二元一次方程含参问题
第8讲二元一次方程组的含参问题ppt课件
y=5① by=2②
，由于甲看错了①中
a，得到方程组的解为
x=
y=5
6
，乙看
错了方程组②中的
b，得到方程组的解为
x=4
y=3
，若按照正确的
a，b
计算，请求出方程组的
解．
【答案】解：把
x= y=5
6
代入
3x＋by＝2
中得：b＝4，
把
x=4
y=3
代入
ax－y＝5
中得：a＝2，
原方程组为
2x 3x
．
【变 1】对 x，y 定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx＋ny(其中 m，n 均为非零常数)，若
1※1＝4，1※2＝3，则 2※1 的值是( )
A．3
B．5
C．9
D．11
【答案】C
【变 2】规定“△”为有序实数对的运算，如果(a，b)△(c，d)＝(ac＋bd，ad＋bc)．如果
对任意实数 a，b 都有(a，b)△(x，y)＝(a，b)，则(x，y)为( )
当两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含有字母参数的二元一次方程组成方程组， 并求出方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程组，解方程组进而求得字母参 数的值．
【例
2】已知方程组
3x mx
y=8 y=n
和
x 2
ny=m x y=7
有相同的解，则
m＝_________，n＝_________．
y=5
的解
x
和
y
相等，则
a
的值为(
A．1
B．2
C．3
【答案】C
) D．4
【变
6】已知方程组
含参的二元一次方程组训练题
含参的二元一次方程组训练题1.解：设方程组为ax+by=k，-ax-by=k，由于解互为相反数，所以k=0.若x=y，则方程组为2ax=k，解为x=y=k/2，所以k=2a。
2.解：将x-y=-1代入方程组得到ax+(a-1)y=k，-ax-(a-1)y=-k，由于有一个解相同，所以k=0.若x+y=2，则方程组为2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a，所以k=4a。
3.解：将x-3y=6代入方程组得到ax+(a-3)y=k，-ax+(3-a)y=-k，由于解相同，所以k=0.若x-y=2，则方程组为2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a+1，所以k=2a-2.4.解：将x+y=1代入方程组得到a/2x-a/2y=1/2-k/2，-a/2x+a/2y=1/2-k/2，两式相加得到a/2(x+y)=1-k，代入x+y=1得到k=1-a/2.若3x-2y+k=0，则方程组为3x+3y=6-k，解为x+y=2-k/3，所以k=6-2m。
5.解：将x+y=1代入方程得到2x^2=1，所以x=±1/√2.代入方程得到y=±1/√2，所以解为(1/√2.-1/√2)和(-1/√2.1/√2)。
6.解：设方程组为ax+by=ab，bx+ay=ab，则(a-b)x+(b-a)y=0，即x-y=0，所以a=b。
代入方程组得到2ax=ab，解为x=y=b/2，所以a=b=2.7.解：设方程组为ax+by=k，cx+dy=m，由于解都是正整数，所以a、b、c、d、k、m都是正整数。
由于ad-bc≠0，所以解唯一，所以k和m都是正整数。
若x+y=k/a，则方程组为(a+c)x+(b+d)y=k+m，解为x+y=(k+m)/(a+c)，所以a+c=k+m。
8.解：将x-y=10代入方程组得到ax+(a-10)y=k，-ax+(10-a)y=-k，由于解唯一，所以a≠5.若x-y=m，则方程组为2ax+(2a-2m)y=k，解为x+y=(k+m)/(a+a-m)，所以a+a-m=10.9.解：将方程组化为矩阵形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
二元一次方程组含参问题
二元一次方程组含参问题类型一：方程组的同解问题【例1】已知关于x ，y 的方程组{4x −y =53x +y =9和{ax +by =−13x +4by =18有相同的解． (1)求出它们的相同的解；(2)求(2a ＋3b)2019的值．【练习】 若关于x ，y 的方程组{3x +4y =2ax +b 2y =5与{a 3x +by =42x −y =5有相同的解，求a ，b 的值．类型二：方程组的错解问题【例2】在解方程组{ax +4y =213x −by =6时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的a ，而得到解为{x =4y =3.乙同学看错了方程组中的b ，而得到解为{x =1y =4. (1)求正确的a ，b 的值；(2)求原方程组的解．【练习】甲、乙两人同时解关于x ，y 的方程组{ax +by =8cx −3y =−2，甲正确解得{x =1y =2，乙因为抄错c 的值，解得{x =2y =−6 ，求a ，b ，c 的值．类型三：方程组的解【例3】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ②的解满足x +y =0,则k 的值为（ ） A.-1 B.1 C.0 D.不能确定【变式1】若方程组{x +2y =k −1 ①2x +y =5k +4②的解满足x +y =5,则k 的值为（ ） A.-2 B.0 C.2 D.不能确定【变式2】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ②的解满足x >0,y >0,求k 的范围。
【变式3】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ②的解满足x +y =k ,求k 的范围。
【例4】k 、b 为何值时，关于x 、y 的方程组 （1）有唯一解； （2）无解； （3）有无数个解变式1、当a 为何值时，关于x 、y 的方程组 有唯一解？变式2、当m 为何值时，关于x 、y 的方程组 有无数个解？类型四：方程的整数解【例5】求二元一次方程3x +2y =12的非负整数解。
二元一次方程组的参数问题
在我们学习二元一次方程组的过程中 经常会遇到很多含参数的二 元一次方程组 我们将这种类型的题目进行归类 整理 分别就四种问题 进行讨论类型一 通过找未知数的关系式求参数得解方程组 {得{将{变式 与 满足代入 得的二元一次方程组{例 已知关于的解中 与 的的二元一次方程组{已知关于 的解中的值互为相反数 求 的值解析 这是一个关于 的方程 我们所求的是作为参数的 在这 求 的值的系数加起来相等 因此可以将原方程组的 个题目里面 满足三个等量关系 由 与 和 互为相反的值代入最后一 解析 由于题目中的 数 这两个等量关系就可以确定个方程中求出 的值解答 根据题意列方程组{解得 {和 的值 最后将 左右两边分别相加 直接将 用 表示 最后将 的表达式代入方 程 中 求出解答{得将{得 解得将 代入 解得中得代入方程中类型三 直接找到与参数有关的关系式时 甲 同 学 因 看 错 了 解 得{例 解方程组{乙同学因看错了 而解得{的值为总结 本题的方法是通过找的值 求出参数 的值 的关系式求出的值 然后通过求的值已 知 关 于 的 二 元 一 次 方 程 组{变式与解析 为了求出 和需要找到与有关 的 等 量 关 系 甲 同 学 看错了 而 得 到 的 一 组 解{{有相同的解 求的值仍 然 满 足 方 程同 理解析 题中满足四个关系式 通过其中两个关系式 和{解出可求出的值的值 最后将 的值代入另外两个关系式中 求出仍然满足方程 从而列出关于 的关系式 从而参数 解答 根据题意 列方程组{将{ 分别代入解得{解答 将{和代入方程得解得{得 {解得 的值分别为将{类型二 通过消元求参数 例 已知关于的二元一次方程组{解法一解析 在这里我们并不能直接求出 和 代入方程 得的解中的 与满足求 的值解得变式 解方程组{看错而解得的解为{解 将{ 代入方程组{ { 由 得 时 甲同学正确地解得 { 我们可以把 看做一个常最后代乙同学数 通过消元法将 和 用 表示出来 得到 入 中 求出解答 {得解得得解得 又由题意得把求 的值 中 得 将{代入方程 得和 组成的方程组得{总结 本题的解题思路是通过消元法将 另一个方程中 求出参数 关键部分是消元解法二用 表示出来 然后代入解由 的值分别为类型四 关于方程组的解的问题 例 已知关于 的二元一次方程组{解析 在原方程组中通过消元我们可以得到一个只与 和 有关的 等量关系 再结合 列出一个关于中 求出 的 二 元 一 次 方 程 组 最 后 有正整数解 求满将解出的解答{代到 或 足条件的整数 的值探究乙醇与重铬酸钾酸性溶液的反应潘乐乐摘要:现行教材对乙醇与重铬酸钾酸性溶液反应实验中酸 量已经使水接近沸腾 再增加浓硫酸的量增加配制过程危险系数 由实 性溶液浓度未做说明,本文旨在 探 究 出 该 溶 液 的 合 适 浓 度, 并 对 实 验 方 式提出增加乙醇蒸汽与之反应来适应新课标下增强学科与生活的联系。
人教版初中数学中考复习 一轮复习-一次方程及其解法(含参)(2)
x y 3的解，求a的值。
考点二:二元一次方程含参问题
已知方程组2mxx5nyy246, 与n3xx m5 yy
8 ,
36
有相同的解，求m,
n的值。
考点二:二元一次方程含参问题
类型二：解的性质
1.如果关于x、y的二元一次方程组2ax3x
2y 5 (a 2) y
的x与y的值相等， 4
那么a
D.无法判断
追问：m的值是多少？
考点三:二元一次方程与一次函数
2.在二元一次方程组
2x 3y 1 0 6x my 3 0
中，当m=
无数组解。
追问：请你讨论该方程解的情况。
时，这个方程有
考点三:二元一次方程与一次函数
3.已知方程组
2x ky 4
x
2
y
0
有正数解，则k的取值范围是
。
考点三:二元一次方程与一次函数
练习1.
已知xy
21是二元一次方程组mmxx nnyy
7的解，则m 1
n
考点二:二元一次方程含参问题
练习2.
已知xy
25和
x 1 是方程ax y 10
by
15的两个解，则a
考点二:二元一次方程含参问题
类型二：方程同解
1.已知关于x、y的二元一次方程组4xxayy
1 的解也是二元一次方程 3
x2 y 1
考点一:二元一次方程（组）及其解法
例2. 用代入法解方程组2xxyy1106
① ②
解：由①得x=10-y ③ 把③代入②，得2（10-y）+y=16 y=4 把y=4代入③，得x=6
所以这个方程的解为 xy
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二元一次方程含参问题
二元一次方程含参问题二元一次方程含参问题是数学中常见的问题类型之一。
这种问题要求我们找到未知数的值，使得方程在给定条件下成立。
一般来说，二元一次方程含参问题会给出一个方程形式为ax + by = c的方程，其中a、b为已知常数，x、y为未知数，c为已知常数或含参变量。
我们需要根据给定的条件来求解x和y的值。
假设我们有一个二元一次方程含参问题的例子：给定方程为2x + 3y = k，其中k是一个未知参数。
我们需要找到使得该方程成立的x和y的值。
要解决这个问题，我们可以使用代入法或消元法。
我们可以选择将x或y的系数转化为1或-1。
在这个例子中，我们可以通过将2x + 3y = k方程两边同时除以2，得到x + 3/2y = k/2。
我们可以选择找出一个具体的值来代入其中一个未知数。
在这个例子中，我们可以令y = 0。
将y替换成0后，我们得到x + 0 = k/2，即x = k/2。
因此，当k为任意实数时，我们可以确定x = k/2。
同时，由于y没有具体的值，我们可以用y表示。
因此，解可以表示为(x, y) = (k/2, y)。
对于给定的二元一次方程含参问题2x + 3y = k，我们得到了解(x, y) = (k/2, y)。
这个解表示了x和y的关系，其中k是一个未知参数。
通过以上解题思路，我们可以解决更加复杂的二元一次方程含参问题。
这些问题可以在各个领域中广泛应用，例如物理学、经济学和工程学等。
对于每个具体的问题，我们需要根据已知条件和解题方法灵活运用，找到方程的解。
初一数学下册二元一次方程组含参问题3种解题思路
初一数学下册二元一次方程组含参问题3种解题思路初一数学下册：二元一次方程组含参问题3种解题思路_参数_方法_不等式01用参数表未知数二元一次方程组含参问题一般含有两个未知数，一个参数。
我们在求解时，将参数当作已知数进行求解，用参数表示出两个未知数，然后再根据题意列出等量关系式，求出参数的值。
分析：本题将方程组含参问题与不等式组相结合，主要考查的就是对含参问题的处理，将参数a当作常数，利用加减消元法求出x和y的值，然后再根据“x为非正数，y为负数”得到不等式组，求出a的取值范围。
在解这类题目时一定要分清未知数与参数的区别，应该是用参数分别表示两个未知数。
比如本题应该用a表示x与y，不能用a表示x，然后用y再表示x或者用x再表示y，这些都是不可取的。
02消去参数得新方程组有些题目直接利用参数表示x或y，数据计算上比较繁琐，比如出现比较大的分数，这样的话我们可以考虑其它的方法，比如先将参数消去，求出x、y的值，然后再将x、y的值代入方程求出参数的值。
比如本题，计算量不是很大，可以选择第一种方法进行求解。
本题也可以先将（1）式扩大2倍，然后两式相减消去参数a，与x-2y=4得到二元一次方程组，解出x、y的值，代入方程（1）即可求出参数的值。
两种方法各有优缺点，在解题时根据题目的特征，灵活选择合适的方法进行解题。
03整体思想解决含参问题解含参问题时，我们首选的应该的整体思想，如果整体思想无法解决问题，我们可以选择上述两种方法进行解题。
分析：利用参数m表示x、y，然后代入不等式组中求解，肯定能够做，但是计算量大，并且容易出错。
因此，在解这类题目时，我们首先想一下能不能使用整体思想，一般就是将两式相加或相减，有时也需要稍作变形。
如果不能使用整体思想，再利用上述两种方法进行考虑。
比如本题，将两式相加即可得到3x+y=3m+4，将两式相减即可得到x+5y=m+4，代入不等式中得到关于m的不等式组，可求出m的取值范围，然后再取其中的整数。
含参二元一次方程组的解
含参二元一次方程组的解上一篇我们介绍过一元一次方程的解有三种情况，二元一次方程组的解同样也有三种情况：①唯一的一组解②无数组解③无解对于这三种情况，我们需要对它们的基本特征掌握熟练后，才能轻松应对含参的二元一次方程组解的讨论(或者通过消元转化成一元一次方程再讨论)。
二元一次方程组的解的三种情况:(1)a1x+b1y=c1(2)a2x+b2y=c2①当a1:a2 ≠ b1:b2 时,方程组有唯一解。
②当a1:a2 = b1:b2 = c1:c2时,方程组有无数组解。
③当a1:a2 = b1:b2 ≠ c1:c2时,方程组无解。
如果学过一次函数，可知(1)与(2)是两条直线，①两个直线有一个交点时,方程组有唯一解②两个直线重合时,方程组有无数组解③两个直线平行但不重合时,方程组无解讨论二元一次方程组的解可以根据上面三种情况，或者通过消元转化成一元一次方程再讨论。
题1:已知下面的二元一次方程组有无数组解，求k+b²的值。
(1)y+kx=b(2)y+3(k-1)x=2根据②可知当k:3(k-1)=1:1=b:2时方程组有无数组解。
得出k=1.5，b=2，所以k+b²=5.5。
或者消元(2)-(1)得到2(k-1.5)x=2-b根据前一篇讲的一元一次方程解的情况:2(k-1.5)=0，2-b=0时方程有无数个解，得出k=1.5，b=2。
题2:已知下面的二元一次方程组无解，求k的值。
(1)y+kx=2(2)2y+3(k-1)x=5根据③当k:3(k-1)=1:2 (≠2:5)时,方程组无解，得到k=3或者消元(2)-(1)×2得到(k-3)x=1 根据k-3=0时方程无解，得出k=3。
掌握上面的方法后可以试一试下面的题题3:关于x，y的方程组有无数组解，求a，b的值。
("希望杯"邀请赛试题)(1)x+ay+1=0(2)bx-2y+1=0答案:a=-2,b=1。
二元一次方程含参数类型的题
二元一次方程含参数类型的题二元一次方程是初中数学中的重点内容，其具有较强的实用性和广泛的应用场景。
在日常生活和工作学习中，我们常常需要通过二元一次方程来解决问题。
而含参数类型的二元一次方程更是在诸多领域中得到了广泛应用，因此熟练掌握此类方程的解法和应用方法具有重要意义。
一、含参数类型的二元一次方程的定义含参数类型的二元一次方程是由含有参数的二元一次方程所组成的一类方程。
通常在一个二元一次方程当中，方程的系数是已知变量，而未知数则是待求解的、未知的变量。
而当方程中含有参数时，就需要通过解方程的方法来求解方程中的参数和未知数。
此类方程的解法围绕着参数的取值来进行，不同的参数取值会导致方程的根、方程的解集等结果的不同。
二、含参数类型的二元一次方程的应用含参数类型的二元一次方程在实际中有着广泛的应用，以下是其中的几个例子。
（1）经济学中的应用在经济学中，人们通常会使用含参数类型的二元一次方程来描述某两种经济因素的关系，比如生产成本与生产量之间的关系。
经济学家可以通过对方程中的参数进行调节，来分析不同生产成本与生产量之间的关系，并进行经济决策。
（2）物理学中的应用在物理学中，含参数类型的二元一次方程也是非常常见的。
比如，当人们需要计算某一事件的发生概率时，通常会使用含参数类型的二元一次方程，而参数的取值会受到各种因素的影响，比如物理实验中的环境变化等等。
（3）计算机科学中的应用在计算机科学中，人们也常常使用含参数类型的二元一次方程来解决问题。
比如，当一个计算机系统需要进行优化时，通常会使用含参数类型的二元一次方程来描述各种邻近算法和参数对计算复杂度所产生的影响，从而进行系统性能优化。
三、含参数类型的二元一次方程的解法常规的二元一次方程的解法主要有消元法、代入法、求解系数法、公式法等，而在含参数类型的二元一次方程中，这些方法同样适用。
我们以求解含参数类型的二元一次方程为例:$ax+by=c$ $dx+ey=f+x$首先，我们对方程进行整理，使其符合标准二元一次方程的形式：$ax+by-c=0$ $dx+ey-x-f=0$然后，我们通过消元法，将其中一个未知量消去，此处我们选择消去 x：$adx + bey - x = af + ec$ $x = (b + e) y + (c + f - af - ec) / a - d$进一步，我们可以将 x 的值带回到另外一个方程中，得到：$y = (-ad + bc + (ae - bd + ad - bc) f / l) / (ae - bd + l)$其中，$l = ad - bc$。
二元一次方程含参问题
二元一次方程含参问题
摘要：
1.二元一次方程简介
2.含参问题的概念
3.解含参问题的方法
4.实际应用与案例分析
5.总结与建议
正文：
一、二元一次方程简介
二元一次方程是含有两个未知数的一次方程，通常形式为：ax + by = c。
在数学、物理、化学等学科中，二元一次方程广泛应用于解析问题、计算问题等方面。
二、含参问题的概念
含参问题是指在二元一次方程中，未知数的系数和常数项含有变量或参数。
这类问题具有一定的灵活性和复杂性，需要运用一定的策略和方法进行求解。
三、解含参问题的方法
1.参数分离法：将含参问题转化为不含参问题，通过消元、换元等方法求解。
2.代入法：将含参问题中的一个方程表示为另一个方程的函数，然后代入另一个方程，转化为不含参问题求解。
3.齐次方程法：将含参问题转化为齐次方程，利用齐次方程的性质求解。
4.图像法：对于具有实际背景的含参问题，可以通过绘制图像来直观分析问题，找出参数的取值范围。
四、实际应用与案例分析
1.线性规划问题：在生产、销售等实际问题中，通过建立二元一次方程组，运用线性规划方法求解最优解。
2.物理问题：在力学、电磁学等领域，利用二元一次方程描述物理量之间的关系，通过求解方程组得到未知量的值。
3.化学问题：在化学反应方程中，通过解二元一次方程组计算反应物和生成物的物质的量。
五、总结与建议
含参二元一次方程问题在实际应用中具有重要意义，掌握解题方法能帮助我们更好地解决这类问题。
在学习过程中，要多加练习，熟练掌握各种解题技巧，提高自己的数学素养。
二元一次方程常见含参题型解法
二元一次方程常见含参题型解法一、常见的含参二元一次方程题型有哪些？在解题时，我们常常会遇到含参的二元一次方程题型，这些题型可能涉及到不同的参数取值范围，需要采用不同的方法进行求解。
常见的含参二元一次方程题型包括但不限于以下几种：1. 一元二次方程的参数问题：如给定参数a，求方程x^2 + 2ax + a^2 - 3 = 0的解；2. 参数范围问题：如对于方程(x+2)(x-a) = 0，a取什么值时方程有两个相异的实根；3. 参数性质问题：如对于方程ax^2 + (a-1)x + 1 = 0，若a>0，求x 的取值范围；4. 参数关系问题：如对于方程(2a-1)x^2 + (a+1)x + 1 = 0，若方程有两个相反数根，求a的取值范围。
以上仅为一些常见的含参二元一次方程题型，实际上在解题过程中还会遇到更多类型的题目，需要根据具体情况进行灵活求解。
二、常见的含参二元一次方程解法有哪些？对于含参的二元一次方程题型，我们通常可以采用以下几种解法：1. 代数法：对于一些直接的参数问题，可以采用代数的方法进行求解。
通过将参数代入方程中，列出相关方程式，进而求得方程的解。
例如对于方程x^2 + 2ax + a^2 - 3 = 0，我们可以直接代入参数a，然后利用求根公式求得方程的解。
2. 几何法：对于一些参数范围或参数性质问题，可以采用几何的方法进行求解。
通过在坐标平面上绘制函数图像、直线或抛物线等，来分析参数的取值范围或者特定性质。
例如对于方程(x+2)(x-a) = 0，我们可以通过绘制函数图像得出a的取值范围。
3. 参数化求解法：对于一些参数关系问题，可以采用参数化的方法进行求解。
通过设定参数的具体取值，然后根据参数的性质进行讨论，并最终得出方程的解。
例如对于方程(2a-1)x^2 + (a+1)x + 1 = 0，我们可以对a进行参数化，然后讨论参数的取值范围。
以上是常见的含参二元一次方程解法，实际应用中还可能会有其他求解方法，需要根据具体题目进行灵活选择。
二元一次方程组含参问题解析版
二元一次方程组含参问题解析版基本要求：了解二元一次方程组的解法知道代入消元法和加减消元法的意义较高要求：掌握代入消元法和加减消元法例题精讲：例如，解下列方程组：① 3x - y + z = 4，x - y + z = 2② 2x + 3y - z = 12，2x + 4y - z = 10答案：⑴①+②得，5x+2y=16④；②+③得，3x+4y=18⑤；④×2-⑤得，7x=14，x=2，代入④式得y=3，代入③得z=1.原方程组的解为{x=2，y=3，z=1}。
含参数方程组：例如，求解方程组：4x - 3y = k如果要求解x与y的值相等，可以使用以下两种方法：1.将方程组求解得到x与y的值，再判断它们是否相等，最后解出k的值。
巩固：已知有理数x、y、z满足(x-z-2)²+3x-6y-7+3y+3z-4=0，求x、y、z的值。
解法：由非负数的性质可得3x-6y-7=0，解得y=3，3y+3z-4=0，解得z=1，代入原式得(x-3)²=0，解得x=3.若方程组ax+(a-1)y=3，x与y相等，则a的值等于多少？解法：由x与y相等得到x=y，将其代入方程组得到ax+ay=3，化简得到a(x+y)=3，代入x=y得到2ax=3，解得a=3/2.a=3/2.解析】由题意得begin{cases}3x-2y=4\\2mx-3ny=19\end{cases} \qquad\begin{cases}2mx-3ny=19\\5y-x=3\end{cases}$$有相同的解，可以将原问题转化为begin{cases}3x-2y=4\\5y-x=3\end{cases} \qquad\begin{cases}2mx-3ny=19\\5y-x=3\end{cases}$$可由方程组①④，先进行求解，再将所得的结果代入②③求解$m$、$n$的值。
begin{cases}3x-2y=4\\5y-x=3\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$$将$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$代入$\begin{cases}2mx-3ny=19\\5y-x=3\end{cases}$得begin{cases}4m-3n=19\\5-2m=n\end{cases}$$答案】$m=4$，$n=-1$。
含参数的二元一次方程组的解法
含参数的二元一次方程组的解法二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。
现选取几道题略作讲解，供同学们参考。
一、两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。
例：已知方程 与 有相同的解，则a 、b 的值为 。
略解：由（1）和（3）组成的方程组⎩⎨⎧=-=+5235y x y x 的解是 ⎩⎨⎧-=+=21y x 把它代入(2)得 a=14；把它代入（4）得b=2。
方法：是找每个方程组中都是已知数的方程组成新的方程组，得到的解，即是相同的解，再代入另一个方程，从而求出参数的解。
二、根据方程组解的性质，求参数的值。
例2：m 取什么整数时，方程组的解是正整数？略解：由②得x=3y2×3y-my=6 y=m-66 因为y 是正整数，x 也是正整数所以6-m 的值为1、2、3、6；m 的值为0、3、4、5。
方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。
三、由方程组的错解问题，示参数的值。
例3：解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，本应解出⎩⎨⎧-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解⎩⎨⎧=-=22y x 试求a+b+c 的值。
方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而，求出参数的值。
8273=-⨯-⨯）（c 2-=c把⎩⎨⎧-==23y x 和⎩⎨⎧=-=22y x 代入到ax+by=2中，得到一个关于a 、b 的方程组。
（1） （2） ⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x （3） （4） ⎩⎨⎧=+=-1552by x y x ① ② ⎩⎨⎧=-=-0362y x my x322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩所以7254=-+=++c b a四、根据所给的不定方程组,求比值。
例4：求适合方程组⎩⎨⎧=++=-+05430432z y x z y x 求 z y x z y x +-++ 的值。
人教版七年级下册第八章含参二元一次方程组解法、同解、错解问题专题
含参二元一次方程组解法、同解、错解问题含参问题类型类型题1：含参问题构建二元一次方程组解方程例题1.若0)532(54=-++-+n m n m ，求()2n m -的值。
2.已知方程3)5()2()24(12=+----b a y b x a 是关于x、y的二元一次方程，求a与b的值。
3.已知与互为相反数，则=______，=________．4.已知2a y＋5b 3x 与b 2－4y a 2x 是同类项，那么x，y的值是()．学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容含参二元一次方程组解法、同解、错解问题教学目标1．掌握含参的二元一次方程组的同解、错解的解题方法2．掌握复杂的二元一次方程组的解法2．了解二元一次方程组的解有无数组解、唯一解与无解，会进行简单的求解二元一次方程组的灵活应用针对练习1.若｜x－2｜＋(3y＋2x)2＝0，则的值是．2.若x a+1y-2b与-x2-b y2的和是单项式，则a、b的值分别的（）A.a=2，b=-1B.a=2，b=1C.a=-2，b=1D.a=-2，b=-13.若单项式与是同类项，则，的值分别是多少4..若｜x－y－1｜＋(2x－3y＋4)2＝0，则x＝，y＝．5.若是关于，的二元一次方程，则（）A．，B．，C．，D．，类型题2：恒成立问题构建二元一次方程组解方程例题1.在方程(x＋2y－8)＋m(4x＋3y－7)＝0中，找出一对x，y值，使得m无论取何值，方程恒成立．2.在方程(a+6)x-6+(2a-3)y=0中，找出一对x，y值，使得a无论取何值，方程恒成立.类型题3：（新题型）含有三个未知数的方程组求比例例题1.已知满足方程组，求【学有所获】1）口述：2个未知数需要几个方程，3个未知数需要几个方程，n个未知数需要几个方程2）整体思想一般运用在哪些方面，试着自己归类总结。
针对练习1.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,且xyz≠0.(1)请用含z的代数式表示x、y，并求出x:y:z的值(2)你能求出的值。
二元一次方程同解、错解、参数问题
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二元一次方程组同解、错解、参数问题常见例题一、同解问题例1已知方程组3x -2y =4①mx +ny =7②与方程组2mx -3ny =19③5y -x =3④有相同的解，求m ,n 的值思路分析观察可知，方程①和方程④只含字母下x ,y ，可以将这两个方程联立组成新的方程组3x -2y =45y -x =3 进行求解，然后将所求的解，代入方程②和方程③，得到关于m ,n 的二元一次方程组，进而求出m ,n 的值参考解答解：解方程组3x -2y =45y -x =3，得x =2y =1由此可知，2m +n =74m -3n =19 解得m =4n =-1例2已知方程组3x -y =5①ax +by =6②与方程组ax -by =4③4x -7y =1④ 有相同的解，求a ,b 的值思路分析观察可知，方程①和方程④只含字母下x ,y ，可以将这两个方程联立组成新的方程组3x -y =54x -7y =1 进行求解，然后将所求的解，代入方程②和方程③，得到关于a ,b 的二元一次方程组，进而求出a ,b 的值★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★参考解答解：解方程组3x -y =54x -7y =1，得x =2y =1由此可知，2a +b =62a -b =4 解得a =52b =1方法点拨同解问题，先将只含x ,y 的方程联立求出x ,y 的值，再代入另外几个方程求出参数的值二、错解问题例3甲、乙同学在解方程组时，甲同学由ax +by =2①cx -y =-4②正确解出x =3y =-2 ，乙同学因把c 写错了解得x =-2y =2，求a +b +c 的值思路分析甲同学得到的是正确的解，可以代入原来的两个方程，而乙同学把c 写错，因此，乙同学的解只能代入方程①，进而列出方程组求出a ,b ,c 的值参考解答解：由题意得，3a -2b =23c +2=-4-2a +2b =2，解得a =4b =5c =-2∴a +b +c =7★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~例4甲乙两人同解方程组ax +5y =15①4x -by =-11②时，甲看错了方程①中的a ，解得x =-3y =-1 ，乙看错了方程②中的b ，解得x =5y =4 ，试求a 2022+(-b )2023的值思路分析甲同学看错了方程①中的a ,所以他的解只能代入方程②，而乙看错了方程②中的b ，因此，乙同学的解只能代入方程①，进而列出方程组求出a ,b ,c 的值参考解答解：解：由题意得，5a +20=25-12+b =-11，解得a =1b =1∴a 2022+(-b )2023=12022+(-1)2023=0方法点拨看错方程组中某个未知数的系数，所得的解是方程组中不含此系数的方程的解，故可把解代入不含此系数的方程中，构建新的方程求解三、参数问题例5若关于x ,y 的二元一次方程组x +y =5kx -y =9k 的解也是二元一次方程2x +3y =6的解，求k -12的算术平方根参考解答解：解方程组得，x =7k y =-2k，★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★∴2∙(7k )+3∙(-2k )=6解得k =34∴k -12=14=12例6若关于x ,y 的二元一次方程组2(x -1)-a (y +1)=64(x -1)+(y +1)=7 的解是整数，a 为正整数，求a 的的值及方程组的解参考解答解：令x -1=m ,y +1=n∴原方程组化为2m -an =64m +n =7 (α)解得m =6+7a2+4a n =-51+2a∵原方程组的解是正数∴m ,n 也为整数故，1+2a 是5的因数，而a 是正整数因此，1+2a =5即a =2∴m =2,n =-1∴原方程组的解为x =3y =-2方法点拨参数即常数，当方程组含参数时，把参数当成常数进行解方程，求出方程解后根据题意完成题目所求。
二元一次方程组含参题型-例题解析
含字母系数的一次方程组一、二元一次方程及二元一次方程的解 1．二元一次方程的概念 含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为1——“一次”．2．二元一次方程的一般形式二元一次方程的一般形式为：0ax by c ++=（0a ≠，0b ≠）3．二元一次方程的解使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解．二、二元一次方程组及二元一次方程组的解 1．二元一次方程组的概念注意：（1只有一元（不过一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）．如2631x x y =⎧⎨-=⎩也是二元一次方程组．（2）定义中“两个”的含义：二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数．2．二元一次方程组解的情况（1）在x 、y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ ①②中，1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 均为已知数，（1a 与1b 、2a 与2b 都至少有一个不等于0），则有：由21b b ⨯-⨯①②得：12212112a b a b x b c b c -=-（） 由21a a ⨯-⨯①②得：12211221a b a b y a c a c -=-（）当12210a b a b -≠时，方程组有唯一一组解；当12210a b a b -=，且21120b c b c -≠，12210a c a c -≠时，方程组无解； 当12210a b a b -=，且21120b c b c -=，12210a c a c -=时，方程组有无穷多组解； （2）二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的情况有以下三种：①当111222a b c a b c ==时，方程组有无数多解．（∵两个方程等效） ②当111222a b c a b c =≠时，方程组无解．（∵两个方程是矛盾的） ③当1122a b a b ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解：1221122121121221c b c b x a b a b c a c a y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩（这个解可用加减消元法求得）注意：（1）方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．（2）求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．一、一次方程（组）解的讨论【例1】 下列说法正确的是（ ）A ．二元一次方程只有一个解．B ．二元一次方程组有无数个解．C ．二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解．D ．二元一次方程组一定有解．【解析】略 【答案】C 例题精讲【例2】 不解方程组，判定下列方程组解的情况：①23369x y x y -=⎧⎨-=⎩；②23423x y x y -=⎧⎨-=⎩；③351351x y x y +=⎧⎨-=⎩【解析】如果在此我们仍然使用上面的结论判断，会不太方便，对于上面的结论，我们还可以这样记忆：1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 均不为0，那么上结论可这样记忆：当1122a b a b ≠时，方程组有唯一一组解（这个解可用加减消元法求得）； 当111222a b c a b c ==时，方程组有无穷多组解（因为两个方程等效）； 当111222a b c a b c =≠时，原方程组无解（因为两个方程是矛盾的）． 这个公式很常用！利用此结论会很快判断出结果：①123369-==-，方程组有无穷多组解；②213423-=≠-，方程组无解；③35≠-方程组有唯一解． 【答案】①123369-==-，方程组有无穷多组解；②213423-=≠-，方程组无解；③3535≠-方程组有唯一解．二、含字母系数的一次方程组1．根据方程解的具体数值来确定 【例3】 已知12x y =⎧⎨=⎩与3x y m =⎧⎨=⎩都是方程x y n +=的解，求m 与n 的值．【解析】12x y =⎧⎨=⎩是方程x y n +=的解可得3n =，则原方程为3x y +=，3x y m =⎧⎨=⎩是方程3x y +=的解可得33m +=，0m =． 【答案】0m =，3n =．【例4】 方程6ax by +=有两组解是22x y =⎧⎨=-⎩与18x y =-⎧⎨=-⎩，求2a b +的值．【解析】将22x y =⎧⎨=-⎩与18x y =-⎧⎨=-⎩代入6ax by +=可得22686a b a b -=⎧⎨--=⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，20a b +=【答案】0【例5】 如果二元一次方程20mx ny ++=有两个解是22x y =⎧⎨=⎩与11x y =⎧⎨=-⎩，那么下列各组中，仍是这个方程的解的是（ ） A ．35x y =⎧⎨=⎩B ．62x y =⎧⎨=⎩C ．53x y =⎧⎨=⎩D ．26x y =⎧⎨=⎩【解析】将22x y =⎧⎨=⎩与11x y =⎧⎨=-⎩代入20mx ny ++=可得3212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，原方程为312022x y -++=，检验选A ．【答案】A【例6】 写出一个以12x y =-⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组 ．【解析】此题答案不唯一，满足条件即可． 【答案】13x y x y +=⎧⎨-=-⎩【例7】 写出一个以23x y =⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组 ．【解析】本题答案不唯一，满足条件即可．【答案】51x y y x +=⎧⎨-=⎩【例8】 已知43x y =-⎧⎨=⎩是方程组12ax y x by +=-⎧⎨-=⎩的解，则6()a b += ．【解析】根据题意可得：431432a b -+=-⎧⎨--=⎩，由431a -+=-得：1a =，由432b --=得：2b =-，6()1a b +=．【答案】1【例9】 已知12x y =-⎧⎨=⎩是方程组12x ay bx y +=-⎧⎨-=⎩的解，则a b += ．【解析】将12x y =-⎧⎨=⎩代入12x ay bx y +=-⎧⎨-=⎩可得0a =，4b =-，那么0(4)4a b +=+-=-．【答案】4-【例10】 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩的解，求()m n +的值．【解析】把2,1x y ==代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得()22112211m n ⎧⨯+-⨯=⎪⎨+=⎪⎩ 由①得1m =- 由②得0n =所以当1m =-，0n =时，1m n +=-．【答案】1-【例11】 已知方程组2421mx y n x ny m +=⎧⎨-=-⎩的解是11x y =⎧⎨=-⎩，求m 、n 的值．【解析】将11x y =⎧⎨=-⎩代入2421mx y n x ny m +=⎧⎨-=-⎩可得2421m nn m -=⎧⎨+=-⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩．【答案】31m n =⎧⎨=⎩【例12】 关于x ，y 的方程组3205319mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，求m ，n 的值．【解析】将11x y =⎧⎨=-⎩代入3205319mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩可得3205319m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩【答案】23m n =⎧⎨=⎩【例13】若方程组26ax yx by+=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=-⎩，则a b+=．【解析】略【答案】0a b+=【例14】若方程组2x y bx by a+=⎧⎨-=⎩的解是1xy=⎧⎨=⎩，那么a b-=．【解析】略【答案】1【例15】若关于x y，的方程组2x y mx my n-=⎧⎨+=⎩的解是21xy=⎧⎨=⎩，则m n-为（）A．1 B．3 C．5 D．2 【解析】略【答案】D【例16】明明和亮亮二人解关于x、y的方程组278mx bycx y+=⎧⎨-=⎩，明明正确地解得32xy=⎧⎨=-⎩，而亮亮因把c看错了，解得22xy=-⎧⎨=⎩．请问：亮亮把c看成了多少？【解析】根据题意，分别把32xy=⎧⎨=-⎩和22xy=-⎧⎨=⎩代入方程2mx by+=，得322222m bm b-=⎧⎨-+=⎩，解得45mb=⎧⎨=⎩把3x=，2y=-代入方程78cx y-=，得2c=-．假设亮亮把c看成了d，把2x=-，2y=代入方程78dx y-=，得11d=-．【答案】11-【例17】已知方程组278ax bymx y+=⎧⎨-=⎩的解应为32xy=⎧⎨=-⎩，由于粗心，把m看错后，解方程组得22xy=-⎧⎨=⎩，则a b m⋅⋅的值是．【解析】将32xy=⎧⎨=-⎩，22xy=-⎧⎨=⎩代入2ax by+=可得222322a ba b-+=⎧⎨-=⎩，解得45ab=⎧⎨=⎩32x y =⎧⎨=-⎩代入78mx y-=可得2m=-，45(2)40a b m⋅⋅=⨯⨯-=-【例18】 孔明同学在解方程组2y kx by x=+⎧⎨=-⎩的过程中，错把b 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩，又已知13k b =+，则b 的正确值应该是 ．【解析】把12x y =-⎧⎨=⎩代入6y kx =+可得4k =把4k =代入得11b =-【答案】11-【例19】 已知甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩，如果甲看错了方程①中的a ，得方程组的解为31x y =-⎧⎨=⎩，而乙看错方程②中的b ，得到方程组的解是54x y =⎧⎨=⎩，请求120082009()10a b +-的值． 【解析】把31x y =-⎧⎨=⎩代入42x by -=-,可得10b =-把54x y =⎧⎨=⎩代入515ax y +=可得1a =-把1a =-， 10b =-代入20082009()2a += 【答案】2【例20】 甲、乙两人同时解方程组85mx ny mx ny +=-⎧⎨-=⎩①②由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程中②的n ，得到的解是25x y =⎧⎨=⎩，试求正确m n ，的值． 【解析】由题意得：425258m n m n -=⎧⎨+=-⎩解方程组可得：382112m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【答案】382112m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【例21】 小刚在解方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，本应解出32x y =⎧⎨=-⎩由于看错了系数c ，而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩求a b c ++的值．【解析】由题意得：322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩解得：45a b =⎧⎨=⎩把32x y =⎧⎨=-⎩代入方程78cx y -=得：2c =-∴7a b c ++=【答案】72．根据方程解的数量关系来确定【例22】 关于x ，y 的二元一次方程组42132x y mx y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩的解中x 与y 的值相等，试求m 的值．【解析】根据题意可得x y =，代入方程组可得42132x x mx x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得122x m ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 【答案】2【例23】 若方程组435(1)8x y kx k y +=⎧⎨--=⎩的解中x 比y 的相反数大1，求k 的值．【解析】根据题意可得1x y =-+，代入方程组可得4(1)35(1)(1)8y y k y k y -++=⎧⎨-+--=⎩，解得13y k =-⎧⎨=⎩．【答案】3【例24】 若关于x y ，的二元一次方程组2351x y mx y m +=⎧⎨+=-⎩的解x 与y 的差是7，求m 的值．【解析】解方程组2351x y m x y m +=⎧⎨+=-⎩的解为：3221x m y m =--⎧⎨=+⎩代入7x y -=得：2m =-【例25】 当1x =时，关于x ，y 的二元一次方程组331ax y x by -=⎧⎨-=-⎩解中的两个数互为相反数，求a ，b ．【解析】x ，y 互为相反数，当1x =，则1y =-，代入方程组可得2a =，4b =-． 【答案】2a =，4b =-．【例26】 二元一次方程组31242x y x ay +=⎧⎨+=⎩的解中x 与y 互为相反数，求a 的值．【解析】∵x 与y 互为相反数 ∴0x y +=解0312x y x y +=⎧⎨+=⎩得：66x y =⎧⎨=-⎩把方程组的解代入412x ay +=得2a =【答案】2【例27】 k 为何值时，关于x y ，的方程组35223x y k x y k-=+⎧⎨-=⎩的解的和为20．【解析】这是含有字母的二元一次方程组，求解此类题需将字母看作常数求解方程组的解，然后再根据题目条件求出字母的值．解：解方程组35223x y k x y k -=+⎧⎨-=⎩得：264x k y k =-⎧⎨=-⎩又因为：20x y +=，即：31020k -=所以：10k =．【答案】10【例28】 已知方程组325(1)7x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩的解x y ，，其和1x y +=，求k 的值． 【解析】解3251x y x y -=⎧⎨+=⎩得：25y =-因为(1)7kx k y +-=，所以7kx ky y +-= 所以()7k x y y +-= 把21,5x y y +==-代入()7k x y y +-=得：335k =【答案】335【例29】 已知方程组3542x y m x y m +=-⎧⎨+=⎩中未知数和等于1-，则m = ．【解析】方程组可以简化为3241y m y m -+=-⎧⎨-+=⎩；解之得到3m =-．【答案】3-3．根据方程解的个数情况来确定【例30】 m ，n 取何值时，方程组2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩（1）有唯一解？（2）没有解？（3）有无穷多组解？ 【解析】由①可得253x y =-③，代入②可得(6)10m y n -=-④当60m -≠时，④有惟一解，进而原方程组有惟一一组解；当60m -=时，100n -≠时，④无解，进而原方程组无解；当60m -=时，100n -=时，④无穷个解，进而原方程有无穷组解．【答案】（1）当60m -≠时，原方程组有惟一一组解；（2）当60m -=时，100n -≠时，原方程组无解； （3）当60m -=时，100n -=时，原方程有无穷组解．【例31】 已知关于x 、y 的方程组2122(1)3ax y ax a y +=+⎧⎨+-=⎩，分别求出当a 为何值时，方程组的解为：（1）惟一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解．【解析】由已知方程组可得：(2)(1)(2)(2)2(2)(1)2a a x a a a a y a -+=-+⎧⎨-+=-⎩，（1）当(2)(1)0a a -+≠，即2a ≠且1a ≠-时，方程有惟一解，方程组也有惟一解；（2）当(2)(1)0a a -+=，且(2)(2)a a -+与2a -中至少有一个不为零时，方程无解，因此当1a =-时，原方程无解；（3）当(2)(1)(2)(2)20a a a a a -+=-+=-=，即2a =时，原方程组有无穷多组解．【答案】（1）当2a ≠且1a ≠-时，方程组有惟一解；（2）当1a =-时，原方程无解；（3）当2a =时，原方程组有无穷多组解．【例32】 选择一组a ，c 值使方程组572x y ax y c +=⎧⎨+=⎩，①有无数多解；②无解；③有唯一的解．【解析】略【答案】①当10a =，14c =时，方程组有无数多解；②当10a =，14c ≠时，方程组无解； ③当10a ≠时，方程组有唯一的解．【例33】 当m n ，为何值时，方程组(21)4mx y nm x y -=-⎧⎨--=-⎩（1）无解；（2）惟一解；（3）有无穷多解．【解析】②－①，得(1)4m x n -=-（1）当1040m n -=-≠，，即14m n =≠，时，原方程组无解； （2）当10m -≠，即1m ≠时，原方程组有惟一解； （3）当10m -=，40n -=时，即14m n ==，时，原方程组有无穷多个解．【答案】（1）当14m n =≠，时，原方程组无解； （2）当1m ≠时，原方程组有惟一解； （3）当14m n ==，时，原方程组有无穷多个解．【例34】 当m n ，为何值时，关于x y ，的方程组2235mx y nx y n -=⎧⎨+=+⎩（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解．【解析】（1）由223m ≠-，得：43m ≠-． ∴当43m ≠-，n 为一切有理数时，方程组有唯一解．（2）由2235m n n =-=+，得4,23m n =-=-． ∴当4,23m n =-=-时，方程组有无数解．（3）由2235m n n =-≠+，得4,23m n =-≠-． ∴当4,23m n =-≠-时，方程组无解．【答案】（1）当43m ≠-，n 为一切有理数时，方程组有唯一解．（2）当4,23m n =-=-时，方程组有无数解．（3）当4,23m n =-≠-时，方程组无解．【例35】k 为何值时，方程组22342kx y x y +=⎧⎨-=⎩无解？【解析】根据12a a =12b b ≠12c c 时，方程组无解，所以32k =- 【答案】32-【例36】 若关于xy 的方程组322(1)mx y x m y m+=⎧⎨+-=⎩有无穷多组解，求m 的值．【解析】∵方程组有无穷多组解 ∴2m =31m -=2m 解得：2m =（舍），2m =- ∴m 的值是2-．【答案】2-【例37】 已知方程组354x my x ny +=⎧⎨+=⎩无解，m 和n 是绝对值小于10的整数，求m 和n 的值．【解析】因为方程组无解，所以3m n =，45m n ≠．因为||3||10m n =<，所以101033n -<<，即3n =-，2-，1-，0，1，2，3；相应的9m =-，6-，3-，0，3，6，9，所以（m ，n ）=（9-，3-），（6-，2-），（3-，1-），（0，0），（3，1），（6，2），（9，3）．【答案】（m ，n ）=（9-，3-），（6-，2-），（3-，1-），（0，0），（3，1），（6，2），（9，3）．【例38】 如果关于x 、y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，那么a = ．【解析】注意方程组无解的条件，根据111222a b c a b c =≠时，方程组无解可得出a 的值． 【答案】6-【例39】 m ，n 取何值时，方程2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩有无穷多组解？没有解？有唯一解？ 【解析】由方程组可得：(6)10m y n -=-，当60m -=，100n -=时，即6m =，10n =方程组有无穷多组解；当60m -=，100n -≠时，即6m =，10n ≠方程组无解； 当60m -≠，100n -≠时，即6m ≠，10n ≠方程组有唯一解．【答案】6m =，10n =方程组有无穷多组解；6m =，10n ≠方程组无解； 6m ≠，10n ≠方程组有唯一解．4．根据方程同解的情况来确定【例40】 已知方程组2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩和方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，求3(2)a b +的值．【解析】由已知，两个方程组有相同的解，所以方程256x y +=-和3516x y -=有相同的解，故将此两个方程联立，通过解此方程组就可求出两个方程组的解，又因为此解满足方程4ax by -=-和8bx ay +=-，故可得关于,a b 的二元一次方程组，通过解该方程组就可求出,a b 的值，从而可求3(2)a b +的值．解：将256x y +=-和3516x y -=联立，得2563516x y x y +=-⎧⎨-=⎩①+②，得510x =，∴2x =把2x =代入①，得2256y ⨯+=-，∴2y =-． ∴22x y =⎧⎨=-⎩．将22x y =⎧⎨=-⎩．代入方程4ax by -=-和8bx ay +=-，得224228a b b a +=-⎧⎨-=-⎩，即24a b a b +=-⎧⎨-=⎩解得13a b =⎧⎨=-⎩．当1,3a b ==-时，333(2)(23)(1)1a b +=-=-=-故代数式3(2)a b +的值为－1．解决此题的关键是深刻理解二元一次方程组的解的概念，二元一次方程组的解就是方程组中两个二元一次方程的公共解．【答案】1-【例41】 关于x y ，的方程组354522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与2348x y ax by +=-⎧⎨-=⎩有相同的解，则()b a -= ．【解析】本题注意方程组的重新组合，把只含有x y ，的方程放在一起组成方程组可解出x y ，的值．再把x y ，的值代入含有a b ，的方程可得到关于a b ，的方程组．可求得12x y =⎧⎨=-⎩，进而求得23a b =⎧⎨=⎩．所以()8b a -=-．【答案】8-【例42】 已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩与2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a b ，的值． 【解析】解方程组5325x y x y +=⎧⎨-=⎩得：12x y =⎧⎨=-⎩把12x y ==-，分别代入方程5451ax y x by +=+=，可得：142a b ==， 【答案】142a b ==，【例43】 已知x ，y 的方程组241ax by x y +=⎧⎨+=⎩与3(1)3x y bx a y -=⎧⎨+-=⎩的解相同，求a ，b 值．【解析】联立1x y +=与3x y -=可得21x y =⎧⎨=-⎩，将其代入其它两个方程24(1)3ax by bx a y +=⎧⎨+-=⎩，解得64a b =⎧⎨=⎩．【答案】64a b =⎧⎨=⎩【例44】 如果二元一次方程组4x y ax y a +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3528x y a --=的一个解，那么a 的值是？【解析】解方程组⎧⎨⎩2a =【答案】2【例45】 已知关于x y ，的方程组239x y mx y m +=⎧⎨-=⎩的解也是方程3217x y +=的解，求m ．【解析】解方程组23,9x y m x y m +=⎧⎨-=⎩得：72x my m =⎧⎨=-⎩把72x my m =⎧⎨=-⎩代入3217x y +=得：1m =【答案】1【例46】 若关于x y ，的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为？【解析】由方程①+②可得：7x k =①-②可得：2y k =-把7x k =，2y k =-代入方程236x y +=得：34k =【答案】34【例47】 已知关于x ，y 的二元一次方程(1)(2)520a x a y a -+++-=，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解． 【解析】解法一：由于a 取不同的值，方程都有一个相同的解，所以可以取1a =，1a =-代入原方程，可以得到方程组：330270y x y +=⎧⎨-++=⎩，解得公共解为：31x y =⎧⎨=-⎩；解法二：方程有一个公共解，说明方程有一种形式，关于a 的方程有无数解，将方程变形得：(2)(25)0a x y x y +----=，此方程有无数解，故：20250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得公共解为：31x y =⎧⎨=-⎩． 【答案】31x y =⎧⎨=-⎩5【例48】 a 【解析】把a 作为已知数，解这个方程组得31325312a x a y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ∵00x y >⎧⎨>⎩，∴3130253102aa -⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解不等式组得313315a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解集是6111053a <<【答案】111053a <<【例49】 m 取何整数值时，方程组2441x my x y +=⎧⎨+=⎩的解x y ，都是整数？ 【解析】把m 作为已知数，解方程组得81828x m y m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵x 是整数，∴8m -取8的约数1248±±±±，，，． ∵y 是整数，∴8m -取2的约数12±±，． 取它们的公共部分，812m -=±±，． 解得97106m =，，，． 经检验97106m =，，，时，方程组的解都是整数． 【答案】97106m =，，，【例50】 已知方程组51x my x y +=⎧⎨+=⎩有正整数解，那么正整数m 的值为 ．【解析】消去x 得到方程(1)6m y +=，解得61y m =+． 因此12m +=或13m +=；故1m =或2m =．【答案】1m =或2m =【例51】 要使方程组⎧⎨⎩有正整数解，求整数a 的值．【解析】解方程组2x x ⎧⎨-⎩∵∴4a +的值可以为：124816，，，，∴a 的值为：320412--，，，，． 【答案】320412--，，，，【例52】 已知m 为正整数，二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，即x y ，均为整数，则2m = ．【解析】消去y 得到(3)10m x +=；因为方程有整数解，故10(3)3x m m =≠-+，代入第二个方程得到153y m =+； 为使103m +为整数，且m 是正整数，只能取2m =或7； 为使153m +为整数，且m 是正整数，只能取2m =或12； 为使103m +和153m +都是整数，且m 是正整数，取2m =，则24m =． 【答案】4【例53】 已知关于x y ，的方程组： 1 1 1 x by y ax bx ay -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩有解，试证明：221a b ab a b ++++=． 【答案】由①＋②×b ，得(1)1ab x b -=+，由①×a ＋②，得(1)1ab y a -=+．当1ab =时，(1)1ab y a -=+无解，即方程组无解；当1ab ≠时，则11bx ab +=-，11a y ab+=-，代入③化简即可得到221a b ab a b ++++=．。
二元一次方程含参问题
二元一次方程〔组〕含参问题二元一次方程〔组〕中经常会出现含有参数的题目,在解决这类问题之前,我们首先要搞清楚什么是未知数什么是参数二元一次方程〔组〕中的“元〞就是未知数的意思,所谓的“二元〞就是两个未知数,我们常用x 、y 、z来表示.一般来说,初中阶段提及的整式方程或分式方程中, 除了未知数以外的字母我们一般把它看作常数 〔即 参数〕,我们常用 m k 等表示.在二元一次方程〔组〕中含参问题主要包括以下几种：1.根据定义求参数什么是一元二次方程含两个未知数且未知项的最高次数是1的方程.即同时满足以下几个条件的方程就是二元一次方程：①含两个未知数；②未知项的最高次数是1;③等号的左边和右边都是整式.3和方程组3x 2y 11的解相同,求a 、b 值. 12ax 3by 33.用参数表示方程组的解类问题x 2y 3k方程组y 的解满足x+y=2,那么k=x 2y km例题1、假设方程2x 2n m y 1 2是二元一次方程,那么 mn=例题2、关于x 、y 的二元一次方程2 m n l 2 n 3 y 6, 那么 m=备注：除了要满足次数为 1 ,还要满足系数不能为0. 2.同解类问题什么是同解两个方程组一共含有四个元二次方程,这四个方程的解相同. 例：x 、y 的方程组 2x 3y ax by4.错解类问题遇到错解类问题怎么处理不要讲解代入看错的方程里,代入另外一个方程中去.例：小明和小红同解一个二L次方程组ax b y 16⑴,小明把方程〔1〕抄错,求得解为x 1,小红bx ay 1〔2〕y 3把方程〔2〕抄错,求得解为x 3 ,求a、b的值.y 25.整体思想类在做一元二次方程组的题目前,先要观察方程组的特点,不要急于直接用参数表示未知数,看一下将两个方程相加或者相减能不能得到我们需要的结论.x 2y k 5例：方程组y的解互为相反数,求k的值.2x y 5k 1。
【初一】二元一次方程含参问题补充资料
多元一次方程&含参问题补充资料一、 选择题：1. 已知方程组⎩⎨⎧−=−=+1242m ny x n y mx 的解是⎩⎨⎧==11y x ，那么m 、n 的值是（ ）A. ⎩⎨⎧−==11n mB. ⎩⎨⎧==12n mC. ⎩⎨⎧==31n mD. ⎩⎨⎧−==13n m 2. 若方程组2448x my x y +=⎧⎨+=⎩的解为正整数，且m 的值为整数，则m 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6D ．4− 3. 已知⎩⎨⎧−=−=23y x 是方程组⎩⎨⎧=−=+21by cx cy ax 的解，则a 、b 间的关系是（） A ．194=−a bB ． 123=+b aC ． 194−=−a bD ． 149=+b a 二、填空题： 1. 若=1=2x y ⎧⎨−⎩是关于x 和y 的二元一次方程=1ax y +的解，则a 的值 ．2. 已知方程组25264x y ax by +=−⎧⎨−=−⎩和方程组35368x y bx ay −=⎧⎨+=−⎩的解相同，则 ． 3. 若方程组2(1)3431kx k y x y +−=⎧⎨+=⎩ 的解x 和y 互为相反数，则k 的值为 ． 4. 已知⎩⎨⎧−==12y x 是方程组⎩⎨⎧=−=+62by ax by ax 的解，则b a 32+的值为______. 5. 若关于x 、y 的方程组()56m n x y nx my ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，求m 、n 的值_________． 6. 如果方程组216x y x y +=*⎧⎨+=⎩的解为6x y =⎧⎨=Ω⎩，那么被“*”“Ω”遮住的两个数分别是________． 7. 若关于，的方程组42352kx y x y +=⎧⎨−=⎩无解，则系数的值为________.2a +b ()2017=x y k三、解答题：1. 已知=3=2x y ⎧⎨⎩与25x y =−⎧⎨=−⎩都是方程=y kx b +的解，则k 与b 的值．2. 若关于x 、y 的方程组()56m n x y nx my ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，求m 、n 的值.3. 若关于x ，y 的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨−=⎩的解也是二元一次方程2x +3y =6的解，求k 的值.4.5.。
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二元一次方程（组）含参问题 二元一次方程（组）中经常会出现含有参数的题目，在解决这类问题之前，我们首先要搞清楚什么是未知数什么是参数
二元一次方程（组）中的“元”就是未知数的意思，所谓的“二元”就是两个未知数，我们常用x 、y 、z 来表示。
一般来说，初中阶段提及的整式方程或分式方程中，除了未知数以外的字母我们一般把它看作常数（即参数），我们常用m 、k 等表示。
在二元一次方程（组）中含参问题主要包括以下几种：
1.根据定义求参数
什么是一元二次方程含两个未知数且未知项的最高次数是1的方程。
即同时满足以下几个条件的方程就是二元一次方程：①含两个未知数；②未知项的最高次数是1；③等号的左边和右边都是整式。
例题1、若方程21221=++-m n m y x
是二元一次方程，则mn=______.
例题2、已知关于x 、y 的二元一次方程()() ,6342232=++---n m y n m 则m=_______. 备注：除了要满足次数为1，还要满足系数不能为0.
2. 同解类问题
什么是同解两个方程组一共含有四个一元二次方程，这四个方程的解相同。
例：已知x 、y 的方程组⎩⎨
⎧-=+=-1332by ax y x 和方程组⎩⎨⎧=+=+3
321123by ax y x 的解相同，求a 、b 值。
3.用参数表示方程组的解类问题
已知方程组⎩⎨⎧=+=-k
y x k y x 232的解满足x+y=2，则k=________.
4.错解类问题
遇到错解类问题怎么处理不要讲解代入看错的方程里，代入另外一个方程中去。
例：小明和小红同解一个二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+)2(1)1(16ay bx by ax ，小明把方程（1）抄错，求得解为⎩⎨⎧=-=3
1y x ，小红
把方程（2）抄错，求得解为⎩
⎨
⎧==23y x ，求a 、b 的值。
5. 整体思想类 在做一元二次方程组的题目前，先要观察方程组的特点，不要急于直接用参数表示未知数，看一下将两个方程相加或者相减能不能得到我们需要的结论。
例：已知方程组⎩⎨⎧+=++=+15252k y x k y x 的解互为相反数，求k 的值。