导数典型例题

导数典型例题

导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.

一、与导数概念有关的问题

【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为

A.0

B.1002

C.200

D.100！

解法一 f ＇(0)=x f x f x ∆-∆+→∆)0()0(lim 0= x x x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0)100()2)(1(lim 0

=lim 0

→∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D.

解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D.

点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.

【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n

x c k x c x c c 11212210++++++ ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim 0= .

解 ∵ x x f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim 0=2x f x f x ∆-∆+→∆2)

2()22(lim 0

+

[]x

f x f x ∆--∆-+→∆-)2()(2lim 0=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1121--+++++n n n k k n n n x c x

c x c c ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 2

1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000lim ，且其定义形式可以是x m x f x m x f x ∆--∆-→∆)()(000lim ，也可以是

000)()(lim x x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.

【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .

解 ∵S =πR 2，而R =R (t )，t R '=2 cm/s ，∴t S '=t R )π(2

'=2πR ·t R '=4πR ，

∴t S '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2/s.

点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（R 是中间变量），此题易出现“∵S =πR 2，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.

二、与曲线的切线有关的问题

【例4】 以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3 B. []π,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π3,4π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦

⎤⎢⎣⎡4π3,2π 解 设过曲线y =sin x 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cos x .

∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈

[)π,0，∴α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3. 故选A.

点评 函数y =f (x )在点x 0处的导数f ＇(x 0)表示曲线，y =f (x )在点（x 0，f (x 0)）处的切线斜率，即k =tan α(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.

【例5】 曲线y =x 3-ax 2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a 的值.

解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m ,m 3-am 2）.而y ＇=3x 2-2ax ，

∴k 切=3m 3-2am ，则切线方程为y =(3m 3-2am )x -2m 3-am 2.

∵切线过（0，1），∴2m 3-am 2+1=0.(*)

设（*）式左边为f (m )，∴f (m )=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实

数解，其等价于“f (m )有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0”.

由f (m )=2m 3-am 2+1，得f ＇(m )= 6m 3-am 2=2m (3m -a )，令f ＇(m )=0，得m =0，m =3a ， ∴a ≠0，f (0)·f (3

a )=0，即a ≠0，-271a 3+1=0，∴a =3. 点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.

三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题

【例6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是

A.①、②

B.①、③

C.③、④

D.①、④

解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选C.

点评 f ＇(x )>0（或<0）只是函数f ＇(x )在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f ＇(x )在(a ，b )上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x ∈(a ，b )，都有f ＇(x )≥0(或≤0)且f ＇(x )在(a ，b )的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.

【例7】函数y =f (x )定义在区间（-3，7）上，其导函

数如图所示，则函数y =f (x )在区间（-3，7）上极小值的个

数是 个.

解 如图，A 、O 、B 、C 、E 这5个点是函数的极值点，