周期信号的合成与分解
周期信号分解与合成的教学演示程序
文 章 编 号 ： ０ ３５ ５ （ ０ ０ ０ — ０ ４ ０ １０ －８０ ２ １ ）６ห้องสมุดไป่ตู้ ０—３
周期 信 号分解 与合 成 的教 学演 示 程序
Ｄｅ ｏ Ｐｒ ｇ ａ ｏ ｒ ｏ ｉ ｎｔｎ ｏ ｓ Ｓ ｇ ａ ｃ ｍ ｐｏ ｉｉ ｎ ａ ｄ Ｓ ｎｔ ｅ ｉ ｍ ｏ ｒ ｍ ｆ Ｐｅ ｉ ｄ ｃ Ｃｏ ｉ ｕ ｕ ｉ ｎ ｌＤｅ ｏ ｓ ｔｏ ｎ ｙ ｈ ｓ ｓ
ｐ ｏ ｒ ｍｍｅ ｓｎ ＡＴＬＡＢ ｓ ｏ ｒ ａ ｄ ａ ｔ ｇ ｓｉ ｅ ｃ ｉ ｇ ｐ ｒｏ ｉ ｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ｉ ｎ ｌ ｅ ｏ ｏ ｉ ｏ ｎ ｙ ｔ ｅ ｉ． ｒｇａ ｄｕ ｉｇＭ ｈ ｗｓｇ ｅ ｔ ａ ｖ ｎ ａ ｅ ｎ ｔ ａ ｈ ｎ ｅ ｉｄ ｃ ｏ ｔ ｏ ｓｓｇ ａ ｃ ｍｐ ｓｔ ｎ ａ ｄ ｓ ｎ ｈ ｓｓ ｎ ｄ ｉ ＫＥＹＷ ＯＲＤＳ ｓｇ ａ ｅ ｏ ｏ ｉ ｏ ｎ ｙ ｔ ｅ ｉ ，ｄ ｍｏ ｐ ｏ ｒ ｍ ， Ｍ ＡＴＬＡＢ，ＧＵＩｐ ｏ ｒ ｍｍｉ ｇ ｉ ｎ ｌｄ ｃ ｍｐ ｓｔ ｎ ａ ｄ ｓ ｎ ｈ ｓｓ ｉ ｅ ｒｇａ ｒｇａ ｎ
金 波
（ 长江大 学 电子信 息 学院 湖 北荆 州
４４ ２ ） ３ ０ ３
【 摘 要】为 了形象地呈现周期连续信号分解为若干谐波成分 或由不 同的谐波合成周期信号这一过程，采用
ＭＡＴＬ ＡＢ数值 计算和 ＧＵＩ 程序设 计 的方 法和技 巧 ，编写 了其 图形用 户界 面程序 。通 过 实例 演 示，特 别是 能对
任意周期 信 号的分解和合 成 ，验证 了教 学演示程 序 的正确 性 并在 教 学 中的有效作 用 。通 过观察 信号分 解和合 成 的过程、周 期信号 的对称性 与谐波成分 的关 系 ， 加深 了对周 期连续 信号分 解 与合成 的理 解 。 示 了用 ＭＡＴ ＡＢ 展 Ｌ 编 写周期 连续信 号分解 与合 成的教 学演示 程序 的优 点 。
周期信号的分解与合成
T
f (t) 1
0
T
t
ak
2 T
T
2 T
f (t ) cos (k 0t)d t = 0
2
1
bk
2 T
T 2
T 2
f
(t ) sin(k0t ) dt
4 T
T
2 f (t ) sin(k0t ) dt 0
0
奇函数：直流分量和余弦项为零，正弦项不为零。
周期信号对称性与傅里叶系数的关系
周期信号对称性与傅里叶系数的关系
（3）f(t)为半波镜像信号
f (t)
f (t ) f t T 2
波形移动T/2后与原波形镜像对称
T
OT T
t
2
f(t)的傅氏级数中，仅含有奇次谐波，偶次谐波为零，即：
a0 a2 a4 0 b2 b4 0
周期信号对称性与傅里叶系数的关系
k 1
将上式同频率的正弦和余弦项合并，可写为：
其中
f (t) A0 A1 cos(0t 1 ) A2 cos(20t 2 )
f (t) A0 Ak cos(k0t k )
k 1
A0 a0
Ak
a
2 k
bk2
k
arctan
bk ak
周期信号用余弦形式的傅里叶级数表示
f (t) A0 Ak cos(k0t k )
例2求周期锯齿波的三角形式傅里叶级数展开式
f
(t)
A T
t
T 2
t
T 2
f(t)
A
2
T
0
解：
0，其他
T 2
TT
2
t
A
【精品】信号实验三非正弦周期信号的分解与合成
【精品】信号实验三非正弦周期信号的分解与合成实验目的：1. 学习和掌握非正弦周期信号的分解与合成方法；2. 熟练掌握信号周期、基波、谐波等概念；3. 了解非正弦周期信号的傅里叶级数展开式。
实验原理：1. 周期信号的基波和谐波周期信号可以分解为基波和谐波的叠加。
其中，基波是最小的周期信号，而谐波是基波的倍数周期信号。
如图1所示，对于一个周期为T的信号，其基波周期为T，而谐波周期为T/2、T/3、T/4……，其幅度和相位与基波不同。
2. 非周期信号的傅里叶展开非周期信号可以用傅里叶级数展开。
傅里叶级数展开的基本思想是：将一个周期为T 的非周期信号f(t)看成是周期为T的周期信号F(T)的一个周期割，由此求出周期信号F(T)的傅里叶系数，然后再将傅里叶系数代入傅里叶级数公式中，即可得到非周期信号的傅里叶级数展开式。
傅里叶级数展开式的形式为：其中，a0为零频率分量（直流分量），ak和bk分别为正频率和负频率分量，ω0=2π/T 为基波角频率，k=1,2,3…为谐波次数，T为周期。
实验步骤：1. 按照图2所示电路连接好实验仪器，并将三角波信号和方波信号的频率分别调至5kHz和3kHz左右。
2. 将三角波信号和方波信号通过级联的带通滤波器，分别得到它们的基波和谐波分量。
3. 观察并记录各个分量的幅度和相位，并可根据公式（1）计算出各傅里叶系数。
4. 将所有分量（包括基波和谐波）相加合成为一个信号，并用示波器观察合成信号与源信号的相似程度以及合成误差大小。
5. 重复以上步骤，将三角波信号和方波信号的频率调至不同值，比较不同频率下信号分解和合成的效果。
实验结果：三角波信号分解得到的分量幅度和相位见表1，方波信号分解得到的分量幅度和相位见表2。
表1 三角波信号的基波和谐波分量的幅度和相位2. 将三角波信号和方波信号的基波和谐波分量相加，合成原始信号，并与源信号比较，结果见图3和图4。
图3 三角波信号分解与合成示波图三角波信号合成误差为0.58%左右，方波信号合成误差为2.13%左右。
周期信号波形的合成和分解
《数据采集与处理系统》实验指导教程
实 验 步 骤 及 内 容
图1 程序窗口
《数据采集与处理系统》实验指导教程
实 验 步 骤 及 内 容
图 2 前面板
《数据采集与处理系统》实验指导教程
实验过程中，将实验结果记录在下表：
实 验 结 果
信号1
信号2
信号3
公式表 达式
滤波器
信号源
类 型
频统》实验指导教程
《数据采集与处理系统》实验指导教程
实 验 原 理 提 示
创建一个VI程序，程序中需要使用函数 信号发生器，波形图控件、幅度谱和相位 谱函数以及加法函数，此VI要实现的功能是 ：首先创建三个信号发生器，并为每个信 号函数设置不同的、类型、频率、幅值。 通过加法函数将三个正弦波形合成一个波 形并输入到合成波形图的显示控件中，同 时通过FFT运算，得到合成波形的频谱图， 最后，经滤波器后，得到滤波后的图形， 通过对公式以及滤波器的不同设置，观察 各种波形的合成与分解结果。
《数据采集与处理系统》实验指导教程 —— Labview的设计与应用
周维龙 湖南工业大学电气工程学院
周期信号波形的合成和分解
提 纲
1
实验要求
2. 3.
4. 5 6.
实验原理提示
实验仪器和设备
实验步骤及内容 实验结果
实验报告要求
《数据采集与处理系统》实验指导教程
实 验 要 求
熟悉信号分析与处理FFT、滤波器 、公式运算器的使用。
《数据采集与处理系统》实验指导教程
实 验 仪 器 和 设 备
计算机1台，虚拟实验平台 1套， 打印机 1台。
《数据采集与处理系统》实验指导教程
实 验 步 骤 及 内 容
信号的分解与合成实验报告
信号的分解与合成实验报告一、实验目的本次实验的主要目的是深入理解信号的分解与合成原理，通过实际操作和观察，掌握信号在时域和频域的特性，以及如何将复杂信号分解为简单的基本信号，并重新合成原始信号。
二、实验原理1、信号的分解任何周期信号都可以用一组正弦函数和余弦函数的线性组合来表示，这就是傅里叶级数展开。
对于非周期信号，可以通过傅里叶变换将其表示为连续频谱。
2、信号的合成基于分解得到的各个频率成分的幅度和相位信息，通过逆过程将这些成分相加，可以合成原始信号。
三、实验设备与环境1、实验设备信号发生器示波器计算机及相关软件2、实验环境安静、无电磁干扰的实验室环境四、实验内容与步骤1、产生周期信号使用信号发生器产生一个周期方波信号，设置其频率和幅度。
2、观察时域波形将产生的方波信号输入示波器，观察其时域波形，记录波形的特点，如上升时间、下降时间、占空比等。
3、进行傅里叶级数分解通过计算机软件对观察到的方波信号进行傅里叶级数分解，得到各次谐波的频率、幅度和相位信息。
4、合成信号根据分解得到的谐波信息，在计算机软件中重新合成信号，并与原始方波信号进行比较。
5、改变信号参数改变方波信号的频率和幅度，重复上述步骤，观察分解与合成结果的变化。
6、非周期信号实验产生一个非周期的脉冲信号，进行傅里叶变换和合成实验。
五、实验结果与分析1、周期方波信号时域波形显示方波具有陡峭的上升和下降沿，占空比固定。
傅里叶级数分解结果表明，方波包含基波和一系列奇次谐波，谐波的幅度随着频率的增加而逐渐减小。
合成的信号与原始方波信号在形状上基本一致，但在细节上可能存在一定的误差，这主要是由于分解和合成过程中的计算精度限制。
2、改变参数的影响当方波信号的频率增加时，谐波的频率也相应增加，且高次谐波的相对幅度减小。
幅度的改变主要影响各次谐波的幅度，而对频率和相位没有影响。
3、非周期脉冲信号傅里叶变换结果显示其频谱是连续的，且在一定频率范围内有能量分布。
实验四、信号的分解与合成实验实验报告（报告人09光信2）
实验四、信号的分解与合成实验实验报告（报告⼈09光信2）实验四信号的分解与合成实验报告⼀、实验⽬的1、进⼀步掌握周期信号的傅⾥叶级数。
2、⽤同时分析法观测锯齿波的频谱。
3、全⾯了解信号分解与合成的原理。
4、掌握带通滤波器的有关特性测试⽅法及其选频作⽤。
5、掌握不同频率的正弦波相位差是否为零的鉴别和测试⽅法（李沙育图形法）。
⼆、实验原理任何电信号都是由各种不同频率、幅度和初相的正弦波叠加⽽成的。
对周期信号由它的傅⾥叶级数展开式可知，各次谐波为基波频率的整数倍。
⽽⾮周期信号包含了从零到⽆穷⼤的所有频率成分，每⼀频率成分的幅度均趋向⽆限⼩，但其相对⼤⼩是不同的。
通过⼀个选频⽹络可以将信号中所包含的某⼀频率成分提取出来。
对周期信号的分解，可以采⽤性能较佳的有源带通滤波器作为选频⽹络。
若周期信号的⾓频率0w ，则⽤作选频⽹络的Ｎ种有源带通滤波器的输出频率分别是0w 、02w 、03w 、04w 、05w ．．．．0N w ，从每⼀有源带通滤波器的输出端可以⽤⽰波器观察到相应谐波频率的正弦波，这些正弦波即为周期信号的各次谐波。
把分离出来的各次谐波重新加在⼀起，这个过程称为信号的合成。
因此对周期信号分解与合成的实验⽅案如图２－７－１所⽰。
本实验中，将被测锯齿波信号加到分别调谐于其基波和各次谐波频率的⼀系列有源带通滤波器电路上。
从每⼀有源带通滤波器的输出端可以⽤⽰波器观察到相应频率的正弦波。
本实验所⽤的被测周期信号是１００Ｈｚ的锯齿波，⽽⽤作选频⽹络的７种有源带通滤波器的输出频率分别是１００Ｈｚ、２００Hz 、300Hz 、400Hz 、500Hz 、600Hz 、700Hz ，因⽽能从各有源带通滤波器的两端观察到基波和各次谐波。
按照锯齿波的傅⾥叶级数展开式如下所⽰：111111211111f(t)=[sin()sin(2)sin(3)sin(4)sin(5)sin(6)....]23456w t w t w t w t w t w t -+-+-+∏可知，锯齿波的1~7次谐波的幅度⽐应为 1111111::::::234567。
信系统非正弦周期信的分解与合成实验报告
信系统非正弦周期信的分解与合成实验报告实验报告：信号系统的非正弦周期信号的分解与合成一、实验目的：1.理解周期信号的概念和特点；2.学习如何分解一个非正弦周期信号的频谱成分；3.学习如何合成一个非正弦周期信号。
二、实验原理：1.傅里叶级数展开：任何周期信号都可以由一系列谐波分量叠加而成；2.傅里叶级数中的谐波分量：频率是整数倍的基频信号，基频信号频率为信号周期的倒数。
三、实验仪器：1.计算机；2. 数字信号处理软件（如MATLAB、Python等）；3.数字音频信号采集卡（可选）；4.电脑音箱或音频耳机。
四、实验步骤：1.将采集卡连接至计算机（若使用）；2.打开信号处理软件，并导入需要处理的非正弦周期信号的音频文件；3.将音频信号从时域转换到频域，得到信号的频谱；4.分析频谱，找出频率成分较高的谐波分量；5.根据谐波分量的频率、振幅和初相位，计算每个谐波分量的波形；6.对所有谐波分量进行叠加，得到合成后的信号。
五、实验结果与讨论：1.实验结果：可以得到信号的频谱，并分析出频率较高的谐波分量；2.讨论：根据实验结果可以探讨信号的频谱结构、谐波的产生原理等，以及分析不同谐波分量对信号特性的影响；3.实验中还可以根据实际情况进行合理的参数选择，例如选择合适的采样率、截断频率等。
六、实验总结：通过本次实验，我们学会了如何分解一个非正弦周期信号的频谱成分，并根据谐波分量的频率、振幅和初相位计算每个谐波分量的波形。
同时，我们也学会了如何合成一个非正弦周期信号。
实验结果表明，通过傅里叶级数展开，我们可以准确地分解和合成周期信号，这对于理解信号的频谱结构、谐波的产生原理等有着重要的意义。
希望通过本次实验，同学们能对非正弦周期信号的分解与合成有更深刻的理解，并能够运用所学知识解决实际问题。
信号与系统
对于上面的f(t)表达式中的每对相同的n值的正、 负频率项可以合成为一个余弦实函数
F ne jn1t Fne jn1t Fn e j ne jn1t Fn e j ne jn1t Fn e j ( n1t n ) e j ( n1t n ) 2 Fn cos(n1t n)
8-16
例4-2
图4.3信号中（奇函数），设T=2S,求复指数形式 的傅里叶级数。 解：ω1=2π/T=π rad/s 所以
1 F0 a0 f (t )dt 0 T0
T
1 Fn T
T 2
T 2
2 jn1t f (t )e dt T
T 2
8-17
1
Ae jn1t dt Ae jn1t dt
n是n的奇函数，即-n n
8-3
•A1cos(ωt+1)称为基波或一次谐波，其角 频率与原周期信号相同。 A2cos(2ωt+2)称为二次谐波，其频率是基 波的2倍。 一般而言，Ancos(nωt+n)称为n次谐波。
8-4
二、波形的对称性与谐波
2 a n 2T f (t ) cos( nt ) d t T 2
三角函数形式
f (t ) a0 an cos(n1t )
n 1
an
b
n 1
2 f (t ) cos(n1t )dt , T 0 2 f (t ) sin(n1t )dt , T 0
T
T
an An cos n Fn F n , 是n的偶函数 bn An sin n j ( Fn F n ), 是n的奇函数 An 2 Fn
周期信号的分解与合成
周期信号的另 一种三角级数 表示
f(t)A0 Ancons1t(n)或f(：t)C0 Cn.sin1t(n)
n1
n1
几个系数的关系
n
arctanbn an
An
an2 bn2 Cn
n
arctanan bn
a0 A0 C 0
几种系数的特点 是 n 的偶函数 是 n 的奇函数 是 n 的偶函数 是 n 的奇函数
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
傅里叶生平
05
1822年首次发表在“热的分 析理论”一书中
04
拉格朗日反对发表
03
1829年狄里赫利第 一个给出收敛条件
02
1807年提出“任何周期信号 都可用正弦函数级数表示”
01
1768年生于法 国
傅立叶的两个最主要的贡献
01
“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权
fe(t)f1(t) c12
设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个
函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数
c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为
E t2 e t1
fe(t) 2
t2
t1
gi
(t)
g*j(t)dt
0 Ki
t2 t1
gi
(t)
g*j(t)dn
an bn
f (t) 为偶函数时的 傅立叶级数
取 t0=－T/2
f ( t ) = f ( －t )，
偶函数的傅立叶级数 只有直流分量和余弦 分量，无正弦分量。
a
0
1 T
T
2
T 2
f ( t ) dt
周期信号波形的合成和分解
周期信号波形的合成和分解实验四周期信号波形的合成和分解⼀.实验⽬的1. 加深了解信号分析⼿段之⼀的傅⽴叶变换的基本思想和物理意义。
2. 观察和分析由多个频率、幅值和相位成⼀定关系的正弦波叠加的合成波形。
3. 观察和分析频率、幅值相同，相位⾓不同的正弦波叠加的合成波形。
4. 通过本实验熟悉信号的合成、分解原理，了解信号频谱的含义。
⼆. 实验原理提⽰按富⽴叶分析的原理，任何周期信号都可以⽤⼀组三⾓函数{sin(2πnf0t),cos(2πnf0t)}的组合表⽰： x(t)=a0/2+a1*sin(2πf0t)+b1*cos(2πf0t)+a2*sin(4πf0t)+b2*cos(4πf0t)+........也就是说，我们可以⽤⼀组正弦波和余弦波来合成任意形状的周期信号。
对于典型的⽅波，根据傅⽴叶变换，其三⾓函数展开式为：由此可见，周期⽅波是由⼀系列频率成分成谐波关系，幅值成⼀定⽐例，相位⾓为0的正弦波叠加合成的。
三.实验仪器和设备计算机若⼲台,labVIEW虚拟仪器平台 1套,打印机1台四.实验步骤及内容1.启动labVIEW中的"波形合成与分解"实验脚本，进⾏该实验。
4. 在"波形合成与分解"实验中的频率输⼊框中输⼊100，幅值输⼊框中输⼊300，相位输⼊框中输⼊0，然后点击"产⽣信号"按钮，产⽣1次谐波，并点击"信号合成"按钮将其叠加到波形输出窗中。
5. 然后在频率输⼊框中输⼊300，幅值输⼊框中输⼊100，相位输⼊框中输⼊0，点击"产⽣信号"按钮，产⽣3次谐波，并点击"信号合成"按钮将其叠加到波形输出窗中，形成1，3次谐波叠加后的波形。
6. 然后在频率输⼊框中输⼊500，幅值输⼊框中输⼊60，相位输⼊框中输⼊0，点击"产⽣信号"按钮，产⽣5次谐波，并点击"信号合成"按钮将其叠加到波形输出窗中，形成1，3，5次谐波叠加后的波形。
实验报告
实验报告实验课题：周期信号的合成与分解一、 实验目的：推导三角波信号的Fourier 级数表达式；并固定A 和0T 的值，画出信号的频谱；在定义的有效带宽下，确定信号的有效带宽，并利用MATLAB 画出有限项谐波合成的近似波形和原始信号波形。
二、 实验原理：1、周期为0T 的连续时间信号()f t 的Fourier 级数表达式为：0()jnw tn n f t C e ∞=-∞=∑其中，n C 为周期信号()f t 的Fourier 数，Fourier 系数的计算公式为：00001()t T jnw t n t C f t e dt T +-=⎰2、Fourier 系数n C 反映了周期信号()f t 的Fourier 级数表达式中角频率0w nw =的虚指数信号的幅度和相位。
Fourier 系数n C 反映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，因此称周期信号的Fourier 系数n C 为信号的频谱。
而n C 可表示为：n j n n C C e ϕ=n C 随角频率变化的特性，称之为信号的幅度频谱，n ϕ随角频率变化的特性称之为信号的相位频谱。
根据所求n C 的表示式，可画出信号频谱图。
3、周期信号属于功率信号，周期信号()f t 在1Ω电阻上消耗的平均功率为：002/2/21()T T P f t dt T -=⎰由Parseval 功率守恒定理，2nn P C∞=-∞=∑对于实信号有，*n n C C -=所以，22212nn n n P CC C ∞∞=-∞===+∑∑根据信号有效带宽的定义，2201(2)/0.95Nn n C C P =+≥∑及n C 的表示式，可确定出N ，即有效带宽0Nw 。
4、 利用MATLAB 画出前N 次谐波合成的信号的近似波形与原始波形 。
三、 实验内容：1、 推导图三角波信号的Fourier 级数表达式；2、 取1A =，02T =，画出信号的频谱；3、 以2201(2)/0.95Nnn C CP =+≥∑定义信号的有效带宽，确定信号的有效带宽0Nw 。
实验一 非正弦周期信号的分解与合成
实验一非正弦周期信号的分解与合成一、实验目的1、用同时分析法观测50Hz非正弦周期信号的频谱，并与其傅立叶级数各项的频率与系数作比较。
2、观测基波和其谐波的合成。
二、实验设备1、信号与系统实验箱： TKSS－B型2、双踪示波器三、实验原理1、一个非正弦周期函数可以用一系列频率成整数倍的正弦函数来表示，其中与非正弦具有相同频率的成分称为基波或一次谐波，其它成分则根据其频率为基波频率的2、3、4、…、n等倍数分别称二次、三次、四次、…、n次谐波，其幅度将随谐波次数的增加而减小，直至无穷小。
2、不同频率的谐波可以合成一个非正弦周期波，反过来，一个非正弦周期波也可以分解为无限个不同频率的谐波成分。
3、一个非正弦周期函数可用傅立叶级数来表示，级数各项系数之间的关系可用一个频谱来表示，方波频谱图如图1-1表示。
不同的非正弦周期函数具有不同的频谱图，各种不同波形及其傅氏级数表达式如下。
图1-1 方波频谱图1、方波2、三角波3、半波4、全波5、矩形波图1-2信号分解与合成实验装置结构框图，图1—2为信号分解与合成实验装置结构框图，图中LPF 为低通滤波器，可分解出非正弦周期函数的直流分量。
1BPF ~6BPF 为调谐在基波和各次谐波上的带通滤波器，加法器用于信号的合成。
四、实验内容及步骤1、调节函数信号发生器，使其输出50Hz 的方波信号，并将其接至信号分解实验模块BPF 的输入端，然后细调函数信号发生器的输出频率，使该模块的基波50Hz 成分BPF 的输出幅度为最大。
)7sin 715sin 513sin 31(sin 4)(⋅⋅⋅++++=t t t t u t u mωωωωπ)5sin 2513sin 91(sin 8)(2⋅⋅⋅++-=t t t Ut u m ωωωπ)3cos 3sin 312cos 2sin21cos (sin2)(⋅⋅⋅++++=t Tt Tt TUTUt u mmωτπωτπωτππτ)4cos 151cos 31sin 421(2)(⋅⋅⋅+--+=t t t Ut u mωωωππ)6cos 3514cos 1512cos 3121(4)(⋅⋅⋅+---=t t t Ut u mωωωπ2、将各带通滤波器的输出分别接至示波器，观测各次谐波的频率和幅值，并列表记录之。
周期信号分解与合成
信号与线性系统课程设计报告课题1 周期信号分解与合成班级:姓名：学号：组号及同组人：成绩：指导教师：日期：题目：周期信号分解与合成摘要：本文主要利用多反馈带通滤波器的设计方法，设计五中不同中心频率的带通滤波器，分别对应于输入信号利用傅里叶级数展开后的基波分量频率、二次谐波分量频率、三次谐波分量频率、四次谐波分量频率、五次谐波分量频率，通过带通滤波器对原输入信号进行滤波将各个分量分开，实现信号的分解，利用加法器实现信号的合成，在设计时先采用Multisim 软件进行模拟电路设计及仿真，然后根据仿真结果进行元件参数的修改，当仿真结果比较理想后，进行硬件电路的调试。
关键词：周期信号，分解，合成，带通滤波器，加法器1课程设计的目的、意义本课题主要研究周期信号分解与合成的软硬件实现方法以及相关滤波器的设计及应用。
通过本课题的设计，主要达到以下几个目的：1．了解周期信号分解与合成电路的原理及实现方法。
2．深入理解信号频谱和信号滤波的概念，理解滤波器幅频响应和相频响应对信号的影响以及无失真传输的概念。
3．掌握模拟带通滤波器的原理与设计方法。
4．掌握利用Multisim软件进行模拟电路设计及仿真的方法。
5．了解周期信号分解与合成硬件电路的设计、制作、调试过程及步骤。
6．掌握新一代信号与系统实验系统及虚拟示波器、虚拟信号发生器的操作使用方法。
7．培养运用所学知识分析和解决实际问题的能力。
2 设计任务及技术指标本课题的任务包括周期信号分解与合成电路设计、电路（系统）仿真分析、电路板焊接、电路调试与测试、仿真和测试结果分析等内容，主要工作有：1. 采用有源带通滤波器，选择适当的滤波器参数，设计一个能分解出周期信号（周期信号基波频率在100Hz~2kHz之间自行选择）前5次谐波的电路，并用Multisim软件进行仿真验证和参数调整。
2. 列出所设计带通滤波器的系统函数，用Matlab软件分析其频率响应、时域响应，并与Multisim电路仿真的结果进行比较分析。
4.1_周期信号的分解与合成
4.1_周期信号的分解与合成周期信号是指具有一定周期的信号，它在某段时间内表现出相似的特征。
周期信号的分解和合成是信号处理领域中常用的基础操作，可以将复杂的信号分解成若干个简单的周期信号，或将多个简单的周期信号合成成一个复杂的周期信号，为后续的信号处理和分析提供基础。
周期信号的分解可以通过傅里叶级数展开实现，即将周期信号表达为一系列正弦函数和余弦函数的线性组合。
傅里叶级数展开的公式为：f(x) = a0 + Σ(An*cos(nω0*x) + Bn*sin(nω0*x))其中，a0、An、Bn分别表示直流分量、余弦项系数、正弦项系数，ω0表示基波角频率。
例如，对于周期为T的方波信号，可以通过傅里叶级数展开得到：其中，n为正整数，ω0为基波角频率。
展开后得到的式子是一系列正弦函数的和，它们的频率是基波频率的整数倍，每一项的振幅都有一定的规律。
这些项的和就可以表示出原始的方波信号。
同理，其他周期信号也可以通过傅里叶级数展开来进行分解。
周期信号的合成则是将多个周期信号组合起来，形成一个新的周期信号。
例如，可以将三角波信号和方波信号进行合成，得到一个新的复合信号：f(x) = (4/π)*∑([(-1)^n-1]/(2n-1)*sin((2n-1)ω0*x))+ (4/π)*∑sin(2nπ*x/T)/n其中，第一项为三角波信号的傅里叶级数展开形式，第二项为方波信号的傅里叶级数展开形式。
将上述两项相加即可得到合成信号的形式。
周期信号的分解和合成是信号处理中常用的基础操作，在信号分析和处理中具有重要的应用价值。
通过周期信号的分解和合成，可以有效地简化信号的处理和分析过程，为实际工程应用提供了基础支撑。
信号与系统实验(MATLAB 西电版)实验10 周期信号的合成与分解
逼近
t=-2：0.001：2;
%
N=20; c0=0.5;
f1=c0*ones(1，length(t)); %
for n=1：N %
f1=f1+cos(pi*n*t)*sinc(n/2);
end plot(t，f1); axis(［-2 2 -0.2 0.8］);
方波的傅里叶级数逼近如图10.3
实验10 周期信号的合成与分解 图 10.3 方波的傅里叶级数逼近
实验10 周期信号的合成与分解
3) 用正弦信号的叠加近似合成一频率为50 Hz，幅值为3
MATLAB clear all;
fs=10000; t=［0：1/fs：0.1］; f0=50; sum=0; subplot(211) for n=1：2：9;
实验10 周期信号的合成与分解
plot(t，4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t)，′k′); title(′信号叠加前′); hold on;
写出相应MATLAB
实验10 周期信号的合成与分解
五、
简述实验目的及原理，按实验步骤附上相应的信号波形
六、
(1) (2) 傅里叶级数分解有三种形式，请以另外两种形式重
(3) 若周期函数为奇谐波函数，重复上述实验，比较实 验结果。
end subplot(221); plot(t，xN) xlabel(′time′); ylabel(′approximation N′); axis(［-2 2 -0.7 0.7］);
实验10 周期信号的合成与分解 2.
x(t)=
4
π n1
sin(2πnf0t)
1 n
n=1，3，5，…
Hale Waihona Puke 用前5项谐波近似合成一频率为50 Hz，幅值为3的方波，
周期信号的分解与合成
实验二：周期信号的分解与合成1.1实验目的(1) 深入理解在一个周期内满足绝对可积的任意周期信号fT(t) 都可以用振幅和初相角不同的各次谐波（含直流分量）之和表示。
(2) 理解相加的谐波分量愈多，时域信号的边沿愈陡，即边沿愈陡的信号包含愈多的高次谐波分量。
1.2 实验内容:(1) 讨论时域信号的上升沿、下降沿、顶部同包含的谐波分量的关系。
(2) 画出该周期信号的频谱图。
1.按照三角形式的傅里叶级数理论，满足一定关系的直流信号和无限多项正弦( 或余弦) 信号才能逼近原信号。
但在实际中只可能用有限次谐波合成来逼近原周期信号，这必将引起误差。
在实际应用中经常采用有限项级数来代替无限级数。
符合狄利赫利条件的周期信号可以分解成直流分量、不同频率正弦分量和余弦分量的叠加。
满足一定关系的直流分量和一系列的谐波分量之和可以近似表示周期信号。
本文运用Matlab 软件分析了方波信号的构成，仿真了直流信号和有限次谐波近似合成方波信号。
可以发现随着合成谐波的项数增加，合成波形越接近原方波信号，并且对方波信号合成中出现的吉布斯现象和均方误差进行分析。
这对于理解信号分解与合成理论以及信号和系统的分析和设计有非常重要的作用。
T = 1;A = 1;omega0 = 2*pi/T;y = zeros(size(-T:1e-3:T));for k=1:3ck = -2*A/(k*pi) * (cos(k*pi) - cos(k*pi/2));ck = ck + 8*A/(T*T) * ( -2*(T/4)*cos(k*pi/2)/(k*omega0) + 2*sin(k*pi/2)/(k*omega0)^2 );y = y + ck*sin(k*omega0*(-T:1e-3:T));endplot(-T:1e-3:T, y);实验截图:图1T = 1;A = 1;omega0 = 2*pi/T;y = zeros(size(-T:1e-3:T));for k=1:7ck = -2*A/(k*pi) * (cos(k*pi) - cos(k*pi/2));ck = ck + 8*A/(T*T) * ( -2*(T/4)*cos(k*pi/2)/(k*omega0) + 2*sin(k*pi/2)/(k*omega0)^2 );y = y + ck*sin(k*omega0*(-T:1e-3:T));endplot(-T:1e-3:T, y);实验截图:图2T = 1;A = 1;omega0 = 2*pi/T;y = zeros(size(-T:1e-3:T));for k=1:20ck = -2*A/(k*pi) * (cos(k*pi) - cos(k*pi/2));ck = ck + 8*A/(T*T) * ( -2*(T/4)*cos(k*pi/2)/(k*omega0) + 2*sin(k*pi/2)/(k*omega0)^2 );y = y + ck*sin(k*omega0*(-T:1e-3:T));endplot(-T:1e-3:T, y);实验截图:图3T = 1;A = 1;omega0 = 2*pi/T;y = zeros(size(-T:1e-3:T));for k=1:100ck = -2*A/(k*pi) * (cos(k*pi) - cos(k*pi/2));ck = ck + 8*A/(T*T) * ( -2*(T/4)*cos(k*pi/2)/(k*omega0) + 2*sin(k*pi/2)/(k*omega0)^2 );y = y + ck*sin(k*omega0*(-T:1e-3:T));endplot(-T:1e-3:T, y);1.3实习总结：通过本次实习，我深入理解了相加的谐波分量愈多，时域信号的边沿愈陡，即边沿愈陡的信号包含愈多的高次谐波分量,在一个周期内满足绝对可积的任意周期信号fT(t) 都可以用振幅和初相角不同的各次谐波（含直流分量）之和表示。
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七、教师评语
三、主要仪器设备
MATLAB（软件）
四、实验内容
1． 周期对称方波信号的合成
图1 奇 对称的周期方波信号
图示方波既是一个奇对称信号，又是一个奇谐信号。根据函数的对称性 与傅里叶系数的关系可知，它可以用无穷个奇次谐波分量的傅里叶级数来表 示: 2E f t = π
∞
sin 2π 2������ + 1 ������0 ������ ∙
T1 1
分量称为基波，频率为 nf1 的分量成为 n 次谐波。周期信号的频谱只会出 现在 0，ω 1，2ω 1，3ω 1，…，nω 1 等离散的频率点上，这种频谱称为离散谱， 是周期信号频谱的主要特点。f ������ 波形变化越剧烈，所包含的高频分量的比 重就越大；变化越平缓，所包含的低频分量的比重就越大。 一般来说，将周期信号分解得到的三角函数形式的傅里叶级数的项数是 无限的。也就是说，通常只有无穷项的傅里叶级数才能与原函数精确相等。
xlabel('w') ylabel('F(w)') 显示结果如图 5 所示
图5
奇对称方波信号频谱
偶对称三角信号频谱 MATLAB 程序如下： %偶对称三角信号频谱 Fs = 1000; T = 1/Fs; L = 1000; t = (0:L-1)*T; y=3; for i=1:100 y=y+shishu*cos((2*i-1)*100*pi*t)/((2*i-1)*(2*i-1)); end % Sampling frequency % Sample time % Length of signal % Time vector
plot(t,y); axis([0,0.04,-4,4]); xlabel('time'); ylabel('前 5 项有限级数'); y=0; for i=1:6 y=y+shishu*(sin((2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1)); end subplot(222); plot(t,y); axis([0,0.04,-4,4]); xlabel('time'); ylabel('前 6 项有限级数'); y=0; for i=1:7 y=y+shishu*(sin((2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1)); end subplot(223) plot(t,y); axis([0,0.04,-4,4]); xlabel('time'); ylabel('前 7 项有限级数');
axis([0,0.1,-4,4]); xlabel('time'); ylabel('前 5 项有限级数'); t=0:0.001:0.1; y=0; for i=1:100 y=y+sh ishu*(sin((2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1)); end subplot(224); plot(t,y); axis([0,0.1,-4,4]); xlabel('time'); ylabel('前 100 项有限级数');
������ =0
1 2������ + 1
选取奇对称周期方波的周期 T= 0 .02 s
，幅度 E =6，采用有限项级数替
代无限项级数来逼近该函数。 分别取前 1、 2、 5 和 100 项有限级数来近似， 编写程序并把结果显示在一幅图中，观察它们逼近方波的过程。 MATLAB 程序如下： %奇对称方波合成 t=0:0.001:0.1; shishu=12/pi; y=shishu*sin(100*pi*t); subplot(221) plot(t,y); axis([0,0.1,-4,4]); xlabel('time'); ylabel('前 1 项有限级数'); y=shishu*(sin(100*pi*t)+sin(3*100*pi*t)/3); subplot(222); plot(t,y); axis([0,0.1,-4,4]); xlabel('time'); ylabel('前 2 项有限级数'); y=shishu*(sin(100*pi*t)+sin(3*100*pi*t)/3+sin(5*100*pi*t)/5+sin(7* 100*pi*t)/7+sin(9*100*pi*t)/9); subplot(223) plot(t,y);
xlabel('time'); ylabel('前5项有限级数'); t=0:0.001:0.1; y=0; for i=1:100 y=y+shishu*cos((2*i-1)*100*pi*t)/((2*i-1)*(2*i-1)); end subplot(224); plot(t,y+3); axis([0,0.1,0,6]); xlabel('time'); ylabel('前100项有限级数'); 显示结果如图4所示
显示结果如图 2 所示。
图2
奇对称方波信号的合成
2．观察 Gibbs 现象 分别取前 10、 20、 30 和 40 项有限级数来逼近奇对称方波， 观察 Gibbs 现象。 MATLAB 程序如下： %观察 Gibbs 现象 t=0:0.001:0.04; shishu=12/pi; y=0; for i=1:5 y=y+shishu*(sin((2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1)); end subplot(221)
y=0; for i=1:8 y=y+shishu*(sin((2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1)); end subplot(224); plot(t,y); axis([0,0.04,-4,4]); xlabel('time'); ylabel('前 8 项有限级数');
显示结果如图 3 所示。
图6 偶对称三角信号频谱
五、 实验结论 1、 从奇对称方波信号的频谱图可看出，奇对称方波信号只含奇次谐波
分量，不含偶次谐波分量。
2、 拟合项数越多，图像越接近原始图像。 3、 Gibbs 现象的上冲值在级数达到 3 时基本稳定在 9%。时域图像的转
折点在频域图像上表现为频谱尖峰。
六、 实验效果分析
图 3 Gibbs 现象
3．周期对称三角信号的合成 设计采用有限项级数逼近偶对称周期三角信号的实验，编制程序并显示
结果。 MATLAB 程序如下： %周期对称三角波合成 t=0:0.001:0.1; shishu=24/(pi*pi); y=3+shishu*cos(100*pi*t); subplot(221) plot(t,y); axis([0,0.1,0,6]); xlabel('time'); ylabel('前1项有限级数'); y=3+shishu*(cos(100*pi*t)+cos(3*100*pi*t)/9)+cos(5*100*pi*t)/25; subplot(222); plot(t,y); axis([0,0.1,0,6]); xlabel('time'); ylabel('前3项有限级数'); y=3+shishu*(cos(100*pi*t)+cos(3*100*pi*t)/9+cos(5*100*pi*t)/25+cos (7*100*pi*t)/49+cos(9*100*pi*t)/81); subplot(223) plot(t,y); axis([0,0.1,0,6]);
plot(Fs*t(1:50),y(1:50)) title('偶对称三角信号频谱') xlabel('w') NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y Y = fft(y,NFFT)/L; f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1); % Plot single-sided amplitude spectrum. stem(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1))) title('偶对称三角信号频谱') xlabel('w') ylabel('F(w)') 显示结果如图6
图4 偶对称周期三角信号
4．周期信号的频谱 分析奇对称方波信号与偶对称三角信号的频谱，编制程序并显示结果， 深入讨论周期信号的频谱特点和两信号频谱的差异。 奇对称方波信号频谱 MATLAB 程序如下： %奇对称方波信号 Fs = 1000; T = 1/Fs; L = 1000; t = (0:L-1)*T; y=0; for i=1:100 y=y+shishu*(sin((2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1)); end plot(Fs*t(1:50),y(1:50)) title('奇对称方波信号频谱') xlabel('w') NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y Y = fft(y,NFFT)/L; f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1); stem(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1))) title('奇对称方波信号频谱') % Sampling frequency % Sample time % Length of signal % Time vector