d
dlபைடு நூலகம்21
B11
dl1
L
7
• 推广到一般情况
I1 ~ I k —— 在环路 L 中 In
I2 Ii
Ik
I k 1 ~ I n —— 在环路 L 外 P
I1
L
则磁场环流为：
环路上各点 的磁场为所
Ik 1
注意
电流 I 正负的规定： I 与 L 成右手螺
旋时，I 为正；反之为负。
9
B dl
L
μ0
Ii内
I>0 I
I
I L2 I
I2
I1
L1
L3
L L
I<0
B dl L1
μ0(2I2 I1)
B dl L2
μ0(I I) 0
B dl L3
2μ0I
10
B dl
L
0 (I1 I2 )
O
I R
Rr
20
练 同轴的两筒状导线通有等值反向的电流 I , 习 求 B 的分布。
(1) r R2, B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0 I 2 r
I
I
r
(3) r R1, B 0
21
电场、磁场中典型结论的比较
长直线
长 直
内
圆
柱 面
外
长 直
内
圆
柱 体
外
电荷均匀分布
E
2 0r
E0
E
2 0r r
I r 0
B
18
结
无限长载流圆柱导线 已知：I、R
论
0Ir
B
2 0
R2 I
2 r
(r R) (r R)
I
B
B
B
0 I 2 R
0
R
r
19
讨 论
长直载流圆柱面 已知：I、R
B dl Bdl 2rB
0 (r R)
0I (r R)
0 (r R)
B
0
I
2 r
(r R)
0I B 2 R
13
安培环路定理的意义 磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心
当磁场分布具有某种对称性时，可以用安培环路 定理求磁感强度。 用安培定律求解磁感应强度的步骤：
1）根据电流分布确定磁场分布的对称性。 2）选取合适的闭 合路径，此路径经过场点，并使积分
为可积的。l B dl
3）选择积分路径的取向，根据取向确定穿过回路内 电流的正负。
E 2 0 R2 E
2 0r
电流均匀分布
B 0I 2r
B0
B 0I 2r
B
0 Ir 2R2
B 0I 2r
2. 长直载流螺线管 已知：I、n
单 位
分析对称性
长 度
导
管内磁力线平行于管轴
线
匝
管外磁场为零
作积分回路如图 数
右
方向
手 螺
旋
a
b
B
d
c
计算环流
B dl
14
二、安培环路定理的应用
当场源分布具有高度对称性时，利用安培环
路定理计算磁感应强度。
I
1. 无限长载流圆柱体
已知：I、R
电流沿轴向，在截面上均匀分布
R
分析对称性
电流分布 磁场分布
轴对称
15
B 的方向判断如下：
对称性分析结论： 磁场沿回路切线，各点大小相等
dB
dB
dI
ro
P
dI
作积分环路并计算环流
磁 场: B dl ?
一、磁场的安培环路定理
I
B
dl
以无限长载流直导线为例
oR
B 0I
l
B
dl
2π R
0
2π
I dl R
B dl
l
0I
l
设闭合回路l为 圆形回路，l与I成 右手螺旋。
5
闭合回路形状任意时：
B 0I
2r
LB dl
Bdl cos
L
I
L
r P
0 I rd L 2r
环 路 所
I4
I1 I 2
I3
包
围
的
l
电
流
12
静电场
? 比较
磁场
E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
B dl 0 Ii i
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
E ds 1
s
0
qi
电力线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场
B ds 0
磁力线闭合、 无自由磁荷 磁场是无源场
0I
I
r
B
磁场的环流与环路中所包 L rd
围的电流有关 。
dl
6
• 若环路方向反向，情况如何？
B dl
L
0I rd
L 2r
0I
L
• 若环路中不包围电流，情况如何？
I r'
d
r
B
B1
0I
2r1
B2
0I
2r2
I dl
对 一对线 元来 说 B1 dl B2 dl B1dl cos 1 B2dl cos 2
3
三、磁场的高斯定理
dS2
B
S2
dS1
1
B1
B2
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
SB cosdS 0
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通
量必等于零（磁场是无源的，是涡旋场）。
4
9-4 安培环路定理
静电场: E dl 0 静电场是保守场
如图 r R
B dl Bdl B2r
利用安培环路定理求 B
0
B dl 0I
2 rB 0I B 0I
2 r
I
R
r B
17
作积分环路并计算环流
如图 r R
B dl Bdl 2rB
利用安培环路定理求 B
B dl 0I
0
I R2
r
2
B 0Ir 2 R2
I R
B-S定律 直导线电流的磁场 圆环电流轴线上的磁场 螺线管中轴线附近的磁场
1
9-3 磁通量 磁场的高斯定理 一、磁感线
仿照电场线引入磁感应线（磁力线）来形象地描 绘磁场的分布。
磁感应线：一些有向曲线，线上任一点的切向代表
该点的磁感应强度 B 的方向，而通过垂直于磁感强 度方向的单位面积上的磁感线数等于该点 B 的大小。
B dl
L
L
Bi dl
有电流的贡 献
L
Bi
dl
0
k i 1
Ii
0
0
k i 1
Ii
(L内）
B dl L
μ0
Ii内 —— 安培环路定理
8
安培环路定理
B dl
L
μ0
Ii内
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径
L 的线积分等于路径 L 包围的电流强度的代数和的
μ 0 倍。
磁力线的特点：1、无头无尾的闭合曲线； 2、 任何两条磁力线不相交； 3、 磁力线与电流套链。
2
二、磁通量——穿过磁场中任一曲面的磁感线的条数
B dm
S
dS
B
S n
B
m BS
S
dS
n
B
m B S BS cos
S
dS
n
B
m B dS B cos dS m B dS B cos dS
（0 I1
I
）
2
讨论：
（1）B 是否与回路 L
外电流有关？
I1
I2 I3
I1
L
I1
（2）若 LB dl 0 ，是否回路 L上各处
B 0 ？是否回路 L 内无电流穿过？
11
B dl 0 Ii 0 (I2 I3)
由环 环路 路上 内的 外磁 电感 流应 产强 生度
由 环 路 内 电 流 决 定
L
0Ir1d 0Ir2d
2r1
2r2
环路不包围电流，则磁场
环流为零 。
0 I
r2
B2 2
d
dlபைடு நூலகம்21
B11
dl1
L
7
• 推广到一般情况
I1 ~ I k —— 在环路 L 中 In
I2 Ii
Ik
I k 1 ~ I n —— 在环路 L 外 P
I1
L
则磁场环流为：
环路上各点 的磁场为所
Ik 1
注意
电流 I 正负的规定： I 与 L 成右手螺
旋时，I 为正；反之为负。
9
B dl
L
μ0
Ii内
I>0 I
I
I L2 I
I2
I1
L1
L3
L L
I<0
B dl L1
μ0(2I2 I1)
B dl L2
μ0(I I) 0
B dl L3
2μ0I
10
B dl
L
0 (I1 I2 )
O
I R
Rr
20
练 同轴的两筒状导线通有等值反向的电流 I , 习 求 B 的分布。
(1) r R2, B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0 I 2 r
I
I
r
(3) r R1, B 0
21
电场、磁场中典型结论的比较
长直线
长 直
内
圆
柱 面
外
长 直
内
圆
柱 体
外
电荷均匀分布
E
2 0r
E0
E
2 0r r
I r 0
B
18
结
无限长载流圆柱导线 已知：I、R
论
0Ir
B
2 0
R2 I
2 r
(r R) (r R)
I
B
B
B
0 I 2 R
0
R
r
19
讨 论
长直载流圆柱面 已知：I、R
B dl Bdl 2rB
0 (r R)
0I (r R)
0 (r R)
B
0
I
2 r
(r R)
0I B 2 R
13
安培环路定理的意义 磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心
当磁场分布具有某种对称性时，可以用安培环路 定理求磁感强度。 用安培定律求解磁感应强度的步骤：
1）根据电流分布确定磁场分布的对称性。 2）选取合适的闭 合路径，此路径经过场点，并使积分
为可积的。l B dl
3）选择积分路径的取向，根据取向确定穿过回路内 电流的正负。
E 2 0 R2 E
2 0r
电流均匀分布
B 0I 2r
B0
B 0I 2r
B
0 Ir 2R2
B 0I 2r
2. 长直载流螺线管 已知：I、n
单 位
分析对称性
长 度
导
管内磁力线平行于管轴
线
匝
管外磁场为零
作积分回路如图 数
右
方向
手 螺
旋
a
b
B
d
c
计算环流
B dl
14
二、安培环路定理的应用
当场源分布具有高度对称性时，利用安培环
路定理计算磁感应强度。
I
1. 无限长载流圆柱体
已知：I、R
电流沿轴向，在截面上均匀分布
R
分析对称性
电流分布 磁场分布
轴对称
15
B 的方向判断如下：
对称性分析结论： 磁场沿回路切线，各点大小相等
dB
dB
dI
ro
P
dI
作积分环路并计算环流
磁 场: B dl ?
一、磁场的安培环路定理
I
B
dl
以无限长载流直导线为例
oR
B 0I
l
B
dl
2π R
0
2π
I dl R
B dl
l
0I
l
设闭合回路l为 圆形回路，l与I成 右手螺旋。
5
闭合回路形状任意时：
B 0I
2r
LB dl
Bdl cos
L
I
L
r P
0 I rd L 2r
环 路 所
I4
I1 I 2
I3
包
围
的
l
电
流
12
静电场
? 比较
磁场
E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
B dl 0 Ii i
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
E ds 1
s
0
qi
电力线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场
B ds 0
磁力线闭合、 无自由磁荷 磁场是无源场
0I
I
r
B
磁场的环流与环路中所包 L rd
围的电流有关 。
dl
6
• 若环路方向反向，情况如何？
B dl
L
0I rd
L 2r
0I
L
• 若环路中不包围电流，情况如何？
I r'
d
r
B
B1
0I
2r1
B2
0I
2r2
I dl
对 一对线 元来 说 B1 dl B2 dl B1dl cos 1 B2dl cos 2
3
三、磁场的高斯定理
dS2
B
S2
dS1
1
B1
B2
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
SB cosdS 0
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通
量必等于零（磁场是无源的，是涡旋场）。
4
9-4 安培环路定理
静电场: E dl 0 静电场是保守场
如图 r R
B dl Bdl B2r
利用安培环路定理求 B
0
B dl 0I
2 rB 0I B 0I
2 r
I
R
r B
17
作积分环路并计算环流
如图 r R
B dl Bdl 2rB
利用安培环路定理求 B
B dl 0I
0
I R2
r
2
B 0Ir 2 R2
I R