高等数学基础班讲义(张宇)

x→0
x2
【答案简析】
1− cos x cos 2x 3 cos 3x
lim
x→0
x2
(1− cos x) + (cos x − cos x cos 2x ) + (cos x cos 2x − cos x cos 2x 3 cos 3x )
= lim x→0
x2
(1− cos x)
cos x(1− cos 2x )
10
f ′(x)dx = f ′′(10) − f ′′(1) > 0
1
1
故选项D)成立
三、考研数学复习关键
1、夯实基础
① 知识（概念、定理、公式）——以知识为核心
⎡⎣拉格朗日中值定理⎤⎦
如果函数f ( x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ ∈(a,b)，使得 f '(ξ )(b − a) = f (b) − f (a)
2ξ
( ) 故 lim sin x + 2014 − sin x = lim 1007 1 ⋅cos ξ = 0
x→+∞
ξ →+∞
ξ
② 数学思想（技术）——与命题人成功交流 1）数形结合 【例】（2014）如图所示： y = f (x) 光滑
2
（5，1）
则
5
∫0
[
f
′′′( x)
−
f
′′(x)] dx
>
0
【答案简析】
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5
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5
∫0
[
f
′′′(
x)
−
f
′′(
x)]
dx
=
5
∫0
5
f ′′′(x)dx − ∫0
f
′′(x)dx = [
f
′′(5) −
f ′′(1)] −[
f ′(5) −
f ′(1)] =
f ′′(5) −
f
′′(1)
由图得知f
⇒ x → 0, x − sin x = 1 x3 + o(x3 ) 6
【例】 求 lim [sin x − sin(sin x)]sin2 x
x→0
x5
【答案简析】不难看出lim [sin x→0
x
− sin(sin x5
x)]sin2
x
=
lim
x→0
1 6
sin3 x ⋅ sin2 sin5 x
则f ′(x0 ) = 0
【考点分析】
①极值： △ f = f (x) − f (x0 ) > 0(x ≠ x0 ) x0极小值点
△ f = f (x) − f (x0 ) < 0(x ≠ x0 ) x0极大值点
∫ ∫ ∫ ∫ 选项B）10[ f ′(x) − f ′′(x)]dx =
10
f ′(x)dx −
10 f ′′(x)dx ,其中由选项A）知 10 f ′(x)dx = 0
1
1
1
1
∫ 由N − L公式得知 10 f ′′(x)dx = f ′(10) − f ′(1);其中由图知f ′(10) = 0, f ′(1) < 0, 1
1
1
x−
1
x f ′(x)dx = 0 − 2
x ln(1+ x)dx
0
00
0
x
1
1
1
1
∫ ∫ = −4 ln(1+ x)d x = −4 ln(1+ x) x + 4 x dx
0
0 0 1+ x
1x
= −4 ln 2 + 4∫0 1+ xdx
令 x = t, x = t2则
∫ ∫ 原式 = −4 ln 2 + 4 1
t
1 t2
2tdt = −4 ln 2 + 8
dt
0 1+ t2
0 1+ t2
∫1
= −4 ln 2 + 8 − 8
1
dt = −4 ln 2 + 8 − 8arctan t 1
0 1+ t2
0
= −4 ln 2 + 8 − 2π
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1.“知识” 小结： 2.“思想”
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高等数学 基础班讲义
张宇
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An Appreciated Journey In Kaoyan Mathematics 考研数学：一次欣赏之旅 答疑地址：weibo.com/zhangyumaths
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凹
a
b
凸
a
b
【答案解析】
f ′′(x) > 0
f ′′(x) < 0
∫ ∫ ∫ ∫ 选项A) 10[ f (x) − f ′(x)]dx =
10
f (x)dx −
10 f ′(x)dx ，其中如图知 10 f (x)dx > 0
1
1
1
1
∫ 由N − L公式得知 10 f ′(x)dx = f (10) − f (1) = 3 − 3 = 0 。故选项A）不成立。 1
∫A)
[10
f
1
(x)
−
f
′(x)]dx
<
0
∫B)
[10
f
1
′(x) −
f
′′( x)]dx
>
0
∫ C)
[10
f
1
′′′( x)
−
f
′′( x)]dx
>
0
∫ D)
[10
f
1
′′′( x)
−
f
′(x)]dx
>
0
【考点分析】本题核心考察了莱布尼茨——牛顿公式即
⎡⎣N − L公式⎤⎦
若F
(
x)是连续函数f(x)在区间[
2
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一、2013 考研数学试题特点 1、稳定性：重基础，轻技巧 2、新 意：计算量大 二、谁也抵挡不了几何直观的诱惑——从一道优秀试题讲起 0.2/0.3 ~ 0.5/0.6 【例】如图所示： y = f (x) 光滑
A（1,3）
B（10,3）
以下四个选项一定正确的是（ ）
3.“计算” 四、复习建议（现在——暑假前）
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五、专题：中值定理
1、基本理论综述
函数中值定理 f (x)
微分中值定理 f ′(x)
积分中值定理
b
∫a f (x)dx
[1] −[4]涉及f (x)
f (x)
a
b
设f (x)在[a,b]上连续，则 [1（] 有界性） f (x) ≤ M (M > 0) [2（] 最值性） m ≤ f (x) ≤ M ,其中m, M 分别为f (x)的最小值与最大值 [3（] 介值定理） 当m ≤ µ ≤ M时，∃ξ ∈[a,b]使得f (ξ ) = µ [4（] 零点定理） 当f (a) ⋅ f (b) < 0时，∃ξ ∈(a,b)使得f (ξ ) = 0
这邻域内的一点，那么在以x及a为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，
因此有
f (x) F(x)
=
f (x) − f (a) F(x) − F (a)
=
f ′(ξ ) F′(ξ )
(ξ 在x与a之间)
令x → a，并对上式两端求极限，注意到x → a时ξ → a，再根据条件（3）便得到要
证明的结论。
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( ) 【例】求 lim sin x + 2014 − sin x x→+∞
【答案简析】
对f (t) = sin t在[ x, x + 2014]上用拉格朗日中值定理
⇒ sin x + 2014 − sin x = 1 cos ξ ⋅ 2014 ξ ∈( x, x + 2014)
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【例】（2013）设
lim
x→0
x
−
arctan xk
x
=
c
≠
0
其中c, k为常数。则c =
,k =
【例】（2009）已知 lim x→0
x
− sin bx3
ax
=1
其中a,b为常数。则a =
,b =
【例】（2014）设
lim
x→0
x→a F′(x) 那么lim f (x) = lim f ′(x)
x→a F(x) x→a F′(x)
证明：
因为求 lim f ′(x) 当x → a时的极限与f (a)及F(a)无关，所以可以假定f (a)=F(a) = 0 x→a F′(x)
于是由条件（1）、（2）知道，数f (x)及F(x)在点a的某一邻域内是连续的。设x是
Qm (t)
【答案简析】
∫ 设f (x) = x g(t)dt，则函数g(x)的图像为 a g(x)
a
b
1.求导：f ′(x) = g(x);
2.代值：f (x)过(a, 0)点。
f ′(x) = ln(1+ x) , f (1) = 0 x
∫ ∫ ∫ 1
I = 2 f (x)d
x = 2 f (x)
∫ ∫ ∫ 即f ′(10) − f ′(1) > 0 ⇒
10
f ′(x)dx −
10 f ′′(x)dx < 0 ⇒ 10[ f ′(x) − f ′′(x)] dx < 0。
1
1
1
故选项B）不成立。
∫ 选项C）10[ f ′′′(x) − 1
f ′′(x)] dx = f ′′(10) −
f ′′(1) −[
′′(5)
>
0
,
f
′′(1)
<
0
,则f
′′(5) −
f
′′(1)Hale Waihona Puke Baidu
>
∫ 0,即 5 0
[
f
′′′(x) −
f
′′( x)] dx
>
0
2）等价转化的思想 将题目所给的某种陌生的问题形式，等价转化为我们所熟知的另一种 问题形式，这是考研数学中普遍且重要的属性思想。
【例】求 lim 1− cos x cos 2x 3 cos 3x
x
=
1 6
x → 0, arcsin x = x + 1 x3 + o(x3 ) 6
tan x = x + 1 x3 + o(x3 ) 3
arctan x = x − 1 x3 + o(x3 ) 3
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【例】（2013）计算
I
=
1
∫0
x
−
arcsin vx3
lx
=
1
求l, v
【例】 lim arctan x − arcsin x
x→0 tan x − sin x
洛必达法则：
（1）当x → a时，函数f (x)及F(x)都趋于零； （2）在点a的某去心邻域内，f ′(x)及F′(x)都存在且F′(x) ≠ 0； （3）lim f ′(x) 存在（或为无穷大），
f
(x) x
dx, 其中f
(x)
=
x
∫1
ln(1 + t
t)
dt
【考点分析】本题核心考察了求解积分的四种基本方法：
凑积分：
把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。
换元积分法： 利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。
分部积分法： ∫ udv = uv − ∫ vdu
有理函数的积分： Pn (t) n < m
⇓
b
b
b
∫a mdx ≤
∫a
f (x)dx ≤
∫a Mdx
b−a b−a b−a
⇓
(2) m ≤ µ ≤ M
b
(3)由介值定理 ⇒ ∃ξ ∈[a,b]，使得 ∫a f (x)dx = f (ξ )
b−a
[5] −[10]涉及f ′(x)
[5]（费马定理）
设f
(
x)满足在x0点处
⎧1）可导 ⎨⎩2）取极值
f ′(10) −
f ′(1)]
,其中f ′(10) −
f ′(1) > 0;
f ′′(10) > 0 , f ′′(1) < 0 ⇒ f ′′(10) − f ′′(1) > 0 。故选项C）是否成立不确定。
∫ ∫ 选项D) [10 f ′′′(x) − f ′(x)] = f ′′(10) − f ′′(1) −
(b − a) 于是，用介值定理 介值定理三部曲：
（1）m ≤ f (x) ≤ M ⇒ (2)m ≤ µ ≤ M ⇒ (3) f (ξ ) = µ, ∃ξ ∈[a,b]
【答案简析】
（1）m ≤ f (x) ≤ M ⇓
mdx ≤ f (x)dx ≤ Mdx
⇓
b
b
b
∫a mdx ≤ ∫a f (x)dx ≤ ∫a Mdx
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泰勒展开式：
sin x cos x
sin x = x1 − 1 x3 + 1 x5 − 1 x7 +⋯⋯ 3! 5 7
⇒ x → 0,sin x = x + o(x) x → 0,sin x = x − 1 x3 + o(x3 ) 6
cos x cos 2x (1− 3 cos 3x )
= lim x→0
x2
+ lim x→0
x2
+ lim x→0
x2
= 1 +1+ 3 = 3 22
【练习】求 lim1− cos x cos 2x cos 3x 求a,b
x→0
axb
2、加强计算 指标：①准 ②快
1.用思想 2.用知识 3.熟能生巧
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【例】 设f
( x)在 [ a, b] 上连续，证明∃ξ
∈
[
a,
b]
,
∫ 使得 b a
f
(x)dx
=
f
(ξ )(b − a)
【考点分析】本题考察了介值定理和最值定理
b
欲证结论 ⇔ f (ξ ) = ∫a f (x)dx = µ
a,
b]
∫ 上的一个原函数，则 b a
f
(x)dx
=
F (b)
−
F (a)
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⎡⎣函数凹凸性⎤⎦
在区间[a,b]内，设函数f (x)具有二阶导数。当f ′′(x) > 0时，f (x)的图形是凹的；
当f ′′(x) < 0时，f (x)的图形是凸的。