建筑结构相关荷载组合的平稳二项随机过程方法[1]
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*段忠东(1968)，男，湖南衡阳人，教授，博士，土木学院副院长，从事结构可靠度、海洋工程结构、结构健康监测研究(duanzd@hit.edu.cn); 欧进萍(1959)，男，湖南宁远人，教授，博士，中国工程院院士，副校长，从事结构安全评定、结构智能控制与性态设计、结构健康监 测等研究.
98
工程力学
些荷载由于受同一种随机源的影响，荷载之间是相 关的，如节假日商场不同楼层的临时性活荷载，海 洋结构的风浪荷载。因此研究简单、实用的相关性 荷载组合方法，仍然具有重要的意义。
本文首先介绍将随机荷载历程简化为平稳二 项随机过程；然后，在荷载平稳二项随机过程基础 上，提出多个相关荷载组合随机过程参数的确定方 法，并引入最大熵分布确定组合荷载幅值的概率分 布，导出组合荷载最大值的概率分布；进一步讨论 相关荷载的荷载组合系数的确定方法；最后，通过 Monte Carlo 试验对本文的相关荷载组合方法进行 检验，并用本文的方法校准通常采用的荷载组合的 经验规则的保证率水平。
第 24 卷第 4 期 Vol.24 No.4
工程力学
2007 年 4 月 Apr. 2007
ENGINEERING MECHANICS
97
文章编号：1000-4750(2007)04-0097-07
建筑结构相关荷载组合的平稳二项随机过程方法
周道成，*段忠东，欧进萍
(哈尔滨工业大学土木工程学院，哈尔滨 150090)
由于荷载组合在结构可靠度分析和结构设计 中具有重要地位，70年早期就开始了这方面的研 究，并提出了一些理论分析方法和多种简单实用组 合方法。为了考虑荷载模型的随机发生时间、随机 持续时间和随机强度，Wen以泊松模型为基础，建 立了L.C.(Load Coincidence method)方法[5]，并围绕 该方法进行了一系列研究，将其推广到一般的情 况[6]，该方法理论上较为严密，但是计算复杂； Larrabee和Cornell建立了适用于平稳、独立荷载随 机过程线性组合的点跨率法[7]；Ferry Borges 和 Castenheta通过对荷载随机过程进行假设和简化，建 立 了 基 于 FBC 模 型 的 FBC(Ferry-Borgesand Castanheta)组合方法[8]，该模型忽略了荷载的短期 时域波动和相关性，将荷载视为等时段出现的独立 随机变量序列，该模型简单，并得到广泛应用； Turkstra和Madesen建立了著名的Turkstra组合方法 [9]，该方法不能有效地反映荷载极值同时出现地可 能性，估计荷载可能偏低；国际结构可靠度联合委 员会(JCSS)于1976年公布了“对各类结构和各种材 料的共同统一规则”，形成了荷载组合规则，这就 是JCSS组合方法。近年来，贡金鑫和赵国藩推导了 持久性可变荷载与临时性可变荷载组合的解析解 及简化计算方法[10]；Yasuhiro M, Takahiro K等推导 了矩形泊松过程和脉冲泊松过程的组合过程极值 随机变量概率模型[4]。在这些组合方法中，一般认 为荷载之间是相互独立的，然而在实际工程中，有
将各个荷载随机过程按照平稳二项随机过程 模型进行简化以后，多个荷载的组合就是多个平稳 二项随机过程的和。时段长度相同的多个平稳二项 随机过程之和仍然为平稳二项随机过程。
U(t)
τ τ τ τ τ τ τt
X(t)
τ ττ τ ττ τt
图 1 荷载平稳二项随机过程
Fig.1 Stationary binomial processes of loads
STATIONARY BINOMIAL PROCESSES FOR COMBINATION OF CORRELATIVE LOADS FOR BUILDING STRUCTURES
ZHOU Dao-cheng, *DUAN Zhong-dong, OU Jin-ping
(Harbin Institute of Technology, Harbin, Heilongjiang 150090, China)
当作用于结构上的各环境荷载可视为相互独 立的随机过 程时，可应 用 Turkstra 组合方法、 FBC(Ferry-Borgesand Castanheta)组合方法、JCSS 方法等进行荷载组合[1,2]。这些荷载组合规则虽然被 一些规范所采用，但本质上都是经验性的，缺乏严 格的理论依据；对于具有不同相关程度的荷载组 合[3,4]，这些方法更无从考虑。同时，荷载组合结果 具有较大的随意性，无法定量计算荷载组合最大值 的保证率。
工程力学
99ຫໍສະໝຸດ Baidu
足独立性为原则，对于不同的荷载需要结合荷载自 然变化的特性加以考虑；例如风荷载，考虑到风自
然变化以一年为周期，所以τ 取为 1 年，荷载 X (t)
幅值为年最大风速随机变量；考虑到每年的最大风 荷载均出现，则 p 取为 1。图 1 表示了将一个一般 性的连续随机过程 U (t) 简化为由其局部时段最大 值包络构成的平稳二项随机过程 X (t) 。
1.2 最大熵概率密度
熵在物理意义上是表示系统混乱程度的量。系
统越混乱，则系统的熵越大，系统越趋于热平衡。
熵还可以表示随机变量的不确定性程度。不确定程
度越大，则随机变量的信息熵越大。根据最大熵原
理，在一定的约束条件下，能使熵极大化的分布就
是随机变量的最可能分布。连续变量的熵可写为[12]:
∫b
H = −C P(x) ln P(x)dx a
(1)
式中Ｃ通常取为 1；P(x) 为随机变量的概率密度测
度； b 和 a 为 x 的上下限； H 定义为熵。 根据最大熵原理，随机变量的最大熵概率密度
分布为使熵最大的函数 f (x) ，即
目标函数:
b
∫ H = − f (x)ln[ f (x)]dx → max a
(2)
约束条件:
∫⎧
⎪
b
f (x)dx = 1
Key words: building structure; stationary binomial process; load combination; correlative factor; load combination factor
————————————————
收稿日期：2005-09-11；修改日期：2006-06-12 基金项目：国家自然科学基金会重大项目(59895410) 作者简介：周道成(1976)，男，贵州玉屏人，讲师，博士，从事海洋平台结构安全评定研究(daocheng_z@hit.edu.cn);
众所周知，作用于建筑结构的荷载(如楼面荷 载、风荷载、雪荷载和地震作用等)，除具有随机不 确定性外，还具有时间变化的特性，应将其模拟为 随机过程。实际结构同时承受多种荷载作用，不同 荷载的最大值虽然不是“步调一致”地同时出现最 大值，但在结构设计时考虑多个荷载组合效应的最 大值则是必须的，特别是当这些荷载具有某种程度 的相关性时。
(1) 基准期 [0,T ] 时间域内可划分为 r 个相等 的时段τ ，即τ = T ；
r (2) 在 任 一 时 段 τ 内 ， 荷 载 X (t) 出 现 ( 即 X (t) > 0 )的概率为 p ，荷载不出现(即 X (t) ≤ 0 ) 的概率为 q = 1 − p ； (3) 在任一时段τ 内，荷载出现时，其幅值 X (t) 为非负随机变量，其概率分布函数为任意时点荷载 概率分布 FXτ (x,t) = FXτ (x) ，x > 0 ，t ∈[0,τ ] ；各不 同时段上的幅值随机变量相互独立且服从相同分 布； (4) 任一时段τ 上荷载是否出现与出现的幅值 随机变量是相互独立的。 因此荷载平稳二项随机过程的三要素为：荷载 变动一次的平均持续时间τ 或[0,T ] 内的时段数 r 、 任意时段荷载出现的概率 p 和任意时点幅值随机 变量的概率分布 FXτ (x) 。 将一个实际的荷载随机过程简化为平稳二项 随机过程，合理地确定上述三个参数是关键。时段 长度τ 的选取应以时段τ 上的荷载幅值随机变量满
摘 要：目前建筑结构设计和分析的荷载组合采用的是经验性的荷载组合规则，荷载组合结果具有较大的随意性， 不能计算荷载组合值的保证率。在将随时间变化的荷载随机过程假定为平稳二项随机过程的基础上，研究多个相 关或不相关荷载(或荷载效应)组合问题。考虑参与组合的荷载随机变量间的相关性，确定了组合荷载随机过程的 参数；根据最大熵原理确定了荷载组合随机过程的任意时段幅值随机变量的概率分布，从而建立了相关随机荷载 的组合方法；结合现行规范设计方法，进一步讨论了荷载组合系数的确定；最后采用 Monte Carlo 试验验证了本 文的荷载组合方法，并对常见的几种经验荷载组合规则进行了概率校核。 关键词：建筑结构；平稳二项随机过程；荷载组合；相关系数；荷载组合系数 中图分类号：TU311.2 文献标识码：A
a
∫⎨
⎪ ⎩
b a
xi
f
(x)dx
=
mi
,i
=
1,
2,...,
n
(3)
式中 f (x) 为随机变量的概率密度函数； mi 是随机
变量的第 i 阶原点矩。解有约束式(3)的优化问题式
Abstract: In the present code for building structure design, empirical load combination rules are commonly used, which generally results in non-objective design combination load values and does not provide an approach to evaluate the probability of an actual combination load to exceed a prescribed load value. Assuming that loads are stationary binomial processes, combinations of multi correlated or uncorrelated loads are studied. Considering the correlation of loads, the parameters of load combination random process are determined. The probabilistic distribution function of load amplitude of stationary binomial process for load combination is approached by the maximum entropy method, and the cumulative probabilistic distribution of maximum load combination is deduced. Further the load combination factors, which provide an approach to consider load combinations in actual design, are calibrated. Finally the load combination method presented in this paper is verified by a Monte Carlo simulation experiment. The loads by various empirical load combination rules are evaluated using the method developed in this paper.
1 荷载平稳二项随机过程的组合
1.1 荷载平稳二项随机过程 我国建筑结构设计规范[11]的楼面活荷载、风荷
载等作用的概率模型均是将其假设为平稳二项随 机过程的基础上获得的。将荷载随机过程用不同时 段的荷载最大值包络来表示，可以获得最大荷载随 机过程，该随机过程可以比较合理地采用平稳二项 随机过程模型来描述。荷载平稳二项随机过程的定 义为
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工程力学
些荷载由于受同一种随机源的影响，荷载之间是相 关的，如节假日商场不同楼层的临时性活荷载，海 洋结构的风浪荷载。因此研究简单、实用的相关性 荷载组合方法，仍然具有重要的意义。
本文首先介绍将随机荷载历程简化为平稳二 项随机过程；然后，在荷载平稳二项随机过程基础 上，提出多个相关荷载组合随机过程参数的确定方 法，并引入最大熵分布确定组合荷载幅值的概率分 布，导出组合荷载最大值的概率分布；进一步讨论 相关荷载的荷载组合系数的确定方法；最后，通过 Monte Carlo 试验对本文的相关荷载组合方法进行 检验，并用本文的方法校准通常采用的荷载组合的 经验规则的保证率水平。
第 24 卷第 4 期 Vol.24 No.4
工程力学
2007 年 4 月 Apr. 2007
ENGINEERING MECHANICS
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文章编号：1000-4750(2007)04-0097-07
建筑结构相关荷载组合的平稳二项随机过程方法
周道成，*段忠东，欧进萍
(哈尔滨工业大学土木工程学院，哈尔滨 150090)
由于荷载组合在结构可靠度分析和结构设计 中具有重要地位，70年早期就开始了这方面的研 究，并提出了一些理论分析方法和多种简单实用组 合方法。为了考虑荷载模型的随机发生时间、随机 持续时间和随机强度，Wen以泊松模型为基础，建 立了L.C.(Load Coincidence method)方法[5]，并围绕 该方法进行了一系列研究，将其推广到一般的情 况[6]，该方法理论上较为严密，但是计算复杂； Larrabee和Cornell建立了适用于平稳、独立荷载随 机过程线性组合的点跨率法[7]；Ferry Borges 和 Castenheta通过对荷载随机过程进行假设和简化，建 立 了 基 于 FBC 模 型 的 FBC(Ferry-Borgesand Castanheta)组合方法[8]，该模型忽略了荷载的短期 时域波动和相关性，将荷载视为等时段出现的独立 随机变量序列，该模型简单，并得到广泛应用； Turkstra和Madesen建立了著名的Turkstra组合方法 [9]，该方法不能有效地反映荷载极值同时出现地可 能性，估计荷载可能偏低；国际结构可靠度联合委 员会(JCSS)于1976年公布了“对各类结构和各种材 料的共同统一规则”，形成了荷载组合规则，这就 是JCSS组合方法。近年来，贡金鑫和赵国藩推导了 持久性可变荷载与临时性可变荷载组合的解析解 及简化计算方法[10]；Yasuhiro M, Takahiro K等推导 了矩形泊松过程和脉冲泊松过程的组合过程极值 随机变量概率模型[4]。在这些组合方法中，一般认 为荷载之间是相互独立的，然而在实际工程中，有
将各个荷载随机过程按照平稳二项随机过程 模型进行简化以后，多个荷载的组合就是多个平稳 二项随机过程的和。时段长度相同的多个平稳二项 随机过程之和仍然为平稳二项随机过程。
U(t)
τ τ τ τ τ τ τt
X(t)
τ ττ τ ττ τt
图 1 荷载平稳二项随机过程
Fig.1 Stationary binomial processes of loads
STATIONARY BINOMIAL PROCESSES FOR COMBINATION OF CORRELATIVE LOADS FOR BUILDING STRUCTURES
ZHOU Dao-cheng, *DUAN Zhong-dong, OU Jin-ping
(Harbin Institute of Technology, Harbin, Heilongjiang 150090, China)
当作用于结构上的各环境荷载可视为相互独 立的随机过 程时，可应 用 Turkstra 组合方法、 FBC(Ferry-Borgesand Castanheta)组合方法、JCSS 方法等进行荷载组合[1,2]。这些荷载组合规则虽然被 一些规范所采用，但本质上都是经验性的，缺乏严 格的理论依据；对于具有不同相关程度的荷载组 合[3,4]，这些方法更无从考虑。同时，荷载组合结果 具有较大的随意性，无法定量计算荷载组合最大值 的保证率。
工程力学
99ຫໍສະໝຸດ Baidu
足独立性为原则，对于不同的荷载需要结合荷载自 然变化的特性加以考虑；例如风荷载，考虑到风自
然变化以一年为周期，所以τ 取为 1 年，荷载 X (t)
幅值为年最大风速随机变量；考虑到每年的最大风 荷载均出现，则 p 取为 1。图 1 表示了将一个一般 性的连续随机过程 U (t) 简化为由其局部时段最大 值包络构成的平稳二项随机过程 X (t) 。
1.2 最大熵概率密度
熵在物理意义上是表示系统混乱程度的量。系
统越混乱，则系统的熵越大，系统越趋于热平衡。
熵还可以表示随机变量的不确定性程度。不确定程
度越大，则随机变量的信息熵越大。根据最大熵原
理，在一定的约束条件下，能使熵极大化的分布就
是随机变量的最可能分布。连续变量的熵可写为[12]:
∫b
H = −C P(x) ln P(x)dx a
(1)
式中Ｃ通常取为 1；P(x) 为随机变量的概率密度测
度； b 和 a 为 x 的上下限； H 定义为熵。 根据最大熵原理，随机变量的最大熵概率密度
分布为使熵最大的函数 f (x) ，即
目标函数:
b
∫ H = − f (x)ln[ f (x)]dx → max a
(2)
约束条件:
∫⎧
⎪
b
f (x)dx = 1
Key words: building structure; stationary binomial process; load combination; correlative factor; load combination factor
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收稿日期：2005-09-11；修改日期：2006-06-12 基金项目：国家自然科学基金会重大项目(59895410) 作者简介：周道成(1976)，男，贵州玉屏人，讲师，博士，从事海洋平台结构安全评定研究(daocheng_z@hit.edu.cn);
众所周知，作用于建筑结构的荷载(如楼面荷 载、风荷载、雪荷载和地震作用等)，除具有随机不 确定性外，还具有时间变化的特性，应将其模拟为 随机过程。实际结构同时承受多种荷载作用，不同 荷载的最大值虽然不是“步调一致”地同时出现最 大值，但在结构设计时考虑多个荷载组合效应的最 大值则是必须的，特别是当这些荷载具有某种程度 的相关性时。
(1) 基准期 [0,T ] 时间域内可划分为 r 个相等 的时段τ ，即τ = T ；
r (2) 在 任 一 时 段 τ 内 ， 荷 载 X (t) 出 现 ( 即 X (t) > 0 )的概率为 p ，荷载不出现(即 X (t) ≤ 0 ) 的概率为 q = 1 − p ； (3) 在任一时段τ 内，荷载出现时，其幅值 X (t) 为非负随机变量，其概率分布函数为任意时点荷载 概率分布 FXτ (x,t) = FXτ (x) ，x > 0 ，t ∈[0,τ ] ；各不 同时段上的幅值随机变量相互独立且服从相同分 布； (4) 任一时段τ 上荷载是否出现与出现的幅值 随机变量是相互独立的。 因此荷载平稳二项随机过程的三要素为：荷载 变动一次的平均持续时间τ 或[0,T ] 内的时段数 r 、 任意时段荷载出现的概率 p 和任意时点幅值随机 变量的概率分布 FXτ (x) 。 将一个实际的荷载随机过程简化为平稳二项 随机过程，合理地确定上述三个参数是关键。时段 长度τ 的选取应以时段τ 上的荷载幅值随机变量满
摘 要：目前建筑结构设计和分析的荷载组合采用的是经验性的荷载组合规则，荷载组合结果具有较大的随意性， 不能计算荷载组合值的保证率。在将随时间变化的荷载随机过程假定为平稳二项随机过程的基础上，研究多个相 关或不相关荷载(或荷载效应)组合问题。考虑参与组合的荷载随机变量间的相关性，确定了组合荷载随机过程的 参数；根据最大熵原理确定了荷载组合随机过程的任意时段幅值随机变量的概率分布，从而建立了相关随机荷载 的组合方法；结合现行规范设计方法，进一步讨论了荷载组合系数的确定；最后采用 Monte Carlo 试验验证了本 文的荷载组合方法，并对常见的几种经验荷载组合规则进行了概率校核。 关键词：建筑结构；平稳二项随机过程；荷载组合；相关系数；荷载组合系数 中图分类号：TU311.2 文献标识码：A
a
∫⎨
⎪ ⎩
b a
xi
f
(x)dx
=
mi
,i
=
1,
2,...,
n
(3)
式中 f (x) 为随机变量的概率密度函数； mi 是随机
变量的第 i 阶原点矩。解有约束式(3)的优化问题式
Abstract: In the present code for building structure design, empirical load combination rules are commonly used, which generally results in non-objective design combination load values and does not provide an approach to evaluate the probability of an actual combination load to exceed a prescribed load value. Assuming that loads are stationary binomial processes, combinations of multi correlated or uncorrelated loads are studied. Considering the correlation of loads, the parameters of load combination random process are determined. The probabilistic distribution function of load amplitude of stationary binomial process for load combination is approached by the maximum entropy method, and the cumulative probabilistic distribution of maximum load combination is deduced. Further the load combination factors, which provide an approach to consider load combinations in actual design, are calibrated. Finally the load combination method presented in this paper is verified by a Monte Carlo simulation experiment. The loads by various empirical load combination rules are evaluated using the method developed in this paper.
1 荷载平稳二项随机过程的组合
1.1 荷载平稳二项随机过程 我国建筑结构设计规范[11]的楼面活荷载、风荷
载等作用的概率模型均是将其假设为平稳二项随 机过程的基础上获得的。将荷载随机过程用不同时 段的荷载最大值包络来表示，可以获得最大荷载随 机过程，该随机过程可以比较合理地采用平稳二项 随机过程模型来描述。荷载平稳二项随机过程的定 义为