高中数学极坐标与参数方程专题讲解

坐标系与参数方程

考纲解读 1.在极坐标系中，建立极坐标方程，并将两种坐标系下的方程进行互化；2.根据题意，选择适当的参数，建立直线，圆及圆锥曲线的参数方程并转化为普通方程；3.根据极坐标方程或参数方程，研究曲线的关系．

[基础梳理]

1．坐标系 (1)坐标变换

设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换．

(2)极坐标系

在平面内取一个定点O ，叫作极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫作极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．

2．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单

位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ，⎩

⎪⎨⎪

⎧

ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x . 3．常用简单曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点，半径为r 的圆

ρ＝r 圆心为(r,0)，半径为r 的圆

ρ＝2r cos θ

⎝⎛⎭⎫－π2

<θ≤π2

圆心为⎝⎛⎭

⎫r ，π

2，半径为r 的圆

ρ＝2r sin θ

(0≤θ<π)

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函

数⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＝f (t )，y ＝g (t )， 并且对于t 的每一个允许值，上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为这条曲线的参数方程，其中变数t 称为参变数，简称参数．

5．直线、圆、椭圆的参数方程

[三基自测]

1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为______． 答案：(2，－π

3

)

2．在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为________． 答案：ρ＝－2 2 cos θ

3．参数方程⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝2t 21＋t 2

，y ＝4－2t

21＋t

2

(t 为参数)化为普通方程为________．

答案：3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))

4．在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________.

答案：2

5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)直线⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝4＋at ，

y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧

x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ

(θ为

参数)相切，则切线的倾斜角为________．

答案：π3或2π

3

高考总复习·数学(理)第十一章 选修系列

考点一 伸缩变换|易错突破

[例1] 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.

[解析] 法一：设变换为φ：⎩⎪⎨⎪

⎧

x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，

可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2

＝1.

将4x 2

＋9y 2

＝36变形为x 29＋y 2

4

＝1，

比较系数得λ＝13，μ＝1

2

.

所以⎩⎨⎧

x ′＝13

x ，

y ′＝1

2y .

故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的1

2，可得

到圆x ′2＋y ′2＝1.

法二：利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝⎛⎭

⎫y 22

＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得⎩⎨⎧

x ′＝x

3，

y ′＝y

2.

故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的1

2，可得

到圆x ′2＋y ′2＝1.

[易错提醒]

[纠错训练]

(2018·池州模拟)求曲线

x 2＋y 2＝1

经过φ：⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝3x ，

y ′＝4y 变换后得到的新曲线的方程．

解析：曲线x 2＋y 2

＝1经过φ：⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝3x ，y ′＝4y 变换后，即将

⎩⎨⎧

x ＝x ′3

，

y ＝y ′4

代入圆的方程，

可得x ′29＋y ′2

16

＝1，

即所求新曲线方程为：x 29＋y 2

16

＝1.

考点二 极坐标与直角坐标的互化|方法突破

[例2](2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝a cos t ，

y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.

(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .

解析：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．

将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.