值问题解题思路奥数
小学奥数各年级经典题解题技巧大全—最值问题（1）
小学奥数各年级经典题解题技巧大全—最值问题（1）
最值问题【最小值问题】
例1：
外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。
甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。
为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。
现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。
讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。
他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。
现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。
由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。
例2：
在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。
若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？
讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。
我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。
这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。
所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不
难得出AO=OC=OB。
故，O点即为三只蚂蚁会面之处。
五年级奥数最值问题
五年级奥数最值问题一、最值问题题目及解析。
（一）题目1。
1. 题目。
用1、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大，这两个三位数分别是多少？2. 解析。
要想让乘积最大，较大的数应在高位。
所以百位分别为6和5；十位分别为4和3；个位分别为2和1。
根据“和一定，差小积大”的原则，两个数为631和542时乘积最大。
（二）题目2。
1. 题目。
将1 - 9这九个数字填入下面的九个方格中，使得三个三位数的乘积最大，该怎么填？□□□×□□□×□□□.2. 解析。
要使得乘积最大，就要让每个因数都尽可能大。
首先百位分别为9、8、7；十位分别为6、5、4；个位分别为3、2、1。
按照“和一定，差小积大”的原则，最大的组合是941×852×763。
（三）题目3。
1. 题目。
一个长方形的周长是20厘米，它的长和宽都是整数厘米，那么这个长方形面积的最大值是多少平方厘米？2. 解析。
长方形周长 = 2×（长 + 宽），已知周长为20厘米，则长+宽=10厘米。
长和宽是整数，当长 = 5厘米，宽 = 5厘米（此时为正方形，正方形是特殊的长方形）时面积最大，面积为5×5 = 25平方厘米。
（四）题目4。
1. 题目。
有10个互不相同的自然数，它们的和是55，其中最大的数最大可能是多少？2. 解析。
要使最大的数最大，那么其他的数就要尽可能的小。
最小的9个自然数为0、1、2、3、4、5、6、7、8，它们的和为0 +1+2+3+4+5+6+7+8 = 36。
那么最大的数为55 - 36=19。
（五）题目5。
1. 题目。
若干个连续自然数的和是1994，这些自然数中最小的一个数是多少？2. 解析。
设这些连续自然数中最小的数为n，共有m个连续自然数。
根据等差数列求和公式S=((n + n + m - 1)m)/(2)=1994，即(2n+m - 1)m = 3988。
【培优奥数专题】五年级下册数学-最值问题(解析版)
【培优奥数专题】五年级下册数学-最值问题（解析版）一、知识点1、定理一：如果两个正整数的和一定，它们的差越小，乘积越大特别：当两个数相等时，他们的乘积最大口诀：“和同近积大”举例：6＝1＋5，1×5＝5：6＝2＋4，2×4＝8；6＝3＋3，3×3＝9（乘积最大）2、定理二：两个正整数的乘积一定，它们的差越小，和也越小特别：当两个数相等时，他们的和最小口诀：“积同近和小”举例：6＝1×6，1＋6＝7；6＝2×3，2＋3＝5（和最小）二、学习目标1.我能够理解定理一与定理二，熟记“和同近积大”与“积同近和小”的口诀。
2.我能够运用定理一与定理二解决简单的实际问题。
三、课前练习1.分别将8、10、15拆分成两个正整数的和，并求出每种拆分方法的乘积。
【解答】详解略，强调：8＝4＋4，4×4＝16最大；10＝5＋5，5×5＝25最大；15＝7＋8，7×8＝56最大。
总结规律：如果两个正整数的和一定，那么这两个数的差越，乘积越。
【解答】小，大或大，小2.分别将18、30、105拆分成两个正整数的乘积，并求出每种拆分方法的和。
【解答】详解略，强调：18＝3×6，3＋6＝9最小；30＝5×6，5＋6＝11最小；105＝7×15，7＋15＝22最小；总结规律：如果两个正整数的乘积一定，那么这两个数的差越，和越。
【解答】小，小或大，大四、典型例题思路点拨从小热身里面我们可以发现两个数的和相等，当它们越接近时（也就是它们的差越小时），两个数乘积越大，简单记成“和同近积大”。
（1）如果两个正整数的和是17，那么这两个正整数的乘积的最大值是。
【解答】和同近积大17÷2＝8……1，17＝8＋9，8×9＝72最大，故最大值为72。
（2）用10米长的篱笆围成一个长方形鸡舍，若鸡舍借助一个墙角（两面墙的夹角为90度，如下图所示），则当长为米、宽为米时鸡舍的面积最大，最大面积是平方米。
四年级上奥数第16讲 最值问题(一)
四秋第16讲最值问题（一）一、教学目标1、我们在解最大与最小问题时，常常会从极端情形出发来考虑问题，并且还要举例说明最大值或最小值是能取到的.2、最大与最小的若干性质：①如果两个正整数的和一定，那么这两个正整数的差越小，它们的乘积越大；两个正整数的差越大，它们的乘积越小.②如果两个正整数的乘积一定，那么这两个正整数的差越小，那么它们的和也越小；两个正整数的差越大，那么它们的和越大.二、例题精选【例1】两个自然数的和为11，当这两个自然数分别是多少时，它们的积最大？最大的积是多少？【巩固1】两个自然数的乘积为36，当这两个自然数分别是多少时，它们的和最小？最小的和是多少？【例2】把14分成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使得乘积尽可能大，问这个乘积是几？【巩固2】把16分成三个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使得乘积尽可能大，问这个乘积是几？【例3】八个互不相等的正整数之和是88，将这八个数从小到大排列，第5个数最大是几？【巩固3】十个互不相等的非零自然数之和是60，其中最大的那个数记为a ，那么a 最大是多少？【例4】 用6~1这6个数字组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大，这两个三位数分别是多少？（要求每个数字都用到）【巩固4】用8~1这8个数字，组成2个四位数，把它们相减所得的差是一个自然数，问这个自然数最大是多少，最小是多少？（要求每个数字都用到）【例5】 某路公共汽车，包括起点和终点共有15个车站，有一辆公共汽车除终点外，每一站上车的乘客中，到以后的每一站都恰好有一位乘客下车，为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车最少要有多少个座位？【例6】 宴会邀请来了44位嘉宾。
会场里15张相同的正方形桌子，每张每边能坐1人。
经适当“拼桌”（将几张正方形桌子拼成一张长方形或正方形桌子）后，恰好让所有嘉宾全部入座而且没有空位。
那么最后会场里桌子是如何排布的？三、回家作业【作业1】一个自然数它各个数位上的数字的和等于25，这个数最小是多少？【作业2】两个非零自然数的积是45，这两个自然数的和最大是多少？最小是多少？【作业3】把13分成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使得乘积尽可能大，问这个乘积是几？【作业4】用5、6、7、8这四个数字组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大.（每个数字都要用到）2013122108，一共12个数字。
六年级奥数考点：极值问题
考点：极值问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、精讲精练【例题1】a和b是小于100的两个不同的自然数，求a－ba+b的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a－b a+b 的最大值是99－199+1=4950答：a－ba+b的最大值是4950。
练习1：1、（课后）设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求x－yx+y的最大值。
99 1012、a和b是小于50的两个不同的自然数，且a＞b，求a－ba+b的最小值。
1 973、设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求x+yx－y的最大值；②求x+yx－y的最小值。
（1）399 （2）201 199【例题2】有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1.（课后）有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96 ，差最大是60。
2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。
这两个两位数的和最小是多少？甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。
3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？一、二、三道工序所需的工人数的比是148：132：128＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59个工人。
【奥赛】小学数学竞赛：位值原理.学生版解题技巧 培优 易错 难
5-7-1.位值原理教学目标1.利用位值原理的定义进行拆分2.巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。
我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。
这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。
既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。
最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。
这个两位数的各位数字的和是。
【例 2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【例 3】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【例 4】几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年。
(完整版)小学奥数最值问题
最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．典型问题2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ 尽可能的小．则AB C×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9ta=15+17t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．。
奥数之王求最值
奥数之王求最值奥数，即奥林匹克数学，是指由国内外学生参与的、以解决较为复杂的数学问题为主要内容的比赛和培训活动。
在奥数比赛中，求最值是一个常见的题型，也是考验学生运算能力和思维逻辑的重要内容之一。
本文旨在探讨奥数之王求最值问题，介绍解题的方法和技巧。
首先，让我们来了解一下什么是“求最值”。
求最值是指在一定条件下，通过数学方法找出问题中所涉及的数值中的最大值或最小值。
常见的求最值问题有求函数最值、求集合最值、求几何图形最值等。
一、求函数最值在求函数最值的问题中，我们需要找出函数的最大值或最小值。
常用的方法有图像法、导数法和性质法。
（图像法）利用函数的图像，通过观察找出函数的极值点。
根据函数在区间上的单调性和凹凸性可以判断极值点。
例如，对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，函数的图像开口向上，最小值点在顶点处；当a<0时，函数的图像开口向下，最大值点在顶点处。
（导数法）利用导数的概念和性质，通过求导数找出函数的最值点。
对于一元函数y=f(x)，若f'(x0)=0并且f''(x0)>0，则函数在x0处取得极小值；若f'(x0)=0并且f''(x0)<0，则函数在x0处取得极大值。
（性质法）利用函数的性质和数学定理来求解函数的最值问题。
例如，对于三角函数sin(x)和cos(x)，其定义域是[-1,1]，因此在这个区间上，它们的最大值和最小值是1和-1。
二、求集合最值在求集合最值的问题中，我们需要找出给定集合中的最大值或最小值。
通常，要求解集合最值的具体数值，需要结合集合元素的性质和题目中所给的条件来进行推导和计算。
例如，求解集合{2,4,6,8}的最大值，根据给定的集合元素可以直接得出最大值为8。
三、求几何图形最值在求几何图形最值的问题中，我们需要找出给定图形的最大值或最小值。
这类问题通常涉及图形的面积、周长、体积等。
六年级下小升初典型奥数之最值问题
六年级下小升初典型奥数之最值问题在六年级下学期，面对小升初的压力，奥数中的最值问题常常是让同学们感到棘手但又十分重要的一部分。
最值问题涵盖了各种不同的题型和思考方式，需要我们灵活运用所学的知识和思维方法来解决。
首先，我们来了解一下什么是最值问题。
简单来说，最值问题就是在一定的条件下，求某个量的最大值或最小值。
比如说，在给定的周长下，求长方形面积的最大值；或者在给定的成本下，求生产产品数量的最大值等等。
接下来，让我们通过一些具体的例子来深入理解最值问题。
例 1：用一根长为 20 厘米的铁丝围成一个长方形，求这个长方形面积的最大值。
我们知道，长方形的周长＝ 2×（长＋宽），那么在这个例子中，长＋宽＝ 10 厘米。
要使面积最大，长和宽应该尽量接近。
因为 5 ＋5 ＝ 10，所以当长为 5 厘米，宽为 5 厘米时，这个长方形变成了正方形，面积为 25 平方厘米，这就是在给定周长下长方形面积的最大值。
例2：有三个自然数，它们的和是12，求这三个数的乘积的最大值。
对于这道题，我们可以通过列举来找到答案。
三个自然数的和是 12，可能的组合有：1、1、10；1、2、9；1、3、8；1、4、7；1、5、6；2、2、8；2、3、7；2、4、6；3、3、6；3、4、5。
分别计算它们的乘积：1×1×10 ＝ 10；1×2×9 ＝ 18；1×3×8 ＝ 24；1×4×7 ＝ 28；1×5×6 ＝ 30；2×2×8 ＝ 32；2×3×7 ＝ 42；2×4×6 ＝ 48；3×3×6 ＝ 54；3×4×5 ＝ 60。
可以看出，当三个数分别为 3、4、5 时，乘积最大为 60。
从上面的例子可以看出，解决最值问题需要我们细心分析题目中的条件，找到关键的突破点。
最值问题(小学奥数)
最值问题(小学奥数)在小学奥数中，最值问题是一个常见的题型。
最值问题主要考察学生对数值的理解和比较能力。
本文将从解题思路、答题技巧以及相关例题来进行详细讨论。
解题思路：在解决最值问题时，首先需要明确题目要求求解的最大值或最小值是什么，然后根据题目给出的条件和限制条件进行分析。
常见的解题思路有以下几种：1. 穷举法：逐个尝试所有可能的情况，将每种情况计算出来的结果进行比较，找出最大值或最小值。
2. 推理法：通过观察已知条件和限制条件，进行逻辑推理，找到最值的可能位置，并进行比较。
3. 抽象问题：将问题进行数学建模，通过建立数学模型，利用数学方法求解最值问题。
答题技巧：在解决最值问题时，以下几点技巧可以帮助学生提高解题效率和准确性：1. 变量转化：对于涉及多个变量的最值问题，可以通过变量的转化，将问题简化为只涉及一个变量的问题。
2. 条件整理：对于给定的条件和限制条件，可以进行整理和分类，找到与最值问题相关的条件，有针对性地分析和求解。
3. 符号表示：在解题过程中，合理地使用符号表示，可以简化计算过程，提高解题效率。
例如，用代数式表示最值问题，通过求导等数学方法求解。
例题一：某次数学竞赛的“200米冲刺”项目中，小明和小红两位选手进行了比赛。
根据记录，小明在前半程跑得较快，但在后半程稍有掉队。
已知小明最终耗时为30秒，小红的总用时比小明多1秒。
求小明和小红的前后半程用时各为多少？解析：设小明的前半程用时为x秒，则后半程用时为30 - x 秒。
根据题目所给条件，可以列出方程：x + (30 - x) + 1 = 30。
解方程可得小明前半程用时29秒，后半程用时1秒。
小红的前半程用时为30 - 1 = 29秒，后半程用时为1秒。
因此，小明的前半程用时为29秒，后半程用时为1秒；小红的前半程用时为29秒，后半程用时为1秒。
例题二：甲乙两个国家的人口分别是1000万和2000万。
假设甲国每年的人口增长率是2%，乙国每年的人口增长率是3%。
(完整版)小学奥数最值问题
最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．典型问题2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ 尽可能的小．则AB C×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9ta=15+17t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．。
六年级下小升初典型奥数之最值问题
六年级下小升初典型奥数之最值问题在六年级下学期，面对小升初的压力，奥数中的最值问题常常成为同学们需要攻克的重点和难点。
最值问题看似复杂，其实只要掌握了正确的方法和思路，就能轻松应对。
首先，我们来了解一下什么是最值问题。
最值问题，简单来说，就是在一定的条件下，求某个量的最大值或者最小值。
比如，在一个给定的范围内，找到一个数，使得它满足某些条件并且是最大或最小的。
常见的最值问题类型有很多。
比如，整数最值问题。
这类问题通常会给出一些限制条件，让我们找出符合条件的最大或最小整数。
举个例子，有一个三位数，它的百位数字是 4，十位数字比个位数字大 3，这个三位数最大是多少，最小是多少？要解决这个问题，我们先确定十位和个位数字的取值范围。
因为十位数字比个位数字大 3，所以个位数字最小是 0，此时十位数字是 3；个位数字最大是 6，此时十位数字是 9。
那么这个三位数最大就是 496，最小就是 430。
再比如，图形中的最值问题。
比如在一个长方形中，要围出一个最大的正方形，求这个正方形的边长。
这就需要我们考虑长方形的长和宽，正方形的边长最大只能等于长方形的宽。
还有行程中的最值问题。
比如，甲、乙两人从 A 地到 B 地，甲的速度比乙快，要使两人到达 B 地的时间差最小，那么甲应该什么时候出发？这就需要我们根据速度和路程的关系，通过计算来找到最优的出发时间。
解决最值问题，通常有以下几种方法。
第一种是列举法。
当情况不是很复杂时，我们可以把所有可能的情况一一列举出来，然后进行比较，找出最大值或最小值。
比如，要从 1、2、3 这三个数字中选出两个组成一个两位数，求这个两位数的最大值和最小值。
我们可以列举出 12、13、21、23、31、32，然后很容易看出最大的是 32，最小的是 12。
第二种是推理法。
根据已知条件，通过逻辑推理来找出最值。
比如，有若干个连续的自然数，它们的和是 100，求这些自然数中最大的数。
我们可以先假设这些数的个数，然后根据求和公式进行推理，找出满足条件的最大数。
小学奥数 数论问题 第一讲 位值原理
第一讲位值原理讲义位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
100+e×10+f课后习题基础篇：【闯关1】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差【闯关2】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．提高篇：【闯关3】设六位数abcdef满足fabcde f abcdef=⨯，请写出这样的六位数．【闯关4】已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少．巅峰篇：【闯关5】小明打算做一个两位数乘以三位数的乘法，但是粗心的他在计算的时候遗漏了乘号，从而将两位数直接放在三位数的左边，形成一个五位数，该五位数恰好为应得的乘积的9倍，问：原来两个数的乘积是多少？第一讲位值原理课后习题基础篇：【闯关1】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差解析：ab=10a+b，ba=10b+a。
ab-ba=10a+b-10b-a=9（a-b）所以商等于a与b的差。
【闯关2】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．解析：正如我视频里面所讲的，我不知道这四个数字，那就把四个数字可以假设出来。
设原四位数为abcd．则：反序数：dcba。
由题意得：1000d+100c+10b+a-（1000a+100b+10c+d）=8802，化简得：1000（d-a）+100（c-b）+10（b-c）+（a-d）=8802，新数比原数大，则d＞a，所以d-a=8，a是千位数最小是1，d是个位数，最大是9，所以：d=9，a=1，个位要借位，c-b=9，所以c=9，b=0，故原数为1099．提高篇：【闯关3】设六位数abcdef满足fabcde f abcdef=⨯，请写出这样的六位数．解析：本题难度有点，原题出自于第十三届华杯赛决赛的第12题。
小学奥数讲义6年级-16-最值问题-难版
在日常生活、工作中，经常会遇到有关最短路线、最短时间、最大面积、最大乘积等问题，这就是在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题。
这类问题涉及的知识面广，在生产和生活中有很大的实用价值。
这一讲就来讲解这个问题。
常用结论：两个数的和一定时，差越小，积越大。
【例1】★1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。
那么这两个四位数各是多少？【解析】8531和7642。
高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8，7，百位分别是6，5。
两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85，另一个数的前两位是76。
同理可确定十位和个位数.【小试牛刀】当A+B+C ＝10时(A 、B 、C 是非零自然数)。
A ×B ×C 的最大值是＿＿＿＿，最小值是＿＿＿＿。
【解析】当为3+3+4时有A ×B ×C 的最大值，即为3×3×4＝36；当为1+1+8时有A ×B ×C 的最小值，即为1×1×8＝8。
【例2】★两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？【解析】48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。
所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况：48=1×48，1+48=49；典型例题知识梳理48=2×24，2+24=26；48=3×16，3+16=19；48=4×12，4+12=16；48=6×8，6+8=14。
两个因数之和最小的是6+8=14。
结论：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。
【小试牛刀】要砌一个面积为72米2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？【解析】将72分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是9-8=1。
(完整)四年级奥数之最值问题
四年级奥数之最值问题知识点睛：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。
“最大”、“最小”是我们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中经常会出现求最值问题，解决办法有：一、枚举法例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。
同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。
这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。
二、综合法例2x3=84A（x、A均为自然数）。
A的最小值是______。
（1997年南通市数学通讯赛试题）分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。
即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。
三、分析法例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b 的最大值是多少？（广州市五年级数学竞赛试题）分析与解若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。
由乘除法关系得43a＋b=一个三位数因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。
根据上面式子，考虑到a不能超过23。
（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。
当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。
显然，当a=22，b=42时，a＋b的值最大，最值为22+42=64。
六年级奥数第24讲：最值问题
最值初步在小学数学竞赛中，常常需要求“最大”、“最小”、“最多”、“最少”、“最近”、最远“等问题，这类数学问题叫最值问题。
常用解题方法有：①限定范围，②放缩，③估计，④列表等。
例1、（1＋9219）＋（1＋9219×2）＋（1＋9219×3）＋…＋（1＋9219×10）＋（1＋9219×11）的结果是χ，与χ最接近的数是多少？做一做：设411＋812＋1613＋3214＋6415＋12816＋25617的结果为a 最接近的整数是多少？例2、问：在下面四个算式中，最大的得数数应是多少？ （1）（171＋191）×20 （2）（241＋291）×30 （3）（311＋371）×40 （4）(411＋471)×50做一做：下面四个算式中，哪一个的结果最大？哪一个的结果最小？（1）（199－293）×40 （2）（194－274）×30（3）（215－315）×24 （4）（217－337）×17例3、在下面的□中分别填上加、减、乘、除四种运算符号，使得到的四个算式的得数之和尽可能大，这个和等于多少？做一做：在下面 中分别填入＋、－、×、÷符号，使a,b,c,d 之和最大例4、用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能大。
那么，这五个两位数的和是多少？做一做：用下面写有数字的四张卡片排成四位数，问：其中最小的数与最大的数的和是多少？例5、用1，2，3，4，5，6，7七个数字组成三个两位数，一个一位数，并且使用这四个数之和等于100，要求最大的两位数尽可能大，那么，最大的两位数是多少？做一做：用1～7这七个数字组成三个两位数和一个一位数，并且使这四个数的和等于100。
若要求最大的两位数尽可能小，那么，最大的两位数是多少？例6、在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间添上一个加号或一个减号，组成一个算式，要求：1.版式的结果等于37；2.这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能大。
小学五年级奥数题讲解(问题思路答案)
小学五年级奥数题讲解(问题思路答案)小学五年级奥数题讲解（问题思路答案）在小学五年级的数学学习中，奥数题是一种常见的挑战，既能锻炼学生的逻辑思维能力，又能培养他们解决问题的技巧。
本文将为大家详细介绍几道小学五年级奥数题，并给出问题的思路和答案。
题目一：电脑屏幕上有一套数字密码，要求用其中4个数字构成一个最大的4位数，不能重复使用数字。
请问这个最大的4位数是多少？思路：我们需要找出数字中的最大值，然后根据题目要求，确定最大数的组成。
首先，观察到给出的是一套数字密码，因此不重复使用数字的规则是我们需要注意的。
而最大的4位数是9999，因此我们需要找到这个数字中最大的数字，即9。
答案：最大的4位数是9642。
题目二：一个鸡蛋篮里装有若干个鸡蛋，如果每次从篮子中拿走3个鸡蛋，则刚好拿完。
如果每次拿2个鸡蛋，则还剩1个鸡蛋。
请问，这个鸡蛋篮里最少有多少个鸡蛋？思路：根据题目描述可知，鸡蛋个数是一个未知数，我们可以设其为x。
根据题目中的条件，我们可以得到一个方程式：x mod 3 = 0（取3的模为0）和 x mod 2 = 1（取2的模为1）。
我们可以通过求解这个方程组来确定鸡蛋篮里最少的鸡蛋个数。
答案：通过求解方程组，得出最少有7个鸡蛋。
题目三：一个三位数减去一个两位数等于一个两位数，而且这个两位数正好等于三位数中的个位和十位数字的和。
请问，满足这个条件的三位数一共有多少个？思路：题目给出了条件，我们可以设三位数为abc，两位数为de。
根据题目的要求，可以列出以下方程：(100a + 10b + c) - (10d + e) = 10b + c。
通过整理方程，我们可以得到 100a - 10d = 9e。
答案：根据等式，我们可以发现a和d只能是相邻数，因为9e是十位数，因此a和d只有1和2这两个可能性。
而e只能是 1 到 9之间的奇数。
因此，满足这个条件的三位数共有18个。
通过以上几道题目，我们可以看到奥数题的思路和答案求解方法。
最值问题解题思路奥数
马到成功奥数专题:离散最值引言：在国内外数学竞赛中,常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题,我们称之为离散最值问题;解决这类非常规问题,尚无统一的方法,对不同的题目要用不同的策略和方法,就具体的题目而言,大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理——确定最值；3.枚举比较——确定最值；4.估计并构造;离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中,学好它可为解决数论,计数,应用问题等打下扎实的基础;一、从极端情形入手从极端情形入手,着眼于极端情形,是求解最值问题的有效手段;题目1.一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个,这些小球的大小均相同,红色小球上标有数字“4”,黄色小球上标有数字“5”,绿色小球上标有数字“6”;小明从袋中摸出8个球,它们的数字和是39,其中最多可能有多少个球是红色的解：假设摸出的8个球全是红球,则数字之和为4×8=32,与实际的和39相差7,这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故;用一个绿球换一个红球,数字和可增加6－4=2,用一个黄球换一个红球,数字和可增加5-4=1;为了使红球尽可能地多,应该多用绿球换红球,现在7÷2=3……1,因此可用3个绿球换红球,再用一个黄球换红球,这样8个球的数字之和正好等于39;所以要使8个球的数字之和为39,其中最多可能有8-3-1=4个是红球;题目2.有13个不同正整数,它们的和是100;问其中偶数最多有多少个最少有多少个解：①2+4+6+8+10+12+14+16=72还要有5个奇数,但和是奇数,100是偶数,所以只能少一个偶数,2+4+6+8+10+12+14=56100-56=4242=1+3+5+7+9+17,最多有7个偶数;②1+3+5+7+9+11+13+15=64还要5个偶数,100-64=3636=2+4+6+8+16 最少有5个偶数;题目3.一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码;为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量,如果只允许在天平的一端放砝码,那么最少需要准备砝码多少个; 解：要能称出1克到91克的任意一种整数克重量,要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克,它们的和是91,这样即可;需要9+1+1+2=13个;题目4.一台计算器大部分按键失灵,只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用,因此可以输入77,707这样只含数字7和0的数,并且进行加法运算;为了显示出222222,最少要按“7”键多少次222222-700003=12222按下了3个7 12222-70001=5222按下了1个75222-7007=322 按下了7个7 322-704=42按下了4个7 42-76=0 按下了6个7;3+1+7+4+6=21次二、枚举法与逐步调整当我们在有限数中求最大或最小值时,枚举法是常用基本方法之一;这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论;题目5.将6,7,8,9,10按任意次序写在一个圆周上,每相邻两数相乘,并将所得得5个乘积相加,那么所得和数的最小值是多少解：要使乘积最小,就要每个数尽可能小;对于10,旁边添6和7,这样积小一些;于是有两种添法：----------------------------------------------题目6.某公共汽车从起点开往终点站,中途共有13个停车站;如果这辆公共汽车从起点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站,那么为了使每位乘客都有座位,这辆公共汽车至少应有多少个座位解法1：只需求车上最多有多少人;依题意列表如下：由上表可见,车上最多有56人,这就是说至少应有56个座位;说明：本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的,座位最少有多少,取决于什么时候车上人数最多,要保证乘客中每人都有座位,应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数;所以,我们不能只看表面现象,误认为有了“至少”就是求最小数,而应该把题意分析清楚后再作判断;解法2：因为车从某一站开出时,以前各站都有同样多的人数到以后各站每站1人,这一人数也和本站上车的人数一样多,因此车开出时人数=以前的站数+1×以后站数=站号×15-站号;因此只要比较下列数的大小：1×14, 2×13, 3×12, 4×11, 5×10,6×9, 7×8, 8×7, 9×6, 10×5,11×4, 12×3, 13×2, 14×1;由这些数,得知7×8和8×7是最大值,也就是车上乘客最多时的人数是56人,所以它应有56个座位;说明：此题的两种解法都是采用的枚举法,枚举法是求解离散最值问题的基本方法;这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论;题目7.在如图18-2所示得28方格表中,第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8;如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按适当得顺序分别填入第二行的8个方格内,使得每列两数的8个差数两两不同,那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少三、从简单情形入手解决复杂问题可以从简单问题入手,经过分析得出规律,也就找到了解决复杂问题的方法;题目8.分析与解题目9.将1,2,3,…,49,50任意分成10组,每组5个数;在每一组中,数值居中的那个数称为“中位数”;求这10个中位数之和的最大值与最小值;解：{1,2,3,49,50} {4,5,6,47,48} …… {28,29,30,31,32}3+6+……+30=165最小值{1,2,48,49,50} {3,4,45,46,47} …… {19,20,21,22,23}48+45+……+21=345最大值四、和一定问题为10的自然数共有5对,每对自然数乘积后又得到5个不同的数,如下表：由此我们得到,当这两个自然数都取5时积有最大值 25;成立;也就是和一定时差最小乘积越大;题目10.有3条线段a,b,c,线段a长米,线段b场米,线段c长米;如图18-1,以它们作为上底、下底和高,可以作出3个相同的梯形;问第几号梯形的面积最大解：由于梯形体积=上底+下底高/2在和一定的情况下,要使乘积最大,让两个数越接近;可见a+b与c十分接近,所以③的面积最大;题目11.如果将进货单价为40元的商品按50元售出,那么每个的利润是10元,但只能卖出500个;当这种商品每个涨价1元时,其销售量就减少10个;为了赚得最多的利润,售价应定为多少解：设每个商品售价为50+x元,则销量为500-10X个;总共可以获利50＋x-40×500-10x=10×10+X×50-X元;因10+x+50－x=60为一定值,故当10+X=50－X即X=20时,它们的积最大;此时,每个的销售价为50＋20=70元题目12.用3,4,5,6,7,8六个数字排成三个两位数相乘,要求它们的乘积最大;应该怎样排列分析与解十位数字分别是8、7、6,8>7>6,个位数字分别是5,4,3,5>4>3,依据“接近原则”,大小搭配可得83×74×65,三个数最接近因而它们的乘积最大;综上数例,可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数,较小的数后配较大的数,这样才能使数之间更为接近,从而保证乘积最大;简单地说就是：数越接近．．,．乘积越大．．．．;．综上数例,可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数,较小的数后配较大的数,这样才能使数之间更为接近,从而保证乘积最大;简单地说就是：数越接近．．,乘积越大;五、积一定的问题两个变化着的量,如果在变化的过程中,它们的乘积始终保持不变,那么它们的差与和之间有什么关系呢观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量,如果在变化的过程中,乘积始终保持不变,那么它们的差越小,和就越小;若它们能够相等,则当它们相等时,和最小;题目13. 长方形的面积为 144 cm2,当它的长和宽分别为多少时,它的周长最短解：设长方形的长和宽分别为 xcm和 ycm,则有xy＝144;故当x=y=12时,x+y有最小值,从而长方形周长2x＋y也有最小值;题目14.农场计划挖一个面积为432 m2的长方形养鱼池,鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示,要想占地总面积最小,水池的长和宽应为多少解：如图所示,设水池的长和宽分别为xm和ym,则有xy＝432;占地总面积为 S=x＋6y＋8cm2;于是S=Xy+6y+8X＋48＝6y+8X+480;我们知道6y ×8X=48×432为一定值,故当6y=8X时,S最小,此时有6y=8X=144,故y=24,x=18;六、从整体入手从整体抓住数据的本质特征进行分析,较易突破难点;题目15.在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式;要求：1算式的结果等于37；2这个算式中的所有减数前面添了减号的数的乘积尽可能地大;那么,这些减数的最大乘积是多少题目16.在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式;要求：1算式的结果等于37；2这个算式中的所有减数前面添了减号的数的乘积尽可能地大;那么,这些减数的最大乘积是多少解：把10个数都添上加号,它们的和是55,如果把其中一个数的前面的加号换成减号,使这个数成为减数,那么和数将要减少这个数的2倍;因为55-37＝18,所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9;对于大于2的数来说,两数之和总是比两数乘积小,为了使这些减数的乘积尽可能大,减数越多越好不包括1;9最多可拆成三数之和2＋3＋4=9,因此这些减数的最大乘积是2×3×4＝24,添上加、减号的算式是10 ＋ 9＋ 8＋ 7 ＋ 6＋ 5- 4- 3- 2 ＋1＝37;七、抓不等关系题目17.某校决定出版“作文集”,费用是30册以内为80元,超过30册的每册增加元;当印刷多少册以上时,每册费用在元以内解：显然印刷的册数应该大于30;设印刷了30＋x册,于是总用费为80+元;故有80+≤ ×30+x,答案:117+30= 147以内;题目18.有4袋糖块,其中任意3袋的总和都超过60块;那么这4袋糖块的总和最少有多少块解：要使其中任意3袋的总和都超过60块,那么至少也是61,先在每袋中放20个糖块,但任意3袋中至少一个21,否则就无法超过60;要使任意3袋中至少一个21,这4个袋子的糖块分别是20,20,21,21;和为20+20+21+21=82八、抓相等关系题目19.10位小学生的平均身高是米;其中有一些低于米的,他们的平均身高是米；另一些高于米的平均身高是米;那么最多有多少位同学的身高恰好是米解:要最多有多少位同学的身高恰好是米,就要使低于和高于米的人越少,设高于和低于的人分别为a,b;可得：+=a+b 2b=3a至少是5人那么最多有10-5=5位同学的身高恰好是米; ----------------------------------------------题目20.4个不同的真分数的分子都是1,它们的分母只有2个奇数、2个是偶数,而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等;这样的奇数和偶数很多,小明希望这样的偶数尽量地小,那么这个和的最小可能值是多少解：1/奇+1/奇=1/偶+1/偶偶/奇=偶+偶/偶×偶奇偶+偶=偶偶偶;因为偶偶偶是8的倍数所以偶+偶是8的倍数若是8,只能为2和6则1/2+1/6=1/3+1/3不符合题意,因为奇相等;若是16,有1/6+1/10=1/5+1/15因此本题答案是16;九、位值展开式题目21.一个两位数被它的各位数字之和去除,问余数最大是多少解：设两位数位aba表示十位数字,b表示个位数字ab=10a+b/a+b=9a/a+b+1a+b最大是18,此时余数为9当a+b=17,若a=9 余数为13若b=9余数为4题目22.当a+b=16,若a=9 余数为1 若b=9余数为15 此时余数最大;由3个非零数字组成的三位数与这3个数字之和的商记为K;如果K是整数,那么K的最大值是多少解：设这个数为abca表示百位数字,b表示十位数字,c表示个位数字那么abc/a+b+c=K 100a+10b+c/a+b+c=K 要使这个算式最大,就要让a尽可能大,b,c尽可能的小;试一下：911/9+1+1=82……9,811/8+1+1=81……1,711/7+1+1=79,所以K最大是79; 题目23.用1,3,5,7,9这5个数组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用0,2,4,6,8这5个数组成一个三位数FGH和一个两位数IJ;求算式ABC×DE—FGH×IJ的计算结果的最大值; 解：要使ABCDE-FGHIJ这个算式最大就要使ABCDE最大,FGHIJ最小;那么前面最大是75193;后面最小是46820;那么算式的最小值是75193-46820=60483十、“估计+构造”“估计+构造”是解离散最值问题的一种常用方法,要求某个离散最值,先估计该量的上界或下界,然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到,这样便求出了这个量的最大值或最小值;题目24.把1,2,3,…,12填在左下图的12个圆圈里,然后将任意两个相邻的数相加,得到一些和,要使这些和都不超过整数n,n至少是多少为什么并请你设计一种填法,满足你的结论;解：因为1+2＋3＋…＋12=78, 78×2÷12＝13,所以n≥13;又考虑到与12相邻的数最小是1和2,所以n至少是14;右上图是一种满足要求的填法;十一、转化与对称思想转化思想是数学思想之一,把复杂问题转化成简单问题,从而达到解决问题的目的.在平面上有两个点A、B,把A、B用线连结起来有许多种方法,可用线段、弧线、折线等.在这无穷多种连结方法中,线段最短,因而我们也称线段AB的长叫A、B两点间的距离;我们可以做一个有趣的实验：在一个长方体的上面N点放上食品,在长方体侧面ABCD上M点放一只蚂蚁如图3,蚂蚁从侧面经过棱AD到N有无穷多种走法如图4,我们关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短在这个立体图形中找出答案是很困难的,直接连结MN则不经过棱AD,与条件不符.为了使问题简化,我们将长方体展成平面图形,连结MN交AD于P.由公理,两点之间线段最短,可知蚂蚁从M点沿直线MP爬到P后,再由P点沿直线PN爬到N时走过的路程最短;题目25.如图11某次划船比赛规定从A点出发,先到左岸然后到右岸然后再到B点,时间少者取胜.请你设计一条航线,使船走的路程最短.由于两点间的距离线段最短,我们想办法把问题转化为求两点距离问题;如图,找到A点关于左岸的轴对称点,B点关于右岸的轴对称点,连结A′B′,与左岸、右岸分别有交点C、D,沿折线ACDB航行就是最短航线;十二、学写说理题题目26.23个不同的自然数的和是4845;问：这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少写出你的结论,并说明理由;.17;解：设这23个彼此不同的自然数为a1,a2,…,a22,a23,并且它们的最大公约数是d,则a1=db1,a2=db2,…,a22=db22,a23=db23;依题意,有4845=a1+a2+…+a22+a23=db1+b2+…+b22+b23;因为b1,b2,…,b22,b23也是彼此不等的自然数,所以b1+b2+…+b23≥1+2+…+23=276;因为4845=db1+b2+…+b22+b23≥276×d,所以又因为4845=19×17×15,因此d的最大值可能是17;当a1=17,a2=17×2,a3=17×3,…,a21=17×21,a22=17×22,a23=17×32时,得a1+a2+…+a22+a23=17×1+2+…+22+17×32=17×253+17×32=17×285=4845;而a1,a2,…,a22,a23=17;所以d的最大值等于17;解题在于实践：题目27.设a1,a2,a3,a4,a5,a6是1到9中任意6个不同的正整数,并且a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6;试用这6个数分别组成2个三位数,使它们的乘积最大;分析与解：由于a1,…,a6具体大小不清楚,因此先取特殊数1,2,3,4,5,6这6个不同的数考虑;要使2个三位数的乘积最大,必须使这2个数的百位数最大,应分别是6,5；而十位数次大,应分别为4,3,个位数最小,应分别为2,1;因为当2个数之和一定时,这2个数之差越小,它们的乘积越大,所以这2个数是631和542;题目28.8个互不相同的正整数的总和是56,如果去掉最大的数及最小的数,那么剩下的数的总和是44;问：剩下的数中,最小的数是多少解：因为最大数与最小数的和是56－44=12,所以最大数不会超过11;去掉最大和最小数后剩下的6个互不相同的自然数在2～10之间,且总和为44,这6个数只能是4,6,7,8,9,10;题目29.采石场采出了200块花岗石料,其中有120块各重7吨,其余的每块各重9吨,每节火车车皮至多载重40吨,为了运出这批石料,至少需要多少节车皮解：每节车皮所装石料不能超出5块,故车皮数不能少于200÷5=40节,而40节车皮可按如下办法分装石料：每节装运3块7吨的和两块9吨的石料,故知40节可以满足要求;题目30.一个水池,底部安有一个常开的排水管,上部安有若干个同样粗细的进水管,当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满,那么至少要打开多少个进水管分析本题没给出排水管的排水速度,因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系,才能确定至少要打开多少个进水管.解：本题是具有实际意义的工程问题,因没给出注水速度和排水速度,故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a,排水管1小时排水量为b,根据水池的容量不变,我们得方程4a-b×5=2a-b×15,化简,得：4a-b=6a-3b,即a=b.这就是说,每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.再设2小时注满水池需要打开x个进水管,根据水池的容量列方程,得xa-a×2＝2a-a×15,化简,得 2ax-2a=15a,即2xa=17a.a≠0所以x=因此至少要打开9个进水管,才能在2小时内将水池注满.注意：x=,这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.题目31.用1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字各一次,组成一个被减数,减数,差都是三位数的正确的减法算式,那么这个减法算式的差最大是多少解：要想差最大必须考虑被减数取最大,那么先考虑百位为9,同样考虑减数最小,百位为1,再通过试算得出936-152=784,此时差为最大既784;题目32.有一个正整数的平方,它的最后三位数字相同但不为零,试求满足上述条件的最小正整数;1444;解：平方数末位只能为0,1,4,5,6,9;因为111,444,555,666,999均非平方数,而1000,1111也不是平方数,但1444=382,故满足题设条件的最小正整数是1444;题目33.从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中,任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘,能得到多少个不同的乘积;13. 从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55从极端考虑分成最小和最大的两组为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=15+40=55最接近的两组为27+28所以共有27-15+1=13个不同的积;另从15到27的任意一数是可以组合的;自我评价：还成不错得意酷日积月累：______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________精神快餐：遇到难题题要尽力思考 ,一时答不上来绝不要灰心、沮丧,也不要急于翻看答案,因为反复思考的过程比得到正确的答案更重要;。
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值问题解题思路奥数————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：马到成功奥数专题:离散最值引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。
解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理——确定最值；3.枚举比较——确定最值；4.估计并构造。
离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数，应用问题等打下扎实的基础。
一、从极端情形入手从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。
题目1.一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？解：假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为（4×8=）32，与实际的和39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。
用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6－4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。
为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在7÷2=3……1，因此可用3个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8个球的数字之和正好等于39。
所以要使8个球的数字之和为39，其中最多可能有（8-3-1=）4个是红球。
题目2.有13个不同正整数，它们的和是100。
问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？解：①2+4+6+8+10+12+14+16=72还要有5个奇数，但和是奇数，100是偶数，所以只能少一个偶数，2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17，最多有7个偶数。
②1+3+5+7+9+11+13+15=64还要5个偶数，100-64=36 36=2+4+6+8+16 最少有5个偶数。
题目3.一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。
为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。
解：要能称出1克到91克的任意一种整数克重量，要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克，它们的和是91，这样即可。
需要9+1+1+2=13个。
题目4.一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。
为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？222222-70000*3=12222 按下了3个7 12222-7000*1=5222 按下了1个75222-700*7=322 按下了7个7 322-70*4=42 按下了4个7 42-7*6=0 按下了6个7。
3+1+7+4+6=21次二、枚举法与逐步调整当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举法是常用基本方法之一。
这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。
题目5.将6，7，8，9，10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小。
对于10，旁边添6和7，这样积小一些。
于是有两种添法：----------------------------------------------题目6.某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13个停车站。
如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？解法1：只需求车上最多有多少人。
依题意列表如下：由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。
说明：本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。
所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。
解法2：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此车开出时人数=（以前的站数+1）×以后站数=站号×（15-站号）。
因此只要比较下列数的大小：1×14，2×13，3×12，4×11，5×10，6×9，7×8，8×7，9×6，10×5，11×4，12×3，13×2，14×1。
由这些数，得知7×8和8×7是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56人，所以它应有56个座位。
说明：此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。
这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。
题目7.在如图18-2所示得2*8方格表中，第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。
如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按适当得顺序分别填入第二行的8个方格内，使得每列两数的8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少？解：这8个差分别是0，1，2，3，4，5，6，7，和为28，分成两组，每组14。
8和7必然填在1，2两个方格内。
前两列的差是7和5，第3个如果填6，那么7+5+3超过14，所以只能填5，此时3个差为7、5、2，和为14，第4个格子只能填4，填6就会有重复。
数字6只能填在第7格，再凑一凑即可得出87541362。
三、从简单情形入手解决复杂问题可以从简单问题入手，经过分析得出规律，也就找到了解决复杂问题的方法。
题目8.从1234567891011…99100中划去100个数字，其他数字顺序不变，求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。
分析与解将此题简化为从12345678910中划去9个数字.利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为91，最小数为10，也就是在求最大数时，高位上的数字尽可能取大数字；求最小数时，高位上尽可能取小数字。
本题中从 12345678910中划去 10个数字剩下9；从111213…484950中划去76个数字剩下4个9；再从51525354555657585960中划去14个数字剩下尽可能大的数是785960，从而得到所求的最大数9999978596061…99100。
求最小值时，从12345678910中划去9个数字剩下10，从11121314…484950中划去76个数字剩下4个0，再从51525354555657585960中划去15个数字剩下尽可能小的数12340，从而得到所求最小数100000123406162…99100。
题目9.将1，2，3，…，49，50任意分成10组，每组5个数。
在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”。
求这10个中位数之和的最大值与最小值。
解：{1，2，3，49，50} {4，5，6，47，48} …… {28，29，30，31，32}3+6+……+30=165（最小值）{1，2，48，49，50} {3，4，45，46，47} …… {19，20，21，22，23}48+45+……+21=345（最大值）四、和一定问题例如，和为10的两个自然数，它们的积的最大值是什么？我们知道和为10的自然数共有5对，每对自然数乘积后又得到5个不同的数，如下表：由此我们得到，当这两个自然数都取5时积有最大值 25。
成立。
也就是和一定时差最小乘积越大。
题目10.有3条线段a,b,c ，线段a 长2.12米，线段b 场2.71米，线段c 长3.53米。
如图18-1，以它们作为上底、下底和高，可以作出3个相同的梯形。
问第几号梯形的面积最大？解：由于梯形体积=（上底+下底）*高/2 在和一定的情况下，要使乘积最大，让两个数越接近。
可见a+b 与c 十分接近，所以③的面积最大。
题目11. 如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。
当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。
为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x ）元，则销量为（500-10X ）个。
总共可以获利（50＋x-40）×（500-10x ）=10×（10+X ）×（50-X ）（元）。
因（10+x ）+（50－x ）=60为一定值，故当10+X=50－X 即X=20时，它们的积最大。
此时，每个的销售价为50＋20=70（元）题目12. 用3，4，5，6，7，8六个数字排成三个两位数相乘，要求它们的乘积最大。
应该怎样排列？1＋9＝10 →1×9＝92+8=10 →2×8=163＋7=10 →3×7=214+6=10 →4×6=245+5＝10 →5×5=25【分析与解】十位数字分别是8、7、6，8>7>6,个位数字分别是5，4，3，5>4>3，依据“接近原则”，大小搭配可得83×74×65，三个数最接近因而它们的乘积最大。
综上数例，可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。
简单地说就是：数越接近，乘积越大。
．．．．．．．．综上数例，可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。
简单地说就是：数越接近．．，乘积越大。
五、积一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。
若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。
题目13. 长方形的面积为 144 cm2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为 xcm和 ycm，则有xy＝144。
故当x=y=12时，x+y有最小值，从而长方形周长2（x＋y）也有最小值。
题目14. 农场计划挖一个面积为432 m2的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？解：如图所示，设水池的长和宽分别为xm和ym，则有xy＝432。