关于积分上限函数的小结

关于积分上限函数
积分上限函数（或变上限定积分）()()x
a F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，
在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。

弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。

1． 关于积分上限函数的理论
定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=x
a dt t f x F )()(在],[
b a 上连续.
定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=x
a
dt t f x F )()(在],[b a 上可导，且
).(])([)(x f dt t f dx d x F x
a
==
'⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。

这是积分上限函数的良好性质。

而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数
)(x f '甚至不一定是连续的。

（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。

它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。

我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。

定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

推论1
)(])([x f dt t f dx d b
x -=⎰ 推论2
)()]([])([)
(x x f dt t f dx
d x c ϕϕϕ'=⎰
推论3
)()]([)()]([])([)
()(x x f x x f dt t f dx
d x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰
2． 积分限函数的几种变式
（1） 比如 ⎰-=x
dt t f t x x F 0)()()(
(被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)
在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-x
x
x
x
dt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0
)()()()(的形
式，再对x 求导。

（2）比如 ⎰-=x
dt x t tf x F 0)()(
( f 的自变量中含x , 可通过变量代换将x 置换到f 的外面来)
在求)(x F '时，先对右端的定积分做变量代换x t u -=（把x 看作常数），此时，
du dt =，0=t 时，x u -=；x t =时，0=u ，这样，)(x F 就化成了以u 作为
积分变量的积分下限函数：
⎰⎰⎰---+=+=0
00)()()()()(x
x
x
du u uf du u f x du u f u x x F ，然后再对x 求导。

( 3 ) 比如 ⎰=1
)()(dt xt f x F
(这是含参数x 的定积分, 可通过变量代换将x 变换到积分限的位置上去) 在求)(x F '时，先对右端的定积分做变量代换xt u =（把x 看作常数），此时，
x
du
dt =
，0=t 时，0=u ；1=t 时，x u =，于是，)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分上限函数：⎰=x
du u f x x F 0)(1)(，然后再对x 求导。

3． 有积分限函数参与的题型举例 （1） 极限问题：
例1 ⎰⎰
-→x x x dt
t t t tdt
2
3
)sin (sin lim
2
（答：12）
例2
x
dt t x
x ⎰+∞
→0
sin lim
（提示：本题用洛必达法则求不出结果，可用夹逼准则
求。

答：
π
2
）
例3 已知极限1sin 1
lim
00=++-⎰→x x x dt c
t t a bx e ，试确定其中的非零常数.,,c b a
（答：.1,1,1==-=c b a ） （2） 求导问题
例4 已知 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=⎰⎰.
sin ,
)cos 1(00t t udu y du u x 求.dx dy (答:)cos 1(2sin t t t -) 例5 已知 .0cos 0
=+⎰⎰
xy
y
t
tdt dt e 求
.dx dy (答: )
cos()
cos(xy x e xy y y +-)
例6 求⎰-x
dt t x dx d 0
2)sin(
(答: 2sin x )
例7 设)(x f 在),(+∞-∞内连续且,0)(>x f 求证 ⎰⎰=x x
dt
t f dt t tf x 00)()()(ϕ 在),0(+∞内单调增加.
(3) 最大最小值问题
例8 在区间],1[e 上求一点ξ, 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.
(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和:⎰⎰-+=e
x
x
dt t tdt x A )ln 1(ln )(1
,
然后求出)(x A ',再求出其驻点. 答:e =ξ.)
例9 设0≥x ，n 为正整数. 证明 ⎰-=x
n tdt t t x f 022sin )()( 的最大值不超过
.)
32)(22(1
++n n (提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上
界.)
(4) 积分问题
例10 计算⎰1
0)(dx x xf ，其中⎰
=21
sin )(x dt t
t
x f . (提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 总是用分部积分法求解, 且取)(x u 为积分上限函数. 答: ).11(cos 2
1
-) 例11 设)(x f 在),(+∞-∞内连续, 证明
.])([))((0
⎰⎰⎰
=-x u
x
du dt t f du u x u f
(提示: 对右端的积分施行分部积分法.)
例12 设⎪⎩
⎪
⎨⎧><≤<-≤≤=.2,00,212,
10)(x x x x x x x f 求⎰=Φx dt t f x 0
)()(在),(+∞-∞内的表
达式.
(说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时, 注意对任一取定的x , 积分变量t 在],0[x 内变动.
答: .21,21)2(211,102
1,00)(22⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>≤<--≤≤<=Φx x x x x x x )
(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题 例13 设函数)(x ϕ连续，且满足
.)()()(0
⎰⎰-+=x
x
x
dt t x dt t t e x ϕϕϕ 求).(x ϕ
(答: )sin (cos 2
1
)(x e x x x ++=
ϕ) （说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解. 注意初值条件隐含在积分方程内. 答: x x x sin cos )(+=ϕ） 例14 设)(x f 为正值连续函数, ,1)0(=f 且对任一0>x , 曲线)(x f y = 在区间],0[x 上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程. (说明: 根据题设列出的方程将含有)(x f 的积分上限函数.
答: ))0(2
)(>+=
-x e e x f x
x (6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等.
例15 设)(),(x g x f 均在],[b a 上连续, 证明以下的Cauchy-Swartz 不等式:
.)()())()((22
2
⎰⎰⎰≤b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f
说明: 本题的通常证法是从不等式0)]()([≥-⎰b
a
dx x tg x f 出发, 由关于t 的二
次函数非负的判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下:
令.)()(])()([)(222⎰⎰⎰⋅-=x
a
x
a
x
a
dt t g dt t f dt t g t f x F 则.0)(=a F
求出)(x F '并证明.0)(≤'x F 从而)(x F 单调减少, 于是得 .0)()(=≤a F b F 由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例.
例16 设)(x f 在[0,1]上连续且单调减少. 证明: 对任一,10<<λ 有
.)()(1
⎰⎰
≥dx x f dx x f λλ
(提示: 即证
.1
)()(1
⎰⎰
≥
dx x f dx
x f λ
λ
于是作,)()(0
x
dt t f x F x
⎰=
只需证)(x F 单
调减少即可得结论.)
利用积分上限函数构造辅助函数, 还常用于证明与微分中值定理有关 的某些结论. 比如下题.
例17 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续. 求证: 存在),(b a ∈ξ, 使 ⎰⎰=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f )()()()(.
(提示: 令⎰⎰⋅=b
x
x a
dt t g dt t f x F )()()(. 对)(x F 在],[b a 上用Rolle 定理即可证
得结论)
4. 关于积分限函数的奇偶性与周期性
定理3 设()x f 连续，()()⎰=x dt t f x 0
ϕ.如果()x f 是奇（偶）函数，则()x ϕ是
偶（奇）函数；如果如果()x f 是周期为T 的函数，且()00
=⎰T dx x f ,则()x ϕ是相
同周期的周期函数.
证 设()x f 奇, 则
()()()()()()()x du u f du u f u d u f dt t f x x
f x
x u
t x ϕϕ==--=--=
=-⎰⎰⎰
⎰
-=-0
奇
,
即()x ϕ为偶函数.
设()x f 偶, 则
()()()()()()()x du u f du u f u d u f dt t f x x
f x
x u
t x ϕϕ-=-=--=--=
=-⎰⎰⎰
⎰
-=-0
偶
,
即()x ϕ为奇函数.
若()00
=⎰T
dx x f ，则
()()()()()()()x dt t f x dt t f dt t f dt t f T x T
T x x
x T x ϕϕϕ=+=+==+⎰⎰
⎰⎰
++0
,
即)(x ϕ为周期为T 的周期函数.
例18 设)(x f 在),(+∞-∞内连续, ⎰-=x
dt t f x t x F 0)()2()(. 证明:
(a) 如果)(x f 是偶函数, 则)(x F 也是偶函数;
(b) 如果)(x f 是单调减少函数, 则)(x F 也是单调减少函数.。