值问题解题思路奥数

值问题解题思路奥数

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马到成功奥数专题:离散最值

引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：

1.着眼于极端情形；

2.分析推理——确定最值；

3.枚举比较——确定最值；

4.估计并构造。

离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数，应用问题等打下扎实的基础。

一、从极端情形入手

从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。

题目1.一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？

解：假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为（4×8=）32，与实际的和39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。

用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6－4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在7÷2=3……1，因此可用3个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8个球的数字之和正好等于39。所以要使8个球的数字之和为39，其中最多可能有（8-3-1=）4个是红球。

题目2.有13个不同正整数，它们的和是100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？解：①2+4+6+8+10+12+14+16=72还要有5个奇数，但和是奇数，100是偶数，所以只能少一个偶数，2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17，最多有7个偶数。

②1+3+5+7+9+11+13+15=64还要5个偶数，100-64=36 36=2+4+6+8+16 最少有5个偶数。

题目3.一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。

解：要能称出1克到91克的任意一种整数克重量，要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克，它们的和是91，这样即可。需要9+1+1+2=13个。

题目4.一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？

222222-70000*3=12222 按下了3个7 12222-7000*1=5222 按下了1个7

5222-700*7=322 按下了7个7 322-70*4=42 按下了4个

7 42-7*6=0 按下了6个7。3+1+7+4+6=21次

二、枚举法与逐步调整

当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举法是常用基本方法之一。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。

题目5.将6，7，8，9，10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？

解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小。对于10，旁边添6和7，这样积小一些。于是有两种添法：

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题目6.某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？

解法1：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：

由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。

说明：本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。

解法2：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此

车开出时人数=（以前的站数+1）×以后站数

=站号×（15-站号）。

因此只要比较下列数的大小：

1×14，2×13，3×12，4×11，5×10，

6×9，7×8，8×7，9×6，10×5，

11×4，12×3，13×2，14×1。

由这些数，得知7×8和8×7是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56人，所以它应有56个座位。

说明：此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。

题目7.

在如图18-2所示得2*8方格表中，第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按适当得顺序分别填入第二行的8个方格内，使得每列两数的8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少？

解：这8个差分别是0，1，2，3，4，5，6，7，和为28，分成两组，每组14。8和7必然填在1，2两个方格内。前两列的差是7和5，第3个如果填6，那么7+5+3超过14，所以只能填5，此时3个差为7、5、2，和为14，第4个格子只能填4，填6就会有重复。数字6只能填在第7格，再凑一凑即可得出87541362。

三、从简单情形入手

解决复杂问题可以从简单问题入手，经过分析得出规律，也就找到了解决复杂问题的方法。题目8.从1234567891011…99100中划去100个数字，其他数字顺序不变，求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。

分析与解将此题简化为从12345678910中划去9个数字.利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为91，最小数为10，也就是在求最大数时，高位上的数字尽可能取大数字；求最小数时，高位上尽可能取小数字。本题中从 12345678910中划去 10个数字剩下9；从111213…484950中划去76个数字剩下4个9；再从51525354555657585960中划去14个数字剩下尽可能大的数是785960，从而得到所求的最大数9999978596061…99100。求最小值时，从12345678910中划去9个数字剩下10，从11121314…484950中划去76个数字剩下4个0，再从51525354555657585960中划去15个数字剩下尽可能小的数12340，从而得到所求最小数100000123406162…99100。

题目9.将1，2，3，…，49，50任意分成10组，每组5个数。在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”。求这10个中位数之和的最大值与最小值。

解：{1，2，3，49，50} {4，5，6，47，48} …… {28，29，30，31，32}

3+6+……+30=165（最小值）

{1，2，48，49，50} {3，4，45，46，47} …… {19，20，21，22，23}

48+45+……+21=345（最大值）