初中竞赛培优 质数与合数

A卷
01．求所有的三位数ABC，满足A、B、C、AB、BC和ABC都是质数。

02．已知a、b、c是质数，且a+b+c=86，ab+bc+ca=971，求abc的值。

03．已知p、p+8、p+16都是质数，求它们的平方和。

04．已知p是不小于5的质数，2p+1也是质数，求证：4p+1是合数。

05．求出使p+10、p+14都是质数的所有质数p。

06．已知n是大于1的正整数，求证：n4+4是合数。

B卷
01．已知自然数a使得a4−3a2+9是质数，求这个质数。

02．已知p是质数，8p2+1也是质数，求8p2−p+2的值。

03．不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？04．不能用三个不同的合数之和表示的最大奇数是多少？
05．⑴求2160的正约数的个数；
⑵求不大于200的恰有15个正约数的所有正整数。

06．已知质数x、y、z满足xyz =5(x+y+z)，求x2+y2+z2的值。

C卷
01．已知p为自然数，且2p−1为质数，求证：p为质数。

02．求证：对任意自然数n，19×8n+17是合数。

03．已知p是质数，x为整数，求证：存在无穷多个正整数n，使得n2≠x2+p。

04．求证：正整数中有无穷多个质数。

05．已知n是正整数，求证：形如3n+2的质数有无穷多个。

06．已知n是正整数，n＞2，求证：在n与n！之间一定有一个质数。