初中数学因式分解的几种经典技巧

初中数学因式分解的几种经典方法

息县六中陈岳

因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。

【1】提取公因式

这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

2x-3x=0

例一：2

解：x(2x-3)=0

x=0,2x=3/2

1

这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式

这对我们后面的学习有帮助。

【2】公式法

将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

注意：使用公式法前，建议先提取公因式。

例二：2x -4分解因式

分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2

解：原式=(x+2)(x-2)

【3】十字相乘法

是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21.a a 的积21.a a ，把常数项c 分解成两个因数21.c c 的积21.c c ，并使1

221c a c a 正好是一次项b ，那么可以直接写成结果

例三： 把22x -7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数)：

2＝1×2＝2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

╳

2 3

1×3+2×1 =5

1 3

╳

2 1

1×1+2×3 =7

1 -1

╳

2 -3

1×(-3)+2×(-1) =-5

1 -3

╳

2 -1

1×(-1)+2×(-3) =-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解原式=(x-3)(2x-1).

总结：对于二次三项式2ax +bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=21.a a ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=21.c c ，把2121,,,c c a a ，排列如下：

1a 1c

╳

2a 2c

1221c a c a +

按斜线交叉相乘，再相加，得到1221c a c a +，若它正好等于二次

三项式2ax +bx+c 的一次项系数b ，即1221c a c a +=b ，那么二次三项

式就可以分解为两个因式1a x+c1与22c x a +之积，即

2ax +bx+c=(1a x+1c )(2a x+2c ).

这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。

【4】分组分解法

也是比较常规的方法。

一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来

需要可持续性！

例四：2

24

+

+

x-

x

4y

可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式

解：原式=2

2

x-

+

)2

(y

=(x+2+y)(x+2-y)

总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。

【5】换元法

整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上

例五：1)

(2+

)

(2

y

x

x分解因式

+

-

+y

考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y 那么原式=2a-2a+1

=2)1

a

(-

回代

原式=2)1

x

(-

+y

【6】主元法

这种方法要难一些，多练即可

即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数

例六：4222)1()1(216x y y x y -+++

分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y 为主元

会使原式极其烦琐，而以x 为主元的话，原式的难度就大大降低了。

原式=y x y x y 16)1(2)1(2242+++----------------------【主元法】

=)2)(82(22222+++-x y x y x y x ---------------------【十字相乘法】

可见，十字相乘十分重要。

【7】双十字相乘法

难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如2的二次六项式

+

+2

ax+

+

+

bxy

ey

f

cy

dx

在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np ＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，例七：2

2-

b

a

ab分解因式

+b

-

+

解：原式＝0×1×2a＋ab＋2b＋a－b－2

＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2）

＝（b＋1）（a＋b－2）

【8】待定系数法

将式子看成方程，将方程的解代入

这时就要用到【1】中提到的知识点了

当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式例八：2x+x-2