高等代数向量空间思考题

1. 设V 是数域Ω上的n 维向量空间, 1,,s u u V ∈…线性无关, 1,,t w w V ∈…, 这 里s t n +=. 对每个{1,2,,}i t ∈…, 记

{11111 [,,,], [,,,,,,,,].i s i

i s i i t

V u u w W u u w w w w −+==………… 假设对每个{1,2,,}i t ∈…, 有dim 1i V s =+, 且对任意的{1,2,,}i j t ≠∈…, 有i j W W ≠. 证明: 11,,,,,s t u u w w ……恰是V 的一个基底.

2. 设V 是数域Ω上的n 维向量空间，

σ是V 上的线性变换，设 Im {()|}, Ker {|()0},x x V x V x σσσσ=∈=∈=

证明存在正整数k 使得Im Ker .k k V σσ=⊕

3. 设V 是复数域 上的n 维向量空间, σ,τ均是V 的线性变换, 假设σ,τ的特征多项式相同, 且σττσ=. 若V 可分解成σ的一维不变子空间的直和, 而τ的每个特征子空间都是一维的, 则对任意的u V θ≠∈, 有u 是σ的特征向量当且仅当u 是τ的根向量.

4. 设σ是欧氏空间V 上的线性变换，证明σ是正交变换当且仅当对V 的任意子空间S 均有() ().V S S σσ⊥⊥=⊕

5. 设ξ是n 维欧氏空间V 上的一个双线性函数, 那么存在唯一的,p q ∈ , 使得在V 的适当基底1,,n u u …下, 对任意的11n n u a u a u V =++∈ , 有

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2211(,)p p p q u u a a a a ξ++=++−−− .