数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)

数列通项与求和

一．求数列通项公式

1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。）

例．等差数列是递增数列，前n 项和为，且成等比数列，．求数列的通项

{}n a n S 931,,a a a 255a S ={}n a 公式． 答案： 3

5

n a n =

2．公式法：已知（即）求，用作差法：

n S 12()n a a a f n +++= n a 11,(1)

,(2)

n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩例．设正整数数列前n 项和为，满足，求 {}n a n S 21

(1)4

n n S a =+n a 答案：

21n a n =-3．作商法：已知求，用作商法：。

12()n a a a f n = n a (1),(1)()

,(2)

(1)

n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩如数列中，对所有的都有，则 ；

}{n a ,11=a 2≥n 2321n a a a a n = =+53a a 答案：

61

16

4．累加法：若求：1a +(2)n ≥。

1()n n a a f n +-=n a 11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 例．已知数列，且a 1=2，a n +1=a n +n ，求a n ．

答案：

24

2

n n n a -+=5．累乘法：已知

求，用累乘法： 1()n n a f n a +=n a 121121

n n n n n a a a

a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥例．已知数列满足，，求。

{}n a 321=a n n a n n

a 1

1+=+n a 答案：

2

3n a n

=6．已知递推关系求，用构造法（构造等差．等比数列）。

n a （1）形如只需构造数列，消去带来的差异．其中有多种不同形式 ()n f pa a n n +=+1{}n b ()n f ()n f ①为常数，即递推公式为（其中p ，q 均为常数，）。

()n f q pa a n n +=+1)0)1((≠-p pq

解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 )(1t a p t a n n -=-+p

q

t -=

1例． 已知数列中，，，求． {}n a 11=a 321+=+n n a a n a 答案：

123n n a +=-②为一次多项式，即递推公式为 ()n f s rn pa a n n ++=+1例．设数列：，求． {}n a )2(,123,411≥-+==-n n a a a n n n a 答案：

1631n n a n -=⋅--③ 为的二次式，则可设；

)(n f n C Bn An a b n n +++=2（2）递推公式为（其中p ，q 均为常数，）。（或，n n n q pa a +=+1)0)1)(1((≠--q p pq 1n n n a pa rq +=+其中p ，q ， r 均为常数）

解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

1

+n q

q q a q p q

a n n n n 1

1

1+∙=++引入辅助数列（其中），得：再应用类型（1）的方法解决。 {}n b n

n n q a b =q b q p b n

n 1

1+=+例．已知数列中，，，求。 {}n a 651=

a 11)2

1

(31+++=n n n a a n a 答案：

1

13()2(23

n n n a =⋅-⨯（3）递推公式为（其中p ，q 均为常数）。 n n n qa pa a +=++12解法：先把原递推公式转化为其中s ，t 满足，再应用前面类型（2）)(112n n n n sa a t sa a -=-+++⎩

⎨

⎧-==+q st p

t s 的方法求解。

例． 已知数列中，，，，求。 {}n a 11=a 22=a n n n a a a 3

1

3212+=++n a 答案： 1

731()443

n n a -=

--7． 形如或的递推数列都可以用倒数法求通项。

1

1n n n a a ka b

--=+11n n n n a ba ka a ---=例．

1,1

3111

=+⋅=

--a a a a n n n 答案：

1

32

n a n =

-

8.利用平方法、开平方法构造等差数列

例1．数列的各项均为正数，且满足，，求。 {}n

a 11n n a a +=++12a =n a 答案：

2

(1)n a n =例2．已知，求：

()f x x =

<（1）；（2）设，求。 1

()f

x -111

1

1,

()()n n a f a n N a -++==-∈n a 答案：（1）（2）

1

()0)f

x x -=>n a =9．型

r

n n a p a ⋅=+1该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。 两边取对数得

)lg(lg 1r n n a p a ⋅=+

n n a r p a lg lg lg 1+=+设∴原等式变为即变为基本型。 n n a b lg =p rb b n n lg 1+=+例．已知，求其通项公式。 3

,22

1

1n

n a a a ==+答案：

1

223()3

n n a -=⨯练习：

1.已知且，求 11a =1122n n n a a ++=+n a 答案：

1()22

n n a n =-2.已知且，求 13a =132n n n a a +=+n a 答案： 1532n n n a -=⋅-3.已知数列中，，前项和与的关系是 ，试求通项公式。 {}n a 3

1

1=

a n n S n a n n a n n S )12(-=n a 解：⑴当n =1时,有：S 1=a 1=2a 1+(-1)⇒ a 1=1；

当n =2时,有：S 2=a 1+a 2=2a 2+(-1)2⇒a 2=0；