小学奥数之容斥原理(二)

容斥原理（二）

【例题分析】

例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？

例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，

例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？

分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。

人参加，

3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只

。

答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。

例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？

整理后：全班人数＝39＋x

39+x 表示全班人数，当x 取最大值时，全班人数就最多，当x 取最小值时，全班人数就最少。x 是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x 中的人数一定不超过两科得满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。 当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。

答：这个班最多有46人，最少有39人。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有1

2

的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？

2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家

他们住的一套房子共有多少平方米？

3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。

4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？

【试题答案】

1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12

的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？

9623961

2

961696231

2

116⨯

+⨯-=⨯+-=()()()

人或人

答：两种刊物都订的有16人。

2.

小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家 他们住的一套房子共有多少平方米？

38441284582014128458+---=++++=()

()

平方米或平方米

答：这套房子共有58平方米。

3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。

4514420182276839-=++---=()()人人

44395-=()人

4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？ 设三年连续三好生人数为x 人 全班人数=⨯---++10354320x ……

全班人数=+38x

x 最大是3，最小是0

所以这个班最多有()38341+=名同学，最少有()380+=38名同学。