数项级数基本概念资料

合集下载

数项级数的基本概念及性质

称为级数的部分和.
机动目录上页下页返回结束
5
则称无穷级数收敛，
并称 S 为级数的和，记作：S un
n 1
则称无穷级数发散。
即：常数项级数收敛(发散) lim S n 存在(不存在)
n
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
即
Sn S
误差为 Rn
机动目录上页下页返回结束
设三角形周长为 P1 3 , 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
播放
依次类推
机动目录上页下页返回
9
结束
第 n 次分叉：
4 n 1 周长为: Pn ( ) P1 3 n 1, 2,
n n n
a lim s n n 1 q
收敛
lim q n lim sn 当 q 1时 , n
机动
发散
目录上页下页返回
17
结束
当 q 1时 ,
sn na
发散
发散
aq 3 aq
2
当 q 1 时 , 级数变为 a a a a
a 1 q , n 综上所述 aq n 0 发散 ,

q 1 q 1
a aq
aq 2
右图给出了几何级数的一个几何解释:
S a 由三角形的相似 a a aq a S 1 q
a
aq
aq
S
a
a
机动目录上页下页返回
18
结束
例 4：以德国数学家 Cantor 命名的 Cantor 集是这样

4.1数项级数

∑
∞
n=1
∑
∞
1 1 1 1 1 发散. =1+ + + L+ +L 发散. n 2 3 4 n
n→ ∞
lim S n = S ,
n→ ∞
lim S 2 n = S ,
于是
n→∞
lim ( S 2n − S n )= S − S = 0.
1 1 1 1 1 1 1 > + +L+ = , 但S 2 n − S n = + +L+ 2 n 2n 2n n+1 n+ 2 2n 1442443 2
a (1− q n ) （ 2）当 q > 1 时， ∵ lim S n = lim =∞ ， n→∞ n→∞ 1− q
级数发散. ∴级数发散.
（3 ）当 q =1 时，
故级数发散. ① 当 q =1 时， lim S n = lim na = ∞ ，故级数发散.
n→∞ n→∞
② 当 q = −1 时， S n = a − a + a − a +L+ ( −1)n−1 a ，
等比级数
n −1 q < 1,收敛 ∑ aq q ≥ 1,发散 n =1 ∞
∞
级数
n=1
∑ un
n→ ∞
lim u n ≠ 0 ⇒ 发散
n→∞
lim un = 0, 不一定收敛 .
利用级数的基本性质判定其敛散性
利用级数收敛和发散的定义判定其敛散性
n
1 n2 n ) ]
1 e
0
= 1 ≠ 0,
lim [(1 +
∞

级数理论-数项级数

若级数
∑ u n 与 ∑ vn 都收敛， c, d 是常数，则 ∑ (cun + dvn ) 收敛，且
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
∑ (cu
n =1
∞
n
± dv n ) = c ∑ u n ± d ∑ v n ．
n =1 n =1
∞
∞
三
正项级数收敛性判别法
1 2 设正项级数
∑u
n =1
∞
n
（2）若 5 设
∑ an 发散，则 ∑ bn 发散．
n =1 n =1
比式判别法（达朗贝尔判别法）
∑u
n =1
∞
n
是正项级数，若 ∃N 0 > 0 及常数 q > 0 ，有
（1）当 n > N 0 时，（2）当 n > N 0 时， 6 设
∞ a n +1 ≤ q < 1 ，则级数 ∑ u n 收敛； an n =1 ∞ a n +1 ≥ 1 ，则 ∑ u n 发散． an n =1
n =1
∞
+∞
1
f ( x )dx 同时收
敛或同时发散． 10 拉贝判别法设
∑u
n =1
∞
n
为正项级数，且存在某正整数 N 0 及常数 r ，
（1）若对一切 n > N 0 ，成立不等式 n⎜ ⎜1 −
⎛ ⎝
∞ u n+1 ⎞ ⎟ ≥ r > 1 ，则级数 u n 收敛； ∑ un ⎟ n = 1 ⎠ ∞ u n +1 ⎞ ⎟ ≤ 1 ，则级数 u n 发散． ∑ un ⎟ n =1 ⎠
n =1 n =1

数项级数

n=1 n=1
(3)若k=∞且级数 ∑bn 发散，则级数 ∑an 发散。
n=1 n=1
∞
∞
证
(1)设 ∑ bn 收敛，且
n =1
∞
an lim = k ≠ 0 n →∞ b n
由定义，存在N，当n>N时，有
∞
因 ∑bn ，⇒ ∑(k +1)bn 收敛， ⇒ ∑an 收敛。反之也然。
n=1
n=1
an < k + 1, ⇒ an < (k + 1)bn , b ∞ n ∞
m →∞
k =n+1
∑a
∞
k
= s − sn .
反之,若级数
k = n +1
∑
∞
a k 收敛，若记
k =n+1
∑a
∞
k
= rn ,
则有，原级数的部分和为
′ sm + n = sn + sm
故
m →∞
′ lim sn + m = sn + lim sm = sn + rn .
m →∞
所以，原级数收敛。
cn − bn ≤ cn − an , 因 ∑a ， c 是收敛的，⇒ ∑(c − a ) ∑
∞ ∞ n=1 n n=1 n n
是收敛的，所以
∑( c −b )
n=1 n n
∞
是收敛， ⇒ ∑bn 是收敛的。
n=1
∞
g
例3 讨论级数 ∑
∞
n =1
1 np
的收敛性。
解当 p ≤ 1 时，因级数的。先设 p>1，令
∞
n
i =1

项级数的概念

项级数的概念项级数是数学中的一个概念，指的是一个无穷序列的和。

在项级数中，每一项都是具有固定模式的数列中的某一项，而项级数的和就是这些数列中所有的项的总和。

项级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1, a2, a3, ... 是一个数列的项，n 是一项的位置。

举个例子，如果项级数为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，那么a1 = 1，a2 = 2，a3 = 3，... ，n 表示数列中项的编号。

项级数可以分为两类：收敛项级数和发散项级数。

当项级数的和存在且有限时，我们称其为收敛项级数；当项级数的和不存在或为无穷大时，我们称其为发散项级数。

对于收敛项级数，我们常常使用极限的概念来表示。

如果项级数S具有有限的和S，则对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，Sn - S < ε。

其中，Sn 表示项级数的前n项和。

为了更好地理解项级数的概念，我们可以看一些经典的例子。

1. 等差数列：1, 2, 3, 4, ...这是一个常见的等差数列，每一项与前一项之差都相等。

项级数可以表示为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。

2. 等比数列：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个等比数列，每一项都是前一项的1/2倍。

项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。

3. 调和级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...这是一个调和级数，每一项是倒数数列。

项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。

4. 幂级数：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个幂级数，每一项都是前一项的1/2倍。

项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。

数学分析数项级数

数学分析数项级数数项级数是由一组数相加而成的序列。

数项级数在数学中有着非常重要的地位，常用于研究数学分析、微积分和数论等领域。

首先，我们来定义数项级数。

数项级数是由一组实数a1, a2,a3, ... 组成的序列，将其相加得到的序列表示为：S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, ... 一般地，第n个部分和Sn为Sn = a1 +a2 + ... + an。

我们首先来讨论数项级数的部分和序列。

部分和序列是数项级数中非常重要的概念。

如果部分和序列Sn收敛于一个实数S，即lim(n→∞)Sn = S，那么我们称该数项级数是收敛的，并称S为该数项级数的和。

如果部分和序列Sn不收敛，我们称该数项级数是发散的。

接下来，我们来研究一些收敛数项级数的性质。

首先是数项级数的有界性。

如果数项级数收敛，那么它的部分和序列一定是有界的。

这是因为收敛数列的定义就包含了它的部分和序列是有界的。

其次，我们来看数项级数的比较判别法。

这是判断数项级数的敛散性的一种常用方法。

如果对于一个正数b来说，数项级数绝对值的部分和序列Sn满足Sn≤b，那么我们称该数项级数是收敛的。

该方法常用于判定数项级数在无穷大时的敛散性。

再次，我们来看数项级数的比值判别法。

如果数项级数的部分和序列Sn满足lim(n→∞) ，Sn+1 / Sn， = L，那么我们有下面的结论：1）当L<1时，数项级数是收敛的；2）当L>1时，数项级数是发散的；3）当L=1时，该方法无法判定数项级数的敛散性。

最后，我们来看数项级数的积分判别法。

对于一个连续递减的正函数f(x)，如果数项级数的部分和序列Sn与函数f(x)的积分∫(n→∞) f(x) dx之间存在以下关系：1）当∫(n→∞) f(x) dx收敛时，数项级数也是收敛的；2）当∫(n→∞) f(x) dx发散时，数项级数也是发散的。

以上是数项级数的一些基本概念和性质。

数项级数的定义

数项级数的定义一、数项级数的概念数项级数是指由一系列数项按照一定规律相加而得到的一种数列。

数项级数一般表示为 S =a 1+a 2+a 3+...+a n +...，其中 a n 是数项。

二、数项级数的和数项级数的和指的是将数项按照一定次序相加的结果。

如果数项级数的和存在有限值，我们称该数项级数是收敛的，收敛的和就是该级数的和；如果数项级数的和不存在有限值，我们称该数项级数是发散的。

三、数项级数的收敛条件数项级数的收敛与数项的值有关，有以下几种常见的收敛条件：1. 绝对收敛如果数项级数的各个数项 a n （n ≥1）的绝对值组成的级数 ∑|a n |∞n=1 收敛，则称原数项级数 ∑a n ∞n=1 是绝对收敛的。

2. 条件收敛如果数项级数 ∑a n ∞n=1 收敛，但 ∑|a n |∞n=1 发散，则称原数项级数是条件收敛的。

3. 收敛性与发散性对于一般的数项级数，没有绝对收敛或条件收敛的情况，称该数项级数是发散的。

四、数项级数的性质数项级数具有以下一些基本的性质：若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 都收敛，则级数 ∑(a n +b n )∞n=1 也收敛，并且有∑(a n +b n )∞n=1=∑a n ∞n=1+∑b n ∞n=1。

2. 常数倍数性若级数 ∑a n ∞n=1 收敛，则级数 ∑(ka n )∞n=1 也收敛，并且有 ∑(ka n )∞n=1=k ∑a n ∞n=1（k 为常数）。

3. 递推式若级数 ∑a n ∞n=1 的部分和数列 {S n } 满足递推式 S n =S n−1+a n （n ≥2）并且lim n→∞S n 存在，则级数 ∑a n ∞n=1 收敛且 lim n→∞S n =∑a n ∞n=1。

4. 比较性若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 满足 |a n |≤|b n |（n ≥1），且 ∑b n ∞n=1 收敛，则∑a n ∞n=1 绝对收敛。

数学分析数项级数

傅里叶级数的应用
傅里叶级数在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。通过傅里叶变换，可以将信号从时域转换到频域，从而更好地理解和处理信号。
泰勒级数
01
泰勒级数的定义
泰勒级数是无穷级数，用于逼近一个函数。泰勒级数展开式由多项式和无穷小量组成，可以用来近似表示任意函数。
02
泰勒级数的性质
数学分析数项级数
目录
• 数项级数的基本概念 • 数项级数的性质 • 数项级数的求和法 • 数项级数的应用 • 数项级数的扩展
01
数项级数的基本概念
级数的定义
定义
级数是无穷数列的和，表示为Σ，其中每一项都是正项或负项。
特点
级数中的每一项都是无穷小量，但整个级数的和可能是有限的或无限的。
级数的分类
泰勒级数具有收敛性、唯一性和可微性等重要性质。这些性质使得泰勒级数成为分析函数的有力工具。
03
泰勒级数的应用
泰勒级数在数学分析、物理和工程等领域有着广泛的应用。通过泰勒展开，可以更好地理解和分析函数的性质，如求函数的极限、证明不等式等。
感谢您的观看
THANKS
有穷级数
所有项的和是有限的，例如1+2+3+...+100。
无穷级数
所有项的和是无限的，例如1+1/2+1/3+...。
级数的收敛与发散
收敛
级数的和是有限的，即级数收敛。
发散
级数的和是无限的，即级数发散。
判定方法
通过比较测试、柯西收敛准则等判定级数的收敛与发散。
02
数项级数的性质
收敛级数的性质
数项级数的扩展
幂级数

数项级数

3 4 n1 ln( 2 ) ln(n 1) 2 3 n
当 n 时, ln( 1 n) , 所以 S n ,

1 故级数发散 . n 1 n
24
将x [1, n 1] 上的n个小矩形的面积之和 n 与 1 曲线 y 在[1，n+1]的面积比较，有下面的关 x
un 称为一般项或通项. 由于式中的每一项都是常
数，所以又叫数项级数，简称级数，记为:
u .
n 1 n

3
称 u1 u2 un
u
k 1
n
k
为部分和数列,记为:
sn
部分和数列各项计算如下: 第一项第二项第三项
s1 u1 s2 u1 u2
s3 u1 u2 u3
第 n项课堂练习

sn u1 u2 u3 un
习题12-1 1/(1)(2)(3) 2/(1)(2)
4
2、数项级数的收敛定义
定义 2
若级数
un 的部分和数列 S n
n 1

的极限存在，即
n

lim Sn S ,
则称级数 un 收敛, S 称为级数的和.
7
当 r 1 时,
1- r lim Sn lima . n n 1- r
n
所以这时该等比级数发散. 当 r = 1 时， S n na (当 n ) , 因此该等比级数发散.
8
当 r -1 时,
S n a - a a - ( -1)
n -1
a , 当 n 为奇数， a 0 , 当 n 为偶数，

数项级数的定义

数项级数的定义数项级数的定义数项级数是由一系列有限或无限个数项所组成的一种特殊的数列。

这些数项可以是实数、复数或其他类型的数字。

在这个级数中，每个数字都被称为一个“项”，而这些项被按照一定的顺序排列在一起，形成了一个整体。

1. 数项级数的基本概念1.1 级数和部分和对于一个由n个项组成的级数，我们可以将它表示为S_n，其中S_n 表示前n个项之和。

当n趋近于无穷大时，我们可以得到该级数的总和S。

1.2 收敛与发散如果一个级数在某种意义下能够收敛于某个值S，则我们称该级数是收敛的。

反之，如果该级别不能收敛，则我们称它是发散的。

2. 数学公式表示对于一个由n个项组成的级别，我们可以用以下公式来表示它：∑ a_n = a_1 + a_2 + … + a_n其中a_n代表第n个项。

3. 级别收敛与发散判断方法3.1 正项级别判定法则正向级别指所有a_n都为正实数组成的级别。

如果正向序列满足以下条件，则该序列是收敛的：a_n ≤ a_(n+1) (n≥N)3.2 比值判别法对于一个级数∑ a_n，如果存在一个正整数q，使得：|a_(n+1) / a_n| ≤ q (n≥N)则该级数是收敛的。

3.3 积分判别法对于一个级别∑ a_n，如果存在一个连续的正函数f(x)，满足以下条件，则该级数是收敛的：∫ f(x)dx 从N到无穷大收敛4. 常见级数之和4.1 等比级数求和公式对于形如∑ ar^n的等比级数，我们可以用以下公式来求和：S = a / (1-r)其中a为首项，r为公比。

4.2 调和级数求和公式调和级数指形如∑ 1/n的级别。

这个序列是发散的，但它可以用以下公式来近似计算：S_n = ln(n) + γ + ε_n其中γ为欧拉常数（约为0.577），ε_n是一个趋近于零的误差项。

5. 应用领域在实际生活中，级别经常被用于描述各种数量关系。

例如，在金融领域中，人们经常使用复利计算来计算投资回报率。

这种计算方法就涉及到等比级数。

数学物理基本方法4.1数项级数、幂级数

幂级数在物理学中的应用
弹性力学
幂级数在弹性力学中用于描述弹性体的应力和应变关系。
热力学
热力学中的理想气体状态方程就是通过幂级数来表达的。
电磁学
在电磁学中，幂级数用于描述电磁波的传播和电磁场的分布。
数项级数与幂级数在金融领域的应用
复利计算
通过使用幂级数和数项级数，可以更精确地计算复利，这对于金融投资和保险非常重要。
定义
数项级数与幂级数的乘法运算是将两个级数的对应项相乘，得到
一个新的级数。
规则
乘法运算有特定的规则，如合并同类项、调整系数等，需要细心
操作避免出错。
应用
数项级数与幂级数的乘法运算在数学、物理、工程等领域有广泛应用，如求解物理问题、研究复
合材料的性质等。
Part
05
数项级数与幂级数的应用实例
数学物理基本方法 4.1数项级数、幂级数
• 数项级数简介 • 幂级数简介 • 数项级数与幂级数的联系与区别 • 数项级数与幂级数的运算方法 • 数项级数与幂级数的应用实例
目录
Part
01
数项级数简介
数项级数的定义
01
数项级数是无穷序列的和，表示为 $sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中 $a_n$是序列中的第$n$项。
的时间序列数据。
Part
03
数项级数与幂级数的联系与区别
数项级数与幂级数的共同点
01
两者都是无穷序列
数项级数和幂级数都是无穷序列，可以表示为无限多个项的和或乘积。
02
两者都有收敛和发散的概念
数项级数和幂级数都有收敛和发散的概念，收敛的级数或幂级数具有确
定的极限值，而发散的级数或幂级数则没有确定的极限值。

2.2 数项级数的基本概念

一、数项级数的定义及敛散性定义：设给定一数列：，则称表达式为数项级数，简称级数．记为，即，其中第项称为级数的通项，也称为一般项．注意：级数一定是由无穷多项相加而成的式子．例如：是级数，不是级数；是级数，不是级数．由中学学过的无穷递缩等比数列的求和公式可得，可见，这里的“无穷项求和”的结果等于一个数．而对于级数，从直观上可知，这里的“无穷项求和”不等于任何数．接下来要研究的问题是：“无穷项求和”的运算如何进行？定义：记级数的前项和为，显然．如果（常数），则称级数收敛，并称S 为级数的和，记作．如果不存在，则称级数发散．典型例题例 2.2.1讨论等比级数（又称为几何级数）的敛散性．其中，叫做级数的公比．解(1)如果，级数的前项和当时，由于，从而，因此这时级数收敛，其和为．当，由于，从而，这时级数发散．(2)如果，则当时，级数的前项和，因此级数发散；当时，级数成为，，显然随着的增大，总是在或零上来回跳动，从而的极限不存在，这时级数也是发散的．综上所述，我们得到：等比级数的公比为，则当时，级数收敛，且收敛于；如果，则级数发散．简记为发散，可记忆为发散，由此公式，我们可以很快地得出：，级数收敛．，级数收敛．发散．例 2.2.2判定下列级数的敛散性：(1) ；(2) ．解(1)∵，∴，从而，故级数发散．(2)由于，所以．从而，故级数收敛，它的和是1．例 2.2.3判定级数的敛散性．解级数的前项和，因为，所以级数发散．也可以这样化简：备注：这里用到初等数学中的公式：，．二、级数的基本性质和收敛的必要条件性质1 若为非零常数，则与同时收敛或同时发散，且在收敛时，有．此性质说明：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变．性质2 设级数与都收敛，则也收敛，且．此性质说明，两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减．性质3 在级数中去掉、加上或改变前面有限项的值，不会改变级数的敛散性．性质4（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则它的一般项趋于零，即．此性质说明，一般项的极限为零是级数收敛的必要条件．推论：若，则级数发散．注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件．有些级数虽然一般项趋于零，但仍然是发散的．将在后面学习的调和级数就是这样的例子．典型例题例 2.2.4判断级数的敛散性．解，而级数收敛，所以由性质1知收敛．例 2.2.5判定级数的敛散性，若收敛求此级数的和．解因为级数收敛，且，又级数也收敛，且；所以由性质2，．例 2.2.6判定级数的敛散性．解级数的一般项为，因为，所以级数发散．三、正项级数的敛散性判别定义：设数项级数中的每一项都是非负的，即（），则称该级数是正项级数．定理（比较判别法）：设，是两个正项级数，若，则(1) 当收敛时，收敛；(2) 当发散时，发散．有了这个定理，在判断一个正项级数的敛散性时，可以利用另一个收敛性为已知的正项级数来比较．形如的级数称为－级数，可以证明－级数当时收敛，当时发散．其中时的级数也称为调和级数．典型例题例 2.2.7判定下列级数的敛散性：(1) ； (2) ； (3)解(1)因为，是调和级数，所以级数发散．(2)因为，所以级数收敛．(3)因为，所以级数发散．例 2.2.8判定下列级数的敛散性：(1)；(2)；(3)．解(1) ∵，∴，，而收敛，故收敛．(2) ∵，∴，而发散，所以发散．(3) ∵，∴，而发散，所以发散．小结(1)数项级数及其收敛与发散的概念；(2)数项级数敛散性的常用判别法：①等比级数的敛散性判定及收敛时的求和．要求掌握有关的结论和公式．②－级数的敛散性．要求掌握有关的结论．③对于正项级数，在利用比较判别法时，常以－级数作为参照．④当以上判别方法都不适用时，考虑用敛散性的定义进行判别．⑤利用级数收敛的必要条件只能说明，一般项极限不为零的级数发散，但一般项极限为零的级数未必收敛．重点题型：判断级数的敛散性．。

数项级数重点

数项级数一、数项级数的相关概念数项级数：形如12n u u u ++++的表达式，其中{}n u 为一给定数列。

简记为1nn u∞=∑一般项：第n 项n u 第n 个部分和：11nn n i i s u u u ==++=∑部分和数列： {}n s收敛级数及其和：若部分和数列{}n s 收敛于s ，即lim n n s s →∞=，则称级数1nn u∞=∑收敛，且称部分和数列{}n s 的极限s 为级数1nn u∞=∑的和。

并记12n s u u u =++++发散级数：若部分和数列{}n s 发散，则称级数1nn u∞=∑发散。

余项： 12n n n n r s s u u ++=-=++两个问题；1、判别级数的敛散性； 2、级数求和（放在最后）用定义判别敛散性的要点是通过对部分和数列的研究 [例1] 讨论等比级数201nn n qq q q ∞==+++++∑的敛散性。

（结论要熟记）解：因为当1q =时，n s n =；当1q ≠时，21111n n n q s q q qq--=++++=-，且lim nn q →∞存在当且仅当||1q <，所以当||1q <时，等比级数201nn n qq q q ∞==+++++∑收敛于11q-；当||1q ≥时，等比级数发散。

[例2] 已知数列{}n na 收敛，12()nn n n aa ∞-=-∑也收敛，求证：1n n a ∞=∑收敛。

[赛. 1991. 苏]证明：12()nn n n aa ∞-=-∑的第n 个部分和为11111222121111()(1)(1)n n n kk kk k k k n n kkk k n n nk k aa ka kaka k an a a a +++--===+==+=-=-=-+=+--∑∑∑∑∑∑所以1nn a∞=∑的第n 个部分和为：111112(1)()nn kn k k k k an a a k a a ++-===+---∑∑设数列{}n na 收敛于A ，12()nn n n aa ∞-=-∑收敛于B ，则1n n a ∞=∑收敛，其和为1A a B --[例3] 证明调和级数11n n∞=∑发散。

数项级数.ppt

lim sn不存在
n
发散
当q 1时, 收敛综上 aq n 0 当q 1时, 发散
n
二、基本性质性质 1 如果级数 u 收敛,则 ku

n 1
n
n 1
n
亦收敛.
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s un , v n ,
即
sn s
误差为 rn
( lim rn 0)
n
un i i 1

例2
( 1) 判别无穷级数
n 1

n 1
的收敛性.
解 un (1)
n1
sn 1 (1) (1)n1
1 n为奇数 0 n为偶数 lim sn不存在
n
原级数发散 .
例3
判别无穷级数
1 1 1 的收敛性. 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 ( ), 解 un ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 每项均大于 2
2 m项
1 即前m 1项大于( m 1) 级数发散 . 2
由性质4推论,调和级数发散.
2. Cauchy 收敛准则
u n 收敛的充分必要条件是： 0
n 1

N N ，，
使当 n N 时，对p N ，总有
n p k n1
u k u n1 u n2 u n p 。
1 n n n
n 1

数项级数基本知识点

一．常数项级数的概念
设有数列｛U n ｝，则称u 1+u 2+...+u n +...为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为∑Un ∞n=1，其中U n 称为级数的通项或一般项令S n =u 1+u 2+...+u n （n=1,2,...），则称数列｛S n ｝为级数∑Un ∞n=1的部分和数列，
如果部分和数列｛S n ｝有极限S ,即
lim n→∞
Sn
则称级数∑Un ∞n=1收敛，这时极限S 叫做级数∑Un ∞n=1的和，即
S=∑Un ∞n=1
如果｛S n ｝没有极限，则称级数∑Un ∞n=1发散讨论几何级数（等比级数） [1] =aq n-1
∑[1]∞n=1=a + aq + aq 2 + ...+ aq n-1+...的敛散性，其中a ≠0，q 是
级数的公比
解析：如果 |q|≠1，则部分和：【2】=q n
∑[1]∞n=1
=a + aq + aq 2 + ...+ aq n-1+...=a （1−【2】）
1−q
级数（6--1）
二．收敛级数的基本性质
三．级数收敛的必要条件
定理1为必要条件，不是充分条件
四．正项级数的判别法
1.比较判别法
（比较判别法的极限形式）
2.比值判别法
例题：
3.其他判别法
五．交错级数的判别法
六．绝对收敛与条件收敛。

《数项级数教学》课件

数项级数在积分计算中的应用
总结词
数项级数在积分计算中提供了一种有效的方法，可以将复杂的积分转化为可计算的级数形式。
详细描述
在积分计算中，有些函数的积分无法直接求解，但可以通过数项级数进行近似计算。通过将积分区间划分为若干小区间，将积分转化为求和的形式，再利用级数的收敛性，可以得到积分的近似值。这种方法在处理复杂积分问题时非常有效。
级数中的权重。
数项级数的和是指所有项系数之和，当级数收敛时，其和是有限
的。
数项级数的分类
几何级数
算术级数
调和级数
幂级数
每一项的系数是前一项系数的固定倍数。
每一项的系数是等差数列。
每一项的系数是倒数数列。
每一项的系数是指数形式。
数项级数的应用场景
数学分析
无穷级数是数学分析中研究函数的重要工具之一，可以用来
研究函数的性质和极限。
物理
在物理学中，无穷级数常被用来描述连续介质中的波动、振动等现象。
工程学
在工程学中，无穷级数可以用来求解微分方程、积分方程等数学模型，从而解决实际问题。
计算机科学
在计算机科学中，无穷级数可以用来实现快速傅里叶变换等
算法，提高计算效率。
02
数项级数的收敛与发散
收敛的定义与性质
01
02
03
判定方法一
通过比较判别法、比值判别法和根值判别法等判定级数的敛散性。
判定方法二
通过级数的部分和、部分积或前n项和等方法判断级数的敛散性。
判定方法三
通过级数的通项公式、前 n项和公式或级数的性质来判断级数的敛散性。
03
数项级数的求和
数项级数求和的基本方法

数项级数的基本概念及性质资料

1 4
]
A1(1
1 3
1
1
4
)
9
9
A1(1
3) 5
2 3. 5
雪花的面积有限。
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
机动目录上页下页返回结1束1
例
1：若级数
an
n1
的前
n
项部分和
Sn
n 1， n1
求 an 和 an 。
n1
解：
an
Sn
Sn1
n1 n1
n2 n
2 n(n 1)
n1
时收敛，且在收敛时，有
n
un
n1
lim
n
Sn
，即
un
n1
lim
n
i 1
ui
机动目录上页下页返回结束7
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的 1/3 的小正三角形。如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”。
1 100
1 1000
1 10n
)
3 10
3 100
3 1000
3 10n
引例3. 考察： 1 1 1 1 248
1 2n
2
0
1
3 2
2
机动目录上页下页返回结束4
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和
lim qn

数学分析第九讲数项级数

第九讲数项级数§9.1 数项级数一、知识结构1、数项级数的概念和定义定义1 数列{}n u 得到+++++=∑∞=n n nu u u u u3211，∑∞=1n n u 称为数项级数或无穷级数，简称为级数，其中n u 称为数项级数∑∞=1n nu的通项.∑==nk k n u S 1称为数项级数∑∞=1n n u 前n 项和，或部分和.2、数项级数的收敛性定义2 若数列{}n S 收敛于S ，其中∑==nk kn uS 1为级数∑∞=1n nu的部分和，则称数项级数∑∞=1n nu收敛，称S 为数项级数∑∞=1n nu的和，即∑∞==1n nuS .(1)∑∞=1n nu收敛于S ⇔S S n n =∞→lim ，其中S 为常数.∑∞=1n nu收敛于S 的充要条件是：对0>∀ε，存在正整数N ,当N n >时，有ε<-S S n .(2)∑∞=1n nu收敛于S 的柯西准则①∑∞=1n nu收敛于S ⇔对0>∀ε，存在正整数N ,当N m n >,时，有ε<-m n S S .②∑∞=1n nu收敛于S ⇔对0>∀ε，存在正整数N ,当N n >时，有ε<++++++p n n n u u u 21，p 为任意的正整数常数.由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性. 但在收敛时, 级数的和将改变.去掉前k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.(3)∑∞=1n nu收敛的必要条件：若∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u .其逆否命题为：若0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n nu不收敛.3、级数与无穷积分的关系⑴()∑⎰∑⎰∞=+∞+∞=+==1111)(n nn n nudx x f dx x f , 其中 ()dx x f u n nn ⎰+=1. 即无穷积分可化为级数;⑵ 对每个级数, 定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n , 易见有∑+∞=1n n u =⎰+∞1)(dx x f ，即级数可化为无穷积分.4、收敛级数的基本性质性质 1∑nu收敛, a 为常数⇒∑nau收敛, 且有∑∑=n nu a au(收敛级数满足分配律) 性质 2∑nu和∑nv收敛，则)(n nv u±∑收敛,且有∑∑∑±=±n n n nv u v u)(.问题:∑nu、∑nv 、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3 若级数∑nu收敛, 则任意加括号后所得级数∑'nu 也收敛, 且和不变.(收敛数列满足结合律) 说明: 若级数∑nu收敛, 任意交换级数∑nu的项所得级数∑'nu ，则级数∑'nu 的和一般不等于级数∑nu的和.二、解证题方法例1 讨论几何级数∑∞=0n nq的敛散性.解因为q q q S nnk kn --==∑=110，所以,(1)当1||<q 时, ) ( 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn , 级数收敛，即qq n n -=∑∞=11; (2) 当1||>q 时, ) ( 110∞→∞→--==∑=n q q q S nnk kn ，级数∑∞=0n n q 发散，即∞=∑∞=0n nq;(3) 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散级数∑∞=0n nq发散，即∞=∑∞=0n nq;(4)当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=) (∞→n , 级数发散，即⎩⎨⎧=∑∞=为奇数，为偶数，n n q n n010;综上所述, 几何级数 ∑∞=0n n q 当且仅当 1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ). 例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 解用链锁消去法求. 因为()11321211)1(11+⋅++⋅+⋅=+=∑=n n k k S nk n 111111131212111→+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n （∞→n ），所以级数 ∑∞=+1)1(1n n n 收敛于1，即1)1(11=+∑∞=n n n . 例3 讨论级数∑∞=12n nn的敛散性. 解设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 , 进而 1432221 23222121++-++++=n n n n n S , 而1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S 12211211211→--⎪⎭⎫⎝⎛-=+n n n ) (∞→n ，所以n S →2) (∞→n .因此, 该级数收敛，即221=∑∞=n nn.例4（深圳大学2006年）求级数()∑∞=+111n n n 的和. 解因为()1111111111+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=∑∑==n k kk k S nk nk n , 所以 ()1111lim lim 111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==+∞→∞→∞=∑n S n n n n n n . 例5（上海大学2006年）求级数()()∑∞=+-113231n n n 的和. 解因为()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=∑∑==131131131231311323111n k k k k S n k nk n ,所以()()31131131lim lim 132311=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==+-∞→∞→∞=∑n S n n n n n n . 例6（重庆大学2004年）设10<<a ,求()nn na a a +++∞→ 22lim .解令n n na a a S +++= 22, 则1322++++=n n naa a aS , 进而12+-+++=-n n n n na a a a aS S ,所以()()()ana a a a a na a a a anaa a S n n n nn n n ----=----=--++=+++11111111211. 又因为()()()()a na a a a a na a a a S n n n n n n n n n ----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=+∞→∞→+∞→∞→1lim 11lim 111lim lim 1212 ()()()()12121lim 11lim 1+-+∞→++∞→---=---=x x x x a a x a a a xa a a ()()()()()aa a a a a a a a a x x x x ln 1lim 1ln 11lim 11212----=----=++∞→+-+∞→ ()()22101a a a a -=--=, 所以()()2212lim a a na a a nn -=+++∞→ . 例7（武汉大学2004年）求∑∞=1221arctank k . 解因为()()12arctan 12arctan 21arctan2--+=k k k , 所以 ()()[]∑∑∞=∞=--+=11212arctan 12arctan 21arctan k k k k k , 进而 ()()[]()1arctan 32arctan 12arctan 12arctan 1-+=--+=∑=n k k S nk n .又因()()4421arctan 32arctan lim lim πππ=-=-+=∞→∞→n S n n n , 所以421arctan12π=∑∞=k k . 例8（华中科技大学2004年）设00=x ,∑==nk kn ax 1(1≥n ),b x n →(∞→n )求()11-∞=+∑n n n n x x a .解因为1--=n n n x x a ,所以()()()()∑∑∑=--=--=-=+-=+=nk k k k k nk k k k k nk k n x x x x x x x x a S 1212111112202n n x x x =-=,进而22lim lim b x S nn n n ==∞→∞→,所以()211b x xa n nn n =+-∞=∑.例9 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性.解因为5252352=>-n n n n ，∞→⋅>52n S n ) (∞→n . 所以+∞=⎪⎭⎫⎝⎛⋅>∞→∞→52lim lim n S n n n ,进而级数∑∞=-1352n n n 发散. 例10 证明2-p 级数∑∞=121n n收敛. 证明令21nu n =, 则当 2≥n 时, 有 ∑∑==++++-+<+=+++pk pk p n n n k n k n k n u u u 11221))(1(1)(1 | | np n n 111<+-=. 又因为, 对0>∀ε，存在正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,1εN ,当N n >时，有ε<<++++++n u u u pn n n 121 ，p 为正整数常数, 所以2-p 级数∑∞=121n n收敛.注应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 练习 [1] 判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性.(提示:用数项级数收敛的必要条件) [2] 证明调和级数∑∞=11n n 发散.(提示:用柯西收敛准则或用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ )) [3](上海大学2004年)判断数列{}n S 是否收敛, 其中∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=nk n k kS 113121, 证明你的结论.(提示: 运用调和级数发散证明∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=nk n k k S 113121发散) [4](东南大学2005年) 是非判断题. 若∑∞=12n n u ,∑∞=12n nv都收敛, 则级数()∑∞=+12n n n v u 收敛.(提示: 收敛, 利用不等式222n n n n v u v u +≤)[5](北京工业大学2004年)若一般项级数∑∞=1n na与∑∞=1n nc收敛且不等式n n n c b a ≤≤, ( ,2,1=n ), 证明级数∑∞=1n n b 收敛. 又若级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n nc 都发散, 试问∑∞=1n nb一定发散吗?(提示：运用Cauchy 收敛准则证明∑∞=1n nb收敛)[6](浙江师范大学2006年) 运用Cauchy 收敛准则证明：（1）nn n1)1(1∑∞=-收敛；（2）∑∞=11n n 发散. [7](东南大学2003年) [8](重庆大学2003年) 是非判断题. 若∑∞=--11n n nu u收敛, 则∑=∞→nk kn u1lim存在.(提示: 利用调和级数是发散的)[9](北京工业大学2005年)举例说明: 存在∑∞=1n na收敛但∑∞=12n na发散; 若0≥n a ,上述现象是否发生, 为什么?(提示: 用级数收敛的必要条件)[10](上海交通大学2003年)设数列{}n na 收敛, 级数()∑∞=--11n n na an 收敛, 证明∑∞=1n na收敛(提示: 令()∑=--=nk k kn a ak S 11, 利用不等式n m m n m n m a a a na ma S S ++++--≥--- 21,n m >和柯西收敛准则).§9.2 正项级数一、知识结构1、正项级数判敛的一般原则正项级数∑∞=1n nu: n n S u , 0>↗; 任意加括号不影响敛散性.定理1 设0≥n u ，则级数∑∞=1n nu收敛⇔)1(O S n =，即n S 为有界量. 当∑nu发散时,有+∞→n S （∞→n ）.正项级数敛散性的记法：（1）正项级数∑∞=1n nu收敛，记作+∞<∑∞=1n nu; (2)正项级数∑∞=1n nu发散，记作+∞=∑∞=1n nu.正项级数判敛的比较原则: 定理 2 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是两个正项级数, 且N n N >∃ , 时有n n v u ≤,(1)当+∞<∑∞=1n nv，有+∞<∑∞=1n n u ； (2)+∞=∑∞=1n n u ⇒+∞=∑∞=1n n v . ( (2)是(1)的逆否命题 )推论1 (比较原则的极限形式) 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是两个正项级数且l v u n nn =∞→lim, 则（1）当+∞<<l 0时，∑∞=1n nu和∑∞=1n nv共敛散；（2）当0=l 时 ,+∞<∑∞=1n nv⇒+∞<∑∞=1n nu；（3）当+∞=l 时,+∞<∑∞=1n nv⇒+∞=∑∞=1n nu.推论 2 设∑nu和∑nv是两个正项级数, 若)(n n v O u =，特别地，若n u ～n v （∞→n ），则⇔+∞<∑∞=1n n u +∞=∑∞=1n nv.2、正项级数判敛法（1）比值法：亦称为 D ’alembert 判别法. 用几何级数作为比较对象, 有下列所谓比值法. 定理3 设∑∞=1n nu为正项级数, 且0 N ∃及 ) 10 ( <<q q ，0 N n >时（i ）若11<≤+q u u n n ⇒+∞<∑∞=1n n u ；（ii ）若11≥+n n u u ⇒+∞=∑∞=1n n u .证（i ）不妨设1≥n 时，就有11<≤+q u u nn 成立, 有 q u u ≤12，q u u ≤23，…，q u u n n ≤-1，…，依次相乘11-≤n n q u u，即11-≤n n q u u .由10<<q 得+∞<∑∞=1n nq⇒+∞<∑∞=1n n u .（ii ）可见{}n u 往后递增⇒n u 不0→（∞→n ）. 推论(比值法的极限形式) 设∑∞=1n nu为正项级数, 且 q u u nn n =+∞→1lim. 则（i ）当1<q ⇒+∞<∑∞=1n nu; （ii ）当1>q 或+∞=q ⇒+∞=∑∞=1n n u .(2) 根值法 ( Cauchy 判别法 )根值法也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法. 定理4(根值法) 设∑∞=1n nu为正项级数, 且0 N ∃及0>l , 当 0N n >时,（i ）若1 <≤l u nn ⇒+∞<∑∞=1n n u ;（ii ）若1 ≥nn u ⇒+∞=∑∞=1n nu. ( 此时有 , 0→/n u ) (∞→n .)推论(根值法的极限形式) 设∑nu为正项级数,且 l u nn n =∞→lim. 则(i) 当1 <l 时⇒+∞<∑∞=1n nu; （ii ）当1 >l 时⇒+∞=∑∞=1n n u .注: 根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者，根值法优于比值法. (3)积分判别法：定理5 设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘. 则正项级数∑∞=1)(n n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证明对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀ 且⎰--≤≤nn n f dx x f n f 1)1()()(，, 3 , 2 =n ⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mm n m n mn n f n f dx x f n f 12112)()1()()(，所以正项级数∑∞=1)(n n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.二、解证题方法例1(天津大学2004年) 若正项级数∑∞=1n nu收敛, 证明∑∞=12n nu也收敛, 但反之不然, 试举例说明.解因为正项级数∑∞=1n nu收敛, 所以0lim =∞→n n u , 进而对0>∀ε，存在正整数N , 当N n >时，有ε<=n n u u ，令21=ε, 则N n >时，有n nu u <<20，又因∑∞+=1N n nu收敛, 所以∑∞+=12N n nu收敛, 进而∑∞=12n nu收敛.令n u n 1=, 虽然∑∞=121n n 收敛, 但虽然∑∞=11n n发散.例2(复旦大学2000年)说明级数()∑∞=12ln 1n n的敛散性. 解因为()(),121lim ln 2lim ln 121lim ln lim ln lim22+∞=⋅==⋅⋅==+∞→+∞→+∞→+∞→∞→x x x x x x x n n x x x x n 所以, 对0>∀M ，存在正整数N , 当N n >时，有()()M n nn n >=22ln ln ，令1=M , 则()n n 1ln 12>. 又因∑∞=11n n发散, 所以()∑∞=12ln 1n n 发散. 例3(复旦大学2002年) 说明级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++122111n n n n 的敛散性. 解因为1111222+>++++n n nn n , 而11lim2=+∞→n n n , 所以1111lim22≥++++∞→nn n n , 进而级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++122111n n n n 发散.例4(山东科技大学2005年) 设恒正数列{}n x 是严格单调递增有界的, 证明级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n n x x 收敛. 证明因为数列{}n x 是严格单调递增有界,所以数列{}n x 的极限存在,即ax n n =∞→lim . 又因为ax x x x x S n n nk k k n n n 1111lim 11lim lim 11111-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∞→=+∞→∞→∑, 所以级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n n x x 收敛. 例5(重庆大学2003年) 是非判断题. 若0>n u , ,2,1=n ,且对n ∀,有11<+nn u u , 则∑n u 收敛. 解错.对nu n 1=, 显然0>n u , ,2,1=n ,且对n ∀,有111<+=+n n u u n n ,但∑n1发散. 例6(西安交通大学2001年) 设∑na为正项级数, 证明: 若1lim1<=+∞→r a a n n n , 则∑n a 收敛. 若1lim 1>=+∞→r a a n n n , 则∑n a 发散.若1=r 或1=r , 则∑n a 的敛散性不能判断.证明因为1lim1<=+∞→r a a nn n , 所以, 对0>∀ε, 0>∃N ,当N n >时,有ε+<+r a a nn 1. 又因1<r , 所以当ε足够小时, 有1<+εr , 由比较判别法知,∑n a 收敛. 因为1lim1>=+∞→r a a nn n , 所以, 对0>∀ε, 0>∃N ,当N n >时, 有ε->+r a a nn 1. 又因1>r , 所以当ε足够小时, 有1>-εr , 由比较判别法知,∑na发散.若1=r 或1=r , 则∑n a 的敛散性不能判断.如∑n 1,∑21n均满足1=r 或1=r ,但前者发散,后者收敛.例7(华南师范大学2005年) 讨论级数()()+--++-+-+-312131213121312112161514131211n n的敛散性. 解级数()()+--++-+-+-312131213121312112161514131211n n 可写成 ()()∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--1312121121n n n . 显然()()021*******>--n n , 所以()()∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--1312121121n n n 为正项级数. 因为 ()()()()()()()122161284lim 2121121lim31316123612313121-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=--∞→∞→n n n n n nn n n n n , 又因为()∑∞=13121n n 发散, 所以级数()()+--++-+-+-312131213121312112161514131211n n发散.例8(西南师范大学2005年)设∑na为正项级数, 证明:(1) 若存在正数α及正整数N ,当N n ≥时,有()α+≥1ln 1ln na n ,则 ∑na收敛;(2) 若存在正整数N ,当N n ≥时,有()1ln 1ln ≤na n ,则∑n a 发散. 证明 (1) 由()α+≥1ln 1ln na n 得,当N n ≥时，有α+≤<110n a n . 因为∑∞=+111n nα收敛，所以∑na收敛.(2) 由()1ln 1ln ≤n a n 得,当N n ≥时，有n a n 1≥. 因为∑∞=11n n发散，所以∑na发散.例9 考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性 . 解因为()222222112 222211n n n n n n n <+-+=+-=+-，并且∑∞=121n n 收敛，所以∑∞=+-1211n n n 收敛. 例10 设)1( 0π><<q q p . 判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性解因为nnn n q p q q p q p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+π11s i n 1，且10<<q p ，所以∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1n nq p π收敛，所以正项级数∑∞=+111sin n n n q p 收敛. 练习[1]判断下列级数的敛散性:（1）∑∞=-121n n n ; ( n n -21～ n21) ；（2）∑∞=11sin n n ; （3）∑∞=+12) 11 ln(n n . [2]判断级数()()()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+141951132852951852515212n n 的敛散性. 解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒()()()()∑+∞<-+⋅⋅-+⋅⋅141951132852n n .[3]讨论级数∑-1n nx)0(>x 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x nn x nx x n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时, +∞<∑-1n nx; 1>x 时,+∞=∑-1n nx; 1=x 时,级数成为∑n , 发散.[4] 判断级数∑+n n n n !21的敛散性 .[5] 研究级数 ∑-+nn2) 1 (3的敛散性 . 解 1212)1(3limlim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. [6] 判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 . 解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 . [7] 讨论-p 级数∑∞=11n p n 的敛散性. 解考虑函数0 ,1)(>=p x x f p时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dx x f 当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n p n ，当1>p时收敛, 当10≤<p 时发散, 当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. [8] 讨论下列级数的敛散性:⑴ ∑∞=2)ln ( 1n pn n ; ⑵ ∑∞=3)ln ln ( ) ln ( 1n pn n n . 解（1）令()p x x x f ln 1)(=，考虑函数()px x x f ln 1)(=，0>p 时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减.§9.3 一般项级数一.知识结构1、交错级数莱布尼兹(Leibniz)型级数定义1 级数∑+∞=+-11)1(n n n u （0>n u ， ,2,1=n ）称为交错级数.定义2 交错级数∑+∞=+-11)1(n n n u （0>n u ， ,2,1=n ）满足以下两个条件:(1)数列{}n u 单调递减; (2)0lim =∞→n n u , 我们称该交错级数为莱布尼兹型级数.定理1 ( Leibniz ) Leibniz 型级数必收敛, 且余和的符号与余和首项相同, 并有1 ||+≤n n u r .证明证明部分和序列 } {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限. 为此先证明} {2n S 递增有界.)()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S≥ n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗; 又 1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- , 即数列} {2n S 有界.由单调有界原理, 数列} {2n S 收敛 . 设 )( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见 , ∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u . 余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为Leibniz 型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号, 且1 ||+≤n n u r .2、绝对收敛级数及其性质（1）绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz 级数为例, 先说明收敛⇒/ 绝对收敛.定理2( 绝对收敛与收敛的关系 ) ∑∞+< ||na⇒∑na收敛.证明 ( 用Cauchy 准则 ).注: 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. （2）绝对收敛级数可重排性 ① 同号项级数：对级数∑∞=1n n u ，令⎩⎨⎧≤>=+=.0 , 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0 , 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w 则有（i ）∑nv和∑nw均为正项级数 , 且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;（ii ） n n n w v u +=|| , n n n w v u -=. ② 同号项级数的性质: 定理3 （ⅰ）若 ∑||nu+∞< ，则∑n v +∞< ，∑n w +∞< .（ⅱ）若∑nu条件收敛, 则∑nv+∞=,∑n w +∞=.证明（ⅰ）由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤, （ⅰ）成立 . （ⅱ）反设不真, 即∑nv和∑nw中至少有一个收敛 , 不妨设∑nv+∞< .由 n u = n v n w - , n w =n v n u - 以及∑nv+∞<和∑n u 收敛⇒∑nw+∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu +∞<, 与∑n u 条件收敛矛盾 .③ 绝对收敛级数的可重排性更序级数的概念定理4 设∑'nu 是∑nu的一个更序. 若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'nu =∑nu.证明（ⅰ）若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞<⇒∑'nu +∞<, 且和相等.（ⅱ）对于一般的n u ,∑nu=∑nv∑-n w ⇒∑'nu =∑'nv ∑'-nw .正项级数∑'nv 和∑'nw 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序. 由∑||nu+∞<, 据定理5∑nv和∑nw收敛. 由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<, 且有∑nv=∑'nv ,∑nw ∑nu=∑'nw⇒∑nu =∑'nu .由该定理可见, 绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的.定理6( Riemann) 若级数∑nu条件收敛, 则对任意实数s ( 甚至是∞± ),存在级数∑n u 的更序∑'nu ,使得∑'n u =s . 证明以Leibniz 级数∑∞=+-111)1 (n n n为样本, 对照给出该定理的证明. 定理7 关于无穷和的交换律, 有如下结果: （ⅰ）若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变.（ⅱ）设∑'nu 是的一个更序. 若N ∈∃K , 使 nu在∑'nu 中的项数不超过K n +, 则∑'nu 和∑nu共敛散, 且收敛时和相等 .3、级数乘积简介（了解）（1）级数乘积: 级数乘积，Cauchy 积. （2）级数乘积的Cauchy 定理: 定理8( Cauchy 定理) 设∑||nu+∞<, ||∑n v +∞<, 并设∑nu=U ,∑nv=V . 则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛,且乘积级数的和为UV .(证略)4、型如∑nn ba 的级数判敛法：（1）Abel 判别法：引理1(分部求和公式，或称Abel 变换) 设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B ki i k ≤≤=∑=.则∑∑=-=++-=m i m i m m i i ii i B a B a ab a 1111)(.证注意到 1--=i i i B B b , 有∑∑==-+-=m i mi i iiii b a B Ba b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a m m m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a .分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=babax a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ba xa ba x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ba bax a x df dt t g dt t g b f )()()()(.可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰xadt t g )(, 而差i i a a -+1相当于)(x df , 和式相当于积分.引理2( Abel ) 设i a 、i b 和i B 如引理1 .若i a 单调 , 又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi ii ba ) ||2|| (1m a a M +≤.证明不妨设i a ↘. ||1∑=mi ii ba ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a) ||2|| ( ||)(1111m m i mi i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1 ). i b 和i B 如引理 1. 则有||1∑=mi i i b a 1Ma ≤.(参照引理2证明)定理9(Abel 判别法)设（ⅰ）级数∑nb收敛,（ⅱ）数列}{n a 单调有界.则级数∑nn ba 收敛.证明 (用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项) 设K a n ≤||, 由∑nb收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时 , 对N ∈∀p , 有ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a ba p n n pn n k kk3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则⇒∑nn ba 收敛.（2）Dirichlet 判别法: 定理10( Dirichlet)设（ⅰ）级数∑nb的部分和有界,（ⅱ）数列}{n a 单调趋于零. 则级数∑nn ba 收敛.证明设∑==ni nn bB 1, 则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀, 有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N . 此时就有εM a a M ba P n n pn n k kk6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则, ∑nn ba 收敛.取n a ↘0,∑nb∑+-=1) 1(n ,由Dirichlet 判别法, 得交错级数∑+-n n a 1)1(收敛 . 可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法. 事实上, 由数列}{n a 单调有界⇒}{n a 收敛, 设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n nb a b a a )(,a a n -单调趋于零,n B 有界 ⇒级数∑-n nb a a)(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.二、解证题方法例1(上海理工大学2005年)设级数∑∞=1n nu绝对收敛，证明：级数∑∞=13n nu收敛.证明因为级数∑∞=1n nu绝对收敛，所以0lim =∞→n n u ，从而存在0>N ，使得当N n >时，有1<n u ，则有n n n n u u u u ≤=23，故由比较判别法知级数∑∞=13n nu收敛.例2(中山大学2007年)求∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+12sin 2n n n ππ. 解由于πππππππ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→n n n n n n n n s i n 2lim sin 2lim 2，所以∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+12s i n 2n n n ππ发散. 例3 (南京理工大学2004年)α取何值时，级数α∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-11sin 1n n n收敛？解由于αααα⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→∞→∞→3033sin lim 11sin 1lim 11sin 1lim x x x n n n n n n x n n 616sin lim 3cos 1lim 020=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++→→ααx x x x x x ，所以α⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n1sin 1～αα3361161n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛.因为∑∞=11n p n(1>p )收敛,于是当且仅当13>α时，即31>α时, 级数α∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-11sin 1n n n收敛.例4 (天津工业大学2006年)证明Leibuniz 定理：如果一个交错级数∑∞=+-11)1(n n n u 的项n u 满足以下两个条件，（1）n u 单调递减，（2）0lim =∞→n n u ,则级数∑∞=+-11)1(n n n u 收敛.证明考察交错级数∑∞=+-11)1(n n n u 的部分和数列{}n S ，它的奇数项和偶数项分别为()()122232112--------=m m m u u u u u S , ()()()m m m u u u u u u S 21243212-++-+-=- .由条件（1）,上述两式中各个括号内的数都是非负的，从而数列{}12-m S 是递减的，而数列{}m S 2是递增的，又由条件（2）知道002212→=-<-m m m u S S ，从而[]{}122,-m m S S 是一个区间套，由区间套定理，存在唯一的一个数S ，使得S S S m n m n ==∞→-∞→212lim lim ，所以{}n S 收敛，即级数∑∞=+-11)1(n n n u 收敛例5 (中山大学2007年)判断()()∑∞=-123ln ln )1(n nnn 的敛散性. 解由于()()()()()3ln ln 1ln ln 2lim ln lim ln lim3ln ln lim 3ln ln 3ln ln 23ln ln 222x x x x n n n n e x x x e x x e n n n n +⋅===+∞→+∞→∞→∞→ ()23ln ln 23ln ln 23ln ln 2ln 2ln 4ln 2lim 3ln ln ln 2ln 2lim x x x x ex x x e x x x x +++=+=+∞→+∞→ ()03ln ln ln 6ln 4lim 33ln ln =+=+∞→x x e xx x x ，且∑∞=121n n 收敛, 所以()()∑∞=-123ln ln )1(n n n n 绝对收敛. 例7 (中国地质大学2006年)判断级数∑∞=-1ln ) 1 (n nnn的收敛性. 解因为⎪⎩⎪⎨⎧<-><-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛,,0ln 1,,0ln 1ln 1ln 222e x x x e x x x x x x x ，所以当3>n 时，n nln 单调递减，且0ln lim =∞→n n n , 由交错级数的判别法可得∑∞=-1ln ) 1 (n nn n 收敛，但是n n n n 1ln ) 1 (≥-，而∑∞=11n n 发散，所以∑∞=-1ln ) 1 (n nnn条件收敛. 例8 判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性. 解当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法⇒∑∞=-1) 1 (n nnn x )0( >x 收敛; 当1>x 时, 通项0→/,∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 发散. 例9 判断例1中的级数绝对或条件收敛性. 例10 设n a ↘0.证明级数∑nx ansin 和∑nx ancos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证明因为+⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+nk x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .练习[1](南京师范大学2005年)是非判断题:若∑nu收敛, 1→n v (∞→n ),则 n n v u ∑收敛.(提示: 取n u nn )1(-=,1)1(++-=n n nv n n ) [2] (东南大学2004年)证明: ()∑∞=---11 1)1(n nn n 条件收敛(提示:用Leibuniz 判别法).[3] (南京农业大学2004年)设⎪⎭⎫⎝⎛+-=n u nn 11ln )1(,试讨论级数∑∞=1nn u ,∑∞=12 n nu 的敛散性.[4] (南京农业大学2005年)设{}n a 是严格递减的正数列,且0lim =∞→n n a ,证明:级数∑∞=+++-121 )1(n nnna a a 收敛. (提示:用Leibuniz 判别法)[5] (大连理工大学2004年)设0>n a , ,2,1=n , 且有01l i m 1>=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→c a a n n n n ,证明: ()∑∞=-11n nna 收敛. (提示:用Leibuniz 判别法和两边夹定理)[6] (上海交通大学2004年)已知n a n 112=-, dx xa n n n ⎰+=121, 证明()∑∞=-11n nna 条件收敛(提示:用Leibuniz 判别法).[7] (中国地质大学2006年)设⎰=πn n dxx x na 0sin ,讨论级数∑∞=11(-1)n n n-a 的敛散性,若收敛则求和(提示:∑⎰⎰=-=nk k k n dx x x dx x x 1)1(0sin sin πππ).[8] (武汉大学2005年)判断级数∑∞=2 sin ln ln ln n n nn的绝对收敛性和条件收敛性(提示:用Dirichlet 判别法). [9] (东北大学2003年)研究∑∞=2ln sin n n nx的敛散性(提示: 对x 分情况πk x =与πk x ≠, 用Dirichlet 判别法).[10] (复旦大学2002年)求()∑∞=10 cos n pn nx ,其中()π,00∈x .。

数项级数基本概念资料

数项级数的基本概念及性质

4.1数项级数

级数理论-数项级数

数项级数

项级数的概念

数学分析数项级数

数项级数的定义

数学分析数项级数

数项级数

数项级数的定义

数学物理基本方法4.1数项级数、幂级数

2.2 数项级数的基本概念

数项级数重点

数项级数.ppt

数项级数基本知识点

《数项级数教学》课件

数项级数的基本概念及性质资料

数学分析 第九讲 数项级数

数学分析第九讲数项级数