湖南长郡中学2020—2021学年度高二第一学期入学考试数学试题及答案解析
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题
【分析】
由等差数列的性质可求得a4=13，a6=9，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．
【详解】
解：∵在等差数列 中， ， ，
， ，
，
∴数列 的前9项之和 ，
故选：B
【点睛】
本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于基础题．
5．D
【解析】
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
2．下列命题中正确的是（）
A．第一象限角必是锐角；B．相等的角终边必相同；
25．过点Q 作圆C： 的切线，切点为D，且QD＝4．
(1)求 的值；
(2)设P是圆C上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆C的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设 ，求 的最小值(O为坐标原点).
26．如图， ， ， 是同一平面内的三条平行直线， 与 之间的距离是1， 与 之间的距离是2，三角形 的三个顶点分别在 ， ， 上.
3．A
【分析】
由指数函数的性质，可得函数 恒过点坐标为 ，且函数 是增函数，图象不经过第二象限，得到关于 的不等式，即可求解.
【详解】
由指数函数的性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故选A．
【点睛】
本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的图象与性质，特别是指数函数的图象恒过定点是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
湖南省长郡中学高二上学期入学考试数学试题解析版
2019-2020学年湖南省长郡中学高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A．随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．以上都是【答案】C【解析】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，其它依次加5，得到样本编号.【详解】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，从第二组开始依次加5，得到样本编号为：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，属于系统抽样.【点睛】本题考查系统抽样的概念，考查对概念的理解.2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为()A7B6C5D．2【答案】A【解析】根据三视图知该几何体是一个正四棱锥，结合图中数据求出各条棱长即可得出结论．【详解】解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；则AC 2=DC 2BE 2==，AC ⊥底面CDEB ，结合图形中的数据，求得BC 2=，在Rt ABC V 中，由勾股定理得2222AB AC BC (2)(2)2=+=+=，同理求得22AD (2)26=+=22222222AE AC CE AC CD DE (2)217=+=++=++=A ．【点睛】本题利用三视图考查了四棱锥的结构特征，属基础题．3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S【答案】C【解析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7． 【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0∵87aa-＜1＜0∴a7＜0，a8＞0数列的前7项为负，故数列{S n}中最小值是S7故选C．【点睛】本题考查等差数列中前n项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．4．如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )A．84,4.84 B．84,1.6 C．85,1.6 D．85,4【答案】C【解析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．【详解】由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的平均数为8484868487855++++=；方差为()()()()()2222218 8485848586858485878555⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案为C【点睛】茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．5．四面体P ABC-的三组对棱分别相等，且长度依次为5,13 5.则该四面体的外接球的表面积（）A．294πB．28πC．296D．29π【答案】D【解析】分析：先将四面体P ABC-补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为25,13，5，再通过解方程组得长方体的长宽高，最后根据四面体的外接球为长方体的外接球求结果.详解：因为将四面体P ABC -补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为25,13，5，所以由22222225,13,5,x y z y x z +=+=+=得22216,4,9x y z ===因为四面体的外接球为长方体的外接球，所以外接球直径为22229x y z ++=因此四面体的外接球的表面积为24π29πR =， 选D.点睛：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”． 6．若圆上总存在点A ，使得，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】问题等价于圆和圆相交或相切，利用两圆圆心距大于等于两圆半径之差、小于等于两圆半径之和求解即可. 【详解】 问题可转化为圆和圆相交或相切，两圆圆心距，由得，解得，即，故选D. 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，体现了转化的数学思想，属于中档题. 两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.7．在锐角三角形ABC 中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且32sin ,4b a B a ==，则ABC △面积的最大值为（ ）A ．3B ．3C ．83D ．3【答案】B【解析】2sin a B =利用正弦定理将边化成角，得到sin A 的值，利用余弦定理，得到bc 的最大值，再由面积公式1sin 2S bc A =得到ABC V 面积的最大值. 【详解】在ABC V 中，由正弦定理得sin sin a bA B=2sin a B = 2sin sin B A B =，解得sin 2A =Q ABC V 为锐角三角形，则1cos 2A ==由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,2216b c bc =+-22162bc b c bc ∴+=+≥，16bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立1sin 24ABC S bc A ∴=⋅=≤V 故选B 项. 【点睛】本题考查三角形中正余弦定理的使用，基本不等式的简单应用，属于基础题. 8．若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面 【答案】B【解析】解：因为若点P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直，选B9．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且12019lg lg 0a a +=，若22()1f x x=+，则122019()()()f a f a f a +++=L （ ） A ．2018 B ．4036C ．2019D ．4038【答案】C【解析】∵正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且12019lg lg 0a a +=∴19lg 0a a ⋅=，即191a a ⋅=. ∵函数()221f x x=+ ∴222212222()()21111x f x f x x xx ++=+==+++ 令122019()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则201920181()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+ ∴1201922018201912()()()()()()22019T f a f a f a f a f a f a =++++⋅⋅⋅++=⨯ ∴2019T = 故选C.点睛：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数中也有应用.等差数列中主要利用等差数列性质：若()*,,,,m n p q m n p q N+=+∈，则mn p q aa a a +=+；函数中主要利用对称中心性质：若()f x 关于(),m n 对称，则()()22f x f m x n +-=. 10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且=，则B= ( )A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】试题分析：根据正弦定理可得, 由已知可得,整理可得,,在中.故C 正确.【考点】1正弦定理;2余弦定理.11．过点2,0)引直线l 与曲线21y x =-A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥时，直线l 的斜率等于（ ）A ．33-B ．33C ．33±D ．3【答案】A【解析】分析：由题意得曲线21y x =-x 轴上方的部分，设过点2,0)的直线为0(2)y k x -=，即20kx y k --=，又由OA OB ⊥，所以圆心到直线的距离等于2r ，列出方程即可求解.详解：由y =221(0)x y y +=≥，所以曲线y =x 轴上方的部分，则过点0)的直线与曲线y =10k -<<，设直线的方程为0(y k x -=，即0kx y --=，又由OA OB ⊥，所以圆心到直线的距离等于2r，即2d ==，解得k =，又因为10k -<<，所以k =，故选A.点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用问题，其中把OA OB ⊥转化为圆心到直线的距离为2，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理与运算能力.12．已知函数()cos ,(0,2)f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ,且方程()(0)f x m m =≠有两个不同的实根34,x x ,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m =( ) A ．12B ．12-CD． 【答案】D【解析】由题意可知：123,22x x ππ==，且34,x x 只能分布在12,x x 的中间或两侧，下面分别求解并验证即可的答案． 【详解】由题意可知:123,22x x ππ==,且34,x x 只能分布在12,x x 的中间或两侧,若34,x x 分布在12,x x 的中间,则公差32233d πππ-==, 故34,x x 分别为56π､76π,此时可求得5cos 6m π==; 若34,x x 分布在12,x x 的两侧,则公差322d πππ=-=,故34,x x 分别为5,22ππ-,不合题意.故选D. 【点睛】本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数，属中档题．13．已知直线:10l x y --=，2:220l x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则1l 的方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．10x y +-= D ．210x y +-=【答案】B【解析】画出l 和2l 的图像，确定两者的交点，结合直线1l 的斜率，确定正确选项. 【详解】由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩解得l 和2l 的图像的交点为()1,0，由于l 的斜率为1，2l 的斜率为2，故1l 的斜率为正数，由此排除C,D 选项.结合1l 过()1,0，排除A 选项. 故选：B.【点睛】本小题主要考查直线关于直线对称的直线方程的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14．设平面点集{}221(,)|()()0,(,)|(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂所表示的平面图形的面积为 A ．34π B ．35πC ．47π D ．2π 【答案】D 【解析】【详解】由集合1(,)|()()0A x y y x y x ⎧⎫=--≥⎨⎬⎩⎭可得其表示的区域为010y x y x -≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩和010y x y x -≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩所对应的平面区域，集合{}22(,)|(1)(1)1B x y x y =-+-≤表示的区域为圆22(1)(1)1x y -+-=内和圆上的点对应的区域；作出对应图像，则I ，III 对应的区域，即为所求平面区域； 因为函数1y x=的图像，与圆22(1)(1)1x y -+-=均关于y x =对称， 所以I ，III 区域的面积恰好为圆的一半，故所求平面区域的面积为：2π. 故选：D.15．数列{}n a 的通项222ππcossin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则30S 为（ ） A ．470 B ．490C ．495D ．510【答案】A【解析】分析：利用二倍角的余弦公式化简得22πcos 3n n a n =，根据周期公式求出周期为3，从而可得结果.详解：首先对{}n a 进行化简得22πcosn n a n =，又由2πcos n 关于n 的取值表：可得2πcos3n 的周期为3，则可得22222222230124528293630222S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，设()()()222323153922kk k b k k -+-=-+=-， 则()305912 (10104702)S =+++-⨯=，故选A ． 点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.二、填空题16．已知,,a b c 为直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(,)M m n 在直线:20l ax by c ++=上，则22m n +的最小值为__________．【答案】4【解析】∵a ，b ，c 为直角三角形中的三边长，c 为斜边长，∴， 又∵点M （m ，n ）在直线l ：ax+by+2c=0上， ∴m 2+n 2表示直线l 上的点到原点距离的平方， ∴m 2+n 2的最小值为原点到直线l 距离的平方， 由点到直线的距离公式可得=2，∴m 2+n 2的最小值为d 2=4， 故答案为4.17．已知函数2()()f x x ax b a b R =++∈，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ．【答案】9．【解析】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b－24a＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋14a2＝12x a⎛⎫+⎪⎝⎭2.又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，∴m，m＋6是方程x2＋ax＋24a－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得()226{64m aam m c+=-+=-解得c＝9.18．已知三棱柱111ABC A B C-的侧棱与底面边长都相等,1A在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为__________.【答案】34【解析】根据三棱柱的性质可知，11//C C A A，异面直线AB与1CC所成的角就是1A AB∠，连接1A B，利用余弦定理即可求解．【详解】作出草图，如下：由三棱柱的性质可知，11//C C A A，异面直线AB与1CC所成的角就是1A AB∠，连接1A B，又三棱柱111ABC A B C-的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，所以1A D BC⊥，∴三角形1A DB是直角三角形，设1DB=，则12AB A A==．又AD BC⊥131AD A D∴==，所以12A B在1A AB ∆中，由余弦定理可知：22211114423cos 22224A A AB A B A AB A A AB +-+-∠===⋅⨯⨯． 故答案为：34． 【点睛】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．已知0,0x y >>，且1x y +=，若19a x y≤+恒成立，则实数a 的最大值为__________． 【答案】16 【解析】不等式19a x y ≤+恒成立⇔（19x y+）min ≥a ．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出． 【详解】∵0,0x y >>，且1x y +=∴()1919x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭10910y x x y ++≥+=16，当且仅当y ＝3x ＝34时取等号． ∵不等式19a x y ≤+恒成立⇔（19x y+）min ≥a ． ∴a ∈（﹣∞，16]， 即实数a 的最大值为16 故答案为16． 【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题． 20．已知a ，b ，c 分别为ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =且(2)(sin sin )b A B +-()sin c b C =-，则ABC △面积的最大值为__．【解析】【详解】由已知()()()a b a b c b c +-=-，即2221cos 2b c a bc A +-=⇒=得60A =︒， 222244b c bc b c bc bc ∴+-=∴=+-≥1sin 32ABC S bc A ∆∴=≤三、解答题21．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a ，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x ＝0.0075，所以直方图中x 的值是0.0075. ------------- 3分(2)月平均用电量的众数是2202402+＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内， 设中位数为a ，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a －220)＝0.5 得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户， 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户， 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户， 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．-- 12分【考点】频率分布直方图及分层抽样22．已知数列{}n a 为等差数列，0n a ≠，且满足231173232a a a +=，数列{}n b 满足120n n b b +-=，77b a =． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（I ）12n nb -=； （Ⅱ）(1)21n n S n =-•+.【解析】（I ）由等差数列的性质可得：23117732323220a a a a +==⨯≠，解得7a ．利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）1•2n n n c nb n -==，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．【详解】（I ）由等差数列的性质可得：23117732323220a a a a +==⨯≠，解得764a =．数列{}n b 满足120n n b b +-=，可得：数列{}n b 是等比数列，公比为2．∵7764b a ==．∴61•264b =，解得11b =．∴12n n b -=．（Ⅱ）若1•2n n n c nb n -==，∴数列{}n c 的前n 项和()221122321?2?2n n n S n n --=+⨯+⨯++-+L ，()2312222321?2?2n n n S n n -=+⨯+⨯++-+L ，∴21211222?2?221n n nn n S n n L ---=++++-=--，可得()1?21n n S n =-+． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭rr ，记()f x m n =r r g ． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．【答案】（1）12；（2）3]2【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得()sin()26x f x π=+12+，由()1f x =可得1sin()262x π+=，根据二倍角公式可得cos()3x π+的值；（2）根据正弦定理消去(2)cos cos a c B b C -=中的边可得3B π=，所以23A C π=-，又02C <<π，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，根据三角函数值域的有界性即可求得(2)f A 的取值范围． 【详解】（1）向量,1)4x m =r，2(cos ,cos )44x x n =r，记()f x m n =⋅r r ，则2()cos cos 4442x x x x f x =+=11cos 222x ++sin()26x π=+12+，因为()1f x =，所以1sin()262x π+=， 所以21cos()12sin ()3262x x ππ+=-+=． （2）因为(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=， 所以2sin cos sin()sin A B B C A =+=，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=，则23A C π+=，即23A C π=-，又02C <<π， 则62A ππ<<，得2363A πππ<+<， 所以3sin()126A π<+≤，又1(2)sin()62f A A π=++，所以(2)f A 的取值范围313(,]2+． 【考点】三角求值、正弦函数的值域及正弦定理解三角形.24．如图，已知正三棱柱ABC=A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合． （1）当CF=1时，求证：EF ⊥A 1C ；（2）设二面角C ﹣AF ﹣E 的大小为θ，求tanθ的最小值．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）过E 作EN ⊥AC 于N ，连接EF ，NF ，AC 1，由直棱柱的性质可知，底面ABC ⊥侧面A 1C ∴EN ⊥侧面A 1CNF 为EF 在侧面A 1C 内的射影 在直角三角形CNF 中，CN=1则由，得NF ∥AC 1，又AC 1⊥A 1C ，故NF ⊥A 1C由三垂线定理可知EF ⊥A 1C（2）连接AF ，过N 作NM ⊥AF 与M ，连接ME 由（1）可知EN ⊥侧面A 1C ，根据三垂线定理得EM ⊥AF ∴∠EMN 是二面角C ﹣AF ﹣E 的平面角即∠EMN=θ 设∠FAC=α则0°＜α≤45°， 在直角三角形CNE 中，NE=，在直角三角形AMN 中，MN=3sinα故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤故当α=45°时，tanθ达到最小值， tanθ=，此时F 与C 1重合25．已知圆C ：x 2+y 2+x -6y +m =0与直线l ：x +2y -3=0． （1）若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；（2）若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 【答案】（1）37(8,)4（2）m ＝3 【解析】(1)将圆的方程配方，得1()2x +2＋(y －3)2＝3744m-，故有3744m -＞0，解得m ＜374. 将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组，得22230{60x y x y x y m +-=++-+= 消去y ，得x 2＋32x -⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋x －6×32x -＋m ＝0， 整理，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0， ①∵直线l 与圆C 没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m －27)＜0，解得m ＞8.∴m 的取值范围是37(8,)4. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ，得OP OQ ⋅u u u r u u u r＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， ② 由①及根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝4275m -， ③又∵P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴y 1·y 2＝132x -·232x -＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1·x 2]， 将③代入上式，得y 1·y 2＝125m +， ④将③④代入②得x 1·x 2＋y 1·y 2＝4275m -＋125m +＝0，解得m ＝3.代入方程①检验得Δ＞0成立，∴m ＝3.。
函数的单调性+奇偶性(含答案)
函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（ ） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的 表达式为（ ）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。
长郡中学高二入学考试理科数学考试试题及参考答案
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湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题含答案
（ ）根据频率分布直方图估计这 位男生身高的中位数；
（ ）用分层抽样的方法在身高为 内抽取一个容量为 的样本，从样本中任意抽取 位男生，求这两位男生身高都在 内的概率．
23.已知数列 的前 项和为 ，且 对任意 都成立.
（Ⅰ）求 值；
（Ⅱ）证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（Ⅲ）设 ，求数列 的前 项和 .
24.已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P 轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4.
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且 （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
16.某中学高二年级甲班的学生共有25名女生和35名男生，现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛，则甲班中某女生被抽到的概率是________．
17.已知函数 （ ，且 ）的图像恒过定点 ，则 __________．
C. 有最大值， 有最大值D. 有最小值， 有最小值
二、多项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对得1分）
11.下列关于函数 的说法中正确的是（）
A. 为奇函数
B. 上单调递减
C. 不等式 的解集为
D. 不等式 的解集为
12.如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点，异面直 与 所成角的余弦值为 ，则（）
长郡高二入学考试数学(文科)答案
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二填空题
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长郡中学学年度高二第一学期入学考试
数学!文科"参考答案
一#选择题
湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高二上学期入学考试数学模拟试卷及答案
长郡中学新高二入学考试数学模拟试卷数 学时量：120分钟 满分：100分一、单选题(共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案) 1.若集合{}210A x ax x =∈++=R 中只有一个元素，则a 的值为() A.14B.12C.0D.0或142.i 是虚数单位，复数21iz =−，则z 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +−=则121a b++的最小值是()A.23B.43C.2D.44.对任意[]1,1a ∈−，函数()()2442f x x a x a =+−+−的值恒大于零，则x 的取值范围是()A.13x << B.1x <或3x > C.12x << D.1x <或2x >5.已知()11,A x y ，()22,B x y 是函数2xy =图象上两个不同的点，若1224x x +=，则y 1+y 22的最小值为( )A.2B.4C.8D.106.已知把函数()3sin cos 34f x x x π⎛⎫=+− ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若()()1214g x g x ⋅=，若[]12,,x x ππ∈−，则12x x −的最大值为()A.πB.34π C.32π D.2π7.如图，在ABC △中，2AD DB =，3AE EC =，CD 与BE 交于F ，AF xAB yAC =+，则(),x y 为( )A.11,32⎛⎫⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫− ⎪⎝⎭C.11,23⎛⎫− ⎪⎝⎭D.11,23⎛⎫⎪⎝⎭8.如图ABCDEF 为五面体，其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，3332AB EF AD ===，ADE △和BCF △都是正三角形，则该五面体的体积为( )A.723B.423 C.2D.3229.x 是12100,,,x x x 的平均数，a 是1240,,,x x x 的平均数，b 是4142100,,,x x x 的平均数，则下列各式正确的是( )A.4060100a bx +=B.6040100a bx +=C.x a b =+D.2a bx +=10.甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且{},1,2,3,4a b ∈，若1ab ≤，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.38B.58C.316D.51611.在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，且3AB BD DA ===，3CD =，则三棱锥A BCD −的外接球的表面积为( )A.154πB.15πC.32πD.6π12.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC △的面积，且()222S a b c =−−，则222b c bc+的取值范围为( )A.4359,1515⎛⎫⎪⎝⎭B.4322,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.5922,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.)22,⎡+∞⎣二、多选题(共3个小题，每小题3分，共9分，每小题答案不全得1分，多选或错选得0分)13.下列说法正确的是( )A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1；B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5；C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；D.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则121021,21,,21x x x −−−的标准差为1614.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，且()()02f f ππ⎛⎫==−− ⎪⎝⎭.则ω的可能取值为( )A.23B.2C.13D.115.已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC △沿AC 翻折，下列说法正确的是( )A.在翻折的过程中，直线AD ，BC 所成角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B.在翻折的过程中，三棱锥D ABC −体积最大值为38aC.在翻折过程中，三棱锥D ABC −表面积最大时，其内切球表面积为()21483a π−D.在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D '，E 为棱CD 上的一个动点，ED '的最小值为34a 三、填空题(共5个题，每小题3分，共15分)16.若()()211i z a a =−+−为纯虚数，其中a ∈R ，则2i1ia a ++等于__________.17.设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4xf x =，则()520212f f ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭__________. 18.如图，已知二面角A BC D −−，2AB =，2BC =，3CD =，7AD =，且AB BC ⊥，CD BC ⊥，则二面角A BC D −−的余弦值为__________. 19.函数()f x 的定义域为D ，若满足：(1)()f x 在D 内是单调函数；(2)存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“梦想函数”.若函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“梦想函数”，则t 的取值范围是______________.20.在ABC △中，222sin sin sin sin sin B C A B C +−=，点D 在线段BC 上，且3BC BD =，2AD =，则BAC ∠______；ABC △面积的最大值为______.四、解答题(共5个大题，每题8分，共40分)21.某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg )，并绘制频率分布直方图如下：(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)22.袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求： (1)从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？23.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()sin cos bA B C a+=−. (1)求角A ；(2)若4b c −=，ABC △的外接圆半径为ABC △的边BC 上的高.24.如图，已知四棱锥P ABCE −中，PA ⊥平面ABCE ，平面PAB ⊥平面PBC ，且1AB =，2BC =，BE =，点A 在平面PCE 内的射影恰为PCE △的重心G .(1)证明：BC AB ⊥；(2)求直线CG 与平面PBC 所成角的正弦值.25.如图，矩形ABCD 中，AB =4BC =，点M ，N 分别在线段AB ，CD (含端点)上，P 为AD 的中点，PM PN ⊥，设APM α∠=.(1)求角α的取值范围；(2)求出PMN △的周长l 关于角α的函数解析式()f a ，并求PMN △的周长l 的最小值及此时α的值.长郡中学新高二入学考试数学模拟数学参考答案一、选择题二、选择题三、填空题16.i17.2−18.319.1,04⎛⎫− ⎪⎝⎭20.3π 2四、解答题21.【解析】(1)如图示：区间[)80,90频率最大，所以众数为85，平均数为：()650.0025750.01850.04950.0351050.011150.002510x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯89.75=.(2)日销售量[)60,90的频率为0.5250.8<，日销量[)60,100的频率为0.8750.8>， 故所求的量位于[)90,100.由0.80.0250.10.40.275=---，得0.27590980.035+≈， 故每天应该进98千克苹果.22.【解析】(1)从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，由于A ，B ，C 为互斥事件，根据已知，得()()()()()()()()()()59231P A B P A P B P B C P B P C P A B C P A P B P C ⎧+=+=⎪⎪⎪+=+=⎨⎪++=++=⎪⎪⎩，解得()()()132949P A P B P C ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是13，29，49. (2)由(1)知黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4， 从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个， 于是，两个球同色的概率为31653618++=， 则两个球颜色不相同的概率是51311818−=. 23.【解析】(1)由()sin cos bA B C a=−＋， 得sin cos bC C a+=，即sin cos a C a C b +=， 由正弦定理，得sin sin sin cos sin sin cos sin cos A C A C B A C C A +==+， 即sin sin sin cos A C C A =. 又sin 0C ≠，所以sin cos A A =， 即tan 1A =. 又0A π<<， 所以4A π=.(2)由正弦定理得64a π==，由余弦定理得()(22222cos 236a b c bc A b c bc =+−=−+=，所以(102bc =+，设ABC △的BC 边上的高为h ， 因为ABC △的面积11sin 22S bc A ah ==， 所以ABC △的边BC 上的高()()21022521sin 263bc Ah a+⨯+===.24.【解析】(1)过A 作AD PB ⊥于D ，因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB 平面PBC PB =，AD ⊂平面PAB ，∴AD ⊥平面PBC ， ∵BC ⊂平面PBC ， ∴AD BC ⊥.又PA ⊥平面ABCE ，BC ⊂平面ABCE ， ∴PA BC ⊥， 又PAAD A =，∴BC ⊥平面PAB ， ∵AB ⊂平面PAB ， ∴BC AB ⊥.(2)连结PG 并延长交CE 于M ，连结AM ，以B 为原点，分别以BA ，BC 所在的直线为x ，y 轴，以过B 且与平面ABCE 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0B ，()1,0,0A ，()0,2,0C ，设(),,0E x y ，∵AG ⊥平面PCE ，CE ⊂平面PCE ， ∴AG CE ⊥，同理PA CE ⊥， 又AGPA A =，∴CE 平面PAM ， ∴CE AM ⊥， 又G 是PCE △的重心， ∴M 是CE 的中点，∴AC AE =，由(1)知，BC AB ⊥，∴5AC AE ==，(),,0BE x y =，()1,,0AE x y =−，∴()2222815x y x y ⎧+=⎪⎨−+=⎪⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩， ∴()2,2,0E ，设AP a =，则()1,0,P a ，故41,,33a G ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴40,,33a AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21,,33a CG ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， ∴280099a AG GC⋅=−+=，∴a = ∴(P ，∴()1,0,22BP =，()0,2,0BC =，2221,,33CG ⎛⎫=−⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则0220200BP n x z y BC n ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩，令1z =，则()22,0,1n =−， 设直线CG与平面PBC所成角为θ，则22sin 63CG nCG nθ−⋅===⋅，故直线CG 与平面PBC 所成角的正弦值为63. 25.【解析】(1)由题意，当点M 位于点B 时，角α取最大值，此时tan α=因为02πα<<，所以3πα=，当点N 位于点C 时，DPN ∠取得最大值，角α取最小值， 由对称性知此时3DPN π∠=，所以min 236πππα=−=，所以角α的取值范围是,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)在直角PAM △中，cos PAPMα=且2PA =， 所以2cos PM α=，在直角PDN △中，cos cos sin 2PD PDN PN παα⎛⎫∠=−== ⎪⎝⎭且2PD =， 所以2sin PN α=， 在PMN △中，由勾股定理得2222222444cos sin cos sin MN PM PN αααα=+=+=， 因为,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以sin 0α>，cos 0α>， 所以2cos sin MN αα=，所以()()21sin cos 222sin cos sin cos sin cos fααααααααα++=++=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得57,41212πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以4t πα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭⎣，又由21sin cos 2t αα−=，可得()()2214112t f t t t +==−−， 因为函数()f t在区间12+⎣上单调递减，当t =时，())min 41f t ==，此时4t πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭4πα=，所以当4πα=时，PMN △的周长l取得最小值，最小值为)41+.。
长郡中学高二入学考试理科数学考试试题及参考答案
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长郡中学 学年度高二第一学期入学考试
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【数学】长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期入学考试数学试题含解析
长郡中学2022年高二入学检测试卷数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．已知i 是虚数单位，复数()()242i z x x =-++是纯虚数，则实数x 的值为（）A ．2B ．2-C ．2±D ．42．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A．2a ba b +>>>B．2a ba b +>>>C．2a ba b +>>>D．2a ba b +>>>3．在平面四边形中，满足AB CD +=0 ，()0AB AD AC -⋅=，则四边形ABCD 是（）A ．矩形В．正方形C ．菱形D ．梯形4．《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（）A．4πB．4πC．2πD．2π5．已知a ，b 是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）A ．若a b ∥，b α∥，则a α∥B ．若αβ⊥，a α∥，则a β⊥C ．若αβ⊥，a α⊄，a β⊥，则a α∥D ．若b α⊥，a b ∥，βα⊥，则a β∥6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos a c b C b A -=-，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形7．设()()2,01,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是（）A ．[]1,2-B ．[]1,0-C ．[]1,2D ．[]0,28．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球的表面上有四个点A ，B ，C ，P ，且球心O 在PC 上，AC =BC =4，AC ⊥BC，tan tan 2PAB PBA ∠=∠=，则该鞠（球）的表面积为（）A ．9πB ．18πC ．36πD ．64π二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．下列选项中，与sin30°的值相等的有（）A ．212cos 75-︒B ．sin135cos15cos 45cos 75︒︒-︒︒CD ．tan 20tan 25tan 20tan 25︒+︒+︒︒10．某同学在研究函数()1xf x x=+，（x ∈R ）时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论是（）A ．等式()()0f x f x -+=在x ∈R 时恒成立B ．函数()f x 的值域为()1,1-C ．若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠D ．方程()0f x x -=在R 上有三个根11．已知()2cos ,sin x x ωω=a，(),2cos x x ωω=b ，0ω>，()f x =⋅+a b ，且()f x 的图象的对称中心与对称轴的最小距离为4π，则下列说法正确的是（）A ．1ω=B ．()f x 的图象关于直线12x π=-对称C ．把()f x 图象向左平移12π单位，所得图象关于y 轴对称D ．保持()f x 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后把图象向左平移3π个单位，得到函数2sin y x =的图象12．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图，点F ，G ，M 分别为CC 1，BB 1，B 1C 1的中点，则下列说法正确的是（）A ．平面AD 1F ∥平面A 1MGB ．直线AD 1与直线A 1G所成角的余弦值为10C ．平面AFD 1截正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为98D ．点C 1与点G 到平面AFD 1的距离相等三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．欧拉公式i cos isin xe x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数i 42i eπ的共轭复数为________．14．已知1sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．15．已知函数3tan 1y x ω=+在,34ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围是________．16．已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面积是不确定的．现有一平面凸四边形ABCD ，AB =3，BC =4，CD =5，DA =6，则其面积最大值为________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）如图所示，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CA =a ，CB =b ，1CC =c，CA =CB =CC 1=1，2,,3π==a b c ，,2π=b c ，N 是AB 中点．（1）用a ，b ，c 表示向量1A N；（2）在线段C 1B 1上是否存在点M ，使AM ⊥A 1N ？若存在，求出M 的位置，若不存在，说明理由．18．（本小题满分12分）已知函数()3xf x -=．（1）若函数()3y f x k =--在[]2,1x ∈-上有且仅有一个零点，求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得函数()23log 44f x y m x-=--（0x >）在[],a b 上的值域为[]2,2a b ，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．19．（本小题满分12分）如图所示，已知DOE ，中心角为3π的扇形，P 为弧 DE 上一动点，四边形PQMN 是矩形，∠POD =x （03x π<<）．（1）求矩形PQMN 的面积()f x 的最大值及取得最大值时的x 值；（2）在△ABC 中，()2f C =，2c =，其面积ABC S =△ABC 的周长．20．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =2，AD ，点E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥PC ；（2）求二面角C −AE −D 的大小．21．（本小题满分12分）向量=a （2，2），向量b 与向量a 的夹角为34π，且2⋅=-a b （1）求向量b ；（2）若=t （1，0），且⊥b t ，=c （cos A ，22cos 2C ），其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，且3B π=，试求+b c 的取值范围．22．（本小题满分12分）如图①所示，长方形ABCD 中，AD =1，AB =2，点M 是边CD 的中点，将△ADM 沿AM 翻折到△PAM ，连结PB ，PC ，得到图②的四棱锥P–ABCM ．（1）若棱PB 的中点为N ，求CN 的长；（2）设P −AM −D 的大小为θ，若0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．长郡中学2022年高二暑假作业检测试卷数学得分：本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期入学考试(暑假作业检测)数学试题
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期入学考试（暑假作业检测）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．有一组互不相等的数组成的样本数据1x 、2x 、L 、9x ，其平均数为a （i a x ¹，1i =、2、L 、9），若插入一个数a ，得到一组新的数据，则（ ）A ．两组样本数据的平均数相同B ．两组样本数据的中位数相同C ．两组样本数据的方差相同D ．两组样本数据的极差相同10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱111,,A D AA CD 的中点，则（ ）6,A12．AD【分析】根据函数的对称性，周期性判断A ，根据()g x 与()f x 的关系及周期性判断B ，根据中心对称的性质及周期性可判断CD.【详解】对于A ，因为()()20f x f x -+=，所以()f x 的对称中心为()1,0，因为()()33f x g x +-=，所以()()33f x g x ++=，又()()13f x g x -+=，所以()()31f x f x +=-，所以()()31f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，所以()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=éùëû，即()f x 的周期为4，又()()31g x f x =--，所以()g x 的周期也为4，故A 正确；对于B ，因为()()31f x f x +=-，所以()()4f x f x +=-，又由A 知()f x 周期为4，即()()4f x f x +=，所以()()=f x f x -，()f x 为偶函数，故B 错误；对于C ，由()f x 对称中心为()1,0，得()10f =，又因为直线2x =为()f x 对称轴，所以()30f =，所以()f x 关于点()3,0对称，所以()()22f ,和()()4,4f 关于点()3,0对称，所以()()240f f +=，所以()()()()12340f f f f +++=，所以()()()1220240f f f ++×××+=，故C 错误；对于D ，由C 得()()()()01230f f f f +++=，因为()()31g x f x =--，所以()()130g f =-，()()()23131g f f =--=-，()()332g f =-，()()433g f =-，所以()()()()()()()()123430313233g g g g f f f f +++=-+-+-+-。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
参考公式： ，
25．已知椭圆 ( )的左右焦点分别为 ， 为椭圆 上位于 轴同侧的两点， 的周长为 ， 的最大值为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)若 ，求四边形 面积的取值范围.
C． ，
D． ，
3．某高级中学共有学生3000人,其中高二年级有学生800人,高三年级有学生1200人,为了调查学生的课外阅读时长,现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（ ）
A．20B．25C．30D．35
4．从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（）
日期
1月20日
2月20日
3月20日
4月20日
5月20日
6月20日
昼夜温差
10
11
13
12
8
6
就诊人数 人
22
25
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16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程 ；
12． ，使 ，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
13．已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，点 在抛物线 上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”
B．“ ”是“ ”的充要条件
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题(含答案)
长郡中学2024年高二暑假作业检测试卷数学得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“对任意，”的否定为A ．对任意， B ．存在，C ．对任意，D ．存在，2．已知，，则A ． B ．C ．D ．3．已知，则A ．2B ．C ．4D ．★4．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（-∞，0]上单调递增，若对任意的，不等式恒成立，则a 的取值范围是A ．B ．C ．（-2，2） D ．（-∞，-2）∪（2，＋∞）5．已知，，则A．B ．C ．D ．★6．若函数有两个零点，则实数m 的取值范围是A ．（-1，2）B ．（-1，1）C ．（0，1）D ．（-1，0）7．如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，最短路线长度为x ∈R 2240x x -+≤x ∈R 2240x x -+≥0x ∈R 200240x x -+>x ∉R 2240x x -+≥0x ∉R 200240x x -+>{}|43A x x =-≤≤(){}|lg 10B x x =->A B = {}|42x x -<≤{}|42x x -≤≤{}|23x x <<{}|23x x <≤3i1iz +=-|1|z +=x ∈R ()()21f ax f x >+11,22⎛⎫-⎪⎝⎭11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()2tan 5αβ+=πtan 4β⎛⎫+=⎪⎝⎭3221318161322()|e 1|xf x m =-+12PA =23AB AP =A ．B ．16C ．D ．128．在△ABC 中，，O 是△ABC 的外心，M 为BC 的中点，，N 是直线OM 上异于M ，O 两点的任意一点，则A ．3B ．6C ．7D ．9二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知事件A ，B 发生的概率分别为，，则A ．若，则事件与B 相互独立 B ．若A 与B 相互独立，则C ．若A 与B 互斥，则 D ．若B 发生时A10．，，若在上的投影向量为，则A ． B ． C ． D ．11．已知，，且，则A ． B ．C ．的最大值为2D ．选择题答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知函数则________．AC =8AB AO ⋅=AN BC ⋅=()13P A =()16P B =()19P AB =A ()49P A B = ()49P A B =(),1a λ= ()1,1b =-a b b 3λ=a b P ()a ab ⊥- ||a b -=1x >1y >4xy =45x y +<≤220log log 1x y <⋅≤2log yx21log log 2x x y -+<≤()()3,0,2,0,x x f x f x x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩≤31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13．一组数据42，38，45，43，41，47，44，46的第75百分位数是________．★14．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）★15．（13分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，．（1）求△ABC 的面积；（2）若b ．16．（15分）已知函数，．（1）解不等式；（2）若对任意的恒成立，求m 的取值范围．★17．（15分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是菱形，，，E 为AD 的中点，点F 在PA 上，．（1）证明：；（2）若，且PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值．18．（17分）已知函数f （x ）满足：，，且当时，，函数．（1）求实数m 的值；111ABC A B C -1AB =12AC AA ==2π3BAC ∠=1S 2S 3S 123S S S -+=1sin 3B=sin sin A C =()πcos 1224x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()sin 2g x x =()1f x ≥()()mf x g x ≤π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦PBC ABCD ⊥平面平面30ACD ∠=︒3AP AF =PC BEF 平面P PDC PDB ∠=∠x ∀∈R ()()132f x f x +=-[]0,3x ∈()2f x x x m =--+()()21xg x =-（2）若，且，求x 的取值范围；（3）已知，其中，是否存在实数λ，使得恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（17分）设整数集合，其中，且对任意i ，j （），若，则．（1）请写出一个满足条件的集合A ；（2）证明：对任意，；（3）若，求满足条件的集合A 的个数．长郡中学2024年高二暑假作业检测试卷数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案BDBCADCBABADABC8．B 【解析】因为O 是△ABC 的外心，M 为BC 的中点，设AC 的中点为D ，连接OD ，所以，，设，则，又O 是△ABC 的外心，所以，所以．故选B ．(0,3]x ∈()()0g x f x ->()223h x x x λλ=-+-+[]0,1x ∈()()()()g h x f h x >{}12100,,,A a a a = 121001205a a a <<< ≤≤1100i j ≤≤≤i j A +∈i j a a A +∈{}101,102,,200x ∈ x A ∉100205a =OM BC ⊥OD AC ⊥ON OM λ= ()AN BC AO ON BC AO BC OM BCλ⋅=+⋅=⋅+⋅ ()AO BC AO BA AC=⋅=⋅+AO BA AO AC AO AB AO AC =⋅+⋅=-⋅+⋅ ()(2211||||cos ||cos ||||1422AO AC AO AC CAO AO CAO AC AC ⋅=⋅∠=∠⋅==⨯= 8146AN BC AO AB AO AC ⋅=-⋅+⋅=-+=11．ABC 【解析】因为，所以，因为所以，对于A ，，令，，由双勾函数的性质可得函数f （x ）在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，所以，又，，所以，即，故A 正确；对于B ，，由，得，所以，即，故B 正确；对于C ，令，则，即，即，则，由，得，所以当时，lg k 取得最大值lg2，所以k 的最大值为2，即的最大值为2，故C 正确；对于D ，，令，，则，4xy =4y x=1,41,x y x >⎧⎪⎨=>⎪⎩14x <<4x y x x +=+()4f x x x=+14x <<()()min 24f x f ==()15f =()45f =()[4,5)f x ∈45x y +<≤()()222222224log log log log log 2log log 11x y x x x x x⋅=⋅=⋅-=--+14x <<20log 2x <<()220log 111x <--+≤220log log 1x y <⋅≤2log yxk =224log log log x y k x==4lglg lg 2lg k x x =2lg 2lg lg lg 2lg x kx -=()()()22lg 2lg 2lg lg lg 2lg 2lg lg 2lg 2x x x k -+⋅--+==14x <<0lg 2lg 2x <<lg lg 2x =2log yx2224log log log log log 2log 21x xx x y x x x+=+=+-2log t x ∈()0,2t ∈1log 2x t=则，令，，由双勾函数的性质可得函数g （t ）在上单调递减，在上单调递增所以，当x →0时，g （t ）→＋∞，所以，即，故D 错误．故选ABC ．三、填空题12．13．45.5 14．四、解答题15．【解析】（1）由题意得，，，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，所以，即，则．（2）由正弦定理得，则，222log log log 2log 211x xx y x t t+=+-=+-()21g t t t=+-()0,2t ∈()2()min 1g t g==()1,)g t ∈-+∞2log log 1x x y +≥811640π322112S a =⋅=22S =23S =222123S S S a -+=-+=2222a c b +-=222cos 2a c b B ac+-=cos 1ac B =cos 0B >1sin 3B =cos B ==1cos ac B ==1sin 2ABC S ac B ==△sin sin sin b a cB A C==229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =⋅===则，所以．16．【解析】（1）依题意，，由，得则，，解得，，所以不等式的解集为（）．（2）由，得，由，得，令，，原不等式化为，即，显然函数在上单调递增，则当时，，因此，所以m 的取值范围为．17．【解析】（1）设AC ，BE 的交点为O ，连接FO ，易知O 为△ABD 的重心，所以，而，所以在△APC 中，，所以，又，，所以．（2）因为，所以，所以△DCB 为等边三角形，所以，又因为，所以，所以，取BC 的中点为H ，连接PH ，则，3sin 2b B =31sin 22b B ==()212sin cos 12sin 222222x x x x x x f x ⎫=-+=+-⎪⎪⎭πsin cos 4x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()1f x ≥πsin 4x ⎛⎫+⎪⎝⎭ππ3π2π2π444k x k +++≤≤k ∈Z π2π2π2k x k +≤≤k ∈Z ()1f x ≥π2π,2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ()()mf x g x ≤()sin cos sin 2m x x x +≤π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πππ442x +≤≤πsin 14x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭2sin 22sin cos 1x x x t ==-21mt t -≤211t mt t t t-=-≤1y t t =-1t =min 0y =0m ≤0m ≤12AO OC =12AF FP =12AO AF OC FP ==FO PC P FO BEF ⊂平面PC BEF ⊄平面PCBEF 平面P 30ACD ∠=︒30ACB ∠=︒DC DB =PDC PDB ∠=∠PDB PDC △≌△PB PC =PH BC ⊥因为，，所以，以H 为坐标原点，HD ，HB ，HP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为PD 与平面ABCD 所成的角为，所以，设菱形ABCD 的边长为2，则，B （0，1，0），，，，因为，所以，，，，设平面AEF 的法向量为，则令，，，所以，设平面BEF 的法向量为，则令，，所以，则PBC ABCD ⊥平面平面PBC ABCD BC = 平面平面PH ABCD ⊥平面45PDH ∠=︒PH DH =PH DH ==(P )2,0A )D)E3AP AF = 43F 13EF ⎛= ⎝ ()0,1,0AE =-)BE =(),,n x y z =0,0,10,03y n AE x y z n EF -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎪⎪⎩⎩ 1x =0y =1z =()1,0,1n =()222,,m x y z =22220,0,100,3m BE m EF x y z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩ 2y =20x =21z =-()1m =-cos ,||||m n m n m n ⋅==所以平面AEF 与平面BEF．18．【解析】（1）由题意得，即，解得．（2）时，，即，令，定义域为，可以看出，又在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故的解集为（2，3]．（3）的定义域为（0，＋∞），要使恒成立，首先满足在上恒成立，由于开口向下，只需解得，此时，故当时，对任意时恒成立，令，则恒成立，即恒成立，由（2）可知，的解集为（2，3]，故只需解得，综上，存在满足条件．19．【解析】（1）答案不唯一．如．()()1302f f =-21332m m --+=-8m =(0,3]x ∈()()0g x f x ->()22180xx x -++->()()2218xu x x x =-+-(0,3]x ∈()234280u =++-=()()21xg x =-(0,3]x ∈22133824y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭(0,3]x ∈()()2218xu x x x =-++-(0,3]x ∈()()0g x f x ->()()21xg x =-()()()()g h x f h x >()0h x >[0,1]x ∈()223h x x x λλ=-+-+()()22030,1130,h h λλλ⎧=-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩1λ-<<()22233333244h x x λλλ⎛⎫=---+-+ ⎪⎝⎭≤≤1λ-<<()03h x <≤[0,1]x ∈()()03s h x s =<≤()()g s f s >()()0g s f s ->()()0g s f s ->()()22032,1132,h h λλλ⎧=-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩01λ<<01λ<<{}1,2,3,,100A =（2）假设存在一个使得，令，其中且，由题意，得，由为正整数，得，这与为集合A 中的最大元素矛盾，所以对任意．（3）设集合中有个元素，，由题意，得，，由（2）知，．假设，则．因为，由题设条件，得，因为，所以由（2）可得，这与为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以，又因为，，所以．任给集合{201，202，203，204}的元子集B ，令，以下证明集合符合题意：对于任意i ，j （），则．若，则有，所以，，从而．故集合符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201，202，203，204}的子集个数相同，{}0101,102,,200x ∈ 0x A ∈0100x s =+s ∈N 1100s ≤≤100s a a A +∈s a 100100s a a a +>100a {}101,102,,200x ∈ x A ∉{}201,202,,205A ()15m m ≤≤100m a b -=12100200m a a a -<<< ≤10011002100200m m a a a -+-+<<<< 100100m a b -=≤100b m >-1000b m -+>10010010055100b m m -+-+=<-≤100100m b m a a A --++∈100100100100200m b m a a --+++=≤100100100m b m a a --++≤100m a -100100m a m --≤121001m a a a -<<< ≤i a ∈N ()1100i a i i m =-≤≤1m -{}{}01,2,,100205A m B =- 0A 1100i j ≤≤≤200i j +≤0i j A +∈100i j m +-≤i a i =j a j =0i j a a i j A +=+∈0A故满足条件的集合A 有个．4216。
长郡中学高二入学考试文科数学考试试题及参考答案
() # $ ,) " $
* ) " 1 -) 9
如图是一个无盖器皿的三视图% 正视图$ 侧视图和俯视图中的正方形边 : ! ( 长为# % 正视图$ 侧视图中的虚线都是半圆% 则该器皿的表面积是
() 0 # 1 ,) # 0 # 1
* ) 0 # $ -) # 0 # $
设锐角 )) $ % 且+'" % " $ ! * , 的三内角 )$ *$ , 所对边的边长分别为+$ . * 则-的取值范围为 ' # )%
班!级!
,)向右平移 -)向左平移 1 1 函数& ! # ' . 6 0 % #! "的零点必落在区间 8 / %# " " 7 1 " " ,) # () * ) " " 1 #
-)" #
2 3 4 0 ! 2 3 4 ! # 已知角 的终边上有一点 则 的值为 & ! ( "% # 5 6 2 # 0 () " * ) ! 1 8
* ) ! # 0+ -) ! # # # 0+ %
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已知函数 & 的最小正周期为 为了得 ! # '2 3 4 #! #& $ 1 ' 1 只要将%' 的图像 到函数' # ' 5 6 2 # 的图像 # & % ()向右平移 7 % * )向左平移 7
! & 故选 *( & & )" ) -' " ! ) %! ! 解析% ! & 故选 *( & & & ! *!$ $ ! % ) " "" ! " "" $ "