抽屉原理(
抽屉原理及其应用
抽屉原理及其应用
抽屉原理（也称鸽笼原理、容斥原理）是离散数学中的一个基本原理，它描述了把若干个物体放入若干个容器中时，如果物体数量多于容器数量，那么至少有一个容器必须放多于一个物体。
抽屉原理可以应用在多个领域，包括：
1. 计算概率：假设有n个鸽巢和m个鸽子，如果将m个鸽子平均放入n个鸽巢中，那么至少有一个鸽巢中会放多于一个鸽子。
2. 计算排列组合：假设将n个物品分成m堆，至少有一堆中包含的物品数量不少于⌈n/m⌉（向上取整）。
3. 求解问题：当问题本身的解法很难找到时，可以利用抽屉原理削减解空间，锁定可能的解，减少求解难度。
4. 数据存储：在计算机程序设计中，抽屉原理可以用来优化数据存储和搜索。
将数据划分多个小区域同时进行搜索，可以减少搜索空间，提高效率。
总之，抽屉原理是一种非常实用的思想工具，可以帮助我们解决各种实际问题。
《抽屉原理》(PPT课件
在算法分析中，抽屉原理可以用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度，以及确 定算法的最坏情况下的性能。
在日常生活中的应用
资源分配
在资源分配问题中，可以将资源视为抽屉，将待分配的物品 或任务视为物体，根据抽屉原理得出最优的分配方案。
排队理论
在排队理论中，抽屉原理可以用于分析排队系统的性能和稳 定性，以及确定最优的排队策略。
有限制的抽屉原理的证明
有限制的抽屉原理是指
如果 n+1 个物体要放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n），那么至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n+1 个物体放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n）。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们可以将这个物体放入另一个 容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
在数论中的应用
质数分布
根据抽屉原理，如果将自然数按 照质数和非质数进行分类，则质 数在自然数中的比例趋近于 $frac{1}{2}$。
同余方程
在解同余方程时，可以将模数视 为抽屉，方程的解为物体，根据 抽屉原理得出解的存在性和个数 。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，抽屉原理可以应用于各种数据结构的设计和分析，如数组、链 表、哈希表等。
现代研究
现代数学研究中对抽屉原理进行了深入的探讨和研究，不断拓展其 应用范围和理论体系。
02
抽屉原理的证明特殊形式，其基本思想是
如果 n 个物体要放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体，则至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n 个物体放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们 可以将这个物体放入另一个容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
抽屉原理的公式是什么
抽屉原理的公式是什么抽屉原理，也称为鸽巢原理，是数学和计算机科学中一条重要的基本原理。
它最早由德国数学家小弗里德里希·里夏尔于1834年提出，为了描述一种常见现象：当往n+1个抽屉中放入n个物体时，至少有一个抽屉会装多于一个物体。
这一原理在许多领域中都有重要的应用，特别是在集合论、概率论、信息论、密码学等方面。
抽屉原理的本质是一种计数原理，它基于一些简单的数学观察，不涉及复杂的推理。
其核心思想是将抽屉看作是集合，将物体看作是元素，然后通过计算元素数量和集合数量的关系来推导结论。
抽屉原理的公式可以表述为：对于 n 个抽屉和 m 个物体，当 m > n 时，至少有一个抽屉中至少放入了两个物体。
抽屉原理的证明可以通过反证法进行。
假设所有的抽屉最多只放入了一个物体，如果每个抽屉都满了，那么一共只能放入n个物体，冲突出现在 m > n 的情况下。
所以至少有一个抽屉中放入了两个物体或更多。
抽屉原理的应用非常广泛。
下面将介绍一些典型的应用场景。
应用场景一：生日问题在一个房间里，有多少人的时候存在两个人生日相同的概率很大？这就是生日问题。
将人的生日看作是物体，将每天的日期看作是抽屉。
根据抽屉原理，我们可以通过计算元素数量和集合数量的关系来解决这个问题。
假设每年有365天（不考虑闰年），那么将人的生日映射到365个抽屉中，当人数超过抽屉数量时，根据抽屉原理就可以确定至少有两个人生日相同。
这个问题的具体计算可以使用概率论中的计算技巧，但抽屉原理提供了解决问题的基本思路。
应用场景二：抽卡游戏在很多电子游戏或纸牌游戏中，都存在通过抽取卡牌的方式来获得不同的结果。
当抽取的卡牌数量超过卡牌种类时，至少会出现两张相同的卡牌。
以抽取纸牌游戏为例，假设一副扑克牌有52张，将抽取的牌看作是物体，将不同牌面的种类看作是抽屉。
当抽取的牌数超过52时，根据抽屉原理可以确定至少有两张相同的牌。
这个原理可以帮助人们在游戏中进行策略的制定和玩法的优化。
抽屉原理的简介与应用
抽屉原理的简介与应用1. 简介抽屉原理，也被称为鸽巢原理，是数学中的一条基本原理。
它由德国数学家戈尔德巴赫于18世纪中期提出，原理的核心思想是：如果有n个物体被放入n个抽屉中，且n大于抽屉的数量，那么至少存在一个抽屉中至少有两个物体。
2. 应用抽屉原理在数学中有广泛的应用，也被其他领域所借鉴和应用。
2.1 计算数学在计算数学中，抽屉原理常用于证明问题的存在性。
例如，在计算图论中，我们可以通过抽屉原理来证明在有限的图中，存在必定长度的路径或环。
这对于优化算法和网络分析非常重要。
2.2 概率与统计抽屉原理在概率和统计学中也有着重要的应用。
例如，假设我们有一个袋子里面有10颗红球和20颗蓝球，我们从袋子中随机抽取了30颗球。
根据抽屉原理，至少会有一个颜色的球抽到的数量将会超过其颜色的球的总数。
这可以用来解决一些概率和统计问题。
2.3 计算机科学在计算机科学中，抽屉原理也有着广泛的应用。
例如，在散列函数中，抽屉原理可以用来解决冲突的问题。
散列函数将一组键映射到一个有限的范围内，当不同的键映射到相同的范围时，就会发生冲突。
根据抽屉原理，当键的数量超过范围时，至少会有一个范围中存在多个键，这样就可以通过其他方法解决冲突。
2.4 数据库管理在数据库管理中，抽屉原理也经常被应用。
例如，在索引管理中，抽屉原理可以被用来解决索引冲突的问题。
当多个记录的索引值相同或非常接近时，就会发生索引冲突。
根据抽屉原理，当记录的数量超过索引的数量时，至少会有一个索引位置存在多个记录，这样就需要采取其他策略来处理冲突。
3. 总结抽屉原理作为一条基本的数学原理，有着广泛的应用。
它在计算数学、概率与统计、计算机科学和数据库管理等领域都扮演着重要的角色。
通过抽屉原理，我们可以解决一些问题的存在性、冲突以及优化等方面的问题。
因此，学习抽屉原理对于理解和应用这些领域的知识是非常有帮助的。
抽屉原理
抽屉原理【知识要点】抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。
把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。
这个人人皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。
用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。
原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。
原理2：把m个元素任意放入n（n＜m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。
其中k＝商（当n能整除m时）商＋1 （当n不能整除m时）原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
【解题步骤】第一步：分析题意。
分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。
第二步：制造抽屉。
这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。
根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
第三步：运用抽屉原理。
观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
【例题讲解】例1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业。
求证：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。
证明：将5名学生看作5个苹果，将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉。
由抽屉原理1，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果，即至少有两名学生在做同一科的作业。
例2、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？分析与解答：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于3大于3的最小数字是4。
故至少取出4个小球才能符合要求。
例3、班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。
抽屉原理
一．第一抽屉原理原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn 个物体,与题设不符，故不可能。
原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
二．第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
例1：400人中至少有2个人的生日相同.例2：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.例3: 从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例4:从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例5：从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
三．抽屉原理与整除问题整除问题：把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
(证明：n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等（抽屉原理），不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b，则m-n整除n)。
例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
四．经典练习：1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色不相同，则最少要取出多少个球？解析：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于7，故至少取出8个小球才能符合要求。
抽屉原理是什么意思
抽屉原理是什么意思抽屉原理（也称为鸽巢原理）是数学中的一个重要原理，它描述的是一种概率现象。
抽屉原理可以简单地概括为：如果有n+1个物体要放进n个抽屉中，那么无论如何放置，至少有一个抽屉中必然会有两个或更多物体。
抽屉原理最早可以追溯到古希腊数学家彼得·建设者（Peter C. D）在1939年提出的鸽巢定理，后来由是美国数学家罗森（R. R*) 在1964年将其普及并以抽屉原理的名字命名。
这个原理的简单解释是很容易理解的。
假设有5个苹果和4个抽屉，我们需要将这些苹果放入抽屉中去。
无论如何摆放，必然会有至少一个抽屉中放入了两个或更多的苹果。
这是因为若将5个苹果放入4个抽屉，我们只能在某一个抽屉中放2个苹果，而按照抽屉原理的规定，至少会有一个抽屉中放入了两个或更多的物体。
抽屉原理的应用非常广泛，不仅仅局限于数学领域。
它可以应用于各个领域，如计算机科学、生物学、物理学等。
在计算机科学中，抽屉原理可以用于解决许多问题。
例如，在散列函数中，如果我们将 n个关键字映射到 m个槽位中（假设 n>m），那么至少会有一个槽位中有多个关键字映射。
这是因为抽屉原理告诉我们，无论以何种方式映射，始终会有两个关键字映射到同一个槽位上。
生物学中，抽屉原理可以用于解释遗传学中的基因频率。
在一个种群中，如果有 n 个个体，而有 m 种不同的基因，则至少会有个体携带相同的基因，而原因也是抽屉原理的应用。
物理学中，抽屉原理可以类比于波动理论。
例如，如果我们在一条线上有 n 个波峰，而只有 m 个波谷（n>m），则必然会有至少两个波峰在同一个波谷之间。
抽屉原理指导我们认识到，波动现象中特定的波峰和波谷的存在不能无限地隔离。
在生活中，我们也可以看到抽屉原理的应用。
例如，如果我们参加一个聚会，那么如果参与人数超过了场地的容纳能力，那么至少会有两个人被安排坐在同一张桌子上。
总结一下，抽屉原理是一种重要的概率现象，可以简单地概括为：在一定条件下，将多个物体放置到较少的容器中，必然会出现某个容器放入了两个或更多物体。
抽屉原理的定义是什么
抽屉原理的定义是什么1. 引言抽屉原理（也被称为鸽笼原理）是一种基本的数学原理，它在各个领域都有广泛的应用。
在数学、计算机科学和其他一些领域，抽屉原理用于解决众多问题，特别是计数和概率问题。
本文将讨论抽屉原理的定义、原理以及其应用。
2. 抽屉原理的定义抽屉原理是指，当将n+1个物体放入n个抽屉中时，至少有一个抽屉里面会放有两个或两个以上的物体。
换句话说，如果有更多的物体要放入比抽屉数更少的抽屉中，那么至少会有一个抽屉中会有多个物体。
具体来说，假设有n个抽屉和m个物体，如果m > n，那么至少会有一个抽屉中有两个或两个以上的物体。
3. 抽屉原理的证明为了证明抽屉原理，我们可以采用反证法。
假设没有任何一个抽屉中放有两个或两个以上的物体，那么每个抽屉最多只能放一个物体。
如果有n个抽屉，那么最多只能放n个物体。
但是，假设我们有m > n个物体，这与前提矛盾。
因此，我们可以得出结论，至少会有一个抽屉中放有两个或两个以上的物体。
4. 抽屉原理的例子4.1 学生选择课程考虑一个学生选择课程的例子。
假设有10门课程和8名学生。
每个学生选择了至少一门课程。
根据抽屉原理，至少有一个学生选择了两门或两门以上的课程。
这是因为学生数（8）大于课程数（10）。
4.2 双生子生日问题另一个例子是双生子生日问题。
假设有365天，365个抽屉代表每一天，而抽屉里放置的是人的出生日期。
根据抽屉原理，当我们有至少366个人时，至少会有两个人在同一天出生。
这个问题揭示了在很小的数量下，会有出现概率较高的事件。
5. 抽屉原理的应用抽屉原理在计算机科学和数学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：•密码学：在密码学中，抽屉原理用于解释概率分布和碰撞的概念。
它帮助我们理解两个不同的消息可能具有相同哈希值的概率。
•图论：在图论中，抽屉原理有助于解决图的着色问题。
根据抽屉原理，当要给少于或等于n个节点的图着色时，至少需要n种颜色。
•计算机算法：抽屉原理还用于处理算法设计中的情况，例如哈希冲突。
抽屉原理的三个公式
抽屉原理的三个公式抽屉原理的一种更一般的表述为：“把多于kn+1个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。
”知道抽屉数和至少数（同类），求物体时：物体数=（至少数-1）×抽屉数+1。
当至少数为2时，物体数=抽屉数+1。
抽屉原理，主要由以下三条所组成：原理1：把多于n+1个的物体放在n个抽屉里，则至少存有一个抽屉里的东西不少于两件。
原理2 ：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。
原理3 ：把无穷多件物体放进n个抽屉，则至少存有一个抽屉里存有无穷个物体。
把它推广到一般情形有以下几种表现形式。
形式一：设立把n+1个元素分割至n个子集中(a1，a2，…，an)，用a1，a2，…，an 分别则表示这n个子集对应涵盖的元素个数，则：至少存有某个子集ai，其涵盖元素个数值ai大于或等于2。
证明：（反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai\uc2，则因为ai是整数，应有ai≤1，于是有：a1+a2+…+an≤1+1+…+1=n\ucn+1，这与题设矛盾。
所以，至少有一个ai≥2，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。
形式二：设立把nm+1个元素分割至n个子集中(a1，a2，…，an)，用a1，a2，…，an则表示这n个子集对应涵盖的元素个数，则：至少存有某个子集ai，其涵盖元素个数值ai大于或等于m+1。
证明：（反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai\ucm+1，则因为ai是整数，应有ai≤m，于是有：a1+a2+…+an≤m+m+…+m=nm\ucnm+1，这与题设二者矛盾。
所以，至少有存在一个ai≥m+1。
抽屉原理
抽屉原理抽屉原理，又叫狄利克雷抽屉原理，它是一个重要而又基本的数学原理。
抽屉原理（一）：把多于n 个的元素，按任一确定的方式分成n 个集合，那么存在一个集合中至少含有两个元素。
抽屉原理（二）：把多于m ×n 个元素分成n 个集合，那么一定有一个集合中至少有m +1个元素。
抽屉原理（三）：把m 1+m 2+…+m n +k (k ≥1)个元素分成n 个集合，那么，存在一个i ，在第i 个集合中至少有m i +1个元素。
应用抽屉原理来解题，首先要审题，即要分清什么作为“元素”，什么作为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，恰当地设计抽屉，这是应用抽屉原理解题的关键。
一、分割图形造“抽屉”例1．在边长为1的等边三角形内（包括边界），任意选定10个点，求证：至少有三个点，它们两两之间的距离不大于12． 证明：如右图，等边三角形ABC 三边中点为D 、E 、F ，DE 、EF 、FD 把边长为1的三角形分成了四个边长为12的正三角形．10个点都在这四个正三角形“抽屉”中，根据抽屉原理（二），至少有三个点落入同一个区域里，此三个点可连成一个三角形，任意两点之间的距离不大于12．例2．在边长为1的正方形内，任意给定5个点，试证：其中必有两个点，它们之间的距离不超过22． 例3．在3×4的长方形中，放置6个点.试证：可以找到两个点，它们的距离不大于5．例4．在半径为1的圆内任给6个点.求证：其中必有两个点，它们之间的距离不超过1．例5．在直径为5的圆中放入10个点.求证：其中必有两个点，它们之间的距离小于2．二、利用余数造“抽屉”例6．求证：任意互异的8个整数中，一定存在6个整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，使得(x 1−x 2)(x 3−x 4)(x 5−x 6) 恰是105的倍数．分析：105=3×5×7，而3、5、7两两互质，所以只要能找到两个数，比如x1，x2，使得x1−x2是7的倍数，同理x3−x4是5的倍数，x5−x6是3的倍数，题目即得证．证明：根据抽屉原理（一），在任意8个整数中，必有两个整数被7除同余，那么，它们的差一定是7的倍数．假设这两个数为x1，x2，使得x1−x2=7k1．在余下的6个数中，必有两个数被5除同余，这两个数的差一定是5的倍数，假设两数为x3，x4，则有x3−x4=5k2．在余下的4个数中，必有两个整数被3除所得余数相同，那么它们的差一定是3的倍数，假设两数为x5，x6，则有x5−x6=3k3．(x1−x2)(x3−x4)(x5−x6)=7k1∙5k2∙3k3=105×(k1∙k2∙k3)所以，从任意8个互异的整数中，一定可以找到6个数x1，x2，x3，x4，x5，x6，使得(x1−x2)(x3−x4)(x5−x6)恰是105的倍数．例7．求证：在任给的52个整数中，必有两个数，它们的差恰是100的倍数．例8．求证：从任意n个自然数a1，a2，a3，…，a n中，总可以找到若干个数，它们的和是n的倍数．三、竞赛题选例例9．时钟的表盘上按标准的方式标着1、2、3、4……、11、12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同。
什么叫抽屉原理
什么叫抽屉原理抽屉原理，又称鸽巢原理，是离散数学中的一个重要概念。
它在计算机科学、信息论、密码学等领域有着广泛的应用。
抽屉原理的核心思想是，如果有n个物品要放到m个抽屉里，且n大于m，那么至少有一个抽屉里会放多于一个物品。
抽屉原理最早的数学表述可以追溯到德国数学家Dirichlet提出的“鸽巢原理”，他认为如果有n只鸽子要放到m个巢里，且n大于m，那么至少有一个巢里会放多于一个鸽子。
这个概念后来被推广到了更一般的情况，即n个物品放到m个抽屉中。
抽屉原理的应用非常广泛。
在计算机科学中，抽屉原理被用来证明哈希算法的冲突不可避免，也被用来解决一些图论中的问题。
在信息论中，抽屉原理被用来证明数据压缩算法的存在性。
在密码学中，抽屉原理被用来分析密码学算法的安全性。
可以说，抽屉原理是离散数学中最基本的原理之一，它的重要性不言而喻。
抽屉原理的证明方法有很多种，其中比较直接的一种方法是采用反证法。
假设所有的抽屉里都放了不多于一个物品，然后根据n个物品和m个抽屉的关系，通过推理可以得出矛盾，从而证明了抽屉原理的成立。
除了直接的证明方法，抽屉原理还可以通过一些具体的例子来加深理解。
比如，假设有11个苹果要放到10个抽屉里，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里会放多于一个苹果。
这个例子直观地展示了抽屉原理的成立。
在实际应用中，抽屉原理可以帮助我们解决一些实际问题。
比如，在生活中，如果有12个月要安排在10个月份里，那么至少会有一个月份有安排了多于一个的活动。
在排课的情况下，如果有11个学生要安排在10节课里，那么至少会有一节课有多于一个的学生安排在其中。
这些都是抽屉原理在实际生活中的应用。
总的来说，抽屉原理是离散数学中一个非常重要的概念，它在计算机科学、信息论、密码学等领域有着广泛的应用。
通过理论证明和具体例子的分析，我们可以更好地理解抽屉原理的内涵和应用，为我们在实际问题中的解决提供了有力的工具。
抽屉原理
抽屉原理抽屉原理又叫鸽笼原理，是德国数学家狄里克雷首先发现的，所以又叫狄里克雷原理。
这类问题似乎都有“存在”、“必有”、“至少有”这样的字眼。
在解决这类问题时，只要求证明存在，一般并不要求指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。
一、原理抽屉原理(一)：把多于．．n个的物体任意分放进n个空抽屉里（n是非0自然数），那么一定有．．．．了2个物体。
．．．1个抽屉里至少放进抽屉原理(二)：把多于．．k．n个的物体任意分放进n个空抽屉里（k、n都是非0自然数），那么一定有．．．．了（k+1）个．．．1个抽屉里至少放进物体。
抽屉原理（一）是抽屉原理（二）的特殊情况。
二、解决抽屉原理问题的关键：1、确认什么是被投放的“物体”，什么是“抽屉”；2、正确构造“抽屉”——最重要的关键；3、分清问题属于下述三类问题中的哪一类。
三、抽屉原理问题的三种类型和解法（一）已知被投物体的个数和抽屉数，求某一个抽屉里至少可以放进的物体个数。
方法：要把a个物体放进n个空抽屉，如果a÷n＝b……c （c≠0且c﹤n），那么一定有一个抽屉至少可以放进（b．＋．1．）个物体。
而不是（b+c）个物体。
（二）已知被投物体的个数和某一个抽屉里至少可以放进的物体个数，求抽屉数。
方法：（被投物体的个数-1）÷（某一个抽屉里至少可以放进的物体个数－1）＝n……c (c﹤n)，则n就是所求的抽屉数。
（三）已知抽屉数和某一个抽屉里至少可以放进的物体个数，求被投物体的个数。
方法：抽屉数×（某一个抽屉里至少可以放进的物体个数－1）＋1，就是所求的被投物体的个数。
（2011—04—21）。
抽屉原理
抽屉原理一、起源抽屉原理最先是由19 世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称"迪里赫莱原理",也有称"鸽巢原理"的.这个原理可以简单地叙述为"把10个苹果,任意分放在9 个抽屉里,则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果".这个道理是非常明显的,但应用它却可以解决许多有趣的问题,并且常常得到一些令人惊异的结果.抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容,本讲就来学习它的有关知识及其应用.二、抽屉原理的基本形式定理1,如果把n+1 个元素分成n 个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素.证明:(用反证法)若不存在至少有两个元素的集合,则每个集合至多1 个元素,从而n 个集合至多有n 个元素,此与共有n+1 个元素矛盾,故命题成立.在定理1 的叙述中,可以把"元素"改为"物件",把"集合"改成"抽屉",抽屉原理正是由此得名.同样,可以把"元素"改成"鸽子",把"分成n 个集合"改成"飞进n 个鸽笼中"."鸽笼原理"由此得名.解答抽屉原理的关键：假设有3 个苹果放入2 个抽屉中，则必然有一个抽屉中有2 个苹果，她的一般模型可以表述为：第一抽屉原理：把（ mn+1）个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有（ m+1）个物体。
若把3 个苹果放入4 个抽屉中，则必然有一个抽屉空着，她的一般模型可以表述为：第二抽屉原理：把（ mn－1）个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（ m—1）个物体。
抽屉原理一把4 只苹果放到3 个抽屉里去，共有4 种放法，不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
同样，把5 只苹果放到4 个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
抽屉原理
抽屉原理桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。
第一抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
原理2：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。
运用抽屉原理的核心是分析清楚问题中，哪个是物件，哪个是抽屉。
例如，属相是有12个，那么任意37个人中，至少有几个人属相相同呢？这时将属相看成12个抽屉，则一个抽屉中有37/12，即3余1，余数不考虑，而向上考虑取整数，所以这里是3+1=4个人，但这里需要注意的是，前面的余数1和这里加上的1是不一样的。
因此，在问题中，较多的一方就是物件，较少的一方就是抽屉，比如上述问题中的属相12个，就是对应抽屉，37个人就是对应物件，因为37相对12多。
最差原则最差原则，即考虑所有可能情况中，最不利于某件事情发生的情况。
例如，有300人到招聘会求职，其中软件设计有100人，市场营销有80人，财务管理有70人，人力资源管理有50人。
那么至少有多少人找到工作才能保证一定有70人找的工作专业相同呢？此时我们考虑的最差情况为：软件设计、市场营销和财务管理各录取69人，人力资源管理的50人全部录取，则此时再录取1人就能保证有70人找到的工作专业相同。
因此至少需要69*3+50+1=258人。
根据第二抽屉原理推导：mn+1个人的时候必有m+1个人找到的工作专业相同，所以是要求出mn+1的人数，现在已知n=4，m+1=70。
考虑到人力资源专业只有50人，得出mn+1=(69*3+50)+1=258人。
什么是抽屉原理
什么是抽屉原理抽屉原理，又称鸽巢原理，是一种基本的组合数学原理。
它最早由德国数学家德尔·费歇特在19世纪提出，并由意大利数学家拉蒂亚在20世纪初给出了更为精确的表述。
抽屉原理在计算机科学、密码学、概率论等领域都有着广泛的应用。
抽屉原理的核心思想是，如果有n个物品要放到m个抽屉中，且n>m，那么至少有一个抽屉中至少有两个物品。
这个原理的直观解释是，如果有更多的物品要放到较少的抽屉中，那么必然会出现某个抽屉里放不下的情况，从而导致至少有一个抽屉里有多个物品。
抽屉原理的应用非常广泛。
在密码学中，抽屉原理可以用来证明一些密码学算法的安全性，例如生日攻击。
在概率论中，抽屉原理可以用来证明一些概率事件的发生概率。
在计算机科学中，抽屉原理可以用来分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
除了上述应用之外，抽屉原理还有一些更加有趣的应用。
例如在生活中，我们经常会遇到这样的情况，一个班级有30个学生，但是只有25个座位，那么根据抽屉原理，至少会有5个学生共用一个座位。
再比如，如果一个国家有1000万人口，但是只有1000个不同的姓氏，那么根据抽屉原理，至少会有10000个人拥有相同的姓氏。
抽屉原理在解决实际问题时，通常需要结合一些其他的数学知识和技巧。
例如在证明某个事件必然发生时，需要通过逻辑推理和数学推导来进行论证。
在计算机科学中，抽屉原理通常与数据结构和算法相结合，用来分析和设计高效的算法。
总之，抽屉原理是一种非常基础但又非常重要的数学原理，它在解决实际问题时有着广泛的应用。
通过理解和掌握抽屉原理，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。
希望本文对抽屉原理有所帮助，谢谢阅读。
抽屉原理的分类
抽屉原理的分类抽屉原理（也称为鸽巢原理或鸽笼原理）是由瑞士数学家德里克·斯特里奇与英国逻辑学家恩斯特·累克于20世纪初提出的一个基本概念，用于描述一个重要的原理：如果将n+1个物体放进n个抽屉里，至少会有一个抽屉里会放入两个物体。
抽屉原理的分类主要分为基本抽屉原理、进化版抽屉原理和亥姆霍兹定理三类。
1. 基本抽屉原理（Pigeonhole Principle）：基本抽屉原理是最简单、最直接的抽屉原理表现形式。
它指的是，当将多于一个的物体分配到有限个的容器（抽屉）中，必然会出现一个容器中放入两个或以上的物体。
这个原理可以应用于很多实际问题，例如：班级里的学生数量超过了座位数，那么必然会有两个学生坐在同一个座位上。
2. 进化版抽屉原理（Generalized Pigeonhole Principle）：进化版抽屉原理是对基本抽屉原理的扩展和应用。
它指出，如果有n个容器和m个物体，而m>n，则至少有一个容器中必须放置⌈m/n⌉个物体。
其中，⌈m/n ⌉表示m除以n并向上取整。
这个原理可以应用于更复杂的问题，例如：如果有11个苹果放在10个篮子里，那么至少有一个篮子里会有2个苹果。
3. 亥姆霍兹定理（Helmholtz Principle）：亥姆霍兹定理是抽屉原理的一个推论和应用，它指出，如果有m个元素分配到n个位置（经过一些规则），则至少有⌈m/n⌉个位置上会有元素。
这个原理可以应用于更加复杂的问题，例如：在棋盘上放置国际象棋的棋子，无论如何放置，都会有至少⌈m/64⌉个位置上会有棋子。
抽屉原理的应用广泛，既可以用于数学和逻辑问题的求解，也可以用于算法和计算机科学的设计中。
通过抽屉原理，我们可以得出一些重要的推论和结论，帮助我们分析和解决各种实际问题。
总之，抽屉原理是数学和逻辑中的一个基本概念，它描述了一种容器和物体之间的关系，即在一定条件下，将多个物体放入有限个容器中，必然会有一个容器中放入两个或以上的物体。
抽屉原理是谁发明的
抽屉原理是谁发明的抽屉原理，又称鸽巢原理，是数学中的一个基本概念，它最早由意大利数学家拉蒙·罗拉（Ramsey）于1936年提出。
抽屉原理的核心思想是，如果将n+1个物品放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉里至少有两个物品。
这个原理在许多领域都有着重要的应用，包括计算机科学、密码学、图论等等。
抽屉原理的最简单形式是这样的，假设有6个抽屉，7只鸽子要放到这6个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有两只鸽子。
这个原理的应用可以很容易地理解，因为如果7只鸽子要分别放到6个抽屉里，必然会有至少一个抽屉里有两只鸽子。
这个原理的应用可以帮助我们在实际问题中找到解决方案，也有助于解决一些复杂的问题。
抽屉原理在计算机科学中有着广泛的应用。
在数据结构和算法中，我们经常需要处理大量的数据，而抽屉原理可以帮助我们理解一些算法的设计和分析。
例如，在哈希表中，当我们将大量的数据映射到有限的空间中时，就会出现多个数据映射到同一个位置的情况，这就是抽屉原理的应用。
又比如在图论中，抽屉原理可以帮助我们理解图的染色问题，即给定一个图，我们需要用最少的颜色对图中的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不同。
除了在计算机科学中的应用，抽屉原理还在密码学中有着重要的作用。
在密码学中，我们经常需要处理一些加密算法和密码技术，而抽屉原理可以帮助我们理解一些密码学中的概念和原理。
例如，在密码学中的抗碰撞性问题，即当我们将大量的信息映射到有限的空间中时，就会出现多个信息映射到同一个位置的情况，这也是抽屉原理的应用。
总之，抽屉原理是由意大利数学家拉蒙·罗拉提出的一个基本概念，它在数学、计算机科学、密码学等领域都有着重要的应用。
通过理解和运用抽屉原理，我们可以更好地解决一些实际问题，也可以更好地理解一些复杂的概念和原理。
希望本文对抽屉原理的发明者以及相关领域的研究和应用有所帮助。
总结抽屉原理
总结抽屉原理抽屉原理（Pigeonhole Principle）是一种数学原理，用于解释在一些有限的情况下，对于某种分布或关系的约束。
该原理指出，如果将多于抽屉数量的物体放入抽屉中，那么至少有一个抽屉将不为空。
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理或鸽笼原理，常常应用于计数问题和构造性证明。
它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
以下是对抽屉原理的总结。
原理说明抽屉原理可以简单地用以下方式描述：如果有若干个物体要分别放入有限数量的抽屉中，若n个物体要被分配到m个抽屉里，其中n > m，则至少有一个抽屉会包含多个物体。
这个原理的关键在于物体的数量超过了抽屉的数量，所以必然会有一些抽屉是不可避免地要放入多个物体。
通过这个原理，可以推断出一些实际问题的结论，并应用于解决问题。
应用案例抽屉原理在许多领域都有着广泛的应用，以下是几个常见的案例：生日相同的人假设一个房间里有365个人，每个人的生日都是随机的且独立的，那么至少有两个人会生日相同。
这是因为将365个人映射到365个可能的生日（抽屉），根据抽屉原理，至少有一个抽屉里会有两个人。
字符串匹配在字符串匹配问题中，假设有一个长度为n的字符串和一个长度为m的子字符串，我们想要找到子字符串在主字符串中的所有出现位置。
根据抽屉原理，如果将子字符串的每个可能位置（抽屉）与主字符串进行比较，那么至少有一个抽屉会匹配成功。
鸽巢收费站在一个有15个鸽巢的鸽巢收费站中，每个鸽巢最多只能容纳5只鸽子。
如果有16只鸽子要通过收费站，根据抽屉原理，至少会有一个鸽巢要容纳多于5只鸽子。
证明方法抽屉原理的证明方法常用的有两种：鸽舍原理证明和对角线方法。
鸽舍原理证明鸽舍原理证明方法利用了反证法。
首先，假设没有一个抽屉包含多个物体，即每个抽屉最多只能放一个物体。
然后通过计数的方式推导出物体的总数量小于或等于抽屉的数量，与已知条件相矛盾。
因此，反证法证明了至少有一个抽屉会包含多个物体。
对角线方法对角线方法是通过构造方式来证明抽屉原理。
抽屉原理的三个公式
抽屉原理的三个公式抽屉原理，又称为鸽巢原理，是数学中的一个基本概念，它指出如果有n+1个或更多的物品放到n个抽屉中，至少有一个抽屉中会放有两个或更多的物品。
这个原理在数学、计算机科学、逻辑推理等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍抽屉原理的三个公式，帮助大家更好地理解和应用这一重要的数学概念。
第一个公式，抽屉原理的基本表述。
抽屉原理的基本表述是，如果有n+1个物品放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会有两个或更多的物品。
这个公式简洁明了地表达了抽屉原理的核心思想，即在有限的空间内，物品的数量超过了抽屉的数量，必然会导致至少一个抽屉中有多个物品。
这个公式的直观性和易理解性使其成为了数学中一个非常重要的基本原理。
第二个公式，抽屉原理的数学表达。
抽屉原理的数学表达可以用数学符号更加精确地描述，即如果有n+1个元素放到n个集合中，那么至少存在一个集合包含两个或更多的元素。
这个公式通过数学符号的形式将抽屉原理表达得更加精确和严谨，为后续的数学推导和证明提供了基础。
第三个公式，抽屉原理的应用。
抽屉原理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在密码学中，抽屉原理可以用来证明一些密码算法的安全性；在图论中，抽屉原理可以用来证明一些图的性质；在计算机科学中，抽屉原理可以用来分析算法的时间复杂度等。
这些都是抽屉原理在不同领域的具体应用，它的普适性和实用性使得它成为了数学中一个不可或缺的重要概念。
总结。
通过上面的介绍，我们了解了抽屉原理的三个公式，基本表述、数学表达和应用。
抽屉原理作为数学中的一个基本概念，具有广泛的应用价值，它不仅在数学领域有着重要的地位，同时也在计算机科学、逻辑推理等领域有着重要的应用。
希望通过本文的介绍，大家能够更好地理解和应用抽屉原理，为解决实际问题提供更加有效的思路和方法。
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一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的 问题，因此，也被称为狄利克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以 解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用•许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题， 在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。
我们称这种现象为抽屉原理。
方法、特殊值方法.【例1】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以 从口袋中随意取出 2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一 样•你能说明这是为什么吗？【巩固】11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借 两本不同类的书，最少借一本•试说明：必有两个学生所借的书的类型相同【巩固】 体育用品的仓库里有许多足球、 排球和篮球，有66个同学来仓库拿球， 要求每个人至少拿一个,最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要 有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【例2】 红、蓝两种颜色将一个 2 5方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色. 是 否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？第八讲：抽屉原理（二）三、抽屉原理的解题方案（一） 、利用公式进行解题苹果十抽屉=商……余数余数：（1）余数=1,（2）余数=x 1 YxY ： n-1,（3）余数=0,（二） 、利用最值原理解题结论：至少有（商+ 1）个苹果在同一个抽屉里 结论：至少有（商+1 ）个苹果在同一个抽屉里结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想 “任我意”第 第 第 第 第一二三列 列 列【例3】 从2、4、6、8 ----------- 50这25个偶数中至少任意取出多少个数， 才能保证有2个数的和是52 ?【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.【巩固】 从1, 4, 7, 10,…，37, 40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有 2个数的和是41.【巩固】 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取 9个数，证明其中一定有两个数之和是 34.从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两 个数，它们的差是12.【巩固】 从1, 2, 3, 4，…，1988 , 1989这些自然数中，最多可以取 ___________________ 个数，其中每两个数的差不等于4.【例5】从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出 ____________________________ 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍.【巩固】 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数.【巩固】 从1 , 3, 5, 7,…，97, 99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另 个数的倍数?【巩固】 从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数,【例4】从1 , 2, 3, 4,…,都不等于9.1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差【巩固】其中的一个是另一个的倍数【例6】从1 , 2, 3,……49, 50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除, 则最多能取出多少个数?【例7】从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数.证明：⑴ 在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50; (3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于 1 .【例8】有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同•现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子【例9】要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？【例10】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？【例11】在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米? 【巩固】在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米.【巩固】在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请说明至少有两盆花它们之间的距离小于2米.【例12】在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1.【巩固】在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米.【巩固】 在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。
证明：在以这五点为顶点的三角形 中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。
【例13】在一个直径为2厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于 1厘米【巩固】 平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1,证明：在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为 1的圆内。
【例15】如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1, 2 , 3这三个数，使得各行各列及对角线上8个数的和互不相同？并说明理由./\/\/\ // \/ \/\【巩固】 能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上 1, 2, 3这三个数之一，使得大正方形的每行、每列及对角线上的 10个数字之和互不相同？对你的结论加以说明.【例14】9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为 直线中至少有3条通过同一个点。
2 : 3。
证明：这9条DFC【例16】(南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛C卷第12题)如下图① ，A、B、C、D四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果•要使1至13粒糖果全能取到，四只盘中应各有粒糖果•把各只盘中糖果的粒数填在下图②中•图①图②【巩固】如右图A、B、C、D四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果•每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果•这样取出的糖果数最多有几种？请说明理由•【例17】如右图，分别标有数字1,2,(((,8的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同•当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对•【巩固】8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友的名字•开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字.【例18】时钟的表盘上按标准的方式标着1, 2, 3,…，11, 12这12个数，在其上任意做n个120。
的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同•如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值.【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数•并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立.练习1.篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？练习2.将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色. （每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？练习4.从1至36个数中，最多可以取出___个数，使得这些数种没有两数的差是5的倍数.练习5.在20米长的水泥阳台上放11盆花，随便怎样摆放，至少有几盆花之间的距离不超过2米.练习6.用数字1, 2, 3, 4, 5, 6填满一个6 6的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每个2 2正方格内的四个数字的和称为这个 2 2正方格的“标示数” •问：能否给出一种填法，使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由.练习7.将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分到的书的本数相同？练习8.边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点.【备选1】学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了2本•请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？【备选2】请证明：在1 , 4, 7, 10,…，100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104.【备选3】试说明在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米.【备选4】在边长为1的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过0.125【备选5】在8 8的方格纸中, 每个方格纸内可以填上1L 4四个自然数中的任意一个, 填满后对每个2 2字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个?。