常微分方程简明教程 王玉文等编 习题解答 (1)

1.4习题答案

1. (1) 12150, (2)

2.52.

2(1) 0,200P P = =, (2) 0200P <<, (3) 200P >.

3.(1) 0,50,200P P P = = =, (2) 50200P <<, (3) 050,200P P << >.

4.解: 因为当

0dy dt =时, ()y t 将保持不变; 当0dy dt >时, ()y t 将增加; 当0dy dt <时, ()y t 将减少. 由3220dy

y y y dt

=--知, (1) 当32200y y y --=, 即0,4,5y y y = =-=时, ()y t 将保持不变. (2) 当32200y y y -->, 即40y -<< 或5y > 时, ()y t 将增加. (3) 当32200y y y --<, 即4y <- 或05y << 时, ()y t 将减少. 5. 7071.

6.解: (1) 设 ()N t 为在时刻t 的放射性同位素质量. 则模型为

dN

kN dt

=-, 0k >为比例系数, 方程的解为 ()kt N t ce -=, 由0t = 时, (0)50N =, 得(0)50N c ==,于是

()50kt N t e -=, 又因为 2t = 时, (2)50(110%)45N =⨯-=, 得 24550k e -=,

110

ln 0.05329

k =

≈, 因此 0.053()50t N t e -=. (2) 当 4t = 时, 0.0534

(4)5040.5N e -⨯==

(3) 质量减半时 ()25N t =, 得1

0.053ln 2

t -=, 13t ≈. 7. (1)

ln 20.000125730≈, (2) ln 2

0.866438

≈, (3) 一样. 8.(1) 1065, (2) 17669, (3) 32600, (4) 168

9. 解: (1)

(1)10dS S

k S dt N =--. (2) 1(1)3dS S k S S dt N =--.

(3) (1)dS S

k S dt N

=--其中 l 是捕获量与总量平方根的比例系数. 10.(1) 趋向于2000, (2) 鱼的数量递减趋于0. 11.2()23y t t =+. 12.()ln ,0g t t t t =- >.

13.(1) 22

,t y ce c = 为任意常数.

(2) 21

,2

t

y ce c =-

为任意常数. (3) ln(),y t c c =+ 为任意常数. (4) 22arctan ,y t c c = + 为任意常数.

(5) ,1t

t

ce y c ce =

-为任意常数, 此外1y =-也是解. (6) 3

123

1,t t y ce

c -=- 为任意常数.

(7) 2

ln ||,2t y y e c c +=+ 为任意常数, 此外0y =也是解. (8) 2

2

2

1,1ct y c t =

- +为任意常数. (9) sin(ln ),y t t c c =-+ 为任意常数, 此外22y t =也是解. (10) ln 1,y

cy c t

+= 为任意常数. 14.(1) 21

(111)2

t y e =

-. (2) 0y =.

(3) 2

2

16ln |1|y t =--.

(4) 2tan()24

t y π

=+.

15.解: 设0

()()t

F t f s ds =

⎰

, 则()F t 可导且()()F t f t '=, 这样有1,dF

F

FdF dt dt

= =,

得 2()2,()F t t c F t =+ =, 又(0)0F =, 得0c =. 从而 ()F t =进而 ()()

f t F t '==. 16.解: 首先令 0s =, 由已知可得 ()(0)

()1()(0)

y t y y t y t y +=

-,

化简有 2

(0)(1())0y y t +=, 知 (0)0y =. 由函数的导数定义

00202002()()()lim

()()

()

1()()

lim

()(1())

lim

(1()())

()1()

lim lim

1()()(0)(1())

s s s s s y t s y t y t s

y t y s y t y t y s s

y s y t s y t y s y s y t s y t y s y y t →→→→→+-'=+-- =+ =-+ = -' = +

变形为

2

(0)1()

dy

y dt y t '=+, 积分得 arctan ()(0)y t y t c ' = +, 由(0)0y =, 知 0c =, 所以满足条件的函数为 ()tan (0))y t y t '= ( 17.(0)y t y e '

=. 18.(1) 21,3

t

t

y ce e

c -=- 为任意常数.

(2) 23,t t y ce e c --=+ 为任意常数.

(3) 21

(cos 2sin 2),4t

y ce t t c =-

+ 为任意常数. (4) 2612

cos 2sin 2555t y e t t =-+. (5) 31523

cos 2sin 2131313

t y e t t -=-+. (6) 2235t t

y e te =+. (7) (1)t

y t e =+. 19.(1) sin sin 1,t

x ce

t c -=+- 为任意常数.

(2) 1

22

,x

y cx e x c =+ 为任意常数. (3) 2

41

(1)(1),2

y c t t c =++

+ 为任意常数. (4) 3

,4

c t x c t =+ 为任意常数.

20.直接代入方程验证即可. 21.3,1,1a b c = = =.