带电粒子在三角形磁场中的运动例析(精品)

带电粒子在三角形磁场中的运动例析
河南省信阳高级中学 陈庆威 2017.12.21
带电粒子在有界磁场中运动，该类题型主要考查带电粒子磁场中的运动规律。

带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力充当向心力，从而得出半径公式mv R Bq =
，周期公式2m T Bq
π=，运动时间公式2t T θ
π=，
知道粒子在磁场中运动半径和速度有关，运动周期和速度无关，画轨迹，定圆心，找半径，并结合几何知识分析解题。

题型一：等腰直角三角形
例题1：如图所示，等腰直角三角形abc 区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.三个相同的带电粒子从b 点沿bc 方向分别以不同的速度v 1、v 2、v 3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t 1、 t 2、 t 3，且t 1∶t 2∶t 3＝3∶3∶1.直角边bc 的长度为L ，不计粒子的重力，下列说法正确的是( ) A. 三个速度的大小关系可能是v
1＞v 2＞v 3 B. 三个速度的大小关系可能是v 2＜v 1＜v 3 C. 粒子的比荷32v q
m BL
= D. 粒子的比荷1
2q m Bt π
=
【答案】BCD
【解析】因为三个粒子在磁场中运动的时间之比为t 1：t 2：t 3=3：3：1，显然它们在磁场中的偏转角度之比为3：3：1．即粒子1、2打在ab 上，而粒子3打在ac 上，轨迹大致如图所示．粒子轨迹如图所示：
速度为v 1 、v 2 的粒子从ab 边穿出，则偏转角为90°，但两者的速度大小关系不定，但其半径一定比速度为v 3的粒子半径小，由半径公式： mv r qB
=
，可知v 3一定大于v 1和v 2，故A 错误，B 正确；对粒子3，其偏转角为6
π
，由几何关系得到半径r 3=2L ，
则飞行时间为： 126212
m
t T qB
π
ππ
=⨯=⨯，从运动学公式
可得： 333
21123r L
t v v ππ=
⨯=
，联立可得： 32v q m BL =，故C 正确；由于速度为v 1的粒子偏转90°，则11242m m t qB qB ππ=⨯=，则有： 1
2q m Bt π
=，故
D 正确。

所以BCD 正确，A 错误。

题型二：含300
角的直角三角形
例题2：如图，xOy 坐标轴上有A （L,0）C （
）两点．在△OCA 区域内有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场B ．一群质量为m 、电荷量为q （q>0）的同种粒子（粒子间相互作用不计），同一时刻从OC 边以平行于x 轴方向射入磁场．粒子射入磁场前间距均匀（极小）、速度相同．从OC 边射出的粒子占粒子总数75%．不计重力．下列说法正确的是( ) A. 粒子在磁场中按顺时针方向运动 B. 粒子在磁场中运动时间最长为
m
qB
π
C. 粒子速度大小为
12m
D. 粒子在磁场中运动时间最短为6m
qB
π 【答案】BC
【解析】试题分析：粒子运动方向运用左手定则分析；根据周期公式
2m
T qB
π=
结合转过的最大和最小圆心角，即可求出粒子运动的最长和最短时间；根据题中所给的从OC 边射出粒子百分比，利用几何关系求出粒子半径，再与半径公式联立即可求出粒子速度．
用左手定则可以判断粒子在磁场中按逆时针方向运动，A 错误；粒子在磁场中运动的周期为2m
T qB
π=
，轨迹对应的圆心角最大值为θπ=，所以运动时间最长为2m t T qB
θππ=
=，故B 正确；设从OC 边P 点入射的粒子恰能从OC 边射出，半径为r ，其轨迹恰好与AC 相切，因为C 点坐标为（0
），所以OC =，因为粒子从OC 边均匀射入，75%粒子能从OC 边射出，故OC 边75%长度射入的粒子能从OC 射出，即：从OP 段入射的粒子均能从OC 边射出，CP 段入射粒子不能
从OC 边射出，可知14
CP OC ==
，根据几何关系可得
s i n 34r C P r L =+︒，解得粒子轨迹半径r L =…①，根据洛伦兹力
提供向心力可得： 2
v qvB m r
=…②，联立①②式可得粒子速度大小
12v m
=
，C 正确；从C 点入射的粒子在磁场中运动时间最短为0，
故D 错误；
题型三：等边三角形
例题3：如图所示，边长为L 的正三角形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子以速率v 从O 点沿OB 方向射入磁场，并从AB 的中点C 离开磁场，则磁场的磁感应强度的大小为（）
【答案】A
【解析】如图所示'O 为粒子在磁场做匀速圆周运动的圆心，过C 点做弧线的切线，交BO 于E 点，因为C 与O 关于'O E 对称，所以∠OEC=120°，即'OO C ∠=60°根据几何知识可
得OC L =
，过'O 点做CO 的垂线，交点为D ，故'DO C ∠=30°，
所以121sin302
CO
CD r L ===︒，
根据半径公式mv r Bq =
可得3B qL
=，A 正确。

拓展训练1：如图所示，边长为L 的等边三角形abc 为两个匀强磁场的理想边界，三角形内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B ，三角形外的磁场范围足够大，方向垂直纸面向里，磁感应强度也为B,把一粒子源放在顶点a 处，它将沿∠a 的角平分线发射质量为m
、
电荷量为q 、初速度为m
qBL
v =
0的带负电粒子（粒子重力不计）。

在下列说法中正确的是( )
A ．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径是L/2
B ．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径是
3L/2
C ．带电粒子第一次返回a 点所用的时间是7πm/(3qB)
D ．带电粒子第二次到达a 点所用的时间是6πm/(qB) 【答案】CD
【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径是0
mv r L qB
==，AB
错；带电粒子在电场中的部分运动轨迹如图所示，做匀速圆周运动的周期为2m T qB
π=，则带电粒子第一次到达c 点所用的时间是116
t T =，带
电粒子第一次返回a 点所用的时间是215176
6
6
6
t T T T T =++=，C 对。

当粒
子第二次到a 点时刚好相当于转了三个完整的圆。

如图。

拓展训练2：在纸面内固定一边长为L 的等边三角形框架abc ，荧光
屏ef平行ac边放置， ef与ac的距离为L
10
1，整个装置处在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。

质量为m、电荷量为+q 的粒子从a点在纸面内沿垂直ab边的方向射出，如图所示，最终经c点进入acfe区域。

若粒子与三角形框架ab、bc边碰撞，则在碰撞过程中粒子不损失能量且电荷量保持不变，并要求碰撞时速度方向与被碰边垂直，不计粒子的重力。

求：
(1)若粒子与ab边发生多次碰撞，相邻两次碰撞的时间间隔；
(2)粒子做圆周运动的半径；
(3)粒子从a点到第一次通过c点过程中通过的路程；
(4)若粒子能够打到荧光屏ef上，粒子从a点发射时的速度大小。

【答案】(1)t=πm
qB (2) R=L
2n+1
(n=0,1,2,3…..)(3)s ac=nL(6n+5)
3(2n+1)
(n=0,1,2,3…..)（4）v=qBL
m
【解析】（1）相邻两次碰撞时间间隔：t=T
2，由qvB=m v
2
R
，T=2πR
v
，解
得t=πm
qB
（2）由题意可知：L=(2n+1)R，(n=1.2.3.4....)，
解得R=L
(2n+1)
，(n=1.2.3.4....)
（3）粒子做圆周运动过程中一个周期通过的路程
s0=2πR=
2πL
2n+1，(n=1.2.3.4....)
粒子从a点射出后，第一次通过c点过程中通过的路程：s ac=(π+5
6
)s0，(n=1.2.3.4....)，
解得：s ac=πL(6n+5)
2(2n+1)，(n=1.2.3.4....)
（4）如图所示，根据题意可知θ=30°，
假设粒子恰好与ef相切，满足Rcos30°=R−
1 10L，得R=2+3
5
L<L
代入R=L
(2n+1)，(n=1.2.3.4....)，可得n=9−53
2
=0.17
若粒子能够打到荧光屏ef上，只有n=0满足条件
此时粒子从a点发射时的速度为v，由R=L=mv
qB ，解得v=qBL
m。