数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)

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数列求和讲义及练习题

数列求和数列求和这类问题在初中、高中乃至大学的课本里都占有一定的比例，我们在小学学习数列求和问题的目的旨在发散思维，断炼学生观察事物的能力，通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律。

【知识要点】数列：若干个数排成一列称为数列。

项：数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

特殊的数列——等差数列：数列中任意相邻两项的差相当公差：等差数列中相邻两项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1【例题讲解及思维拓展训练题】例1：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析：这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。

要求第100项列表分析找规律：解：第100项=3+（100－1）×4=399.总结：通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差思维拓展训练一：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2，6，10，14……的第100项。

例2：有一个数列：4，10，16，22，…，52.这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.总结例1：要求一列数有多少项，可以先求出末项比首项多的公差的个数，再加1.解：项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

总结：项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1思维拓展训练二：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2，5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11，16，21，26，…，1001.这个等差数列共有多少项？例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

(重要)高中数学数列十种求通项和七种求和方法,练习及问题详解

高中数列知识点总结1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=〔d 为常数〕,()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和：()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：〔1〕假如m n p q +=+,如此m n p q a a a a +=+；〔2〕{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+〔a b ，为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数〕2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=〔q 为常数,0q ≠〕,11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=,或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩〔要注意公比q 〕性质：{}n a 是等比数列〔1〕假如m n p q +=+,如此mn p q a a a a =·· 3．求数列通项公式的常用方法一、公式法例1 数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯,12a =,求数列{}n a 的通项公式.解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +,得113222n n n n a a ++=+,如此113222n n n n a a ++-=,故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项,以23为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-.二、累加法 )(1n f a a n n =--例2 数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式.解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+如此所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.例3数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式.解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +,得111213333n n n n n a a +++=++, 如此111213333n n n n n a a +++-=+三、累乘法)(1n f a a n n=- 例4 数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式.解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，,所以0n a ≠,如此12(1)5n n na n a +=+,故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯例5 〔2004年全国I 第15题,原题是填空题〕数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，,求{}n a 的通项公式. 解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥①所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+②用②式－①式得1.n n n a a na +-=如此1(1)(2)n n a n a n +=+≥故11(2)n na n n a +=+≥ 四、待定系数法〔重点〕例6 数列{}n a 满足112356nn n a a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式.解：设1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯④将1235n n n a a +=+⨯代入④式,得12355225n n nn n a x a x ++⨯+⨯=+⨯,等式两边消去2n a ,得135525n n n x x +⋅+⋅=⋅,两边除以5n ,得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-例7 数列{}n a 满足1135241nn n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式.解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+⑥将13524nn n a a +=+⨯+代入⑥式,得整理得(52)24323n nx y x y +⨯++=⨯+.令52343x x y y +=⎧⎨+=⎩,如此52x y =⎧⎨=⎩,代入⑥式得115223(522)n nn n a a +++⨯+=+⨯+⑦例8 数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，,求数列{}n a 的通项公式.解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++⑧将212345n n a a n n +=+++代入⑧式,得2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++,如此等式两边消去2n a ,得22(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++,解方程组3224252x x x y y x y z z+=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩,如此31018x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,代入⑧式,得2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++⑨五、对数变换法例9 数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯,17a =,求数列{}n a 的通项公式.解：因为511237n n n a a a +=⨯⨯=，,所以100n n a a +>>，.在5123n n n a a +=⨯⨯式两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++⑩设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++错误! 六、迭代法例10 数列{}n a 满足3(1)2115nn n n a a a ++==，,求数列{}n a 的通项公式.解：因为3(1)21n n n n a a ++=,所以121323(1)23212[]n n n n n n n n n a a a ---⋅-⋅⋅--== 七、数学归纳法例11 11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，,求数列{}n a 的通项公式.〔其他方法呢？〕解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++与189a =,得由此可猜想22(21)1(21)n n a n +-=+,往下用数学归纳法证明这个结论. 〔1〕当1n =时,212(211)18(211)9a ⨯+-==⨯+,所以等式成立. 〔2〕假设当n k =时等式成立,即22(21)1(21)k k a k +-=+,如此当1n k =+时, 由此可知,当1n k =+时等式也成立.根据〔1〕,〔2〕可知,等式对任何*n N ∈都成立. 八、换元法例12 数列{}n a满足111(14116n n a a a +=+=，,求数列{}n a 的通项公式.解：令n b =如此21(1)24n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=-,代入11(1416n n a a +=+得即2214(3)n n b b +=+因为0n b =≥,故10n b +=≥ 如此123n n b b +=+,即11322n n b b +=+,可化为113(3)2n n b b +-=-, 九、不动点法例13 数列{}n a 满足112124441n n n a a a a +-==+，,求数列{}n a 的通项公式.解：令212441x x x -=+,得2420240x x -+=,如此1223x x ==，是函数2124()41x f x x -=+的两个不动点.因为十、倒数法11212nn n a a a a +==+，,求n a 4. 求数列前n 项和的常用方法一、公式法利用如下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1]求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.二、错位相减法〔等差乘等比〕[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知,{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②〔设制错位〕 ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS 〔错位相减〕∴1224-+-=n n n S三、倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列〔反序〕,再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明：设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-〔反序〕又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-〔反序相加〕 ∴nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②〔反序〕又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得〔反序相加〕)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,假如将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ,… [例8] 求数列{n<n+1><2n+1>}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132〔分组〕五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：〔1〕)()1(n f n f a n -+= 〔2〕n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ 〔3〕111)1(1+-=+=n n n n a n 〔4〕)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 〔5〕])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n<6> nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10] 在数列{a n }中,11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ,又12+⋅=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和. [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+〔裂项〕 ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S 〔裂项求和〕＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵)180cos(cosn n --= 〔找特殊性质项〕∴S n ＝〔cos1°+ cos179°〕+〔 cos2°+ cos178°〕+〔cos3°+ cos177°〕+···+〔cos89°+ cos91°〕+ cos90° 〔合并求和〕＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1,求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得 ……∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a 〔找特殊性质项〕 ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++〔合并求和〕＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中,假如103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+〔找特殊性质项〕和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=〔合并求和〕＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构与特征进展分析,找出数列的通项与其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和,是一个重要的方法. [例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个〔找通项与特征〕 ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n 〔分组求和〕＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.数列练习一、选择题}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,如此1a =A.21B. 22C.2 D.22.为等差数列,,如此等于{}n a 的前n 项和为n S .假如4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,如此10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 90 . 4设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,23a =,611a =,如此7S 等于A ．13B ．35C ．49D ． 63 5.{}n a 为等差数列,且7a －24a ＝－1,3a ＝0,如此公差d ＝〔A 〕－2 〔B 〕－12 〔C 〕12〔D 〕2 ｛n a ｝的公差不为零,首项1a ＝1,2a 是1a 和5a 的等比中项,如此数列的前10项之和 A. 90 B. 100 C. 145 D. 1907.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,2110m m ma a a -++-=,2138m S -=,如此m = 〔A 〕38 〔B 〕20 〔C 〕10 〔D 〕9 .{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,如此{}n a 的前n 项和n S =A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n+D ．2n n +｛n a ｝的公差不为零,首项1a ＝1,2a 是1a 和5a 的等比中项,如此数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 二、填空题1设等比数列{}n a 的公比12q =,前n 项和为n S ,如此44S a =．2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,如此4S ,84S S -,128S S -,1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ,如此4T , , ,1612T T 成等比数列．}{n a 中,6,7253+==a a a ,如此____________6=a .4.等比数列{n a }的公比0q >, 2a =1,216n n n a a a +++=,如此{n a }的前4项和4S = .数列练习参考答案一、选择题1.[答案]B[解析]设公比为q ,由得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q =,又因为等比数列}{n a 的公比为正数,所以2q =故2122a a q ===,选B 2.[解析]∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-⨯=.选B.[答案]B3.答案：C[解析]由2437a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由81568322S a d =+=得 1278a d +=如此12,3d a ==-,所以1019010602S a d =+=,.应当选C 4.解:172677()7()7(311)49.222a a a a S +++====应当选C. 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯=所以1777()7(113)49.22a a S ++===应当选C. 5.[解析]a 7－2a 4＝a 3＋4d －2<a 3＋d>＝2d ＝－1 ⇒ d ＝－12[答案]B 6.[答案]B[解析]设公差为d ,如此)41(1)1(2d d +⋅=+.∵d ≠0,解得d ＝2,∴10S ＝1007.[答案]C[解析]因为{}n a 是等差数列,所以,112m m m a a a -++=,由2110m m m a a a -++-=,得：2m a －2m a ＝0,所以,m a ＝2,又2138m S -=,即2))(12(121-+-m a a m ＝38,即〔2m －1〕×2＝38,解得m ＝10,应当选.C.8.[答案]A 解析设数列{}n a 的公差为d ,如此根据题意得(22)22(25)d d +=⋅+,解得12d =或0d =〔舍去〕,所以数列{}n a 的前n 项和2(1)1722244n n n n nS n -=+⨯=+ 9.[答案]B[解析]设公差为d ,如此)41(1)1(2d d +⋅=+.∵d ≠0,解得d ＝2,∴10S ＝100二、填空题1.[命题意图]此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识点的考查充分表现了通项公式和前n 项和的知识联系．[解析]对于4431444134(1)1,,151(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--2.答案：81248,T T T T [命题意图]此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等比数列的知识,也考查了通过条件进展类比推理的方法和能力3.[解析]:设等差数列}{n a 的公差为d ,如此由得⎩⎨⎧++=+=+6472111d a d a d a 解得132a d =⎧⎨=⎩,所以61513a a d =+=.答案:13.[命题立意]:此题考查等差数列的通项公式以与根本计算.4.[答案]152[解析]由216n n n a a a +++=得：116-+=+n n n q q q ,即062=-+q q ,0q >,解得：q ＝2,又2a =1,所以,112a =,21)21(2144--=S ＝152三、大题{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +==1〕.求数列{}n a 的通项公式.2〕.设31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.{an}满足a2=0,a6+a8=-10〔I 〕求数列{an}的通项公式；〔II 〕求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．2*.正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,假如312S =,且1232,,1a a a +成等比数列. 〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕记3nn n a b =的前n 项和为n T ,求n T . 3. 数列{a n }满足a 1=1,a 2=3,a n+2=3a n+1-2a n 〔n ∈N +〕〔1〕证明：数列{a n+1-a n }是等比数列；〔2〕求数列{a n }的通项公式{}n a 的各项满足：k a 311-=)(R k ∈,1143n n n a a --=-.<1> 判断数列}74{nn a -是否成等比数列；〔2〕求数列{}n a 的通项公式{}n a 和正项等比数列{}n b ,111==b a ,1073=+a a ,3b ＝4a〔1〕求数列{}n a 、{}n b 的通项公式〔2〕假如n n n b a c •=,求数列{}n c 的前n 项和n T。

数列求和常用方法(含答案)

数列专题数列求和常用方法一、公式法例1在数列{a n }中，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝10，a 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．解： (1)因为2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝10，a 5＝a 1＋4d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－5，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15－5(n －1)＝－5n ＋20．(2)由(1)可知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－52n 2＋352n ，因为对称轴n ＝72，所以当n ＝3或4时，S n 取得最大值为S 3＝S 4＝30．跟踪练习1、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝1，a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5，所以b 1q ·b 1q 3＝9. 又b 1＝1，所以q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.则b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.二、分组转化法例2、已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝20，(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，a 1d ＝0，因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *，因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n ，n 为奇数＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，4n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2) ＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．跟踪练习1、已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围．解 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49，则a 4＝7，故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2，故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1， T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1 ＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝21－22n ＋11－4＋n (1＋2n －1)2＝22n ＋13＋n 2－23.易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000，故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *.三、并项求和法例3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5，又a 5＝9＝a 1＋4d ，所以d ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时， T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)] ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n 为奇数时，n －1为偶数， T n ＝T n －1＋(－1)n·n 2＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2. 综上可知，T n ＝(－1)n n (n ＋1)2.四、裂项相消法例4、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，解得a 1＝3；当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3a n －3－3a n －1＋3＝3a n －3a n －1，得a n ＝3a n －1，因为a n ≠0，所以a na n －1＝3，因为a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n ． (2)因为log 3a n ＝log 33n ＝n ，所以b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1．跟踪练习1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．解： (1)由S n ＝2a n －1，可得n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1；n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，又S n ＝2a n －1，两式相减可得a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－2a n －1＋1，即有a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1．设等差数列{b n }的公差为d ，且b 1＝a 1＝1，b 6＝a 5＝16，可得d ＝b 6－b 16－1＝3，所以b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2．(2)证明：c n ＝1b n b n ＋1＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，所以T n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17＋17－110＋…＋13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1<13，则3T n ＜1．2、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *，所以a n ＋1＋a n －2a n ＋1a n ＝4，即(a n ＋1－a n )2＝4，又{a n }是各项为正数的单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2.(2)b n ＝1a n －1＝14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.3、已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)由已知得a n ＋1－a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2＋2(1－2n －1)1－2＝2n .又a 1＝2，也满足上式，故a n ＝2n . (2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n ， 1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故T n ＝nn ＋1.五、错位相减法例5、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1． (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1，∴a n ≠0，∴1a n ＝1a n ＋1－2⇒1a n ＋1－1a n ＝2，又∵1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a n ＝12n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知：b n ＝(2n －1)×3n ，∴S n ＝1×3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n －1)×3n ， 3S n ＝1×32＋3×33＋5×34＋7×35＋…＋(2n －1)×3n ＋1，两式相减得－2S n ＝3＋2×32＋2×33＋2×34＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2(32＋33＋34＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)×3n ＋1＝3＋3n ＋1－9－(2n －1)×3n ＋1＝2(1－n )×3n ＋1－6 ∴S n ＝(n －1)×3n ＋1＋3．跟踪练习1、已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1．(1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)设b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )，求数列{b n }的前n 项和T n ．解： (1)因为a n ＋1＝2a n ＋n －1，所以a n ＋1＋(n ＋1)＝2a n ＋2n ，即a n ＋1＋(n ＋1)a n ＋n＝2，又a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋n }是以2为首项2为公比的等比数列，则a n ＋n ＝2·2n －1＝2n ，故a n ＝2n －n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )－(1＋2＋…＋n )＝2·(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－n (1＋n )2．(2)由(1)得，b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )＝(2n －1)·2n ，则T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ，①2T n ＝22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②①－②得－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)·2n ＋1＝2×(2＋22＋…＋2n )－2－(2n －1)·2n ＋1＝－(2n －3)·2n ＋1－6，所以T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2，两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2，即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)，则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列，则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1． (2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)，设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1， 3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n ＝1－3n1－3－n ·3n ，化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．3、设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项． (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．解 (1)设{a n }的公比为q ， ∵a 1为a 2，a 3的等差中项， ∴2a 1＝a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2，a 1≠0， ∴q 2＋q －2＝0， ∵q ≠1，∴q ＝－2.(2)设{na n }的前n 项和为S n ， a 1＝1，a n ＝(－2)n －1，S n ＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n (－2)n －1，①－2S n ＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n (－2)n ，② ①－②得，3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n (－2)n ＝1－(－2)n 1－(－2)－n (－2)n ＝1－(1＋3n )(－2)n3，∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n9，n ∈N *.4、设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n . (1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2＝3a 1－4＝9－4＝5， a 3＝3a 2－8＝15－8＝7，由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)可知，a n ·2n ＝(2n ＋1)·2n ，S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，①2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②得，－S n ＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2，即S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.5、已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝a n ·2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使T n >2 022的最小的正整数n 的值．解 (1)当n ≥2时，由a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2，得a 2n ＝2S n －1＋n －1＋1，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1，即a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2.∵{a n }是正项数列，∴a n ＋1＝a n ＋1. 当n ＝1时，a 22＝2a 1＋2＝4， ∴a 1＝1，∴a 2－a 1＝1，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n . (2)由(1)知b n ＝a n ·2n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，两式相减得－T n ＝2·(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.∴T n －T n －1＝n ·2n >0， ∴T n 单调递增．当n ＝7时，T 7＝6×28＋2＝1 538<2 022，当n ＝8时，T 8＝7×29＋2＝3 586>2 022， ∴使T n >2 022的最小的正整数n 的值为8.6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为4S n ＋1＝3S n －9，所以当n ≥2时，4S n ＝3S n －1－9，两式相减可得4a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝34.当n ＝1时，4S 2＝4⎝⎛⎭⎫－94＋a 2＝－274－9，解得a 2＝－2716，所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列，所以a n ＝－94×⎝⎛⎭⎫34n －1＝－3n＋14n .(2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0，所以b n ＝(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n.所以T n ＝－3×34－2×⎝⎛⎭⎫342－1×⎝⎛⎭⎫343＋0×⎝⎛⎭⎫344＋…＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ，① 且34T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫342－2×⎝⎛⎭⎫343－1×⎝⎛⎭⎫344＋0×⎝⎛⎭⎫345＋…＋(n －5)×⎝⎛⎭⎫34n ＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，② ①－②得14T n ＝－3×34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－94＋916⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －11－34－(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，所以T n ＝－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1≤λ⎣⎡⎦⎤(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n 恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立，当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1；当n ＝4时，－12≤0恒成立，当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3. 所以－3≤λ≤1.。

数列通项公式和前n项和求解方法(有针对训练)

专题一：数列通项公式的求法一．观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，… （2） ,52,21,32,1一、公式法公式法1：特殊数列公式法2：知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n n n例2：已知数列}{n a 的前n 项和n S 的公式12-+=n n S n ，求}{n a 的通项公式.例3：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．三、累加法【型如)(1n f a a n n +=+的递推关系】简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得。

例：若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a例4：已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.四、累乘法【形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例5：在数列｛n a ｝中，1a =1, n n a n a n ⋅=⋅++1)1( ，求n a 的表达式.五、构造特殊数列法【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c d λ，所以：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列. 例6：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a .六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例7：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式.解析：由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ①2≥n 时， )2(2121-=+++-n a a a n ②由①-②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ，求数列{n a }的通项公式。

2022年高考数学核心考点专题训练专题23 数列的通项公式与求和(含解析)

2022年高考数学核心考点专题训练专题23数列的通项公式与求和一、单选题（本大题共10小题，共50分）1．据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同．．．．．．．）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（）A ．86.2米B ．83.6米C ．84.8米D ．85.8米2．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（）A ．()171a r +B ．()()1711a r r r ⎡⎤+-+⎣⎦C ．()181a r +D ．()()1811a r r r ⎡⎤+-+⎣⎦3．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x 元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y 元.则y -x 的值为（）(参考数据：1.01512≈1.2)A ．0B ．1200C ．1030D ．9004．已知数列中的前项和为，对任意，，且恒成立，则实数的取值范围是A．B．C ．D ．5．在数列{}n a 中,11,a =当2n ≥时,其前n 项和为n S 满足()21n n n S a S =-,设22log nn n S b S +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,则满足6n T ≥的最小正整数n 是A ．12B ．11C ．10D ．96．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且15a =，116(2)2n n a a n -=-+≥，若对任意的*n N ∈，1(4)3n p S n ≤-≤恒成立，则实数p 的取值范围为A ．(2,3]B ．[2,3]C ．(2,4]D ．[2,4]7．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米8．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．89．删去正整数数列1,2,3, 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是A ．2062B ．2063C ．2064D ．206510．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，123n n a a n ++=+，且1450n S =，若24a <，则n 的最大值为A ．51B ．52C ．53D ．54二、填空题（本大题共4小题，共20分）11．设数列{}n a 满足123a =，且对任意的*n N ∈，满足22n n n a a +-≤，452nn n a a +-≥⨯,则2017a =_________12．数列{}n a 满足*12121(1,)n n n n n n n n a a a a a a a a n N +++++=++≠∈，且11a =，22a =.若sin()(0,)2n a A n c πωϕωϕ=++><，则实数A =__________．13．1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为1，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得13AC DB AB ==，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的线段EC 、ED 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为n S ，对任意的正整数n ，都有n S a ＜，则a 的最小值为__________．14．对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，已知正数列{a n }满足S n =12（a n n 1a +），n ∈N*，其中S n 为数列{a n }的前n 项的和，则[12121111S S S ++⋯+]=______．三、解答题（本大题共3小题，共30分）15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n an b n =-+，求数列1{}nb 的前n 项和n T .16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠-（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若q ∈R ，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．17．已知无穷数列{}n a 与无穷数列{}n b 满足下列条件：①{0,1,2},n a n ∈∈*N ；②1111(1)||,24n n n n n b a a n b *++=-⋅-∈N .记数列{}n b 的前n 项积为n T .（1）若112341 ,0 , 2 ,1a b a a a =====，求4T ；（2）是否存在1234,,,a a a a ，使得1234,,,b b b b 成等差数列？若存在，请写出一组1234,,,a a a a ;若不存在，请说明理由；（3）若11b =，求2021T 的最大值.专题23数列的通项公式与求和一、单选题（本大题共10小题，共50分）1．据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同．．．．．．．）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（）A ．86.2米B ．83.6米C ．84.8米D ．85.8米【答案】A【解析】解：由题意可知所求高度为17.6910852686.2÷⨯≈，所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米，故选：A2．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（）A ．()171a r +B ．()()1711a r r r ⎡⎤+-+⎣⎦C ．()181a r +D ．()()1811a r r r ⎡⎤+-+⎣⎦【答案】D【解析】根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为()171a r +，同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为()161a r +，孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为()151a r +，孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为()1a r +，可以看成是以()1a r +为首项，1r +为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：()()()()()()()()171716181111111111a r r a S a r a r a r r r r r ⎡⎤+-+⎣⎦⎡⎤=++++++==+-+⎣⎦-+ 故选：D3．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x 元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y 元.则y -x 的值为（）(参考数据：1.01512≈1.2)A ．0B ．1200C ．1030D ．900【答案】C【解析】解：由题意知，按复利计算，设小闯同学每个月还款a 元，则小闯同学第一次还款a 元后，还欠本金及利息为10000(1 1.5%)a +-元，第二次还款a 元后，还欠本金及利息为210000(1 1.5%)(1 1.5%)a a +-+-，第三次还款a 元后，还欠本金及利息为3210000(1 1.5%)(1 1.5%)(1 1.5%)a a a +-+-+-，依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即12111010000(1 1.5%)(1 1.5%)(1 1.5%)(1 1.5%)0a a a a +-+-+-⋅⋅⋅-+-=，即12121 1.01510000(1 1.5%)1 1.015a -+=⋅-，解得900a ≈，故1290010800x =⨯=元，按照单利算利息，12月后，所结利息共100000.01525121830⨯⨯=元，故10000183011830y =+=元，所以11830108001030y x -=-=，故选：C4．已知数列中的前项和为，对任意，，且恒成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由有,当1n =时,1111262a S a ==-++-,求得174a =-,当2n ≥时,111111(1)26(1)2(1)622nn n n n n n nn a S S a n a n ----⎡⎤=-=-++---++--⎢⎥⎣⎦,化简得1111(1)(1)22n n n n n a a +-⎡⎤+-=--+⎣⎦,当2()n k k N *=∈,1122n n a -=-+,所以2121222112,222k k k k a a -++=-+=-+,当21()n k k N *=-∈,11222n n na a -=--+,所以,因为恒成立,所以当当2()n k k N *=∈,21222211()()0,2622k k k kp a p a p ++--<∴-+<<-,即31951616p -<<,当2()n k k N *=∈,221()()0k k p a p a ---<,221172326,2244k k p p -+<<-∴-<<,综上两种情况,有72344p -<<．5．在数列{}n a 中,11,a =当2n ≥时,其前n 项和为n S 满足()21n n n S a S =-,设22log nn n S b S +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,则满足6n T ≥的最小正整数n 是A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】C【解析】由()21n n n S a S =-可得()()211n n n n S S S S -=--，即1111n n S S --=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为1，公差为1，则()111n n n S =+-=，解得1n S n=，所以2222log log n n n S n b S n ++==，数列{}n b 的前n 项和22222234512345log log log log log log (1231123n n n T n n ++=+++++=⨯⨯⨯⨯- ()()21212log 12n n n n n n ++++⨯=-．由6n T ≥可得()()212log 62n n ++≥，即()()7122n n ++≥，令()2231312612824f x x x x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，可得函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，而()9180f =-<，()1040f =>，若*x N ∈，则10n ≥，则满足6n T ≥的最小正整数n 是10．故选C ．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且15a =，116(2)2n n a a n -=-+≥，若对任意的*n N ∈，1(4)3n p S n ≤-≤恒成立，则实数p 的取值范围为A ．(2,3]B ．[2,3]C ．(2,4]D ．[2,4]【答案】B【解析】由数列的递推公式可得：()11442n n a a +-=--，则数列{}4n a -是首项为141a -=，公比为12-的等比数列，111141,422n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⨯-∴=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，分组求和可得：211432nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，题中的不等式即2111332np ⎡⎤⎛⎫≤⨯--≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦恒成立，结合恒成立的条件可得实数p 的取值范围为[]2,3本题选择B 选项.7．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米【答案】D【解析】根据题意，这是一个等比数列模型，设11100,,0.110na q a ===，所以110.110010n n a -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，解得4n =，所以()4444111001*********1190a q Sq⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-=--.故选：D.8．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】设最上面一层放1a 根，一共放n （n ≥2）层，则最下一层放()11a n +-根，由等差数列前n 项和公式得：()()1211322n a n +-=，∴12642=1a n n-+，∵1N a *∈,∴n 为264的因数，且2641n n-+为偶数，把各个选项分别代入，验证，可得：n =8满足题意.故选：D9．删去正整数数列1,2,3, 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是A ．2062B ．2063C ．2064D ．2065【答案】B【解析】由题意可得，这些数可以写为：2221,2,3,2,5,6,7,8,3,⋯，第k 个平方数与第1k +个平方数之间有2k个正整数，而数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，去掉45个平方数后，还剩余2025451980-=个数，所以去掉平方数后第2018项应在2025后的第38个数，即是原来数列的第2063项，即为2063，故选B.10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，123n n a a n ++=+，且1450n S =，若24a <，则n 的最大值为A ．51B ．52C ．53D ．54【答案】A【解析】123n n a a n +∴+=+，()()()121n n a n a n +∴-+=--+，(){}1n a n -+是以1-为公比的等比数列，()()()11121n n a n a -∴-+=-⋅-，()()()1311222nn n n S a +--∴=+-⋅当n 为偶数时，()314502n n n S +==无解，当n 为奇数时，()13214502n n n S a +=+-=，()1314522n n a +∴=-，又125a a +=，2154a a ∴=-<，即11a >，即()32902n n +<，又n 为奇数，故n 的最大值为51.故选A二、填空题（本大题共4小题，共20分）11．设数列{}n a 满足123a =，且对任意的*n N ∈，满足22n n n a a +-≤，452nn n a a +-≥⨯,则2017a =_________【答案】201723【解析】∵对任意的*n N ∈，满足22n n n a a +-≤，452nn n a a +-≥⨯，∴2442252()()2252n n n nn n n n n n a a a a a a +++++⨯≤-=-+-≤+=⨯，∴452nn n a a +-=⨯．∴20172017201320132009511()()()a a a a a a a a =-+-++-+ 20132009125(222)3=⨯++++5042(116)251163⨯-=⨯+-201723=．答案：20172312．数列{}n a 满足*12121(1,)n n n n n n n n a a a a a a a a n N +++++=++≠∈，且11a =，22a =.若sin()(0,)2n a A n c πωϕωϕ=++><，则实数A =__________．【答案】【解析】由题意，数列{}n a 满足1212n n n n n n a a a a a a ++++=++且11a =，22a =，令1n =，可得123123a a a a a a =++，即33212a a =++，解得33a =，令2n =，可得234234a a a a a a =++，即44623a a =++，解得41a =，同理可得562,3,a a == ，可得数列{}n a 的周期为3，又由()sin n a A n c ωϕ=++，所以23w π=，所以23w π=，即2sin 3n a A n c πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，又由12321322232333a Asin c a Asin c a Asin c πϕπϕπϕ⎧⎛⎫=++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=++=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得23,233A c πϕ=-=-=，所以3A =-.13．1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为1，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得13AC DB AB ==，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的线段EC 、ED 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为n S ，对任意的正整数n ，都有n S a ＜，则a 的最小值为__________．【答案】2．【解析】设第n 个图形中新出现的等边三角形的边长为n a ，则当2n ≥时，21111333n n n a --⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设第n 个图形中新增加的等边三角形的个数为n b ，则当2n ≥时，22n n b -=，故121123n n n n S S ---⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，其中2n ≥，由累加法可得121121222123111223332313n n n S --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦- 1223n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1n =时，11S =也符合该式，故1223n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故2n S <对任意的1n ≥恒成立，故2a ≥即a 的最小值为2.故答案为：2.14．对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，已知正数列{a n }满足S n =12（a n n 1a +），n ∈N*，其中S n 为数列{a n }的前n 项的和，则[12121111S S S ++⋯+]=______．【答案】20【解析】由题可知0n S >，当1n >时，1111[()]2n n n n n S S S S S --=-+-化简可得2211n n S S --=，当22111,1n S a ===所以数列2{}n S 是以首项和公差都是1的等差数列，即2nn S n S =∴=又1n >时，22(2nS =记12121111S S S S =++一方面1]1)20S >=>另一方面11)]11)21S <+++=+= 所以2021S <<即[]20S =故答案为20三、解答题（本大题共3小题，共30分）15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n an b n =-+，求数列1{}nb 的前n 项和n T .【答案】(1)12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)32342(1)(2)n n T n n +=-++【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由23424,,S S S -成等差数列知，324224S S S =-+，所以432a a =-，即12q =-.又2341216a a a ++=，所以231111216a q a q a q ++=，所以112a =-，所以等比数列{}n a 的通项公式12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知1()22(2)log (2)nn b n n n =-+=+，所以11111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和：11111111111224511233n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦32342(1)(2)n n n +=-++所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32342(1)(2)n n T n n +=-++16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠-（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若q ∈R ，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在【解析】（1）n=1时，11a S a ==，2n ≥时，()1111n n n n n n aa S S q q aq q ---=-=-=-（n=1也符合）()1n n a aq n N -+∴=∈，1n n aq a +∴=，即数列{}n a 是等比数列．（2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n nq q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n nq q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，3q ≥ ，334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴4321n n n n a a a a =++不成立．17．已知无穷数列{}n a 与无穷数列{}n b 满足下列条件：①{0,1,2},n a n ∈∈*N ；②1111(1)||,24n n n n n b a a n b *++=-⋅-∈N .记数列{}n b 的前n 项积为n T .（1）若112341 ,0 , 2 ,1a b a a a =====，求4T ；（2）是否存在1234,,,a a a a ，使得1234,,,b b b b 成等差数列？若存在，请写出一组1234,,,a a a a ;若不存在，请说明理由；（3）若11b =，求2021T 的最大值.【答案】（1）43128T =；（2）不存在，理由见解析；（3）()10201002021max 12T ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解析】（1）12211(1)||242a a b b =-⋅-=-，232321(1)||244a ab b =-⋅-=-，334433(1)||2416a ab b =-⋅-=∴43128T =（2）不存在，假设存在，设1234,,,b b b b 公差为d若10b >，则2340,0,0b b b <<>，公差210d b b =-<，430d b b =->矛盾；若10b <，则2340,0,0b b b >><，公差210d b b =->，430d b b =-<矛盾.∴假设不成立，故不存在.（3）由题意110b =>，且43424140,0,0,0,k k k k b b b b ---><<>设111||24n n n q a a +=-，113,,,1424n q ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，1n n n b q b +=得1n n n b q b +=⋅，进一步得21n n n n b q q b ++=⋅⋅显然1n n q q +⋅的值从大到小依次为3911,,,,4162L（ⅰ）若11n n q q +⋅=，则111n n q q +=⎧⎨=⎩，则112(,)(2,0)(,)(2,0)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩不可能（ⅱ）若134n n q q +⋅=，则1134n n q q +=⎧⎪⎨=⎪⎩或1341n n q q +⎧=⎪⎨⎪=⎩，则112(,)(2,0)(,)(2,1)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩或112(,)(2,1)(,)(2,0)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩不可能（ⅲ）若1916n n q q +⋅=，则13434n n q q +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则112(,)(2,1)(,)(2,1)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩不可能∴112n n q q +⋅≤（当112(,)(2,0)(,)(0,2)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩或112(,)(0,2)(,)(2,0)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩取得）从而212n n b b +≤，∴1111121122111111,22222n n n n n n nb b b b b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅=≤⋅≤⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∴2021123202113520212462020||||||T b b b b b b b b b b b b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L ≤210102100911111111222222⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L 123101010091008112++++++++⎛⎫= ⎪⎝⎭L L 2101010201001122⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当{}n a ：2,0,2,0,2,0,L L 取得）又20210T >，∴()10201002021max12T ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

数列求和-简单(含答案)

.数列求和1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，))(1(31*∈-=N n a S n n （1）求21,a a ；（2）求知数列{}n a 的通项公式。

【答案】（1）12-，14（2）n n a 21-=【解析】（1）由))(1(31),1(311111*∈-=-=N n a a a S 得211-=∴a 又)1(3122-=a S即41),1(312221=-=+a a a a 得,当)1(31)1(31211---=-=≥--n n n n n a a S S a n 时，得211-=-n n a a所以 21-=q 公比，n n a 21-=考点：求数列通项 2．已知等差数列{}n a 满足：52611,18a a a =+=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n n a b 3+=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）21n a n =+；（Ⅱ）2323212-+-+=n n n n S ．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由18,11625=+=a a a 得⎩⎨⎧=+=+186211411d a d a ，解得13,2,a d ==所以21n a n =+；（Ⅱ）由12+=n a n 得213nn b n =++．]()()123357213333nn S n =++++++++++⎡⎤⎣⎦L L ()12231333221322n n n n n n +-=++=+-+-考点：1．等差数列；2．等比数列求和；3．分组转化法求和． 3．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，且，，，．（Ⅰ）求{}n b 通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c -=，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，则，所以，，所以．设等比数列的公比为，因为，，所以，即，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以．从而数列的前项和．4．已知数列{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列，且，，，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n b a c +=，求数列{}n c 的前n 项和{}n T ．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的公差为，的公比为，由，，得，，即有，，则，故．（2）由（1）知，,∴……．5．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且12a =，1a ,5a ,17a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（１）1n a n =+；（2）n T ()21242n n n n ++=++-..【解析】（１）设等差数列{}n a 的公差为d , 由1a ,5a ,17a 成等比数列得:25117a a a =⋅,即()()2242216d d +=⨯+, 整理得()10d d -=, 0d ≠Q ,1d ∴=,∴ ()2111n a n n =+-⨯=+．（2）由（1）可得+12+1n n b n =+．所以123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+()()()()234121122123121n n +++=++++++++++L()()23412222123n n n +=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++()211222122n n n n +⨯+-⨯=++-()21242n n n n ++=++-考点：等差数列和等比数列的性质，等差数列的通项公式，分组求和法，等差等比数列的求和公式.6．已知数列{}n a 的前n 项和2*,2n n nS n N +=∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(1)n ann n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和.【答案】（Ⅰ）数列{}n a 的通项公式为n a n =；（Ⅱ）数列{}n b 的前2n 项和21222n n T A B n +=+=+- 【解析】（Ⅰ）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=，故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(1)n nn b n =+-⋅，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则1222(222)(12342)n n T n =++++-+-+-+L L ，记122222,12342nA B n =+++=-+-+-+L L ，则2212(12)2212n n A +-==--， (12)(34)[(21)2]B n n n =-++-++--+=L ，故数列{}n b 的前2n 项和21222n n T A B n +=+=+- 7．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{b n }的前n 项和S n ．【答案】（Ⅰ）32n a n =-+；（Ⅱ）当c ＝1时，S n ＝()312n n -＋n ＝232n n+；当c ≠1时，S n ＝()312n n -＋11nc c--．【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，则1127232929a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得113a d =-⎧⎨=-⎩∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2．（Ⅱ）∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，∴a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，∴b n ＝3n －2＋c n －1． ∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋cn －1)＝()312n n -＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)．当c ＝1时，S n ＝()312n n -＋n ＝232n n+；当c ≠1时，S n ＝()312n n -＋11n c c--．考点：1.数列的通项公式；2.数列的求和；3.等差数列和等比数列的性质应用.8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =-,12n n b -= (2)122n n T n+=--【解析】（Ⅰ ）∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，∴ 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．当1n =时，111a S == 亦满足上式，故21n a n =-（*n N ∈）．又数列{}n b 为等比数列，设公比为q ∵ 11b =，3418b b q ==， ∴2q =．∴ 12n n b -= （*n N ∈）．（Ⅱ）2121n nn b n c a b ==-=-．123n n T c c c c =+++L12(21)(21)(21)n=-+-++-L 12(222)nn =++-L 2(12)12n n -=--．所以 122n n T n +=--．考点：等差数列，等比数列，求和9．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求n a 及n S ；.（2）令n b =211n a -(n N *∈)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n+1n a =；n S =2n +2n 。

高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习(含答案)

高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习（含答案）1、定义法：直接求首项和公差或公比。

2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n aS S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nn a S n N +=∈，可得()11,12n n n a S S n -=-∴=--≥化简可得)211n S -=，即1=，又11S =，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ．答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ．扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a n n n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩．练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求n a ．解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=，所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ••••=，求n a ．解：∵2123n a a a a n ••••=，∴21232(1)n a a a a n -••••=-，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-， ∴221 (=1) (2)(1)n n a n n n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．3、叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a .解：由112231n nn n aa ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯(1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ．答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ．解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-．练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ．答案：12-=n na ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ．解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3）易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-．练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件，得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+， ∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-．点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ．答案：a n nn -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n-+=69912·()． (4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+．练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。

经典的数列通项公式与数列求和练习题(有答案)

经典的数列通项公式与数列求和练习题（有答案）一、斐波那契数列斐波那契数列是最经典的数列之一，它的通项公式为：$$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$$其中 $F(1) = 1$，$F(2) = 1$。

以下是一些关于斐波那契数列的练题：练题1：求斐波那契数列的第10项。

解答：根据通项公式进行递归计算，得出第10项为34。

练题2：求斐波那契数列的前20项的和。

解答：利用循环计算斐波那契数列的前20项，并将每项相加得到总和为6765。

二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。

以下是一些关于等差数列的练题：练题1：已知等差数列的首项 $a_1 = 3$，公差 $d = 5$，求该数列的前10项。

解答：根据通项公式，将$a_1$ 和$d$ 代入，依次计算出前10项为：3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48。

练题2：已知等差数列的首项 $a_1 = 2$，公差 $d = -4$，求该数列的前15项的和。

解答：根据通项公式和等差数列前n项和的公式，将 $a_1$、$d$ 和$n$ 代入，计算出前15项的和为：-420。

三、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$$其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比。

以下是一些关于等比数列的练题：练题1：已知等比数列的首项 $a_1 = 2$，公比 $q = 3$，求该数列的前8项。

解答：根据通项公式，将 $a_1$ 和 $q$ 代入，依次计算出前8项为：2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374。

练题2：已知等比数列的首项 $a_1 = 5$，公比 $q = \frac{1}{4}$，求该数列的前12项的和。

解答：根据通项公式和等比数列前n项和的公式，将 $a_1$、$q$ 和$n$ 代入，计算出前12项的和为 $\frac{5}{1 - \frac{1}{4}} =\frac{20}{3}$。

求数列的通项公式列(教案+例题+习题)

求数列的通项公式（教案+例题+习题）一、教学目标1. 理解数列的概念，掌握数列的基本性质。

2. 学会求解数列的通项公式，并能应用于实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

二、教学内容1. 数列的概念与基本性质2. 数列的通项公式的求法3. 数列通项公式的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念，数列的通项公式的求法及应用。

2. 教学难点：数列通项公式的推导和应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的概念、性质及通项公式的求法。

2. 利用例题，演示数列通项公式的应用过程。

3. 布置习题，巩固所学知识。

五、教学过程1. 引入数列的概念，讲解数列的基本性质。

2. 讲解数列通项公式的求法，引导学生掌握求解方法。

3. 通过例题，演示数列通项公式的应用，让学生理解并掌握公式。

4. 布置习题，让学生巩固所学知识，并提供解题思路和指导。

5. 总结本节课的重点内容，布置课后作业。

教案结束。

例题：已知数列的前n项和为Sn = n(n+1)/2，求该数列的通项公式。

解答：由数列的前n项和公式可知，第n项的值为Sn S(n-1)。

将Sn = n(n+1)/2代入上式，得到第n项的值为：an = Sn S(n-1) = n(n+1)/2 (n-1)n/2 = n/2 + 1/2。

该数列的通项公式为an = n/2 + 1/2。

习题：1. 已知数列的前n项和为Sn = n^2，求该数列的通项公式。

2. 已知数列的通项公式为an = 2n + 1，求该数列的前n项和。

3. 已知数列的通项公式为an = (-1)^n，求该数列的前n项和。

4. 已知数列的通项公式为an = n^3 6n，求该数列的前n项和。

5. 已知数列的通项公式为an = 3n 2，求该数列的前n项和。

六、教学目标1. 掌握数列的递推关系式，并能运用其求解数列的通项公式。

2. 学习利用函数的方法求解数列的通项公式。

3. 提升学生分析问题、解决问题的能力。

数列求通项与求前n项和公式高中数学解题方法含详解

数列求通项与求前n 项和公式高中数学解题方法一、单选题1．在等比数列{}n a 中，1310a a +=，57160a a +=，则1a =（） A ．0B ．1C ．2D ．42．已知等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式{}n a 为（） A ．62n a n =+B ．42n a n =+C ．62n a n =-D ．42n a n =-3．已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，点()(),*n P n S n N ∈在函数2y x x =+的图象上，则n a 等于（） A ．2nB ．21nC ．2n n +D ．23n +4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4n n S c =-(c 为常数)，则1a c +=（） A ．2B ．3C ．4D ．55．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（） A ．2n n 1-+B ．21n +C ．2(1)1n -+D ．2n6．已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值是（） A ．3B ．4C ．5D ．67．已知数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 中的最大项为（）A ．89B ．23C ．6481D ．1252438．已知数列{}n a 满足121n n n a a a +=+，11a =，数列{}n b 满足11b =，11(2)n n nb b n a --=，则8b =（） A ．64B ．81C ．80D ．829．已知数列{}n a 满足113a =，12321n n n a a n --=+(2n ≥，*n ∈N )，则数列{}n a 的通项n a =（） A ．2141n - B ．2121n +C ．()()12123n n -+D ．()()113n n ++10．在数列{}n a 中，11a =，122nn na a a +=+，n ∈+N ，则n a =（） A ．21n a n =+ B ．21n na n =+ C ．12n n a n+=D ．221n n a n +=+ 11．若2(23n a n tn t =++为常数）*n N ∈，且数列{}n a 为单调递增数列，则实数t 的取值范围为（） A ．2t <-B ．2t >-C ．6t <-D ．6t >-12．数列{}n a 通项公式为：2202122021n n a n +=--，则{}n a 中的最大项为（）A ．第1项B ．第1010项C ．第1011项D ．第1012项13．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －16，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．614．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2 B ．4C ．8D ．1615．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a Y n-+++=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若10n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．1112,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1112,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2411,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1811,115⎛⎫ ⎪⎝⎭16．已知数列{}n a 满足2111,21n n nna a a a a +==++ ） A ．()99,100 B ．()100,101 C ．()101,102 D ．()102,10317．在数列{}n a 中，11a =，()1,1n p a n +=+，(),n q n a =-，且p q ⊥，则2021a =（） A ．1B ．2020C ．2021D ．2022 18．数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，若2cos 3=πn n n b a ，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，则11S =（） A ．64B ．80C ．64-D ．80-19．已知等比数列{}n a 中，135664,32a a a a ==，若28n a n t ≥+恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．16-B ．16C ．20-D ．2020．已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若124a =-，489a =-，则当n T 取最大值时，n 的值为（） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4二、多选题21．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为{}n a ，121a a ==，()123n n n a a a n --=+≥，边长为斐波那契数n a 的正方形所对应扇形面积记为()*n b n ∈N ，则（）A ．()2233n n n a a a n -+=+≥B ．123201920211a a a a a +++⋅⋅⋅+=+C ．()2020201920182021π4b b a a -=⋅ D ．123202*********π4b b b b a a +++⋅⋅⋅+=⋅ 22．已知数列{}n a 满足11a =，()1lg 1091n an a +=++，其前n 项和为n S ，则下列结论中正确的有（） A ．{}n a 是递增数列 B ．{}10n a +是等比数列 C ．122n n n a a a ++>+D ．(3)2n n n S +<23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，22n n n S a a =+，著不等式()4111n nnS ka +≥-对任意的*n N ∈恒成立，则下列结论正确的为（） A ．n a n = B ．()12n n n S +=C ．k 的最大值为232D ．k 的最小值为15-第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题24．已知等差数列{}n a 中，14a =，4612a a +=，则3a =______________． 25．已知数列{}n a 的前n 项和225n S n n =+-，那么它的通项公式是___________. 26．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111, 3 2n n a S a +==+，则5a =________________________．27．在数列{}n a ，11a =，12(2,)n n a a n n n N --=≥∈，则98a =_______. 28．在数列{}n a 中，11a =，()*11n n a nn a n +=∈+N ，则10a =_________． 29．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n S S +-=()*n N ∈，则n S =___________.30．已知数列{}n a 满足112a =，()124n n na n a +=+，则8a =______． 31．若数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+，4 a =________.32．已知数列{}n x 满足1221,3x x ==，且()112112n n n x x n x -+=≥+，则n x 等于__________. 33．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n N *=-∈，则10S 等于___________. 34．若数列{}n a 满足()()111n n n a n a --=+，2n ≥，n *∈N ，且11a =，则5a =______． 35．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n +=，则n a =___________.36．已知等比数列{}n a 的前n 项和()1*21n n S a n N -=⋅+∈，其中a 是常数，则a =__________.37．在数列{}n a ，11a =，12(2,)n n a a n n n --=≥∈N ，则99a =_______． 38．数列{}n a 满足11a =，且()11n n a a n n N *+-=+∈，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为_________．39．在数列{}n a 中，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，则n a =___________.40．已知数列{}n a 中，11a =，123n n a a +=+，则n a =______． 41．已知数列{}n a ，{}n c 满足11a =，121n n a a +=+，1(21)(23)n c n n =++．设数列{}n c 的前n 项和为n T ，若存在m 使得1n mT a >对任意的n ∈+N 都成立，则正整数m 的最小值为_________． 42．若数列{}n a 满足123111132321n n a a a na n +++⋅⋅⋅+=+，若2n a λ≤恒成立，则λ的最大值是______43．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足11S =，12n n n S S n++=，其中n +∈N ，数列{}n b 的前n 项和为nT ，满足()()()142121nnn a b n n -⋅=-+，则20211T +=___________.44．已知正数数列{}n a 满足()111n n nn a na a ++=+，且对任意*n ∈N ，都有2n a ≤，则1a 的取值范围为______．四、解答题45．已知数列{}n a 满足0n a ≠恒成立.（1）若221n n n a a ka ++=且0n a >，当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（2）若2212n n n a a a ++=且0n a >，当11a =、4a =2a 以及n a 的通项公式；（3）若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，3[4,8]a ∈，20200a <，设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值. 46．在等差数列{a n }中，（1）已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8；（2）已知a 2＋a 4＝485，求S 5． 47．在各项都是正数的等比数列{}n a 中，1971,4a a a ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若31m S =，求正整数m 的值．48．已知等比数列{}n a 的前n 项和为132n n S m +=-.（1）求m 的值，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）令3(1)log nn n b a =-，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .49．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b -=-=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 50．（1）已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n(n 1)+，n ∈N *，求通项公式a n ；（2）设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1(1)n-a n －1(n ≥2)，求通项公式a n .51．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11n n a S n +=++（n *∈N ）．（1）求23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T （n *∈N ）． 52．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a =，530S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 53．已知数列{}n a 的前n 项和225n S n n =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .54．已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n +＝.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T .55．已知数列{a n }满足()12211,3,32n n n a a a a a n *++===-∈N ，（1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.56．设数列{}n a 满足12a =，()1234nn n a a +-=⨯．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．57．（1）已知数列{a n }满足11a =-，111+1n n a a n n +=-+，n ∈N *，求数列的通项公式a n .（2）在数列{a n }中，a 1=1，111n n a a n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式.58．已知数列{}n a满足1a*1,n n n +∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设*n nb n =∈N ，数列{}n b 的前n 项和n S ，求证：1n S <． 59．已知数列{a n }，a 1=2，a n+1=2a n +3. （1）求证：{a n +3}是等比数列. （2）求数列{a n }的通项公式.60．已知数列{}n a 满足11a =，23a =，且2124n n n a a a ++-+=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设nn a b n=，*n N ∈，求n b 的最小值. 61．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2n n S n a +=.（1）证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na n =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式22020n T n->的正整数n 的最小值.62．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，都满足22n n S a +=，2nn a b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的最小项的值． 63．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n nS a n n+=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在正整数n ，使得不等式()()262n n a m -+≥成立，求实数m 的取值范围.64．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知132a a +=-，1575S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若23n an b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .65．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1*222n n n S a n N +=-+∈.（1）设2nn na b =，求证：数列{}n b 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设4nn n a c =，若123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，求n T . 66．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1120(2)n n n n S S S S n ---+=≥，112a =. （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n S 的通项公式；（2）求数列{}n a 的通项公式.67．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n n =+．（1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n ∈N ）且13b =，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 68．已知等差数列{}n a 满足11a =，2435a a a +=+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，*12()n n n n b a b a n N ++⋅=⋅∈，求数列{}n b 的前n 项和.69．已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a n +=+-．（1）证明数列{}n a n -为等比数列并求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n c 满足1(1)(1)n n n n a n c b b +-=++，设数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：13n T <．70．已知数列{}n a 满足13a =，()11323n n n a a n N +++=+⨯∈.数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）证明：数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）求n S ；（3）若不等式2483n n n a λ-+<，对任意n ∈+N 恒成立，求λ的取值范围.71．已知数列{}n a 的前n 项和12n n S a =+，*n N ∈，在等差数列{}n b 中，120b =，359b b b =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值.72．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足48S =-，60S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ．证明：3255n T -≤≤．73．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 3＝3S 2+1. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }为递增数列，数列{b n }满足()21N 3n nn b n a *-=∈，求数列b n 的前n 项和T n ；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，若不等式2203n n nnnT n b a λλλ--+<对任意正整数n 都成立，求λ的取值范围.74．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．75．已知数列{}n a 前n 项和为n S 满足12S =，()132n n S S n N *+=+∈.(1)求通项公式n a ； (2)设()n n n a S b n N *=∈，求证：12121332n b b b n ≤+++-≤.76．已知在数列{}n a 中，112a =，111122n n n n a a +++=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．77．已知数列{}n a 中，11a =，214a =，()()112n n nn a a n n a +-=≥-．（1）设111n n b a +=-，求数列{}n b 的通项公式．（2）若1sin 3cos cos n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .78．已知数列{}n a 满足113,21n n a a a n +==-+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足()()12121n n n n a nc +-=++，求数列{}n c 的前n 项和n T79．已知各项都为正数的数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+．（1）证明：数列{}1n n a a ++为等比数列；（2）若1213,22a a ==，求{}n a 的通项公式．80．各项不为0的数列{}n a 满足111(2,N*)31nn n a n n aa --=≥∈+，且21a =-．（1）求证：数列1{}na 为等差数列；（2）若1n naa λ+≥对任意*N n ∈恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案1．C 【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出首项．【详解】解：在等比数列{}n a 中，1310a a +=，57160a a +=，∴211461110160a a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩，解得24q =，12a =．故选：C ． 2．C 【分析】根据等差数列前n 项和公式列方程求得1a 与公差d ，即可求通项公式. 【详解】设公差为d ，依题意得 10120110910310220192012202d S a d S a ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩解得14,6a d ==所以()1162n a a n d n =+-=- 故选：C 3．A 【分析】根据题意可得2n S n n =+，再由n S 与n 之间的关系即可求解. 【详解】点()(),*n P n S n N ∈在函数2y x x =+的图象上，则2n S n n =+，当2n ≥时，则()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，当1n =时，112a S ==，满足2n a n =. 故选：A 4．C 【分析】利用赋值法计算出结果. 【详解】∵4n n S c =-，∴令1n =，得1114a S c ==-，∴14a c +=. 故选：C 5．A 【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-，以上各式相加得：()()()21246.1221..212n n n a a n n n ⎡⎤-+-⎣⎦-=+++==+--，又11a =，所以21n a n n =-+.故选：A. 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型. 6．B 【分析】由2(313)0nn a n =-≤求出n 的范围，即可得解【详解】解：令2(313)0nn a n =-≤，则3130n -≤，解得133n ≤，因为*n N ∈所以当4n ≤时，0n a <，当5n ≥时，0n a >，所以数列的前n 项和n S 取最小值时，4n =，故选：B 7．A 【分析】由12233nn n n a a +-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得到n＝2时，a n 最大. 【详解】解：112222(1)3333n n nn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题. 8．A 【分析】根据已知条件121n n n a a a +=+，结合目标数列的定义中的条件11(2)n n nb b n a --=，探究数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的递推关系，得到1112n na a +-=，利用等差数列的通项公式求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而利用累加法求得8b . 【详解】数列{}n a 满足121n n n a a a +=+，可得1112n n a a +-=，所以数列1{}n a 是等差数列，首项为1，公差为2，所以11(1)221nn n a =+-⨯=-，数列{}n b 满足11b =，121(2)n n b b n n --=-，21221b b -=⨯-， 32231b b -=⨯-，⋅⋅⋅87281b b -=⨯-则82812(2345678)7276642b +=+++++++-=⨯⨯-=. 故选：A . 9．A 【分析】直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．【详解】解：数列{}n a 满足113a =，123(2,*)21n n n a a n n N n --=∈+，整理得12321n n a n a n --=+，122521n n a n a n ---=-，......，2115a a =，所有的项相乘得：113(21)(21)na a n n ⨯=+-，整理得：2141n a n =-，故选：A ． 10．A 【分析】对122n n n a a a +=+变形可得1211122n n n n a a a a ++==+，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以111a 为首项，公差为12的等差数列，即可得解. 【详解】在{}n a 中，11a =，由122n n na a a +=+可得1211122n n n n a a a a ++==+，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以111a 为首项，公差为12的等差数列，所以1111(1)22n n n a +=+-⋅=，所以21n a n =+，故选：A. 11．D 【分析】先判断1n n a a +>在*n N ∈时恒成立，代入化简得42t n >--在在*n N ∈时恒成立，再计算()max 42n --，即得结果.【详解】因为数列{}n a 为单调递增数列，所以1n n a a +>，在*n N ∈时恒成立.所以()()()221211323420n n n a a a n t n n tn n t +⎡⎤-==++++-++=++>⎣⎦，即42t n >--在在*n N ∈时恒成立，而1n =时，()max 426n --=-，所以6t >-. 故选：D. 12．B 【分析】数列{}n a 的通项公式为2202122021n n a n +=--，所以0n a >．由1111nn n na a a a -+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得1010n =，从而求得结果.【详解】解：依题意，数列{}n a 的通项公式为2202122021n n a n +=--，所以0n a >．由1111nn n na a a a -+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即220212202112201922023n n n n +--+--且220232201912202122021n n n n +--+--，n Z ∈，解得1010n =，故最大项为第1010项，故选：B ．13．C 【分析】由题意可得，当数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，可得10,0,n n a a +≤⎧⎨≥⎩，结合n ∈N *解得即可.【详解】解：根据题意，得10,0,n n a a +≤⎧⎨≥⎩即3160,3(1)160.n n -≤⎧⎨+-≥⎩解得133≤n ≤163.∵n ∈N *，∴n ＝5，∴数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为S 5 故选C. 【点睛】本题考查数列前n 项和，熟练掌握数列的基本性质是解决此题的关键. 14．A 【分析】将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22n n n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2n n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max22nn n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 15．C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==，可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由10n S S ≤可得10100a t -≥，11110a t -≤，即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，当1n =时，14a = 当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，两式相减可得：()()11122221n n n nn n n n a -+=--=+，所以22n a n =+，显然满足1n =时，14a =，所以22n a n =+，*n N ∈所以()22n a tn t n -=-+，可得数列{}n a tn -是等差数列，由10n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，可得：10100a t -≥，11110a t -≤，即可求解，即()21020t -⨯+≥且()21120t -⨯+≤，解得：2411115t ≤≤，所以实数t 的取值范围是2411,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C 16．B 【分析】已知等式变形为112n n na a a +-=+，用累加法有112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1211112(1)1n n a a a -⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭，可得2n a n >100>，101．从而可得结论．【详解】由已知得112n nna aa+=++，112n nna aa+-=+，所以112211()()()n n n n na a a a a a a a---=-+-++-+1211112(1)1nna a a-⎛⎫=-+++++⎪⎝⎭，500012499911124999110000aa a a⎛⎫=⨯+++++>⎪⎝⎭100，由112n nna aa+=++<=1101<，所以100101．故选：B．17．C【分析】由平面向量垂直的坐标表示推导出11nna na n++=，利用累乘法可求得2021a的值. 【详解】p q⊥，故()11n nna n a+-+=，可得()11n nna n a+=+，11a=，可得2a≠，3a≠，，则对任意的n*∈N，0na≠，故11nna na n++=，因此，3202122021112202023202112021122020a aaa aa a a=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选：C.18．C【分析】由已知可得111n n a a n n +-=+，即数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此求出22cos 3n n b n π=，分别令 1,2,3,,11n =可求出11S .【详解】数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，则111n na a n n+=++，可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1、公差为1的等差数列，即有n a n n=，即为2n a n =，则222coscos 33n n n n b a n ππ==，则()()2222222222211112457810113692S =-++++++++++()22222222222222112334566789910112=-+--++---+--++ ()15234159642=-⨯+++=-. 故选：C. 19．A 【分析】由条件求得等比数列通项，将恒成立不等式移项，利用单调性来判断最值情况，从而求得参数最大值. 【详解】因为3135364a a a a ==，所以34a =，又632a =，所以3638a q a ==，解得2q ，所以12n n a -=，所以28n a n t ≥+恒成立等价于28n n t -≥恒成立，令28n n b n =-，则128n n n b b +-=-，当3n <时，10nnb b ；当3n =时，430b b -=；当3n >时，10n n b b +->，所以123456b b b b b b >>=<<<，所以min 34()16n b b b ===-，所以16t ≤-，即实数t 的最大值为16-，故选：A ．【点睛】关键点点睛：求得等比数列通项公式，作差法求得b n =2n -8n 的单调性，从而求解参数最值. 20．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知求得q ，写出通项公式，然后求得积n T ，确定在n 为偶数时0n T >，计算出246T T T <>（61T >），再说明6n >且n 为偶数时，1n T <即得．【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则341811()()92427aq a ==-⨯-=，解得13q =，所以11(24)()3n n a -=-⋅，所以1(1)123(1)21211(24)()(24)()33n n n n n n n T a a a -++++-=⋯=-⋅=-⋅，所以当n T 取得最大值时，可得n 为偶数，而1()3x y =在R 上单调递减，2121(24)()1923T =-⨯=；446418(24)()39T =-⨯=；66156918(24)()33T =-⨯=，则246T T T <>，且61T >，当6n >且n 为偶数时，2111(1)(1)(7)2223111243333n n n n n n n n n T ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯<⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，270n n ->1n T <，所以6n T T <，所以4n =时，n T 取得最大值．故选：D ． 21．AD 【分析】根据数列的递推公式可判断选项A ，再根据累加法计算判断选项B ，根据扇形的面积公式判断选项C ，再次应用累加法及递推公式判断选项D. 【详解】由递推公式()123n n n a a a n --=+≥，可得2112n n n n n a a a a a -++=+=+，21n n n a a a --=-，所以()1212233n n n n n n n a a a a a a a n -+--=+-=++≥，A 选项正确；又由递推公式可得11a =，231a a a =-，342a a a =-，类似的有()112n n n a a a n +-=-≥，累加得1231221n n n n a a a a a a a a ++++++=+-=-，故123201920211a a a a a +++⋅⋅⋅+=+错误，B 选项错误；由题可知扇形面积24n n b a π=，故()()()22111112444n n n n n n n n n n b aa a a ab a a a πππ----+-=-=+-=⋅-，故()2020201920182021π4b b a a -=⋅错误，C 选项错误；由()123n n n a a a n --=+≥，2121a a a =⋅，()22222313221a a a a a a a a a a =⋅=⋅-=⋅-⋅， ()23333424332a a a a a a a a a a =⋅=⋅-=⋅-⋅，类似的有()21111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-+-=⋅=⋅-=⋅-⋅，累加得()()()22222123132214332111n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+++++=+⋅-⋅+⋅-⋅++⋅-⋅=⋅，又24n n b a π=，所以()2222121331244n n n n b b b b aa a a a a ππ+=++++=++++⋅，所以123202*********π4b b b b a a +++⋅⋅⋅+=⋅正确，D 选项正确；故选：AD. 22．ACD 【分析】将递推公式两边同时取指数，变形得到1110109n n a a +-=+，构造等比数列可证{}1010n a+为等比数列，求解出{}n a 通项公式则可判断A 选项；根据()()()2132101010a a a ++≠+判断B 选项；根据{}n a 的通项公式以及对数的运算法则计算()122n n n a a a ++-+的正负并判断C 选项；将{}n a 的通项公式放缩得到()lg 2101nn a n <⨯<+，由此进行求和并判断D 选项.【详解】因为()1lg 1091n a n a +=++，所以()11lg 109n an a +-=+，从而1110109n n a a +-=+，110101090n n a a +=⨯+，所以()11010101010n n a a ++=⨯+，所以11010101010n n a a ++=+，又1101020a +=，{}1010n a+是首项为20，公比为10的等比数列，所以110102010210n a n n -+=⨯=⨯，所以1021010n a n =⨯-，即()lg 21010nn a =⨯-，又因为21010n y =⨯-在[)1,,*n n N ∈+∞∈时单调递增，lg y x =在定义域内单调递增，所以{}n a 是递增数列，故A 正确；因为1231011,10lg19010lg1911,10lg199010lg19911a a a +=+=+=++=+=+，所以()()()()()222213101010lg191111lg19911lg 1922lg1911lg199a a a +-++=+-+=+-，所以()()()2222213361101010lg 1911lg1911lg199lg 1911lg0199a a a +-++=+-=+>，所以()()()2132101010a a a ++≠+，所以{}10n a +不是等比数列，故B 错误.因为()()()()121222lg 21010lg 21010lg 21010n n n n n n a a a ++++-+=⨯--⨯--⨯-()()()()()()2211211210102101 lglg210102101021012101n nn n n n +++-+⨯-⨯-=⨯-⨯-⨯-⨯-=，而()()()211221121012101210141041014102102101n n n n n n n n -++-⨯--⨯-⨯-=⨯-⨯+-⨯+⨯+⨯-20100.21041016.2100nnnn=⨯+⨯-⨯=⨯>，从而()()()211210121012101n n n -+⨯->⨯-⋅⨯-，于是，122n n n a a a ++>+，故C 正确.因为()()lg 21010lg 210lg 21n nn n a n =⨯-<⨯=+<+，所以()()21322n n n n n S +++<=，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：数列{}n a 单调性的一般判断步骤：（1）先计算1n n a a +-的结果，然后与0比较大小（也可以计算1n na a +的值，然后与1比较大小，但要注意项的符号）；（2）下结论：若10n n a a +->，则为递增数列；若10n n a a +-<，则为递减数列；若10n n a a +-=，则为常数列. 23．ABC先用两式相减的方法消去n S ，求出n a ，判断A 选项；再代入已知求出n S ，判断B 选项；然后将恒成立问题转化为最值问题，最后利用数列的单调性，求出最值即可判断C ，D 选项. 【详解】依题意得当1n =时，21112a a a =+，由于20n a >，解得11a =；当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，因此有：22112n n n n n a a a a a --=-+-；整理得：11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，公差1d =的等差数列，因此n a n =，故A 正确；()12n n n S +=，故B 正确；由()4111n nn S ka +≥-得：()11221nn k n++≥-，令1122n c n n=++，则n 取2时，n c 取最小值，所以 ①当n 为偶数时，1123222n n ++≥，232k ∴≤，②当n 为奇数时，1135223n n ++≥， 353k ∴-≤，353k ∴≥-，352332k ∴-≤≤故C 正确，D 错误.所以A 、B 、C 正确；D 错误. 故选：ABC 【点睛】知识点点睛：（1）已知n S 求n a ，利用前n 项和n S 与通项公式n a 的关系()()1*112,n nn S n a S S n n N -⎧=⎪=⎨-≥∈⎪⎩，此时一定要注意分类讨论. （2）数列与不等式的恒成立问题常用构造函数的方式，通过函数的单调性、最值解决问题，注意n 只能取正整数. 24．5设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得到方程，求出公差d ，再根据等差数列通项公式计算可得；【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为14a =，4612a a +=，所以113524812d d a d a ++⨯+=+=，所以12d =，所以31124252a a d =+=+⨯= 故答案为：525．2,141,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩【分析】利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解即可【详解】解：当1n =时，112152a S ==+-=-，当2n ≥时，221(25)[2(1)(1)5]41n n n a S S n n n n n -=-=+---+--=-，且当1n =时，414132n -=-=≠-，据此可得，数列的通项公式为：2,141,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩. 故答案为：2,141,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩. 26．18 【分析】由已知条件依次求出22334455,,,,,,,S a S a S a S a 即可【详解】解：因为111, 3 2n n a S a +==+，所以2123233 25, 4, 3214, 9S a a S a a =+===+==，434553229,15,315247,18S a a S a =+===⨯+==. 故答案为：18 27．9701 【分析】用累加法直接求解即可. 【详解】在数列{}n a ，11a =，12(2,)n n a a n n n --=≥∈N ，所以1232989746196a a a a a a -=-=-=累加得：()19841969746196==97002a a +⨯-=+++，所以989701a=．故答案为：9701． 28．110【分析】直接由递推关系进行累乘运算即可. 【详解】由题意知109210198198111109210a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=．故答案为：110. 29． 21n - 【分析】化简121n n S S +-=，判断出{}1n S +为等比数列，从而计算出n S . 【详解】由121n n S S +-=得()1121n n S S ++=+，所以数列{}1n S +是首项为11112S a +=+=，公比为2的等比数列，所以12,21n nn n S S +==-.故答案为：21n - 30．2304 【分析】根据递推关系式证得数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是等比数列，由此求得8a 的值.【详解】由()124n n na n a +=+得()()()12121n n a a n n n n +=+++，所以数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为14，公比为2的等比数列，所以7812894a =⨯⨯，82304a =．故答案为：2304 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，属于基础题. 31．40 【分析】根据递推公式，依次代入即可求解. 【详解】数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+，当1n =时，可得21313114a a =+=⨯+=，当2n =时，可得323134113a a =+=⨯+=，当3n =时，可得4331313140a a =+=⨯+=，故答案为：40. 【点睛】本题考查了递推公式求数列项的方法，属于基础题. 32．21n + 【分析】由题可知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，进而利用公式法求通项公式.【详解】因为()112112n n n x x n x -+=≥+，所以数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，因为121131,2x x ==，故公差12d = 所以1111(1)22n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+ 故答案为：21n + 33．1023 【分析】根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到数列{}n a 是以1为首项；2为公比的等比数列，从而利用等比数列的前n 项和公式即可求得10S ．【详解】解：当1n =时，11121a S a ==-，解得11a =；当2n =时，212221S a a a ==-+，得2112a a =+=，由21n n S a =-，得1121(1)n n S a n --=-，两式相减得1122n n n n n S S a a a ---==-，即12n n a a -=，又212a a =，所以数列{}n a 是以1为首项；2为公比的等比数列，所以1010101221102312S -==-=-．故答案为：1023． 34．15 【分析】根据题意整理可得()()111n n a a n n n n -=+-，所以()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭为常数列，令5n =即可得解.【详解】由()()111n n n a n a --=+可得111n n a an n -=+-，两边同除n 可得()()111n n a a n n n n-=+-，故数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭为常数列，所以()11122n a a n n ==+，所以51=302a ，解得515a =. 故答案为：1535．213n⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.【详解】当1n =时，111121,3a a a +==，当2n ≥时，112,21n n n n S a n S a n --+=+=-，两式相减得()111212321,,11333n n n n n n a a a a a a ----==+-=-，所以数列{}1n a -是首项为1213a -=-，公比为23的等比数列，则213nn a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以213nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：213n⎛⎫- ⎪⎝⎭36．2- 【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩公式得11a a =+,()222n n a a n -=⋅≥,进而根据题意得12a a +=,解方程即可得答案. 【详解】由于等比数列{}n a 的前n 项和1*21()n n S a n N -=⋅+∈.当1n =时，111a S a ==+；当2n ≥时，1221(21)(21)2n n n n n n a S S a a a ----=-=⋅+-⋅+=⋅.由题意可知，11a a =+满足22n n a a -=⋅，即12aa +=，解得2a =-. 故答案为：2- 37．9899 【分析】用累加法直接求解即可. 【详解】在数列{}n a ，11a =，12(2,)n n a a n n n --=≥∈N ，所以3122999846198a a a a a a -=-=-=累加得：()19941989846198==98982a a +⨯-=+++，所以99a =9899 故答案为：9899 38．2011【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，再利用裂项求和法可求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和.【详解】由题意可得()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=，所以，()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，因此，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为101111112021222122310111111S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2011.39．()2211nn -+【分析】根据已知条件求得()2122111n n n a a n +⎡⎤-+⎣⎦+=，用累乘法求得n a . 【详解】依题意，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，即()()()2221121,2111211n n n n n a n a n a a n ++⎡⎤-+⎣⎦⎡⎤+=+=-⎣⎦+，所以13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()()22222222211201222212311121111n n n n ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-+-+⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=⋅⋅⋅⋅⋅++ ()2211nn =-+. 故答案为：()2211nn -+【点睛】累乘法求数列的通项公式，主要把握住13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅. 40．123n +- 【分析】化简已知得1323n n a a ++=+，所以{}+3n a 是一个以4为首项，以2为公比的等比数列，即得解. 【详解】因为123n n a a +=+，所以11332(3),23n n n n a a a a ++++=+∴=+，所以{}+3n a 是一个以1+3=4a 为首项，以2为公比的等比数列，所以111+3=422,23n n n n n a a -++⨯=∴=-.故答案为：123n +-41．5 【分析】通过配系数法求出数列{}n a 的通项方式；通过裂项法求出数列{}n c 的前n 项和为n T ；然后只需()min 1n mT a >即可求出m 的最小值. 【详解】∵121n n a a +=+，∴112(1)n n a a ++=+，又∵11a =，112a +=，∴数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，∴12n n a +=，即21nn a =-，又1111()(21)(23)22123n c n n n n ==-++++，则1111111111()()235572123232369n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=++++，又21221692533116152525n n T n n n n T n n n n n n +++++=⋅==+>+++，又0n T >，∴n ∈+N 时，1n n T T +>，即数列{}n T 是递增数列， ∴当1n =时，n T 取最小值且最小值为115，要使1n m T a >对任意的n ∈+N 都成立，只需111521m >-，由此得4m >， ∴正整数m 的最小值为5．故答案为：5. 42．2 【分析】先求出41=33n a n n-，再求出n a 的最小值即得解.【详解】由题得123111132321n n a a a na n +++⋅⋅⋅+=+（1） 1231111133(2)23(1)21n n n a a a n a n --+++⋅⋅⋅+=≥--（2）（1）-（2）得213333,212141n n n na n n n -=-=+-- 所以22134141=,=(2)41333n n n n a n n a n n n-∴=-≥-，适合1n =，所以41=33n a n n-,所以数列{}n a 为递增数列，所以41()133n min a =-=，由题得2,2n a λλ≤∴≤. 所以λ的最大值是2. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：数列的最值一般利用函数的单调性求解，而数列单调性的判断一般可以通过定义法判断. 43．14043-【分析】首先变形等式为111n n S n S n -+=-，利用累乘法，求得数列{}n S 的通项公式，以及数列{}n a 的通项公式，代入n b 后，利用错位相减法求和. 【详解】由题意12n n n S S n++=，即111n n S n S n -+=-，累乘得()1121211143123212n n n n n n S n n n S n S n S S n S ---++-⋅=⋅⋅⋅=---，可知()12n n n S +=，2n ≥，当1n =时，11S =，所以()12n n n S +=，又2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，且当1n =时成立，从而有n a n =，故()()()()()()11411111212121212121n n n n n n b n n n n n n +-⋅--⎛⎫==-⋅+=- ⎪-+-+-+⎝⎭，所以()11121n nT n +-=--+，故2021114043T +=-. 故答案为：14043- 【点睛】方法技巧常见数列的裂项方法注意：利用裂项相消法求和时，既要注意检验裂项前后是否等价，又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.44．2⎡⎤-⎣⎦【分析】由已知可得出()()11121n n nn a na n a ++=+≤+，n a ≤≤，结合2n a ≤2n a ≤≤，令n c ={}n c 的最大项的值，可得出n a 的取值范围，进而可得出1a 的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意*n ∈N ，都有2n a ≤，则12n a +≤，则()()11121n n nn a na n a ++=+≤+，整理可得()22110n n na n a -++≤，()224144440n n n n ∆=+-=++>，解不等式()22110nn na n a -++≤n a ≤≤，当*n ∈N 212n n +>>2n a ≤≤，。

高中数列求和方法大全(配练习及答案)

数列的求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；1111()(2)22n n n n =-++ )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。

7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；（三）例题分析：例1．求和：①个n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++= ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。

解：①)110(9110101011112-=++++==kkk k a个])101010[(91)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++=nnn x x x x x x S n xx x x x x n n 2)111()(242242++++++++=（1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③kk k k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-=2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n)25)(1(61-+=n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。

数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结

的前n项和为
，
为等比数列，且
（Ⅰ）求数列
和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和 .
例2．已知数列的首项，，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）数列的前项和．
2．设数列的前n项和为，为等比数列，且
（Ⅰ）求数列和
的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和
. 三、分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 2、已知数列的通项公式为，则它的前n项的和 3：求数列的前n项和。
数列求和练习
1、已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公差为3的等差数列，求{bn}的通项公式及前n项和Tn.
3、已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，
则S13的值为( )
5、已知数列是等差数列，且，是数列的前
项和． (Ⅰ)求数列
的通项公式及前项和；
(Ⅱ) 若数列满足，且是数列的前项和，求与．
6．设是正数组成的数列，其前n项和为并且对于所有的自然数与2 的等差中项等于与2的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)令求证：
7、已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且．
(1)公式法
①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________； ②等比数列前n项和Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n项和： a．1＋2＋3＋…＋n＝________________； b．2＋4＋6＋…＋2n＝ _________________； c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝_____________；d． e．

2023高考数学----数列的通项公式规律方法与典型例题讲解

2023高考数学----数列的通项公式规律方法与典型例题讲解【规律方法】常见求解数列通项公式的方法有如下六种：（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．（2）累加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式．（3）累乘法：形如()()*1()02,?n n n a f n a a n n −=⋅≠∈N … （4）公式法（5）取倒数法：形如11n n n p ta a ma −−=+的关系式（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式．【典型例题】例1．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）在数列{}*(N )n a n ∈中.12a =，n S 是其前n 项和，当2n ≥时，恒有n a 、n S 、2n S −成等比数列，则n a =___________ 【答案】22122n n n n=⎧⎪⎨≥⎪−⎩，，【解析】当2n ≥时，由题可得()22n n n S a S =−，即()()212n n n n S S S S −=−−，化简得1122n n n n S S S S −−+=，得1122n n n S S S −−=+，两边取倒数得11111211222n n n n n S S S S S −−−−=+=+， 11112n n S S −∴−=，所以，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111112S a ==为首项，以12为公差的等差数列，()1111222n nn S ∴=+−⋅=，2n S n∴=，当2n ≥时，()12222211n n n a S S n n n n n n−=−=−=−=−−−−，所以，22122n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪−⎩，，.故答案为：22122n n n n =⎧⎪⎨≥⎪−⎩，，.例2．（2022·黑龙江·肇州县第二中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()21(21)2,N n n n S n S n a n n *−−−=≥∈，则数列n S =_____________．【答案】2(1)n n +【解析】由题意可得2*11(21)(),(2,N )n n n n S n S n S S n n −−−−=−≥∈，所以221(1)(1)n n n S n S −−=−，所以21(1)1(1)(1)1n n S n n S n n n −−−==+−+，所以32121121(1)!2(1)!341(1)2n n S S S n n n S S S n n n −−−⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==+++，又因为111S a ==，所以2(1)n S n n =+，故答案为：2(1)n n +例3．（2022·福建·高三阶段练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若226n n S n a =+−，则n a =______. 【答案】23n +【解析】当1n =时，11126a a =+−，则15a =；当2n ≥时，()211126n n S n a −−=−+−，两式相减，整理得1212n n a a n −=−+，设公差为d ，则1121n n n a a d a n −−−==−+，即()5221n d n d +−=+−，所以2d =，所以23n a n =+. 故答案为：23n +.例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足112a =，且+1=3+1n n n a a a ，则数列{}n a 的通项公式为=n a ______．【答案】131n − 【解析】由+1=3+1n n n a a a 两边取倒数可得+111=3n n a a +，即+1113n na a −=．所以数列是首项为2，公差为3等差数列. 所以()123131n n n a =+−=−，所以131n a n =−．故答案为：131n −. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列{}n a 中，12a =，3211223nn a a a a a n+++++=−，则n a =__________．【答案】2n 【解析】因为3211223n n a a a a a n +++++=−，当2n ≥时，31212231n n a a a a a n −++++=−−，则1n n n a a a n +=−，即有11n n a a n n +=+，当1n =时，122a a =−，得24a =，2121a a=满足上式， N n *∈，11n n a a n n +=+，因此数列{}n a n是常数列，即121n a an ==，所以2n a n =. 故答案为：2n例6．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =______．【答案】3223n n− 【解析】因为156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1122213n n n n a a ++=⨯+，整理得()11223233n n n n a a ++−=−，所以数列{}23n n a −是以14233a −=−为首项， 23为公比的等比数列，所以1422333n n n a −⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，解得3223n n na =−．故答案为：3223nn −. 例7.（2022·全国·高三专题练习）设{}n a 是首项为1的正项数列且22*11(1)(21)0(N )n n n n na n a n a a n ++++−+=∈，且1+≠n n a a ，求数列{}n a 的通项公式_________ 【答案】n a n =【解析】依题意11a =，22*11(1)(21)0(N )n n n n na n a n a a n ++++−+=∈，所以()()1110n n n n a a na n a ++−−+=⎡⎤⎣⎦，又因为1+≠n n a a ，所以10n n a a +−≠，所以()101n n na n a +−+=，()111,21n n n n a a n nn a n a n +−+==≥−，所以13211221n n n n n a a a a a a a a a a −−−=⋅⋅⋅⋅⋅13211221n n n n n −=⋅⋅⋅⋅⋅=−−，经检验，11a =也符合上式. 所以()*N n a n n =∈.综上所述， n a n =. 故答案为： n a n =.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*N n ∈），则n S =___________ 【答案】2n n ⋅【解析】因为12n n n a S n ++=，则12n n na S n +=+，当2n ≥时，1(1)1n n n a S n −−=+，因此1(1)21n n n na n a a n n +−=−++，化简整理得1221n n a a n n +=⋅++，而211336a S a ===，有21232a a=⋅，即有*N n ∈，1221n n a a n n +=⋅++，因此，数列{}1n a n +是以112a=为首项，2为公比的等比数列，则121n n a n −=+，即1(1)2n n a n −=+⋅，所以1(2)2222n n n n n n S a n n n n +==⋅+⋅=⋅++. 故答案为：2n n ⋅例9．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足：123a =，()()()21*12122N n n n n a a n +++−=−∈，则{}n a 的通项公式为_____________.【答案】()()122121nn nn a +=−− 【解析】由()()2112122n n n n a a +++−=−得，1122222122121n n n n n n a a ++++−−==⋅−−，则1231122113123121212121222221212121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−−+−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−−−−()()11322121n n n −+⋅−−，即()()111322121n n n n a a −+⋅=−−，又123a =，所以()()122121n n nn a +=−−. 故答案为：()()122121n n nn a +=−−.例10．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n 次由甲掷的概率n P =______（用含n 的式子表示）．【答案】1111223n −⎛⎫+− ⎪⎝⎭【解析】易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为121363=．“第1n +次由甲掷”这一事件，包含事件“第n 次由甲掷，第1n +次继续由甲掷”和事件“第n 次由乙掷，第1n +次由甲掷”，这两个事件发生的概率分别为13n P ，()1113n P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，故()11112113333n n n n P P P P +⎛⎫=+−−=−+ ⎪⎝⎭（其中11P =），所以1111232n n P P +⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，所以数列12n P ⎧−⎫⎨⎬⎩⎭是以112P −为首项，13−为公比的等比数列，于是11111223n n P P −⎛⎫⎛⎫−=−⋅− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1111223n n P −⎛⎫=+− ⎪⎝⎭．故答案为：1111223n −⎛⎫+− ⎪⎝⎭。

专题9 数列通项公式和前n项和(解析版)-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题9通项公式和数列求和一、单选题1．正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足22nn a S n =-，则a 5＝（） A ．8 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【分析】根据22nn a S n =-，1n =时，得到11a =，当2n ≥时，根据1n n n a S S -=-得到11n n a a -=-或者11n n a a -=-，再求5a 即可. 【详解】正项数列{}n a ，22nn a S n =-，当1n =时，21112121a S a =-=-，()221112110a a a -+=-=，所以11a =.当2n ≥时，221122121n n n n n a a S S a ---=--=-，222121(1)n n n n a a a a -=-+=-，所以11n n a a -=-或者11n n a a -=-.当11n n a a -=-时，{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以n a n =，55a =；当11n n a a -=-时，20a =与{}n a 是正项数列矛盾，所以舍去. 故选：B.2．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩【答案】B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 3．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（）A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+ 【答案】D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+，()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=，即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 4．数列12，16，112，120，…的一个通项公式是（） A ．()11n a n n =-B ．()1221n a n n =-C ．111n a n n =-+ D ．11n a n=-【答案】C 【分析】根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】选项A. ()11n a n n =-,当1n =时，无意义.所以A 不正确.选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时，()211122221126a ==≠⨯⨯⨯-，故B 不正确. 选项C.11122=-，111162323==-⨯，1111123434==-⨯，1111204545==-⨯所以111n a n n =-+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 1111012a =-=≠,故D 不正确.故选：C5．已知数列1，2a a +,234a a a ++,3456a a a a +++,…，则数列的第k 项是（） A ．12k k k a a a ++++ B ．121k k k a a a --++ C ．12k k k a a a -+++D ．122k k k a a a --+++【答案】D 【分析】根据已知中数列的前4项，分析数列的项数及起始项的变化规律，进而可得答案【详解】解：由已知数列的前4项：1，2a a +,234a a a ++,3456a a a a +++,归纳可知该数列的第k 项是一个以1为首项，以a 为公比的等比数列第k 项开始的连续k 项和，所以数列的第k 项为：122k k k a a a --+++故选：D6．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（） A ．92 B ．102C ．8182D ．112【答案】B 【分析】本题先根据递推公式进行转化得到21112n n n n a a a a +++=．然后令1n n na b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列{}n a 的最大项．【详解】解：由题意，可知： 21112n n n na a a a +++=．令1n n n a b a +=，则112n n b b +=． 21116a b a ==， ∴数列{}n b 是以16为首项，12为公比的等比数列． 111163222n nn b -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．∴11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴1211322aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2321322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111322n n n a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭．各项相乘，可得： 12111111(32)222n n na a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)2511()22n n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭2115(1)221122n n n---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211552212n n n --+⎛⎫= ⎪⎝⎭21(1110)212n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令2()1110f n n n =-+，则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值． ()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，()f n ∴的最小值为20-． ∴211(1110)(20)1022101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴数列{}n a 的最大项为102．故选：B ．【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；7．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（） A ．2m B ．21m +C ．22m +D ．23m +【答案】C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.8．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（）A ．350B ．351C ．674D ．675【答案】A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值. 【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.9．已知在数列{}n a 中，112,1n n na a a n +==+，则2020a 的值为（） A ．12020B ．12019C ．11010D ．11009【答案】C 【分析】由累乘法可求得2n a n=，即可求出. 【详解】11n n n a a n +=+，即11n na n a n +=+， 12321123211232121232n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n=， 20202120201010a ∴==. 故选：C.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p qS S -的最小值为（） A ．6- B ．2-C ．1-D ．0【答案】A 【分析】转化条件为122527n n a an n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--，又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列，所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--，令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0，所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 11．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn S b n=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”.已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”且通项公式为n b n =，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若2112n T m m <--对一切*n ∈N 恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．()(),13,-∞-+∞D ．(][),13,-∞-+∞【答案】D 【分析】根据题意，求得2n S n =，进而求得数列的通项公式为21n a n =-，结合裂项法求得数列的前n 和n T ，得出不等式211122m m --≥，即可求得实数m 的取值范围. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和为n S ，由“均值数列”的定义可得nS n n=，所以2n S n =，当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，11a =也满足21n a n =-，所以21n a n =-，所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，所以11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭，又2112n T m m <--对一切*n ∈N 恒成立，所以211122m m --≥，整理得2230m m --≥，解得1m ≤-或3m ≥. 即实数m 的取值范围为(][),13,-∞-+∞.故选：D. 【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前n 项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 12．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N ，且0nS>，记数列{}2n n a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（） A ．7 B ．8 C ．10 D ．11【答案】B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+，当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列，所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n nn n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 二、填空题13．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为S n ，且当n 为偶数时，11n n a a --=，当n 为奇数且n >1时，121n n a a --=.若4000m S >，则m 的最小值为___________.【答案】18 【分析】根据已知条件求出n 为偶数和奇数时的通项公式121423k k a --=⋅-，12422k k a -=⋅-，再求得前2k 项的和得解【详解】由题意得，2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，*k N ∈，∴2121212(1)123k k k a a a +--=++=+，即212132(3)k k a a +-+=+.又134a +=， ∴数列{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，∴121423k k a --=⋅-，12422k k a -=⋅-，∴奇数项的和为()213521412=...+324312k k k S a a a a k k +--+++=-=---偶数项的和为22462=...+242k k T a a a a k ++++=--∴32=285k k S S T k +=+--∴1218=2845=4043S --，17=3021S∴使得4000m S >的最小整数m 的值为18. 故答案为：18 【点睛】分奇偶项求得通项公式是解题关键.14．设数列{}n a 是以4为首项，12为公比的等比数列，其前n 项和为{}n S ，则{}n S 的前n 项和为_________.【答案】3288n n -+- 【分析】先根据题意得382nn S -=-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案. 【详解】解：由等比数列的前n 项和公式得()13141121818211212n n nn na q S q -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-=-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，设{}n S 的前n 项和n T ，则31412188812881212n nn nT n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=--=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：3288n n -+- 【点睛】本题考查等比数列求和，分组求和，考查运算能力，是基础题.本题解题的关键是求出382nn S -=-，再结合数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，再次求和即可. 15．已知数列{}n a 满足11a =，()*12141n n a a n N n+=+∈-，则10a =__________.【答案】1928【分析】利用已知条件得111122112+11n n n a n a +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭-，运用叠加法先求得101a ，再求得10a . 【详解】依题意数列{}n a 满足11a =，()*12141n n a a n N n +=+∈-，所以()()211111141212+1221211+1n n n n n a a n n +-⎛⎫==- ⎪--⎝=-⎭，所以121112131a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，3211121351a a ⎛⎫=- ⎝-⎪⎭，，1091112171911a a ⎛=-⎫- ⎪⎝⎭，所以1011111111+++2335171119a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣-⎦119121919⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以1011919128++1919119a a ===，所以101928a =，故答案为：1928. 16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，1112n n n S a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2log nn b a =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =_____．【答案】1n n + 【分析】利用1n n n a S S -=-可得{}n a 为等比数列，即可求出n a ，进而得出n b ，利用裂项相消法即可求出. 【详解】 1112n n nS a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2n ≥时，11112n n n S a --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，两式作差，得()111111222n n n n n a a a n +-⎛⎫⎛⎫=---≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，化简得()122n na n a +=≥，，检验：当1n =时，112122S a a ==⨯=，24a =，212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列；2nn a =，22l 2log og n n n b a n ===，令()1111111n n n c b b n n n n +===-++， 111111111122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++. 故答案为：1nn +．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n nn a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足123n n a S +=+，且13a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）3nn a =；（2）1213344n n n T +-⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据所给的递推关系，结合1(2,)n n n S S a n n N --=≥∈、等比数列的定义进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）∵123n n a S +=+，∴2n ≥时，123n n a S -=+，∴112()2n n n n n a a S S a +-=-=-，∴()132n n a a n +=≥，又∵21239a S =+=，∴213a a =，∴{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，∴1333n n n a -=⨯=；（2）由（1）知，3n n a =，所以3nn b n =⋅， ∴213233n n T n =⨯+⨯++⋅①，∴231313233n n T n +=⨯+⨯++⋅②，由①-②得：231233333n n n T n +-=++++-⋅()11313132331322n n n n T n n ++-⎛⎫-=-⨯=-⋅- ⎪-⎝⎭1213344n n n T +-⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭18．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和满足1n S >，且()()*612,n n n S a a n =++∈N .（1）求{}n a 的通项公式：（2）设数列{}n b 满足()211n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：()*231log 3,n n T a n N +>+∈.【答案】（1）31n a n =-；（2）证明见解析. 【分析】(1)利用已知n S 与n a 的关系求{n a }的通项公式； (2)先根据(1)的结论求出23log 31n nb n =-，再求出{}n b 的前n 项和n T ，利用放缩法证明不等式. 【详解】（1）由()()11111126a S a a ==++，结合111a S =>，因此12a = 由()()()()111111121266n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++-++得()()1130n n n n a a a a +++--=，又0n a >，得13n n a a +-=从而{}n a 是首项为2公差为3的等差数列，故{}n a 的通项公式为31n a n =-. （2）由(21)1n bn a -=可得23log 31n nb n =-，从而2363log ()2531n nT n =⋅-323633log ()2531n n T n =⋅-∵3313231331n n n n n n ++>>-+， 3333132()3131331n n n n n n n n ++∴>⋅⋅--+ 于是33323633log 2531n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦234567833132log 23456731331n n n n n n ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫⎛⎫>⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦232log 2n += ∴()2231log (32)log 3n n T n a +>+=+. 【点睛】关键点点睛：本题考查了已知n S 与n a 的关系求{n a }的通项公式，根据3313231331n n n n n n ++>>-+利用放缩法得3333132()3131331n n n n n n n n ++>⋅⋅--+，证明不等式，属于较难题. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且237n S n n =-．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）若数列{}n b 满足3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）610n a n =-；（2）113393322n n T n +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭．【分析】（1）利用()12n n n a S S n -=-≥即可求出；（2）利用错位相减法即可求出. 【详解】（1）当1n =时，则114a S ==-；当2n ≥时，()()221373171610n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，满足14a =-；∴610n a n =-；（2）依题意，()3610nn b n =⋅-，故()()1233432383610nn T n =⋅-+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-，故()()234133432383610n n T n +=⋅-+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-，两式相减可得，()12312343636363610nn n T n +-=-⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅-()()()111541312+610313633913n n n n n -++-=---⋅=-⋅--∴113393322n n T n +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n nn a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.20．设{}n a 是公比为正数的等比数列， 12a =，324a a =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S .【答案】（1）2nn a =；（2）1222n n S n +=+-.【分析】（1）利用等比数列的定义求出公比2q后，再根据11n n a a q -=可得结果；（2）根据等差数列的首项和公差求出n b 后再根据等差、等比数列的前n 项和公式，分组求和，即可得到结果.【详解】（1）由题意设等比数列{}n a 的公比为q ，0q >，12a =，324a a =+，∴2224q q =+，即()()120,0,q q q +-=>∴2q ，∴{}n a 的通项公式1222n n n a -=⨯=.（2）{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴()12121n b n n =+-=-， ∴数列{}n n a b +的前n 项和()()1221212122122n n nn n S n +⨯-+-=+=+--.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式，关键是正确求得等比数列的基本量，并注意分组求和思想的应用，属于基础题. 21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*231n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()()111n n n n a b a a +=--，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n ∈N ，不等式141n kT n >-+都成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）3nn a =；（2）1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得出n a 的递推关系，结合1a 得{}n a 等比数列，从而得通项公式；（2）用裂项相消法求得和n T ，不等式可变形为()11231n n k -+>-，令()11()231n n f n ++=-，再用作差法得出()f n 的单调性，得最大项，从而得k 的取值范围．【详解】（1）因为数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()231n n S a n N*=-∈，所以当2n ≥时，()11231n n S a --=-，两式相减得：1233n n n a a a -=-，即13(2)nn a a n，又1n =时，()11231S a =-，解得：130a =≠，所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，从而3nn a =（2）由（1）知：()()()()113113131nn n n n n n a b a a ++==----111123131n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，所以，12n n T b b b =+++1223111111112313131313131n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11112231n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，对任意的n *∈N ，不等式141n kT n >-+都成立，即11111223141n k n +⎛⎫->- ⎪-+⎝⎭，化简得：()11231n n k -+>-，令()11()231n n f n ++=-，因为()()()()1211221(21)31(1)()023*********n n n n n n n n f n f n +++++++--⋅-+-=-=<---⋅-，故()f n 单调递减，所以max 1[()](1)8f n f ==，故18k >，所以，实数k 的取值范围是1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相法法求和，数列不等式恒成立问题．数列求和方法有：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等，用作差法确定数列的单调性求出数列的最大（小）项是求数列最值的常用方法．22．已知等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，11a =，{}n b 为等比数列且各项均为正数，11b =，且满足：22337,22b S b S +=+=.（1）求n a 与n b ；（2）记12n nn na cb -⋅=，求{}nc 的前项和；（3）若不等式1(1)2nn n nm T --⋅-<对一切n *∈N 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）n a n =,14n n b -= （2） 114(2)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭（3）()2,3-【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为0q >,由11a =,11b =,且满足:227b S +=,3322b S +=.可得27q d ++=,23322q d ++=,联立解出即可得出.（2）1112142n n n n n c n ---⋅⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭,利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.（2）不等式1(1)2nn n n m T --⋅-<,即111(1)4(2)22n n n n m n --⎛⎫-⋅-++⋅< ⎪⎝⎭,化为:()12142n n m --⋅<-.对n 分类讨论,利用数列的单调性即可得出. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为0q >,11a =,11b =,且满足:227b S +=,3322b S +=， 27q d ∴++=,23322q d ++=,联立解得4,1q d ==,1(1)n a n n ∴=+-=,14n n b -=；（2）111122142n n n n n n n a n c n b ----⋅⋅⎛⎫===⋅ ⎪⎝⎭,{}n c ∴的前n 项和21111123222n n T n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋯+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,21111112(1)22222n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 两式相减得2111111122222n n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11211212n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅ ⎪⎝⎭-12(2)2n n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭, 114(2)2n n T n -⎛⎫∴=-+⋅ ⎪⎝⎭；（3）不等式1(1)2n n n n m T --⋅-<,即111(1)4(2)22n n n n m n --⎛⎫-⋅-++⋅< ⎪⎝⎭, 化为:()12142nn m --⋅<-，当n 为偶数时,212432m -<-=，当n 为奇数时,112422m --<-=,解得2m >-， 1(1)2n n n n m T --⋅-<对一切n *∈N 恒成立, 23m ∴-<<，∴实数m 的取值范围是()2,3-【点睛】关键点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，利用错位相减法求和，数列不等式恒成立求参数范围，解答本题的关键是利用错位相减法求和，计算要准确，不等式1(1)2n n n n m T --⋅-<,即111(1)4(2)22n n n n m n --⎛⎫-⋅-++⋅< ⎪⎝⎭,化为:1(1)42n n m -⋅<-，再分n 的奇偶性分别求解即可.属于中档题.。

等比数列及其前n项和知识点讲解+例题讲解(含解析)

等比数列及其前n 项和一、知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .证明：（1）当q ≠-1且q ≠0时，A a a a a S n n =++++=...321，n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S =+++=++++=-+++ (2123212)n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S 222221332221223......=+++=++++=-+++所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n（2）当q= -1时，<1>、当n 为奇数时，1a S n=，132,0a S S n n ==1120a a S S n n -=-=-， 11230a a S S n n =-=-所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n<2>、当n 为偶数时，032===n n n S S S ，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n不能构成等比数列小结：1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A.－12B.－2C.2D.12解析由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D3.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.解析设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，814.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6解析根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4. 答案 B5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322fC.1225fD.1227f解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f . 答案 D6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 6考点一等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝634，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2）＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16，解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2（1－24）1－2＝30.(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 (1)D (2)1考点二等比数列的判定与证明【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)，又由题意知a 1－2a 1＝－3，所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.考点三等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D.2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.(2)法一由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)B (2)73数学运算——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1 等差数列两个性质的应用在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；等差中项）(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38，显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. 答案 (1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18B.－18C.578D.558 解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案 (1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________. 解析 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0.则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案 (1)2 (2)3116三、课后练习1.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7 解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6. 答案 C 2.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1)C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1). 答案 B 3.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______.解析 ∵{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q， ∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83.答案 834.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数).(1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ；(2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列，此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1；当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0，所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列，此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以n (a n ＋1)＝n ×2n ， T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.。

数列的通项公式的求法以及典型习题练习

数列解题方法与学习顺序第一累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n 练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和n a n 12-=累乘法二、累乘法 1.适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +===，，，两边分别相乘得，1111()n n k a a f k a +==⋅∏ 例3 已知数列1.1-=-n n a a n n ，21=a ，求数列的通项公式。

例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

例5.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公式是n a =________.三、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

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数列通项与求和一．求数列通项公式1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

）例．等差数列是递增数列，前n 项和为，且成等比数列，．求数列的通项{}n a n S 931,,a a a 255a S ={}n a 公式．答案： 35n a n =2．公式法：已知（即）求，用作差法：n S 12()n a a a f n +++= n a 11,(1),(2)n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩例．设正整数数列前n 项和为，满足，求 {}n a n S 21(1)4n n S a =+n a 答案：21n a n =-3．作商法：已知求，用作商法：。

12()n a a a f n = n a (1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩如数列中，对所有的都有，则；}{n a ,11=a 2≥n 2321n a a a a n = =+53a a 答案：61164．累加法：若求：1a +(2)n ≥。

1()n n a a f n +-=n a 11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 例．已知数列，且a 1=2，a n +1=a n +n ，求a n ．答案：242n n n a -+=5．累乘法：已知求，用累乘法： 1()n n a f n a +=n a 121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥例．已知数列满足，，求。

{}n a 321=a n n a n na 11+=+n a 答案：23n a n=6．已知递推关系求，用构造法（构造等差．等比数列）。

n a （1）形如只需构造数列，消去带来的差异．其中有多种不同形式 ()n f pa a n n +=+1{}n b ()n f ()n f ①为常数，即递推公式为（其中p ，q 均为常数，）。

()n f q pa a n n +=+1)0)1((≠-p pq解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

)(1t a p t a n n -=-+pqt -=1例．已知数列中，，，求． {}n a 11=a 321+=+n n a a n a 答案：123n n a +=-②为一次多项式，即递推公式为 ()n f s rn pa a n n ++=+1例．设数列：，求． {}n a )2(,123,411≥-+==-n n a a a n n n a 答案：1631n n a n -=⋅--③ 为的二次式，则可设；)(n f n C Bn An a b n n +++=2（2）递推公式为（其中p ，q 均为常数，）。

（或，n n n q pa a +=+1)0)1)(1((≠--q p pq 1n n n a pa rq +=+其中p ，q ， r 均为常数）解法：该类型复杂一些。

一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：1+n qq q a q p qa n n n n 111+∙=++引入辅助数列（其中），得：再应用类型（1）的方法解决。

{}n b nn n q a b =q b q p b nn 11+=+例．已知数列中，，，求。

{}n a 651=a 11)21(31+++=n n n a a n a 答案：113()2(23n n n a =⋅-⨯（3）递推公式为（其中p ，q 均为常数）。

n n n qa pa a +=++12解法：先把原递推公式转化为其中s ，t 满足，再应用前面类型（2）)(112n n n n sa a t sa a -=-+++⎩⎨⎧-==+q st pt s 的方法求解。

例．已知数列中，，，，求。

{}n a 11=a 22=a n n n a a a 313212+=++n a 答案： 1731()443n n a -=--7．形如或的递推数列都可以用倒数法求通项。

11n n n a a ka b--=+11n n n n a ba ka a ---=例．1,13111=+⋅=--a a a a n n n 答案：132n a n =-8.利用平方法、开平方法构造等差数列例1．数列的各项均为正数，且满足，，求。

{}na 11n n a a +=++12a =n a 答案：2(1)n a n =例2．已知，求：()f x x =<（1）；（2）设，求。

1()fx -11111,()()n n a f a n N a -++==-∈n a 答案：（1）（2）1()0)fx x -=>n a =9．型rn n a p a ⋅=+1该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。

两边取对数得)lg(lg 1r n n a p a ⋅=+n n a r p a lg lg lg 1+=+设∴原等式变为即变为基本型。

n n a b lg =p rb b n n lg 1+=+例．已知，求其通项公式。

3,2211nn a a a ==+答案：1223()3n n a -=⨯练习：1.已知且，求 11a =1122n n n a a ++=+n a 答案：1()22n n a n =-2.已知且，求 13a =132n n n a a +=+n a 答案： 1532n n n a -=⋅-3.已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式。

{}n a 311=a n n S n a n n a n n S )12(-=n a 解：⑴当n =1时,有：S 1=a 1=2a 1+(-1)⇒ a 1=1；当n =2时,有：S 2=a 1+a 2=2a 2+(-1)2⇒a 2=0；当n =3时,有：S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(-1)3⇒a 3=2；综上可知a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+---- 化简得：1122(1)n n n a a --=+-上式可化为：1122(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+- 故数列{2(1)3n n a +-}是以112(1)3a +-为首项, 公比为2的等比数列.故121(1)233n n n a -+-= ∴121222(1)[2(1)]333n n n n n a --=--=--数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--.4.设数列满足，．求数列的通项；{}n a 211233333n n na a a a -++++=…n ∈*N {}n a 解：由1n 2a a n 1n ++=+得1n 2a a n 1n +=-+则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---1)1n (2n)1n (21)1n (]12)2n ()1n [(21)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-⋅=+-++++-+-=++⋅++⋅+++-++-= 所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =5. 已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上．求数列{}n a 的通项公式；解：因为)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 321n ≥-++++=- ① 所以n 1n 3211n na a )1n (a 3a 2a a +-++++=-+ ② 所以②式－①式得n n 1n na a a =-+ 则)2n (a )1n (a n 1n ≥+=+则)2n (1n a a n1n ≥+=+所以2232n 1n 1n n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=--- 22a 2!n a ]34)1n (n [⋅=⋅⋅⋅⋅-= ③ 由)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 321n ≥-++++=- ，取n=2得212a 2a a +=，则12a a =，又知1a 1=，则1a 2=，代入③得2!n n 5431a n =⋅⋅⋅⋅⋅= 6. 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

已知，求通项a n ． n n n a a a 3,311==+答案：1(31)2n n a n -=-⋅7. 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

答案： 31n n a n =+-8.已知且，求 113a =-113n n n S S a ++⋅=n a 答案：1(33)n a n n =-9.已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

答案： 131(2)322n n a n -=+⋅-10.已知数列}a {n 满足，7a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

413n n a a +=答案：114313(73)3n n a -⨯=11.已知数列{a n }的首项a 1=，a n+1=，n=1，2，…，求{a n }的通项公式； 35n n 32+1a a 答案：332nn n a =+12.设数列满足且，求{}n a 10a =11111n nn a a +-=--n a 答案：2212n a n n =--+13.已知等比数列，，等差数列（）中，为中连续的三项，求{}n b 11b ={}n a 0d ≠2514,,a a a {}n b nb 答案：13n n b -=14.已知各项为正数的数列满足，求 {}n a 2223121(4)3n a a a n n ++⋅⋅⋅+=-n a 答案：21n a n =-15.已知，且，求 11a =113n n n a S S ++=-n a 答案：21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩16.已知且，求 12a =122nn n a a a +=+na 答案：2na n =17．已知，求通项a n ．n n n a a a 3,311==+答案：2223n n n a -+=18.已知是首项为1，公差为的等差数列，且。

{}n b 4312212n n a a na b n+++=+++ （1）求证：也是等差数列；{}n a （2）若， 112233456478910.,,c a c a a c a a a c a a a a ==+=++=+++ 如此构成数列，求数列的通项公式。